Считаем пределы
Пределы подстановкой и сокращением, пределы дробей на бесконечности и первый замечательный предел. Неопределённости 0/0 и ∞/∞ — и как от них избавиться.
Как решать
Предел — значение, к которому стремится функция, когда $x$ приближается к точке. Если подстановка даёт число, это и есть ответ. Если получается $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$, выражение нужно преобразовать — чаще всего сократить общий множитель или поделить на старшую степень.
По шагам
- Подставьте точку. Получилось число — готово.
- $\frac{0}{0}$ в дроби многочленов: и числитель, и знаменатель делятся на $x - a$. Разложите на множители, сократите и подставьте снова.
- $x \to \infty$: разделите числитель и знаменатель на старшую степень $x$. Слагаемые вида $\frac{c}{x^k}$ уходят в ноль, остаётся отношение старших коэффициентов.
- С синусом: подгоните выражение под замечательный предел $\frac{\sin t}{t} \to 1$, домножив и разделив на нужное число.
Где ошибаются
- Видят $\frac{0}{0}$ и отвечают «$0$» или «предела нет». Это сигнал преобразовать выражение, а не ответ.
- Сокращают $\frac{\sin 3x}{5x}$ как $\frac{3}{5}$ «вынося синус» — ответ совпал случайно; правильно — через замечательный предел, домножив на $3$.
- На бесконечности сравнивают не старшие степени, а свободные члены.
- Сокращают на $x - a$ и забывают снова подставить точку.