Часть II · Алгебра Глава 11 из 60
Системы уравнений и неравенства
Когда условий несколько, одного уравнения мало. Откроем маленькую мастерскую игрушек: найдём цены по двум накладным, посчитаем на древнекитайской счётной доске, упрёмся в ограничения склада и выясним, почему самый выгодный план всегда стоит в углу.
Опирается на: 10 · Квадратные уравнения
Вы научитесь
- решать системы двух линейных уравнений подстановкой, сложением и по формулам Крамера и понимать, почему решений бывает одно, ни одного или бесконечно много
- изображать неравенства и их системы на плоскости и находить наибольшее значение линейной функции на многоугольнике
- решать неравенства с одной переменной методом интервалов
Прошлая глава закончилась задачей из магазина канцтоваров: три тетради и две ручки стоят 190 рублей, а две тетради и три ручки — 160. Сколько стоит тетрадь? Здесь можно схитрить. Сложим обе покупки: пять тетрадей и пять ручек стоят 350 рублей, значит, тетрадь с ручкой — 70. Теперь сравним покупки: в первой на одну тетрадь больше и на одну ручку меньше, а заплатили за неё на 30 рублей больше. Выходит, тетрадь дороже ручки на 30 рублей. Тетрадь стоит 50, ручка — 20. Проверка: $150 + 40 = 190$ и $100 + 60 = 160$.
Хитрость удалась, потому что числа в задаче стояли симметрично. Нам нужен способ, который не зависит от удачи, и не только для равенств: в жизни условия чаще звучат как «не больше». Не больше, чем лежит на складе, не дольше, чем работает станок. Чтобы было на чём пробовать, откроем мастерскую деревянных игрушек. В ней делают машинки и кораблики. За одну главу нам предстоит закупить материалы, свести счета по древнекитайскому рецепту, упереться в ограничения склада, составить самый выгодный план и выяснить, при каком размере партии мастерская работает в плюс.
Две накладные
Мастерская закупает бруски и краску. Поставщик забыл указать в накладных цены и написал только итог: за 4 бруска и 3 банки краски — 1150 рублей, за 2 бруска и 5 банок — 1100. Обозначим цену бруска буквой $x$, цену банки — буквой $y$. Каждая накладная превращается в уравнение, и оба должны выполняться одновременно:
$$\begin{cases} 4x + 3y = 1150, \\ 2x + 5y = 1100. \end{cases}$$Система уравнений — несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно; их объединяют фигурной скобкой. Решение системы с неизвестными $x$ и $y$ — пара чисел $(x;\,y)$, при которой верно каждое уравнение. Решить систему — найти все её решения или доказать, что их нет.
Одна накладная цену не определяет: 1150 рублей можно разложить на четыре бруска и три банки бесконечным числом способов. Ответ появляется, только когда условия работают вместе.
Подстановка
Первый способ — выразить одно неизвестное через другое. Из второго уравнения $2x = 1100 - 5y$, то есть $x = 550 - 2{,}5y$. Подставим это выражение вместо $x$ в первое уравнение:
$$4(550 - 2{,}5y) + 3y = 1150, \qquad 2200 - 10y + 3y = 1150, \qquad 7y = 1050, \qquad y = 150.$$Тогда $x = 550 - 2{,}5 \cdot 150 = 175$. Подстановка превратила систему в одно уравнение с одним неизвестным, а такие мы решаем с главы 8. Особенно удобна подстановка, когда при каком-нибудь неизвестном стоит единица: тогда его можно выразить без дробей.
Сложение
Второй способ — сложить уравнения так, чтобы одно неизвестное исчезло. Умножим второе уравнение на $2$: получится $4x + 10y = 2200$. Теперь при $x$ в обоих уравнениях стоит $4$, и если вычесть из нового уравнения первое, $x$ пропадёт:
$$(4x + 10y) - (4x + 3y) = 2200 - 1150, \qquad 7y = 1050.$$Снова $y = 150$, и из второго уравнения $2x = 1100 - 750 = 350$, $x = 175$. Брусок стоит 175 рублей, банка краски — 150. Проверка по обеим накладным: $4 \cdot 175 + 3 \cdot 150 = 700 + 450 = 1150$ и $2 \cdot 175 + 5 \cdot 150 = 350 + 750 = 1100$.
Почему складывать уравнения можно? Если обе накладные верны, верна и любая их комбинация: к равным частям прибавили равные. Но нам нужно больше — чтобы новая система не приобрела лишних решений и не потеряла нужных.
Если одно уравнение системы заменить суммой его самого и другого уравнения, умноженного на любое число $t$, получится система с теми же решениями. Умножение уравнения на число, не равное нулю, решений тоже не меняет.
Запишем систему как $A = B$, $C = D$, где $A$, $B$, $C$, $D$ — выражения с $x$ и $y$, и заменим второе уравнение на $C + tA = D + tB$. Нужно проверить два направления.
Пусть пара чисел — решение старой системы. Подставим её: получатся верные числовые равенства $A = B$ и $C = D$. Умножим первое на $t$ и сложим со вторым — к равным числам прибавляем равные, так что $C + tA = D + tB$ тоже верно. Пара — решение новой системы.
Пусть пара — решение новой системы. Тогда верны $A = B$ и $C + tA = D + tB$. Умножим первое на $t$ и вычтем из второго: $C = D$. Пара — решение старой системы. Раз каждое решение одной системы служит решением другой, решения у них одни и те же.
С умножением так же: из $C = D$ следует $sC = sD$, а при $s \ne 0$ из $sC = sD$ обратно следует $C = D$ — достаточно разделить на $s$. При $s = 0$ получилось бы $0 = 0$, и уравнение пропало бы из системы вместе с информацией, которую несло.
Решите систему $\begin{cases} 2x + y = 11, \\ x - y = 1. \end{cases}$ Ответ запишите парой $(x;\,y)$.
Сложим уравнения: $y$ и $-y$ взаимно уничтожатся, останется $3x = 12$, $x = 4$. Из второго уравнения $y = x - 1 = 3$. Проверка: $2 \cdot 4 + 3 = 11$ и $4 - 3 = 1$. Ответ: $(4;\,3)$.
Две прямые
Каждое такое уравнение можно нарисовать. Из $4x + 3y = 1150$ выражается $y = \frac{1150 - 4x}{3}$ — линейная функция из прошлой главы, и её график — прямая. Все пары $(x;\,y)$, которые подходят под первую накладную, лежат на одной прямой, под вторую — на другой. Решение системы — их общая точка.
Две прямые на плоскости пересекаются в одной точке, идут параллельно или совпадают. Кажется, что это наблюдение про картинки, но за ним стоит теорема про числа.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, каждое из которых задаёт прямую, имеет либо ровно одно решение, либо ни одного, либо бесконечно много. Двух, трёх или десяти решений не бывает.
Хитрость в том, чтобы следить не за двумя прямыми сразу, а за тем, насколько одна выше другой.
Теперь выведем ответ сразу для всех систем. Запишем систему в общем виде: $a_1x + b_1y = c_1$, $a_2x + b_2y = c_2$, где в каждом уравнении хотя бы один коэффициент при неизвестных не равен нулю (иначе уравнение не задаёт прямую), и повторим способ сложения с буквами вместо чисел.
Пусть $\Delta = a_1b_2 - a_2b_1$. Если $\Delta \ne 0$, у системы ровно одно решение: $x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{\Delta}$, $y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{\Delta}$. Если $\Delta = 0$, решений нет или их бесконечно много.
Идея — исключить неизвестные по очереди, как в примере с накладными. Умножим первое уравнение на $b_2$, а второе на $b_1$: получатся $a_1b_2x + b_1b_2y = c_1b_2$ и $a_2b_1x + b_1b_2y = c_2b_1$. При $y$ теперь одинаковые коэффициенты; вычтем второе из первого — $y$ исчезнет: $(a_1b_2 - a_2b_1)x = c_1b_2 - c_2b_1$, то есть $\Delta \cdot x = c_1b_2 - c_2b_1$. Так же, умножив первое уравнение на $a_2$, второе на $a_1$ и вычтя первое из второго, исключим $x$: $\Delta \cdot y = a_1c_2 - a_2c_1$.
Если решение есть и $\Delta \ne 0$, делим на $\Delta$ и получаем ровно те числа, что в формулах. Значит, других решений быть не может. Осталось проверить, что эти числа действительно подходят. Подставим их в первое уравнение:
$$a_1 \cdot \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{\Delta} + b_1 \cdot \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{\Delta} = \frac{a_1b_2c_1 - a_1b_1c_2 + a_1b_1c_2 - a_2b_1c_1}{\Delta} = \frac{c_1(a_1b_2 - a_2b_1)}{\Delta} = c_1.$$Во второе — так же: $\frac{a_2(c_1b_2 - c_2b_1) + b_2(a_1c_2 - a_2c_1)}{\Delta} = \frac{c_2(a_1b_2 - a_2b_1)}{\Delta} = c_2$. Решение одно, и оно найдено.
Если $\Delta = 0$, то $a_1b_2 = a_2b_1$. Когда $b_1$ и $b_2$ не нули, это значит $-\frac{a_1}{b_1} = -\frac{a_2}{b_2}$: у прямых одинаковый наклон. Когда, скажем, $b_1 = 0$, первая прямая вертикальна, $a_1 \ne 0$, и из $a_1b_2 = 0$ следует $b_2 = 0$ — вторая тоже вертикальна. В обоих случаях прямые параллельны или совпадают, и по предыдущей теореме решений нет или бесконечно много.
Число $\Delta$ называют определителем системы. Что оно значит геометрически — во сколько раз меняется площадь при линейном преобразовании плоскости, — объяснит глава о матрицах.
Почти параллельные прямые
Когда $\Delta$ близок к нулю, система становится капризной. У системы $x + y = 2$, $x + 1{,}01y = 2{,}01$ решение $(1;\,1)$: вычтите первое уравнение из второго — $0{,}01y = 0{,}01$. Изменим одну правую часть на сотую, $2{,}01 \to 2{,}02$, и решение уедет в $(0;\,2)$. Прямые почти параллельны, и крошечный сдвиг одной из них далеко отодвигает точку пересечения. Если коэффициенты получены измерением с погрешностью, ответу такой системы доверять нельзя. Вычислители называют такие системы плохо обусловленными и умеют с ними обращаться — об этом глава о методе Гаусса.
Сколько решений у системы $\begin{cases} 2x - 3y = 5, \\ -4x + 6y = -10? \end{cases}$
Второе уравнение — это первое, умноженное на $-2$. Оба задают одну и ту же прямую, и решением служит любая её точка: $(1;\,-1)$, $(4;\,1)$, $(-2;\,-3)$ и так далее. Здесь $\Delta = 2 \cdot 6 - (-4)(-3) = 12 - 12 = 0$.
Счётная доска
Способ сложения намного старше букв. В восьмой главе китайского трактата «Математика в девяти книгах», который сложился около двух тысяч лет назад, разобраны задачи вроде наших, только с тремя неизвестными. Первая из них звучит так (пересказываем близко к тексту):
Имеется 3 снопа высокоурожайного хлеба, 2 снопа среднеурожайного и 1 сноп низкоурожайного; зерна в них 39 доу. Имеется 2 снопа высокоурожайного, 3 среднеурожайного и 1 низкоурожайного — 34 доу. Имеется 1 сноп высокоурожайного, 2 среднеурожайного и 3 низкоурожайного — 26 доу. Сколько зерна в одном снопе каждого сорта?
Доу — старинная мера объёма зерна. Вычислитель выкладывал числа счётными палочками на доске: каждое условие — отдельный столбец, столбцы читаются справа налево, сверху вниз идут количества снопов трёх сортов, а внизу — итог. Потом он работал со столбцами целиком: умножал весь столбец на число и вычитал один столбец из другого, пока верхние числа в среднем и левом столбцах не исчезнут, а затем и второе число в левом: там останется один сорт. Метод назывался «фанчэн» — «расположение прямоугольником». В современном китайском языке это слово значит просто «уравнение».
Ответ задачи: в снопе высокого сорта $9\frac14$ доу, среднего $4\frac14$, низкого $2\frac34$. Проверка по первому условию: $3 \cdot 9\frac14 + 2 \cdot 4\frac14 + 2\frac34 = 27\frac34 + 8\frac12 + 2\frac34 = 39$.
В других задачах той же главы вычитание уходит ниже нуля, и тут же, в восьмой главе, даны правила действий с положительными и отрицательными числами. Как их выкладывали, объясняет комментатор Лю Хуэй (III век): красные палочки для первых, чёрные для вторых. Мы уже встречали их в главе о минусе. В Европе этот способ называют методом Гаусса: Карл Фридрих Гаусс в начале XIX века решал так системы при расчёте орбит, и о нём будет отдельная глава.
Не больше, чем на складе
Материалы закуплены, пора работать. За день мастерская может выпустить $x$ машинок и $y$ корабликов, но не сколько угодно. Условия такие:
- каждой игрушке нужна одна деревянная заготовка, а заготовок на день всего $8$: $x + y \le 8$;
- токарный станок работает три часа, машинка занимает его на 30 минут (колёса!), кораблик — на 10: $30x + 10y \le 180$;
- маляр тоже работает три часа, машинку он красит 10 минут, кораблик с парусом — 30: $10x + 30y \le 180$;
- игрушек не бывает меньше нуля: $x \ge 0$, $y \ge 0$.
Начнём с простого вопроса: сколько машинок можно сделать, если кораблики не делать совсем? Подставим $y = 0$: станок даёт $30x \le 180$, откуда $x \le 6$; маляр — $10x \le 180$, $x \le 18$; заготовки — $x \le 8$. Все три условия вместе означают $x \le 6$: узкое место — станок.
Такие неравенства решаются почти как уравнения: к обеим частям можно прибавлять одно и то же число, их можно умножать и делить на одно и то же положительное число. Оговорка одна — про отрицательные множители.
Если $a < b$ и $c > 0$, то $ac < bc$. Если $a < b$ и $c < 0$, то $ac > bc$: при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Неравенство $a < b$ означает, что разность $b - a$ положительна. Умножим её на $c$: $(b - a)c = bc - ac$. По правилу знаков (глава 2) при $c > 0$ произведение положительного числа на $c$ положительно, то есть $bc - ac > 0$ и $ac < bc$. При $c < 0$ оно отрицательно: $bc - ac < 0$, то есть $ac > bc$. Деление на $c$ — это умножение на $\frac1c$, у которого тот же знак, что у $c$.
Например, $12 - 3x > 0$: переносим $12$, получаем $-3x > -12$, делим на $-3$ и переворачиваем знак: $x < 4$. Проверка: при $x = 0$ выходит $12 > 0$, верно; при $x = 5$ выходит $-3$, неверно.
С двумя неизвестными неравенство описывает уже не промежуток на прямой, а кусок плоскости. Возьмём условие про заготовки, $x + y \le 8$. Точки, где $x + y = 8$, лежат на прямой $y = 8 - x$. А неравенство означает $y \le 8 - x$: над каждым $x$ подходят точки, которые не выше этой прямой.
Прямая делит плоскость на две полуплоскости — две части по разные стороны от неё. Саму прямую называют границей; если её точки тоже считают, полуплоскость называют замкнутой.
Если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, то решения неравенства $ax + by \le c$ образуют замкнутую полуплоскость с границей $ax + by = c$.
Разберём три случая по знаку $b$. Если $b > 0$, разделим неравенство на $b$, сохранив знак: $y \le \frac{c - ax}{b}$. Справа — линейная функция от $x$, её график — граничная прямая. Над каждым $x$ неравенству удовлетворяют ровно те точки, что лежат не выше точки прямой, то есть решения — прямая и всё, что под ней. Если $b < 0$, при делении знак перевернётся (по предыдущей теореме): $y \ge \frac{c - ax}{b}$ — прямая и всё, что над ней. Если $b = 0$, то $a \ne 0$ и неравенство $ax \le c$ говорит только об $x$: $x \le \frac ca$ при $a > 0$ или $x \ge \frac ca$ при $a < 0$ — вертикальная прямая $x = \frac ca$ и всё, что слева или справа от неё. В каждом случае получилась полуплоскость вместе с границей.
Какая из двух, проще всего узнать пробной точкой. Подставим начало координат в $30x + 10y \le 180$: $0 \le 180$ — верно, значит, подходит та полуплоскость, где лежит $(0;\,0)$. Если бы пробная точка не подошла, годилась бы противоположная.
Все условия вместе — система неравенств. Её решения — точки, которые лежат во всех полуплоскостях сразу. Множество таких точек в задачах о планировании называют областью допустимых решений. У мастерской это пятиугольник с вершинами $(0;\,0)$, $(6;\,0)$, $(5;\,3)$, $(3;\,5)$ и $(0;\,6)$.
Вершины — это точки, где встречаются две граничные прямые, и находятся они системами из прошлых разделов. Например, $(5;\,3)$ лежит и на прямой станка, и на прямой заготовок: $30x + 10y = 180$ и $x + y = 8$. Разделим первое уравнение на $10$ и вычтем второе: $2x = 10$, $x = 5$, $y = 3$.
Какой дневной план мастерская может выполнить?
Проверим все условия для $(4;\,4)$: заготовок $4 + 4 = 8$, станок $120 + 40 = 160$ минут, маляр $40 + 120 = 160$ минут. Всё в пределах. Каждый из остальных планов нарушает хотя бы одно условие — и этого достаточно, чтобы он не годился.
Самый выгодный план
Машинка приносит мастерской 300 рублей прибыли, кораблик — 400. Прибыль от плана $(x;\,y)$ равна $P = 300x + 400y$. Какой план из пятиугольника самый выгодный? Перебрать все точки нельзя: их бесконечно много, а даже если считать только целые, хочется понять, почему ответ именно такой.
Задачу найти наибольшее или наименьшее значение линейной функции при линейных ограничениях — равенствах и неравенствах — называют задачей линейного программирования, а саму функцию — целевой функцией. «Программирование» здесь означает планирование, а не написание программ.
Нарисуем все планы с одинаковой прибылью. При $P = 1200$ это точки прямой $300x + 400y = 1200$: план $(4;\,0)$, план $(0;\,3)$ и всё, что между ними. При $P = 2400$ — прямая $300x + 400y = 2400$, параллельная первой и дальше от начала координат. Такие прямые называют линиями уровня. Чем больше прибыль, тем дальше линия; нужно сдвигать её, пока она ещё задевает пятиугольник.
Последней линия уровня касается вершины $(3;\,5)$: три машинки и пять корабликов дают $900 + 2000 = 2900$ рублей. Для сравнения, в остальных вершинах: $(6;\,0)$ — 1800, $(5;\,3)$ — 2700, $(0;\,6)$ — 2400. То, что оптимум оказался в вершине, не случайность.
Если область допустимых решений — многоугольник, то наибольшее и наименьшее значения линейной функции $P = px + qy$ на нём достигаются в каких-то из его вершин. Поэтому достаточно сравнить значения в вершинах.
Хитрость в том, чтобы от любой точки многоугольника дойти до вершины так, чтобы прибыль по дороге не уменьшалась.
Бывает, что линия уровня ложится на сторону многоугольника целиком: тогда одинаково выгодны обе вершины этой стороны и все точки между ними. Попробуйте в виджете сделать машинку и кораблик одинаково выгодными, по 400 рублей: $(5;\,3)$ и $(3;\,5)$ дадут одинаковые 3200 рублей.
Прибыль с машинки выросла до 500 рублей, с кораблика упала до 300. Ограничения прежние. Какую наибольшую прибыль в день может получить мастерская?
Сравним вершины: $(0;\,0)$ — $0$, $(6;\,0)$ — $3000$, $(5;\,3)$ — $2500 + 900 = 3400$, $(3;\,5)$ — $1500 + 1500 = 3000$, $(0;\,6)$ — $1800$. Лучший план — 5 машинок и 3 кораблика, прибыль 3400 рублей. Оптимум переехал в соседнюю вершину: машинки подорожали.
В реальных задачах неизвестных сотни и тысячи, и многоугольник становится многогранником в пространстве огромной размерности. Вершин у такого многогранника может быть столько, что сравнить все не успеет ни один компьютер. В 1947 году американский математик Джордж Данциг предложил симплекс-метод: начать с какой-нибудь вершины и переходить по рёбрам в соседнюю, пока прибыль растёт. Такая же теорема для многогранников гарантирует, что оптимум среди вершин есть, а обход по рёбрам находит его, обычно просмотрев лишь малую часть вершин. Кнопка «Симплекс-метод» в виджете каждый раз идёт в ту соседнюю вершину, где прибыль больше: из $(0;\,0)$ в $(0;\,6)$ с её 2400 рублями, оттуда в $(3;\,5)$ с 2900 — и дальше идти некуда, обе соседние вершины, $(0;\,6)$ и $(5;\,3)$, хуже. Обход через $(6;\,0)$ и $(5;\,3)$, с прибылью $1800$ и $2700$, пришёл бы туда же, только на шаг позже.
Одной из первых задач, решённых симплекс-методом, была задача о диете. Экономист Джордж Стиглер в 1945 году искал среди 77 продуктов самый дешёвый годовой рацион, покрывающий потребности человека в девяти питательных веществах, и вручную нашёл вариант за 39,93 доллара в ценах 1939 года. В 1947 году расчёт по симплекс-методу на арифмометрах занял, по воспоминаниям Данцига, около 120 человеко-дней и дал 39,69 доллара: Стиглер ошибся всего на 24 цента.
Знаки на прямой
Последний вопрос мастерской — о размере партии. Магазин готов взять партию из $x$ одинаковых игрушек, но чем больше партия, тем меньше он платит за каждую: $(12 - x)$ сотен рублей за штуку. Подготовка к выпуску партии обходится в 2000 рублей. Прибыль в сотнях рублей:
$$P(x) = x(12 - x) - 20 = -x^2 + 12x - 20.$$При каких $x$ мастерская работает в плюс, то есть $P(x) > 0$? Умножим неравенство на $-1$, перевернув знак: $x^2 - 12x + 20 < 0$. Корни трёхчлена по теореме Виета — $2$ и $10$: их сумма $12$, произведение $20$. Значит, $x^2 - 12x + 20 = (x - 2)(x - 10)$, и вопрос сводится к знаку произведения.
Множитель $x - 2$ отрицателен левее двойки и положителен правее. Множитель $x - 10$ меняет знак в десяти. На каждом из трёх промежутков, на которые точки $2$ и $10$ делят прямую, знаки множителей постоянны, а значит, постоянен и знак произведения: при $x < 2$ минус на минус даёт плюс, между $2$ и $10$ плюс на минус даёт минус, при $x > 10$ — плюс. Нам нужен минус: $2 < x < 10$. Партия выгодна, если в ней от 3 до 9 игрушек; больше всего прибыли у партии из 6 штук, в вершине параболы: $P(6) = 16$, то есть 1600 рублей.
Пусть выражение — произведение или частное множителей вида $(x - r)$ в каких-то степенях, умноженное на число, не равное нулю. Тогда между соседними точками, где какой-нибудь множитель обращается в ноль, знак выражения постоянен. Переходя через точку $r$, выражение меняет знак, если множитель $(x - r)$ входит в нечётной степени, и сохраняет знак, если в чётной.
Множитель $x - r$ положителен при $x > r$ и отрицателен при $x < r$; значит, внутри промежутка, где нет ни одной точки $r$, знак каждого множителя не меняется. Знак произведения и частного определяется только знаками множителей — по правилу знаков он зависит от того, чётно или нечётно число отрицательных среди них. Раз ни один множитель внутри промежутка знака не меняет, не меняется и знак всего выражения. При переходе через точку $r$ меняет знак только множитель $x - r$; если он стоит в степени $m$, то $(x - r)^m$ меняет знак $m$ раз подряд, то есть в итоге меняет его при нечётном $m$ и сохраняет при чётном. Остальные множители в окрестности $r$ знака не меняют.
На этом держится метод интервалов: чтобы решить неравенство $f(x) > 0$ (или $\ge$, $<$, $\le$), раскладывают $f$ на множители, отмечают на прямой нули множителей, определяют знак на одном промежутке и расставляют остальные по правилу смены знака. Нули знаменателя всегда выкалывают: там выражение не определено.
Решение неравенства $x^2 > 4$ —
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) > 0$. Нули множителей $-2$ и $2$; правее двойки оба множителя положительны, произведение положительно; между $-2$ и $2$ — минус; левее $-2$ — снова плюс. Ответ: $x < -2$ или $x > 2$.
Решите неравенство $\frac{x - 5}{x + 1} > 0$. Ответ запишите промежутками.
Нули множителей: $5$ (числитель) и $-1$ (знаменатель, эту точку выкалываем в любом случае). При $x > 5$ числитель и знаменатель положительны — дробь положительна. Между $-1$ и $5$ числитель отрицателен, знаменатель положителен — минус. При $x < -1$ оба отрицательны — плюс. Ответ: $(-\infty;\,-1) \cup (5;\,+\infty)$. Проверка: при $x = 6$ дробь равна $\frac17 > 0$, при $x = 0$ — $-5 < 0$.
Практика
В тренажёре три уровня. На первом системы удобно решать подстановкой: при одном из неизвестных стоит единица. На втором придётся складывать уравнения, умножив их на подходящие числа, а иногда решений нет или их бесконечно много. На третьем — текстовые задачи: билеты, монеты, катер на реке и цены в магазине; систему нужно сначала составить.
Для своих задач пригодятся решатели: системы линейных уравнений по шагам и неравенства методом интервалов. Все тренажёры собраны на странице практики.
Куда дальше
Почти все зависимости этой главы линейные. Каждая лишняя машинка добавляет к прибыли те же 300 рублей, каждый кораблик — те же 30 минут работы маляра. Бывает рост другого рода, когда величина не прибавляется, а умножается. Легенда рассказывает об изобретателе шахмат, который попросил у правителя в награду зерно: одно зёрнышко на первую клетку доски, два на вторую, четыре на третью и дальше на каждую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. Правитель посмеялся над скромной просьбой. Сколько зёрен окажется на всей доске? И обратный вопрос: сколько раз нужно удвоить единицу, чтобы получить миллион? Отвечать на такие вопросы учит глава о степенях и логарифмах.