Пределы

Прошлая глава закончилась двумя вопросами, которые на поверку оказываются одним. Касательные к эллипсу и параболе мы нашли хитростью, через зеркала, но у графика $y = x^3$ или у синусоиды никаких зеркал нет. А планета, как требует закон площадей, возле Солнца летит быстрее, чем вдали от него, — но с какой скоростью она летит сейчас, в это самое мгновение? Средняя скорость — путь, делённый на время. За одно мгновение нет ни пути, ни времени, и скорость «в момент» выглядит как ноль, делённый на ноль.

С этого вопроса начинается анализ — часть курса о том, как меняются величины. Всё в ней держится на одном понятии, пределе. Полтора века математики пользовались пределами, не умея сказать, что это такое, и получали верные ответы из рассуждений, которые не выдерживали критики. Точное определение в конце концов нашлось, и устроено оно как игра против упрямого противника. В этой главе мы выучим её правила и сыграем несколько партий.

Призраки исчезнувших величин

Отпустим камень с высокой башни. Если пренебречь сопротивлением воздуха и округлить ускорение свободного падения до $10$ м/с², за $t$ секунд камень пролетит $s(t) = 5t^2$ метров — знакомая парабола из главы о квадратных уравнениях. С какой скоростью он летит ровно через секунду после старта?

Мгновенную скорость измерить нечем. Зато среднюю посчитать легко. Возьмём короткий отрезок времени, от $1$ до $1 + h$ секунд. За него камень пролетит $s(1 + h) - s(1) = 5(1 + h)^2 - 5 = 10h + 5h^2$ метров, и средняя скорость на этом отрезке равна

$$v(h) = \frac{10h + 5h^2}{h} = 10 + 5h.$$

Чем короче отрезок, тем ближе средняя скорость к десяти:

Напрашивается ответ: скорость через секунду равна $10$ м/с, осталось подставить $h = 0$ в выражение $10 + 5h$. Но подставлять нельзя. Выражение $10 + 5h$ получилось делением на $h$, а делить можно, только пока $h \ne 0$. При $h = 0$ исходная дробь превращается в $\frac00$ и ничего не значит: за нулевое время камень пролетает ноль метров.

Именно так считали Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц, когда во второй половине XVII века независимо друг от друга создавали то, что мы сегодня зовём математическим анализом. Лейбниц напечатал свои правила первым, в 1684 году, в статье «Новый метод максимумов и минимумов». Приращения вроде нашего $h$ он называл бесконечно малыми. Ньютон в «Математических началах натуральной философии» (1687) говорил о «последних отношениях исчезающих величин» — об отношении, которое величины имеют не до того, как исчезли, и не после, а в тот самый миг, когда исчезают. Методы работали: по ним рассчитывали орбиты, приливы и полёт снарядов. Но что такое миг исчезновения, объяснить толком никто не мог.

В 1734 году ирландский философ и епископ Джордж Беркли выпустил памфлет «Аналитик», адресованный «неверующему математику» (принято считать, что имелся в виду Эдмунд Галлей). Беркли бил точно в наше место. Сначала приращение считают не нулём, иначе на него нельзя делить. Потом его считают нулём и отбрасывают слагаемое $5h$. Одно из двух: либо $h$ ноль, либо нет, а тут оно побывало и тем и другим в одном рассуждении. Дальше следует знаменитое место:

А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Это не конечные величины, не бесконечно малые и не ничто. Не назвать ли их призраками исчезнувших величин?

Беркли не спорил с ответами Ньютона, он спорил с тем, что они доказаны, — и был прав. Ответ на его возражение нашли только в XIX веке, и он неожиданный: $h$ никогда не приравнивают нулю. Вместо этого доказывают, что $10 + 5h$ отличается от $10$ сколь угодно мало, если только $h$ достаточно мало. А слова «сколь угодно» и «достаточно» превращают в ходы игры.

В игре двое. Первый — мы: утверждаем, что величина стремится к какому-то числу. Второй — противник, который ничему не верит на слово. Назовём его Скептиком, в честь Беркли. Каждая партия устроена одинаково: Скептик говорит, какой точности он требует, а мы показываем, где эта точность достигается. Выиграть у Скептика при любом его ходе — это и значит доказать.

Правила игры

Первые партии сыграем на последовательностях из главы 13: там время отмеряют номера $n = 1, 2, 3, \dots$ Возьмём последовательность $a_n = \frac{n + 1}{n}$, её члены — $2$; $1{,}5$; $1{,}333\ldots$; $1{,}25$; $1{,}2$; …

Мы утверждаем, что она стремится к единице. Скептик: «Насколько близко? Вот допуск $\varepsilon = 0{,}01$. Покажите, начиная с какого места члены отличаются от единицы меньше чем на него». Считаем: $a_n - 1 = \frac1n$, и $\frac1n < 0{,}01$ при $n > 100$. Отвечаем: «После сотого члена — все». Первые сто членов в полосу не попадают, но они и не обязаны: игра про то, что происходит дальше. Скептик сужает допуск до $0{,}0001$ — мы отвечаем «после десятитысячного». На любой допуск $\varepsilon$ у нас готов ответ: номер $N$, не меньший $\frac1\varepsilon$. Скептик проиграл, причём сразу во всех партиях.

В 1821 году Огюстен Луи Коши в «Курсе анализа», написанном для Политехнической школы, определил предел словами: если значения переменной неограниченно приближаются к фиксированному числу, так что в конце концов отличаются от него сколь угодно мало, это число называют пределом. Игра превращает каждое слово этой фразы в ход.

Ход Скептика: «для любого $\varepsilon > 0$». Он называет допуск — сколь угодно маленький, но положительный. Значок $\forall$ читают «для любого». Наш ответ: «найдётся $N$» (значок $\exists$). Номер выбираем, уже услышав $\varepsilon$, поэтому он может от $\varepsilon$ зависеть. «При всех $n > N$»: отвечаем за весь хвост последовательности, а не за один удачный член. Первые $N$ членов могут вести себя как угодно. Член лежит в полосе шириной $2\varepsilon$ вокруг $a$: отличается от $a$ меньше чем на $\varepsilon$. Пример: для $a_n = \frac{n+1}{n}$ и $\varepsilon = 0{,}01$ годится $N = 100$: при $n > 100$ имеем $|a_n - 1| = \frac1n < \frac1{100}$. Годится и любой номер больше ста.

За ответом «$N$ не меньше $\frac1\varepsilon$» прячется свойство чисел, которое кажется очевидным: какое бы положительное число ни назвали, найдётся натуральное число больше него. Хватит взять целую часть его десятичной записи и прибавить единицу. Это свойство называют аксиомой Архимеда: у Архимеда оно было аксиомой о длинах — отрезок, даже самый короткий, отложенный достаточно много раз, превзойдёт любой данный. Из него следует самый простой и самый нужный предел: $\frac1n \to 0$. Действительно, если $N \ge \frac1\varepsilon$, то при $n > N$ получаем $\frac1n < \frac1N \le \varepsilon$.

Последовательность $a_n = 3 - \frac2n$ стремится к $3$. Скептик называет $\varepsilon = 0{,}01$. Какое наименьшее $N$ можно ему ответить?

$|a_n - 3| = \frac2n$, и $\frac2n < 0{,}01$ ровно тогда, когда $n > 200$. Значит, $N = 200$: после двухсотого члена все остальные в полосе, а сам двухсотый, $a_{200} = 2{,}99$, лежит точно на её краю и в полосу не входит — но от него этого и не требуется. Любое $N$ больше двухсот тоже годится.

Не каждую последовательность удаётся довести до числа. Возьмём $(-1)^n$: $-1;\ 1;\ -1;\ 1;\ \dots$ Кто бы ни объявил её предел равным какому-то $a$, Скептик отвечает допуском $\varepsilon = 1$. Полоса $(a - 1;\ a + 1)$ имеет ширину $2$, и два числа на расстоянии $2$ друг от друга могли бы в неё попасть разве что на самые края, а края в полосу не входят. Числа $-1$ и $1$ встречаются в хвосте после любого $N$, и хотя бы одно из них окажется вне полосы. Здесь выигрывает Скептик.

Вот и разгадка призраков Беркли. Числа, которое меньше всех положительных и всё же не ноль, среди действительных чисел нет: если $x > 0$, то $\frac x2$ — положительное число поменьше. Бесконечно малая — процесс: величина, которая со временем становится меньше любого допуска. Последовательность $\frac1n$ бесконечно малая, а каждый её член — самое обычное положительное число.

Прежде чем играть дальше, Скептик вправе спросить: а не может ли одна последовательность стремиться сразу к двум разным числам? Тогда запись $\lim a_n = a$ ничего бы не значила.

Хитрость в том, чтобы выбрать допуск, при котором полосы вокруг двух «пределов» не пересекаются.

Пусть последовательность стремится и к $a$, и к $b$, причём $a \ne b$. Члены последовательности отложены точками над своими номерами. Сыграем за Скептика и назовём допуск $\varepsilon = \frac{|a - b|}{2}$ — половину расстояния между $a$ и $b$. Раз $a_n \to a$, найдётся номер $N_1$, после которого все члены лежат в полосе $(a - \varepsilon;\ a + \varepsilon)$. Раз $a_n \to b$, для того же допуска найдётся номер $N_2$, после которого все члены лежат в полосе $(b - \varepsilon;\ b + \varepsilon)$. Полосы не пересекаются. Каждая простирается от своего центра на половину расстояния между $a$ и $b$, так что они сходятся только в середине отрезка между $a$ и $b$, а эта точка не принадлежит ни одной из них: края в полосы не входят. Возьмём номер $n$, больший и $N_1$, и $N_2$. Член $a_n$ обязан лежать в обеих полосах сразу, а общих точек у них нет. Противоречие: предел может быть только один.

Проверим интуицию на последовательности, где она часто подводит.

К чему стремится $\left(1 + \frac1n\right)^n$?

К $1$: ведь $1 + \frac1n \to 1$, а единица в любой степени — единица К бесконечности: показатель растёт без предела К числу около $2{,}718$ К $2$

Члены такие: $2$; $2{,}25$; $2{,}370$; при $n = 10$ уже $2{,}5937$; при $n = 100$ — $2{,}7048$; при $n = 1000$ — $2{,}7169$. Они растут, но всё медленнее, и подбираются к числу $e = 2{,}71828\ldots$, одному из главных чисел математики. Почему предел существует и где ещё это число прячется — в банке, в распаде атомов, в задаче о шляпах, — рассказывает глава о числе $e$.

Старый долг: кролики Фибоначчи

В главе 13 мы видели, что отношения соседних чисел Фибоначчи $1;\ 2;\ 1{,}5;\ 1{,}667;\ 1{,}6;\ 1{,}625;\ \dots$ колеблются вокруг золотого сечения $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2} \approx 1{,}618$. Там удалось доказать половину: если предел у отношений есть, он равен $\varphi$. Что он есть, осталось в долг. Теперь у нас есть язык, чтобы сказать это точно, и игра, чтобы это выиграть.

Оценка щедрая: на деле $r_{10} = \frac{89}{55} = 1{,}61818\ldots$ отличается от $\varphi$ всего на $0{,}00015$, а оценка обещает меньше $0{,}0082$. Но для победы щедрость не помеха: в игре не нужно называть лучший номер, достаточно назвать хоть какой-нибудь.

Заодно вернём долг главы 12. Там говорилось, что степени $2^{1{,}4} \approx 2{,}639$, $2^{1{,}41} \approx 2{,}657$, $2^{1{,}414} \approx 2{,}6647$ «подбираются» к числу $2^{\sqrt2} = 2{,}66514\ldots$ Теперь это можно сказать точно: для любого $\varepsilon$ найдётся номер, после которого все степени с показателями из десятичных приближений $\sqrt2$ отличаются от $2^{\sqrt2}$ меньше чем на $\varepsilon$. Почему у такой последовательности вообще есть предел — она растёт и не превосходит $2^{1{,}5}$, — доказывают в главе 53.

Игра на графике

Вернёмся к камню. Там $h$ подходит к нулю плавно, без всяких номеров, и правила приходится немного поменять. Скептик по-прежнему называет допуск $\varepsilon$ — полосу вокруг числа $10$ на оси скоростей. Отвечать же придётся окошком вокруг нуля на оси времени: числом $\delta > 0$, таким, что при любом $h$ из окошка $(-\delta;\ \delta)$, кроме самого нуля, средняя скорость лежит в полосе.

Отклонение средней скорости от десяти равно $|10 + 5h - 10| = 5|h|$. Оно меньше $\varepsilon$, когда $|h| < \frac\varepsilon5$, и мы отвечаем $\delta = \frac\varepsilon5$. Скептик требует точности $0{,}01$ м/с — берём отрезки времени короче $0{,}002$ с. Требует $0{,}000\,001$ — короче $0{,}000\,000\,2$ с. На каждый ход есть ответ, и скорость камня через секунду после старта равна $10$ м/с. Ни в одном месте мы не приравнивали $h$ нулю: ноль из окошка выколот. Призраки не понадобились.

Скептик называет допуск: полосу шириной $2\varepsilon$ вокруг $L$ по вертикали. Мы отвечаем окошком шириной $2\delta$ вокруг $a$ по горизонтали; $\delta$ может зависеть от $\varepsilon$. Все $x$ из окошка, кроме самой точки $a$. Неравенство $0 < |x - a|$ её выкалывает: что происходит в точке $a$, пределу безразлично. Значение функции лежит в полосе. На картинке: кусок графика над окошком целиком помещается в полосу. Пример: камень, $v(h) = \frac{5(1 + h)^2 - 5}{h}$, $a = 0$, $L = 10$. На $\varepsilon = 0{,}1$ отвечаем $\delta = 0{,}02$: при $0 < |h| < 0{,}02$ имеем $|v(h) - 10| = 5|h| < 0{,}1$.

Такую запись, со значками $\varepsilon$ и $\delta$ и строгим порядком «для любого… найдётся…», ввёл в обиход Карл Вейерштрасс на своих берлинских лекциях 1860-х годов; в печать она попала во многом через его учеников. С тех пор с неё начинается любой университетский курс анализа.

Бывает, что соседи слева и справа ведут себя по-разному. Функция $\operatorname{sgn} x$ («знак $x$») равна $-1$ при отрицательных $x$, $1$ при положительных и $0$ в нуле. Какое бы $L$ мы ни назвали, Скептик скажет «$\varepsilon = 1$»: в любом окошке вокруг нуля есть и значения $-1$, и значения $1$, а в одну полосу шириной $2$ они вместе не влезут — ровно как у $(-1)^n$. Предела в нуле нет. Но если смотреть только на правых соседей, все они равны единице.

У знака $\lim\limits_{x \to 0+0} \operatorname{sgn} x = 1$, а $\lim\limits_{x \to 0-0} \operatorname{sgn} x = -1$: односторонние пределы есть, но разные, поэтому общего нет.

Играть можно не только вокруг чисел. Запись $\lim\limits_{x \to 0+0} \frac1x = +\infty$ означает партию, в которой Скептик называет высоту $M$, а мы должны найти окошко справа от нуля, где функция выше $M$: годится $\delta = \frac1M$. А запись $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac1x = 0$ означает партию, где вместо окошка вокруг точки мы указываем луч $x > R$, на котором $\frac1x$ попадает в полосу $(-\varepsilon;\ \varepsilon)$: годится $R = \frac1\varepsilon$. Меняется форма ходов, смысл игры остаётся прежним: на любой вызов Скептика у нас есть ответ.

Найдите $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$.

В точке $3$ дробь не определена, но предел — о соседях. При $x \ne 3$ числитель раскладывается: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$, и дробь равна $x + 3$. Значения рядом с тройкой близки к $6$: на допуск $\varepsilon$ годится $\delta = \varepsilon$, ведь $|(x + 3) - 6| = |x - 3|$. Ответ: $6$.

Выигрышные стратегии

Играть каждую партию с нуля утомительно. Шахматисты помнят дебюты, а у нас будут стратегии, которые выигрывают сразу целые классы партий. Главная из них собирает сложные пределы из простых.

Идея: разделить допуск Скептика пополам и половину отдать $f$, половину — $g$.

Скептик называет допуск $\varepsilon$ для суммы. Отклонение суммы $f(x) + g(x)$ от $A + B$ складывается из двух отклонений: $\bigl(f(x) - A\bigr) + \bigl(g(x) - B\bigr)$. Сыграем партию с $f$, назначив самим себе допуск $\frac\varepsilon2$. Раз $f(x) \to A$, найдётся $\delta_1$: при $0 < |x - a| < \delta_1$ значение $f(x)$ отличается от $A$ меньше чем на $\frac\varepsilon2$. Так же с $g$: найдётся $\delta_2$, при котором $g(x)$ отличается от $B$ меньше чем на $\frac\varepsilon2$. Возьмём $\delta = \min(\delta_1,\ \delta_2)$ — в этом окошке выполнены оба условия. Отклонение суммы — две стрелки, приставленные друг к другу, каждая короче $\frac\varepsilon2$. Вместе они не длиннее суммы своих длин, а значит, короче $\varepsilon$: $|(f - A) + (g - B)| \le |f - A| + |g - B| < \frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2 = \varepsilon$. На любой допуск $\varepsilon$ мы ответили окошком $\delta$, значит, $f(x) + g(x) \to A + B$. Для последовательностей вместо меньшего из окошек берут больший из номеров, $N = \max(N_1,\ N_2)$.

Из этой теоремы и двух простейших пределов — $\lim\limits_{x \to a} c = c$ для постоянной и $\lim\limits_{x \to a} x = a$ (на допуск $\varepsilon$ годится $\delta = \varepsilon$) — собирается очень многое. Многочлен строится из иксов и чисел сложениями и умножениями, поэтому его предел в любой точке равен его значению: $\lim\limits_{x \to 2} (x^3 - 4x + 1) = 8 - 8 + 1 = 1$. С дробью из многочленов так же, если знаменатель в точке не обращается в ноль.

Когда обращается, правило о частном молчит: запись $\frac00$ о пределе ничего не говорит, она лишь сигналит, что нужна другая стратегия. Первая — сократить общий множитель, как с $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$. Сокращать законно, потому что предел не смотрит на саму точку, а рядом с ней множитель не равен нулю. Вторая стратегия — на бесконечности разделить числитель и знаменатель на старшую степень:

$$\frac{2x^2 + 1}{5x^2 - x} = \frac{2 + \frac{1}{x^2}}{5 - \frac1x} \to \frac{2 + 0}{5 - 0} = \frac25 \qquad (x \to \infty).$$

Найдите $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(x + 1)(2x - 3)}{4x^2 + x}$.

Раскроем скобки: в числителе $2x^2 - x - 3$. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$: $\frac{2 - \frac1x - \frac3{x^2}}{4 + \frac1x} \to \frac24 = \frac12$. Главные слагаемые решают всё: на бесконечности дробь ведёт себя как $\frac{2x^2}{4x^2}$.

Если попался предел, который не поддаётся, решатель пределов разберёт его по шагам и объяснит, какая стратегия сработала.

Под микроскопом: синус и дуга

Самый знаменитый предел школьного анализа нашим стратегиям не поддаётся:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}.$$

И числитель, и знаменатель стремятся к нулю, а сократить нечего: синус — не многочлен, множителя $x$ в нём не видно. Посчитаем (углы — в радианах):

Похоже на единицу. Чтобы понять почему, посмотрим на график в микроскоп.

На окружности видно, откуда берётся единица: при малом угле дуга почти не отличается от полухорды. Чтобы превратить это «почти» в доказательство, нужна ещё одна стратегия. Если величину зажали с двух сторон две другие и обе стремятся к одному числу, деваться ей некуда.

Шутливое название пришло из студенческого фольклора: два милиционера ведут под руки задержанного, и куда придут они, туда придёт и он. Теперь её иногда зовут теоремой о двух полицейских, а в учебниках — теоремой о пределе промежуточной функции.

Если Скептик проиграл обоим милиционерам, задержанный проиграет вместе с ними.

Снизу график $g$, сверху $h$, между ними $f$. Скептик называет допуск $\varepsilon$ — полосу вокруг $L$. Раз $g(x) \to L$, найдётся окошко $\delta_1$, в котором $|g(x) - L| < \varepsilon$, в частности $g(x) > L - \varepsilon$: нижний милиционер не опускается ниже полосы. Раз $h(x) \to L$, найдётся окошко $\delta_2$, в котором $h(x) < L + \varepsilon$: верхний не поднимается выше полосы. В меньшем окошке, $\delta = \min(\delta_1,\ \delta_2)$, верны оба условия, и $L - \varepsilon < g(x) \le f(x) \le h(x) < L + \varepsilon$. График $f$ над окошком целиком в полосе. На любой допуск нашлось окошко, значит, $f(x) \to L$.

Идея: вложить друг в друга три фигуры, площади которых выражаются через $\sin x$, $x$ и $\operatorname{tg} x$, и зажать дробь между двумя милиционерами.

Возьмём $0 < x < \frac\pi2$ и отложим угол $x$ от радиуса $OA$ единичной окружности; второй его стороной будет радиус $OB$. Касательная к окружности в точке $A$ пересекает луч $OB$ в точке $T$. Треугольник $OAB$: основание $OA = 1$, высота из $B$ равна $\sin x$. Его площадь $\frac12 \sin x$. Сектор $OAB$. Площадь сектора пропорциональна его углу: весь круг радиуса $1$ с углом $2\pi$ имеет площадь $\pi$ (глава 19), поэтому сектор с углом $x$ имеет площадь $\frac x2$. Треугольник $OAT$: касательная перпендикулярна радиусу, так что он прямоугольный, с катетами $OA = 1$ и $AT = \operatorname{tg} x$. Площадь $\frac12 \operatorname{tg} x$. Треугольник $OAB$ лежит внутри сектора, сектор — внутри треугольника $OAT$, поэтому $\frac12\sin x < \frac x2 < \frac12\operatorname{tg} x$, то есть $\sin x < x < \operatorname{tg} x$. Разделим на положительное $\sin x$: $1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$, и перевернём дроби: $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$. При отрицательных $x$ то же самое, потому что $\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{\sin x}{x}$ и $\cos(-x) = \cos x$. Верхний милиционер — постоянная $1$. Нижний, $\cos x$, тоже стремится к единице. По формуле косинуса двойного угла, которая следует из формулы сложения (глава 21), $\cos x = 1 - 2\sin^2\frac x2$, а только что полученное неравенство $|\sin t| < |t|$ даёт $0 \le 1 - \cos x < 2\left(\frac x2\right)^2 = \frac{x^2}2$. Значит, $1 - \frac{x^2}{2} < \cos x \le 1$, и по той же теореме $\cos x \to 1$. Дробь $\frac{\sin x}{x}$ зажата между $\cos x$ и $1$, и оба милиционера стремятся к единице. По теореме о двух милиционерах $\frac{\sin x}{x} \to 1$. Полухорда: высота точки $B$ единичной окружности над радиусом $OA$. Дуга $AB$ той же окружности — угол в радианах. При малых углах полухорда и дуга почти одинаковы: $\sin x \approx x$. Пример: $\sin 0{,}1 = 0{,}099\,833\ldots$, отношение $0{,}998\,33$. Маятник, отклонённый на $10^\circ \approx 0{,}1745$ радиана: $\sin 0{,}1745 \approx 0{,}1736$, и замена синуса углом ошибается всего на полпроцента. Поэтому формулы для колебаний маятника с небольшим размахом такие простые.

Нет ли здесь порочного круга?

Иногда говорят, что это доказательство ходит по кругу: площадь круга будто бы выводят из того самого предела, который мы доказываем. Это не так. Площадь круга находил ещё Архимед — методом исчерпывания, вписывая и описывая многоугольники, без всякого синуса (глава 19). Радианная мера тоже определяется без предела: угол измеряют длиной дуги единичной окружности. Слабое место в другом: чтобы говорить о длине дуги и площади сектора совсем строго, самих этих понятий надо дать точные определения. Их дают через пределы и интегралы (глава 28), а синус можно определить рядом (глава 30). Ни одно из этих определений не опирается на первый замечательный предел.

А если мерить угол в градусах? Чему равен $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x^\circ}{x}$?

$1$ $\frac{\pi}{180} \approx 0{,}0175$ $\frac{180}{\pi} \approx 57{,}3$ Предела нет

$x$ градусов — это $t = \frac{\pi x}{180}$ радиан, поэтому $\frac{\sin x^\circ}{x} = \frac{\pi}{180} \cdot \frac{\sin t}{t}$, а $t \to 0$ вместе с $x$. Предел равен $\frac{\pi}{180} \approx 0{,}0175$. Вот почему в анализе углы мерят в радианах: только в них предел равен единице, а производная синуса, как мы увидим в следующей главе, равна косинусу без лишнего множителя.

Найдите $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{2x}$.

Сделаем знаменатель таким же, как аргумент синуса: $\frac{\sin 3x}{2x} = \frac32 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}$. Когда $x \to 0$, и $t = 3x \to 0$, а $\frac{\sin t}{t} \to 1$. Ответ: $\frac32$. Проверка числом: при $x = 0{,}001$ дробь равна $1{,}499\,997\,75\ldots$

Галерея разрывов

У большинства функций, с которыми мы имели дело, предел в точке просто равен значению: подставил — получил. Это свойство и называют непрерывностью.

Предел существует: соседи точки $a$ договорились, куда идти. Значение в самой точке существует и совпадает с тем, куда идут соседи. Пример: $f(x) = x^2$ в точке $3$. Предел равен $9$ по арифметике пределов, значение тоже $9$ — функция непрерывна. А $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ в точке $3$ не определена, и непрерывной там её не назовёшь, хотя предел есть.

По арифметике пределов многочлены непрерывны всюду, а дроби из них — везде, где не обнуляется знаменатель. Синус тоже непрерывен. Неравенство $|\sin t| \le |t|$ верно при всех $t$: при $|t| < \frac\pi2$ мы его только что доказали, а при $|t| \ge \frac\pi2$ оно следует из $|\sin t| \le 1 < \frac\pi2$. Отсюда и $1 - \cos t = 2\sin^2\frac t2 \le \frac{t^2}{2}$ при всех $t$. По формуле сложения $\sin(a + h) - \sin a = \sin a\,(\cos h - 1) + \cos a \sin h$, поэтому $|\sin(a + h) - \sin a| \le \frac{h^2}{2} + |h|$. При $|h| \le 1$ это не больше $\frac32|h|$, и на допуск $\varepsilon$ годится $\delta = \min\left(1;\ \frac\varepsilon2\right)$. Непрерывны и другие функции, которые встречались в курсе, — корни, показательные функции, логарифмы — на своих областях определения; доказательства — в главах 29 и 53.

На графике непрерывность видна сразу: его можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Там, где карандаш приходится отрывать, живут разрывы.

Разрывы встречаются не только в учебниках. Стоимость отправки письма растёт с его весом ступеньками: письмо, которое чуть тяжелее границы тарифа, стоит заметно дороже. Функция $\frac1x$ у нуля уходит в бесконечность. А $\sin\frac1x$ у нуля колеблется всё быстрее: на любом, даже крошечном, отрезке справа от нуля она бесконечно много раз пробегает все значения от $-1$ до $1$, и никакой её предел не выдерживает партии со Скептиком.

Самый поучительный экспонат — $x \sin\frac1x$. Он тоже колеблется бесконечно часто, но размах колебаний сжимается: $-|x| \le x\sin\frac1x \le |x|$. Милиционеры $-|x|$ и $|x|$ стремятся к нулю, и по теореме о двух милиционерах предел в нуле равен $0$. В самом нуле функция не определена, но разрыв устраним: положим $f(0) = 0$ и получим функцию, непрерывную всюду. Нарисовать её «не отрывая карандаша» не сумеет ни одна рука: у нуля график дрожит бесконечно много раз. Правило карандаша годится как подсказка, а определением остаётся предел.

Корень, которого не спрятать

Непрерывные функции умеют то, чего от них интуитивно ждёшь: если в одном месте функция отрицательна, а в другом положительна, где-то между ними она обращается в ноль. Температура, которая за ночь упала с плюс пяти до минус трёх, в какой-то момент была ровно нулевой. Звучит как очевидность, и долго это так и считалось. В 1817 году пражский священник и математик Бернард Больцано напечатал «чисто аналитическое доказательство» этого факта: он понял, что картинка здесь ничего не доказывает и опираться придётся на свойства самих чисел. В 1821 году своё доказательство привёл в «Курсе анализа» Коши.

Почему дело в числах, видно на примере. Функция $f(x) = x^2 - 2$ на отрезке $[1;\ 2]$ непрерывна, $f(1) = -1 < 0$, $f(2) = 2 > 0$. Если бы на прямой были только дроби, корня бы не нашлось: $\sqrt2$ — не дробь (глава 6). График проскочил бы ось через дырку. Теорема держится на том, что у действительных чисел дырок нет, и это свойство надо записать явно.

В главе 6 это свойство уже мелькало: каждая новая цифра десятичной записи сужает окошко вдесятеро, и действительное число — то, что остаётся, когда окошки сжимаются бесконечно. Для дробей принцип неверен: отрезки $[1;\ 2]$, $[1{,}4;\ 1{,}5]$, $[1{,}41;\ 1{,}42]$, … вокруг $\sqrt2$ вложены друг в друга, а общей дроби у них нет. Мы принимаем этот принцип как аксиому — это одна из форм свойства, которое называют полнотой действительных чисел. В главе 53 его выведут из строгого построения $\mathbb R$.

Будем делить отрезок пополам, каждый раз оставляя ту половину, на концах которой знаки по-прежнему разные.

Пусть для определённости $f(a) < 0 < f(b)$. Обозначим $[a_0;\ b_0] = [a;\ b]$. Возьмём середину $m$. Если $f(m) = 0$, корень найден. Если $f(m) > 0$, оставим левую половину $[a;\ m]$, если $f(m) < 0$ — правую $[m;\ b]$. В обоих случаях на левом конце оставшегося отрезка $f$ отрицательна, на правом положительна. Повторяем то же самое снова и снова (если корень не попался раньше). Получаются вложенные отрезки $[a_n;\ b_n]$ длины $\frac{b - a}{2^n}$, и на каждом $f(a_n) < 0 < f(b_n)$. По принципу вложенных отрезков у них есть общая точка $c$. Покажем, что $f(c) = 0$. Допустим, $f(c) < 0$. Сыграем против непрерывности с допуском $\varepsilon = |f(c)|$: найдётся окошко $(c - \delta;\ c + \delta)$, в котором $f(x)$ отличается от $f(c)$ меньше чем на $|f(c)|$ и потому отрицательна. Но при большом $n$ длина $\frac{b - a}{2^n}$ меньше $\delta$, и отрезок $[a_n;\ b_n]$, содержащий $c$, целиком лежит в окошке. Тогда $f(b_n) < 0$, а мы знаем, что $f(b_n) > 0$. Противоречие. Так же невозможно $f(c) > 0$: тогда $f$ положительна в окошке вокруг $c$, и для больших $n$ получилось бы $f(a_n) > 0$. Остаётся $f(c) = 0$: корень существует. Доказательство заодно подсказывает, как его искать.

Отсюда и название теоремы. Применим её к функции $f(x) - C$: если непрерывная функция принимает значения $f(a)$ и $f(b)$, то она принимает и любое промежуточное значение $C$ между ними.

Способ из доказательства называют делением пополам, или бисекцией. Он медленный, но надёжный: каждый шаг добавляет один верный двоичный знак, десять шагов сужают отрезок в $2^{10} = 1024$ раза. Многие программы, которые ищут корни, подстраховывают им хитрые быстрые методы: там, где хитрый метод может промахнуться, деление пополам не промахнётся.

Против хитрого Скептика лучше деления пополам не сыграть. Он вообще не обязан загадывать функцию заранее: ему достаточно, чтобы ответы не противоречили друг другу. После каждого вопроса он оставляет корень в той части отрезка, которая длиннее, а длиннее половины она всегда, если вы спросили не ровно в середине. Поэтому за $k$ вопросов отрезок не удаётся сузить больше чем в $2^k$ раз, и для точности $0{,}001$ на отрезке длины $1$ нужно десять вопросов: $2^9 = 512 < 1000 < 1024 = 2^{10}$.

Теорема о промежуточном значении возвращает ещё один долг — главы 14.

Это и обещала глава о многочленах: график кубического многочлена может пересечь ось в одной, двух или трёх точках, но проскочить мимо неё не может.

Тренировка

Партии со Скептиком нужны, чтобы доказать правила. Считать пределы по этим правилам — отдельное ремесло, и его набивают руками. В тренажёре три уровня: подстановка и сокращение дробей, пределы на бесконечности и пределы, которые сводятся к первому замечательному.

Разбор любого своего предела по шагам — в решателе, все тренажёры курса — на странице практики.

Куда дальше

Мы начали с камня: средняя скорость на отрезке времени $[1;\ 1 + h]$ равна $10 + 5h$, а её предел при $h \to 0$ — это скорость через секунду после старта, $10$ м/с. Тот же ход годится для любого движения и любой функции. Средняя скорость изменения $f$ на отрезке от $x$ до $x + h$ равна $\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$, и её предел при $h \to 0$ отвечает на вопрос, с которого началась глава: как быстро величина меняется в данное мгновение. На графике тот же предел — наклон касательной, и у параболы, и у $y = x^3$, и у синусоиды, без всяких зеркал. У этого предела есть имя: производная. Её показывает стрелка спидометра, и считать её помогают несколько правил — партии со Скептиком для этого не понадобятся. Откуда берутся эти правила и что на самом деле показывает спидометр — глава 26.