Частные производные и градиент
Частные производные функций двух переменных, градиент в точке, уравнение касательной плоскости и стационарные точки.
Как решать
Частная производная по $x$ — обычная производная, в которой $y$ считают постоянным числом. Две частные производные вместе образуют градиент — вектор, который показывает направление самого быстрого роста функции.
По шагам
- $\frac{\partial f}{\partial x}$: дифференцируйте по $x$, относясь к $y$ как к числу. Слагаемые без $x$ дают ноль.
- Градиент в точке: найдите обе частные производные и подставьте координаты.
- Касательная плоскость в точке $(x_0;\ y_0)$: $z = f(x_0, y_0) + f_x(x - x_0) + f_y(y - y_0)$.
- Стационарная точка: обе частные производные равны нулю — решите систему.
Где ошибаются
- Дифференцируют $y$ по $x$ как переменную: при $\frac{\partial}{\partial x}$ слагаемое $y^2$ даёт $0$, а $4xy$ даёт $4y$.
- Забывают цепное правило: $\frac{\partial}{\partial x}\sin(2x - y) = 2\cos(2x - y)$.
- В касательной плоскости подставляют производные до подстановки точки — нужны числа, а не выражения.
- Решают систему для стационарной точки, приравняв к нулю только одну производную.