Часть I · Числа Глава 6 из 60
Корень из двух и действительные числа
Дело о диагонали квадрата: три независимые экспертизы доказывают, что её длину нельзя записать дробью. Разбираемся, как с этим жили вавилоняне, что такое цепные дроби и откуда берутся действительные числа.
Опирается на: 5 · Дроби
Вы научитесь
- доказывать, что √2 и вообще √k, если k — не точный квадрат, иррациональны
- вычислять корни вавилонским способом и раскладывать числа в цепные дроби
- объяснять, что такое действительные числа и чем алгебраические числа отличаются от трансцендентных
В конце прошлой главы мы оставили открытым дело: у диагонали квадрата со стороной $1$ длина $d$ такая, что $d^2 = 2$, но дерево Штерна — Броко, в котором есть все дроби до единой, не может её найти. Путь к ней уходит вниз без конца: $\frac32$, $\frac75$, $\frac{17}{12}$, $\frac{41}{29}$ — всё ближе и ни разу точно.
Подозрение серьёзное: похоже, существует длина, которую нельзя записать дробью. Для древних греков это было почти преступлением против здравого смысла. Пифагорейцы учили, что «всё есть число», а под числом понимали целые числа и их отношения. В этой главе мы проведём расследование по всем правилам: изучим улику, проведём три независимые экспертизы, выслушаем свидетелей — и вынесем приговор, после которого числовая прямая уже не будет прежней.
Улика: диагональ квадрата
Самый старый протокол осмотра — диалог Платона «Менон». Сократ рисует на песке квадрат и просит мальчика-раба построить квадрат вдвое большей площади. Мальчик сначала удваивает сторону — и получает квадрат вчетверо больше. Потом пробует сторону в полтора раза длиннее — снова мимо. Тогда Сократ проводит в квадрате диагональ и строит квадрат на ней. Этот новый квадрат складывается из четырёх половинок исходного, то есть его площадь ровно вдвое больше.
Для квадрата со стороной $1$ это значит: квадрат на диагонали имеет площадь $2$, так что длина диагонали — число $d$ с $d^2 = 2$. Теорема Пифагора (глава 18) даёт то же самое, но нам она даже не понадобилась. Это число обозначают $\sqrt2$.
Попробуем подобрать дробь $\frac mn$ с $m^2 = 2n^2$. Вот лучшие кандидаты с небольшими знаменателями:
| $\frac mn$ | $\frac32$ | $\frac75$ | $\frac{17}{12}$ | $\frac{41}{29}$ | $\frac{99}{70}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $m^2$ | 9 | 49 | 289 | 1681 | 9801 |
| $2n^2$ | 8 | 50 | 288 | 1682 | 9800 |
Промах каждый раз ровно на единицу — то в одну, то в другую сторону. Заметна и закономерность: следующая дробь получается из предыдущей по правилу $\frac mn \to \frac{m + 2n}{m + n}$. Например, из $\frac75$ выходит $\frac{7 + 10}{7 + 5} = \frac{17}{12}$.
Какая дробь идёт в этом ряду после $\frac{99}{70}$? Проверьте, насколько её квадрат близок к двум.
$\frac{99 + 2 \cdot 70}{99 + 70} = \frac{239}{169}$. Тогда $239^2 = 57\,121$, а $2 \cdot 169^2 = 57\,122$ — снова промах на единицу, а $\frac{239}{169} \approx 1{,}4142012$ отличается от $\sqrt2$ меньше чем на две стотысячных.
Подбор никогда не закончится удачей — это нужно доказать. Примеры здесь бессильны: сколько бы дробей мы ни проверили, остаётся бесконечно много непроверенных. Нужно рассуждение, которое закроет все дроби сразу.
Иррациональное число — число на числовой прямой (например, длина отрезка), которое нельзя записать дробью $\frac pq$ с целыми $p$ и $q$. Приставка «ир-» означает отрицание: не-рациональное, «не-отношение».
Первая экспертиза: чётность
Самое знаменитое доказательство построено по схеме, которой пользуются следователи: допустим, что подозреваемый невиновен, и посмотрим, к чему это приведёт. Если к нелепости — допущение было ложным.
Доказательство от противного: чтобы доказать утверждение, предполагаем, что оно неверно, и выводим из этого противоречие — что-то заведомо невозможное. Значит, неверно предположение, а утверждение истинно.
Не существует дроби $\frac mn$, квадрат которой равен $2$.
Идея: если бы такая дробь существовала, её можно было бы сократить до конца — а мы покажем, что и после этого числитель и знаменатель оба чётные.
Предположим, такая дробь есть. Сократим её до конца (глава 5): $\sqrt2 = \frac mn$, где у $m$ и $n$ нет общих делителей, кроме единицы. Возведём в квадрат: $m^2 = 2n^2$.
Справа стоит чётное число, значит, $m^2$ чётно. Тогда и $m$ чётно: квадрат нечётного числа нечётен, ведь $(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$. Запишем $m = 2k$. Получаем $4k^2 = 2n^2$, то есть $n^2 = 2k^2$. Теперь чётно $n^2$, а с ним и $n$.
Оба числа $m$ и $n$ чётные — у них есть общий делитель $2$. Но мы сократили дробь до конца! Противоречие: предположение неверно, и $\sqrt2$ — не дробь.
Вторая экспертиза: разложение на простые
Вторая экспертиза пользуется главным инструментом из главы о простых числах: любое натуральное число раскладывается на простые множители, и притом единственным образом.
Эта экспертиза сразу даёт гораздо больше, чем ответ про $\sqrt2$.
Если натуральное число $k$ не равно квадрату целого числа, то $\sqrt k$ иррационален. Иначе говоря, корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный: нецелой дробью он не бывает.
Идея: посмотреть, в каких степенях входят простые множители в обе части равенства $m^2 = k n^2$, — слева и справа они окажутся разной чётности.
Предположим противное: $\sqrt k = \frac mn$ с натуральными $m$ и $n$. Возведём в квадрат: $m^2 = k n^2$.
Разложим $m$ на простые множители: $m = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_s^{a_s}$. Тогда $m^2 = p_1^{2a_1} p_2^{2a_2} \cdots p_s^{2a_s}$ — в квадрате каждое простое входит в чётной степени. То же верно для $n^2$.
Если бы все простые входили в $k$ в чётных степенях, $k = q_1^{2c_1} \cdots q_t^{2c_t}$ было бы квадратом числа $q_1^{c_1} \cdots q_t^{c_t}$. По условию это не так, значит, какое-то простое $p$ входит в $k$ в нечётной степени $c$. В произведение $k n^2$ оно входит в степени $c + 2e$, где $2e$ — его степень в $n^2$; это число нечётно. А в $m^2$ степень того же $p$ чётна.
Выходит, у числа $m^2 = k n^2$ два разных разложения на простые множители: в одном $p$ стоит в чётной степени, в другом — в нечётной. Это противоречит основной теореме арифметики: разложение единственно. Значит, $\sqrt k$ — не дробь.
При $k = 2$ получается второе доказательство иррациональности $\sqrt2$: двойка входит в $m^2$ в чётной степени, а в $2n^2$ — в нечётной. И сразу видно, что $\sqrt3$, $\sqrt5$, $\sqrt6$, $\sqrt{10}$ иррациональны, а $\sqrt{49} = 7$.
Какое из этих чисел рациональное?
$0{,}09 = \frac{9}{100} = \left(\frac{3}{10}\right)^2$, поэтому $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$. Для дроби правило то же: корень из несократимой $\frac ab$ рационален, только если и $a$, и $b$ — точные квадраты.
Опознание стоит потренировать. Тренажёр показывает число, а вы решаете, рациональное оно или нет; на третьем уровне — формат экзамена: из четырёх чисел найдите единственное рациональное.
Третья экспертиза: спуск по квадратам
Третья экспертиза не считает ничего, кроме площадей. Её придумал американский логик Стэнли Тенненбаум в середине XX века, а известной её сделал Джон Конвей.
Идея: если $\sqrt2 = \frac mn$, то квадрат со стороной $m$ равен по площади двум квадратам со стороной $n$. Сложим эти квадраты в один чертёж — и из него сама собой получится такая же пара, только с меньшими числами. Доказательство держится на одном свойстве натуральных чисел.
Не бывает бесконечной убывающей цепочки натуральных чисел $m_1 > m_2 > m_3 > \dots$
Каждое следующее натуральное число в такой цепочке хотя бы на $1$ меньше предыдущего: $m_2 \le m_1 - 1$, $m_3 \le m_1 - 2$, и вообще $m_{j+1} \le m_1 - j$. При $j = m_1$ получилось бы $m_{j+1} \le 0$ — а натуральные числа положительны. Значит, цепочка обрывается не позже чем через $m_1$ шагов.
Теперь само доказательство — чертежом. Всё держится на одном равенстве площадей.
Идея: из пары $m$, $n$ с $m^2 = 2n^2$ чертёж сам делает такую же пару с меньшими числами — а бесконечно уменьшаться натуральные числа не могут.
Такой способ рассуждать называют методом бесконечного спуска; им много пользовался Пьер Ферма в XVII веке. А теперь проверим чертёж на живых числах: что будет, если взять почти верную дробь?
С почти верными дробями спуск честно останавливается, и видно почему. Раскроем скобки: $(2n - m)^2 - 2(m - n)^2 = 4n^2 - 4mn + m^2 - 2m^2 + 4mn - 2n^2 = 2n^2 - m^2$. Значит, если $m^2 - 2n^2 = \pm 1$, то у новой пары разность будет $\mp 1$: ошибка не исчезает, а сохраняется, пока числа не станут совсем маленькими — $\frac11$, где один квадрат явно не равен двум. У настоящего корня ошибка была бы нулём, и никакого дна не нашлось бы.
Заметьте: спуск — это ряд из таблицы в начале главы, прочитанный задом наперёд. Правило $\frac mn \to \frac{m + 2n}{m + n}$ ведёт вверх, к всё лучшим приближениям, правило $\frac mn \to \frac{2n - m}{m - n}$ — вниз.
Показания свидетелей
У греков открытие звучало иначе: не «это число — не дробь», а «у этих отрезков нет общей меры». В прошлой главе мы искали общую мерку для двух дробей и всегда её находили. Для стороны и диагонали квадрата её нет.
Два отрезка несоизмеримы, если нет отрезка, который укладывался бы целое число раз и в тот и в другой. Отношение длин несоизмеримых отрезков — иррациональное число.
Если бы у стороны и диагонали была общая мерка, сторона равнялась бы $n$ меркам, диагональ — $m$ меркам, и мы получили бы $\sqrt2 = \frac mn$. Алгоритм Евклида с прямоугольником из квадратов для таких отрезков никогда не заканчивается — к этому мы ещё вернёмся.
Настоящее последствие открытия менее драматично и гораздо важнее. Греческие математики разделили величины и числа: длины, площади и углы изучала геометрия, а «числом» оставалось только целое. Евдокс построил теорию отношений, которая работала и для несоизмеримых отрезков, и она вошла в пятую книгу «Начал» Евклида. Почти две тысячи лет после этого геометрия говорила о длинах, не называя их числами.
Как жили без ответа
За тысячу с лишним лет до греков вавилоняне знали $\sqrt2$ с поразительной точностью — и, судя по всему, ничуть не беспокоились о том, что она не дробь.
В Йельском университете хранится глиняная табличка YBC 7289, круглая, размером с ладонь; ей 3600–3800 лет. На ней нарисован квадрат с диагоналями. У стороны написано $30$, вдоль диагонали — числа, которые в шестидесятеричной записи (помните вавилонский зал из главы 1?) означают
$$1;24,51,10 = 1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} \approx 1{,}41421296,$$а под ней — $42;25,35$, длина диагонали при стороне $30$. Настоящее $\sqrt2 = 1{,}41421356\dots$: вавилонское значение ошибается меньше чем на одну миллионную. Если взять ленту длиной в километр, эта ошибка — меньше миллиметра.
Как вавилоняне получили такую точность, неизвестно. Есть простой способ, который часто называют вавилонским, хотя впервые записал его Герон Александрийский в I веке н. э. Идея геометрическая. Нужен квадрат площади $2$. Возьмём любой прямоугольник площади $2$: со сторонами $x$ и $\frac2x$. Если $x$ слишком велико, то $\frac2x$ слишком мало, и сторона нужного квадрата лежит между ними. Возьмём их среднее — получится прямоугольник, гораздо более похожий на квадрат.
Метод сходится очень быстро: число верных цифр на каждом шаге примерно удваивается — $1$, $3$, $6$, $12$, $24$. Вот почему.
Если $x_n > 0$, то $x_{n+1} - \sqrt2 = \dfrac{(x_n - \sqrt2)^2}{2x_n}$. Поэтому начиная с $x_1$ все приближения не меньше $\sqrt2$, а ошибка на каждом шаге примерно возводится в квадрат.
Идея: привести $x_{n+1} - \sqrt2$ к общему знаменателю и узнать в числителе полный квадрат.
По формуле $x_{n+1} = \frac12\left(x_n + \frac2{x_n}\right) = \frac{x_n^2 + 2}{2x_n}$. Вычтем $\sqrt2 = \frac{2\sqrt2\,x_n}{2x_n}$: получим $x_{n+1} - \sqrt2 = \frac{x_n^2 - 2\sqrt2\,x_n + 2}{2x_n}$. Так как $2 = (\sqrt2)^2$, числитель равен $x_n^2 - 2 \cdot \sqrt2 \cdot x_n + (\sqrt2)^2 = (x_n - \sqrt2)^2$ — квадрат разности. Это и есть формула.
Квадрат не бывает отрицательным, а $2x_n > 0$, поэтому $x_{n+1} \ge \sqrt2$ при любом $x_n > 0$. Если же $x_n$ уже близко к $\sqrt2$, знаменатель $2x_n \approx 2{,}8$, и новая ошибка примерно равна квадрату старой, делённому на $2{,}8$: ошибка $10^{-3}$ превращается примерно в $10^{-7}$, ошибка $10^{-6}$ — в $10^{-13}$.
Позже выяснится, что это частный случай метода Ньютона, которым сегодня вычисляют корни компьютеры и калькуляторы (глава 27).
Сделайте один шаг вавилонского метода для $\sqrt3$, начав с $x_0 = 2$.
$x_1 = \frac12\left(2 + \frac32\right) = \frac74 = 1{,}75$. Проверка: $1{,}75^2 = 3{,}0625$ — чуть больше трёх, как и должно быть. Настоящий $\sqrt3 \approx 1{,}732$.
Отпечатки пальцев: цепные дроби
Десятичная запись $\sqrt2 = 1{,}41421356\dots$ ничего не говорит о характере числа: цифры идут без видимого порядка. Есть запись, в которой характер виден сразу. Она растёт из алгоритма Евклида.
Вспомним прямоугольник из квадратов (глава 4). От прямоугольника $43 \times 30$ отрезаем $1$ квадрат $30 \times 30$, от остатка $30 \times 13$ — $2$ квадрата, от остатка $13 \times 4$ — $3$ квадрата, и последний остаток $4 \times 1$ делится ровно на $4$ квадрата. Числа $1, 2, 3, 4$ записывают так:
$$\frac{43}{30} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{4}}} = [1;\ 2,\ 3,\ 4].$$Цепная дробь — запись числа в виде $a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \dots}}$, где $a_0$ — целое, а $a_1, a_2, \dots$ — натуральные числа. Кратко пишут $[a_0;\ a_1,\ a_2,\ \dots]$, а сами числа $a_k$ называют звеньями (в учебниках — неполными частными: это частные из алгоритма Евклида).
Цепная дробь числа конечна тогда и только тогда, когда число рационально.
Идея: для дроби построение цепной дроби — это в точности алгоритм Евклида, а он всегда останавливается.
Пусть цепная дробь конечна: $x = [a_0;\ a_1,\ \dots,\ a_k]$. Посчитаем её с нижнего этажа. Последний этаж $a_k$ — целое число. Если этаж ниже равен дроби $\frac rs$, то этаж над ним равен $a + \frac1{r/s} = a + \frac sr = \frac{ar + s}{r}$ — снова дробь. Поднимаясь так до верха, получаем, что $x$ — дробь.
Обратно, пусть $x = \frac pq$. Первый шаг — деление с остатком: $p = a_0 q + r_1$, $0 \le r_1 < q$, и $x = a_0 + \frac{r_1}{q}$. Если $r_1 = 0$, мы закончили. Иначе следующее число — $\frac{q}{r_1}$, и мы снова делим с остатком: $q = a_1 r_1 + r_2$. Это шаги алгоритма Евклида (глава 4): остатки $q > r_1 > r_2 > \dots \ge 0$ — убывающие натуральные числа, и по принципу спуска они не могут убывать бесконечно, так что какой-то остаток станет нулём. На этом цепная дробь заканчивается.
Значит, у $\sqrt2$ разрезание не кончится никогда. Но в нём есть закономерность.
$\sqrt2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \dots}}} = [1;\ 2,\ 2,\ 2,\ \dots]$.
Идея: после первого шага остаток в точности повторяется.
Целая часть $\sqrt2$ равна $1$, потому что $1 < \sqrt2 < 2$ ($1^2 < 2 < 2^2$). Отрезаем один квадрат, остаток $\sqrt2 - 1$. Его обратное: $\frac1{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 + 1$, ведь $(\sqrt2 - 1)(\sqrt2 + 1) = (\sqrt2)^2 - 1 = 1$. Целая часть числа $\sqrt2 + 1$ равна $2$, и $\sqrt2 + 1 = 2 + (\sqrt2 - 1)$ — остаток тот же, что шагом раньше. Следующий шаг поэтому повторит этот, и следующий тоже: все звенья после первого равны $2$.
Если оборвать цепную дробь на каком-то звене, получится обычная дробь — её называют подходящей.
Подходящая дробь — значение цепной дроби, оборванной на $k$-м звене. Для $\sqrt2$ это $1$, $\frac32$, $\frac75$, $\frac{17}{12}$, $\frac{41}{29}$, … — те самые дроби, которые мы подбирали в начале главы.
Любое число можно приблизить дробью со знаменателем $q$ с ошибкой не больше $\frac1{2q}$: достаточно взять ближайшую из дробей $\frac0q, \frac1q, \frac2q, \dots$ Подходящие дроби делают это гораздо лучше.
Пусть $\frac{p_k}{q_k}$ и $\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}$ — две соседние подходящие дроби числа $x$. Тогда $x$ лежит между ними, и $\left|x - \frac{p_k}{q_k}\right| \le \frac1{q_k q_{k+1}} \le \frac1{q_k^2}$, причём начиная с $k = 1$ последнее неравенство строгое.
Доказательство
Идея: у соседних подходящих дробей то же свойство, что у соседей в дереве Штерна — Броко, а само $x$ — их «взвешенная медианта».
Формулы. Положим $p_{-1} = 1$, $q_{-1} = 0$, $p_0 = a_0$, $q_0 = 1$ и $p_k = a_k p_{k-1} + p_{k-2}$, $q_k = a_k q_{k-1} + q_{k-2}$. Докажем, что для любого положительного $t$ цепная дробь $[a_0;\ a_1,\ \dots,\ a_{k-1},\ t]$ равна $\frac{t p_{k-1} + p_{k-2}}{t q_{k-1} + q_{k-2}}$. При $k = 1$: $a_0 + \frac1t = \frac{t a_0 + 1}{t} = \frac{t p_0 + p_{-1}}{t q_0 + q_{-1}}$. Переход от $k$ к $k + 1$: дробь $[a_0;\ \dots,\ a_k,\ t]$ — это $[a_0;\ \dots,\ a_{k-1},\ a_k + \frac1t]$, и по предположению она равна $\frac{(a_k + \frac1t) p_{k-1} + p_{k-2}}{(a_k + \frac1t) q_{k-1} + q_{k-2}}$. Умножим числитель и знаменатель на $t$ и сгруппируем: $\frac{t(a_k p_{k-1} + p_{k-2}) + p_{k-1}}{t(a_k q_{k-1} + q_{k-2}) + q_{k-1}} = \frac{t p_k + p_{k-1}}{t q_k + q_{k-1}}$. При $t = a_k$ отсюда видно, что $\frac{p_k}{q_k}$ — и есть $k$-я подходящая дробь, а при $t = x_{k+1}$ (число, которое стоит на месте звена $a_{k+1}$ вместе со всем хвостом) — что $x = \frac{x_{k+1} p_k + p_{k-1}}{x_{k+1} q_k + q_{k-1}}$.
Соседи. Подставим формулы: $p_{k+1} q_k - p_k q_{k+1} = (a_{k+1} p_k + p_{k-1}) q_k - p_k (a_{k+1} q_k + q_{k-1}) = -(p_k q_{k-1} - p_{k-1} q_k)$. На каждом шаге выражение меняет только знак, а в начале $p_0 q_{-1} - p_{-1} q_0 = -1$. Значит, $|p_{k+1} q_k - p_k q_{k+1}| = 1$, и расстояние между соседними подходящими дробями равно $\frac{|p_{k+1} q_k - p_k q_{k+1}|}{q_k q_{k+1}} = \frac1{q_k q_{k+1}}$.
Где лежит $x$. По формуле выше $x = \frac{x_{k+2} p_{k+1} + p_k}{x_{k+2} q_{k+1} + q_k}$ — это медианта дробей $\frac{x_{k+2} p_{k+1}}{x_{k+2} q_{k+1}} = \frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}$ и $\frac{p_k}{q_k}$, а медианта лежит между ними (лемма о медианте из главы 5; её доказательство годится и для положительных нецелых чисел). Значит, $x$ отстоит от $\frac{p_k}{q_k}$ не дальше, чем соседняя подходящая дробь, то есть не больше чем на $\frac1{q_k q_{k+1}}$. Наконец, $q_{k+1} = a_{k+1} q_k + q_{k-1} > q_k$ при $k \ge 1$, поэтому $\frac1{q_k q_{k+1}} < \frac1{q_k^2}$. (При $k = 0$ и $a_1 = 1$ получается $q_1 = q_0 = 1$, и оценка нестрогая: $\le 1$.)
Из доказательства видно главное: чем больше следующее звено $a_{k+1}$, тем больше $q_{k+1}$ и тем точнее $\frac{p_k}{q_k}$. Цепная дробь числа $\pi$ начинается так: $[3;\ 7,\ 15,\ 1,\ 292,\ \dots]$. Оборвём её перед $292$:
$$\pi \approx 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac11}} = \frac{355}{113} = 3{,}14159292\dots$$Верны шесть знаков после запятой, а ошибка около $2{,}7 \cdot 10^{-7}$. Чтобы подойти к $\pi$ ближе, понадобится знаменатель не меньше $16\,604$. Эту дробь нашёл в V веке китайский астроном и математик Цзу Чунчжи и назвал её «точным отношением»; более грубое $\frac{22}7$ он называл «приближённым».
Какому числу равна цепная дробь $[2;\ 3,\ 4]$? Ответ — несократимая дробь.
Считаем с нижнего этажа: $3 + \frac14 = \frac{13}4$, затем $2 + \frac{4}{13} = \frac{30}{13}$. Проверка алгоритмом Евклида: $30 = 2 \cdot 13 + 4$, $13 = 3 \cdot 4 + 1$, $4 = 4 \cdot 1$ — звенья $2, 3, 4$.
По той же логике хуже всех приближается дробями число, у которого все звенья минимальны, то есть равны единице:
$$\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \dots}} = [1;\ 1,\ 1,\ \dots].$$Раз «хвост» после первой единицы — то же самое число, $\varphi = 1 + \frac1\varphi$, то есть $\varphi^2 = \varphi + 1$. Положительное решение этого уравнения — $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2 \approx 1{,}618$.
Золотое сечение — число $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2 \approx 1{,}618$, для которого $\varphi^2 = \varphi + 1$. Его подходящие дроби — отношения соседних чисел Фибоначчи: $\frac11, \frac21, \frac32, \frac53, \frac85, \frac{13}8, \dots$ Именно из-за этих отношений алгоритм Евклида работает медленнее всего на числах Фибоначчи (глава 4).
Кстати, путь к числу в дереве Штерна — Броко из прошлой главы — та же цепная дробь, записанная буквами. К $\sqrt2$ ведёт путь П, ЛЛ, ПП, ЛЛ, ПП, …: один шаг вправо и дальше по два — это звенья $[1;\ 2,\ 2,\ 2,\ \dots]$.
Приговор: действительные числа
Экспертизы сходятся: $\sqrt2$ — не дробь. Но длину диагонали мы видим, можем её измерить с любой точностью, можем вычислить сколько угодно её цифр. Выход один — расширить само понятие числа, чтобы длина любого отрезка была числом.
Десятичная запись подсказывает, как это сделать. Из прошлой главы мы знаем: рациональные числа — это ровно те, у которых десятичная запись конечна или периодична. Что если разрешить любые бесконечные десятичные дроби, в том числе без периода?
Действительное число — число, которое записывается бесконечной десятичной дробью со знаком, например $\sqrt2 = 1{,}41421356\dots$ или $\frac13 = 0{,}333\dots$ Конечные дроби дописываются нулями, а записи вроде $0{,}4999\dots$ и $0{,}5000\dots$ считаются одним числом. Все действительные числа вместе обозначают $\mathbb R$; их ещё называют вещественными.
Это определение нестрогое: непонятно, например, как складывать две бесконечные записи, если переносы могут прийти «из бесконечности». Строго действительные числа построили только во второй половине XIX века Вейерштрасс, Дедекинд и Кантор — об этом в главе 53. Но идея уже видна: каждое действительное число — это точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой соответствует число. Прямая больше не дырявая.
А была ли она дырявой, если брать только дроби? Рациональных точек на прямой очень много: на каком бы крошечном отрезке мы ни искали, дроби там найдутся.
Между любыми двумя различными действительными числами $a < b$ есть рациональное число.
Идея: будем шагать по прямой шагами $\frac1q$, которые короче отрезка $(a;\ b)$. Такой шаг не может перепрыгнуть отрезок целиком — какая-то метка попадёт внутрь.
Длина отрезка $b - a$ положительна. Выберем натуральное $q$ настолько большим, что $\frac1q < b - a$; подойдёт любое $q > \frac1{b - a}$. Отметим на прямой все дроби $\frac kq$ с целым $k$ — метки через равные промежутки $\frac1q$.
Пусть $\frac pq$ — первая метка правее $a$, то есть самое маленькое целое $p$ с $\frac pq > a$. Предыдущая метка $\frac{p - 1}q$ уже не правее $a$: $\frac{p-1}q \le a$. Тогда $\frac pq = \frac{p - 1}q + \frac1q \le a + \frac1q < a + (b - a) = b$. Итак, $a < \frac pq < b$.
Между любыми двумя различными числами $a < b$ есть и иррациональное число.
Идея: взять две дроби внутри отрезка и сдвинуться от одной к другой на иррациональную долю пути.
По теореме найдём дробь $r$ с $a < r < b$, а потом ещё одну дробь $s$ с $r < s < b$. Положим $x = r + \frac{s - r}{\sqrt2}$. Так как $0 < \frac1{\sqrt2} < 1$, число $x$ лежит строго между $r$ и $s$, а значит, между $a$ и $b$. Если бы $x$ было рациональным, то и $\sqrt2 = \frac{s - r}{x - r}$ было бы рациональным как частное двух ненулевых дробей. Но $\sqrt2$ не дробь — значит, $x$ иррационально.
Дроби есть рядом с любой точкой — и всё же в самой точке $\sqrt2$ дроби нет. Это можно увидеть и под лупой.
Виджет показывает и то, как понимать бесконечную десятичную запись. Каждое десятикратное увеличение сужает окно, в котором сидит $\sqrt2$, и закрепляет ещё одну цифру. Действительное число — это то, что остаётся, когда окна сжимаются бесконечно: одна-единственная точка.
Здесь прячется и самый неожиданный факт. Дроби есть на прямой везде, но в некотором точном смысле их почти нет. Рациональные числа можно пересчитать по порядку, как натуральные, а действительные — нельзя: их больше. Как вообще сравнивать бесконечности, — в главе 52. А в главе 54 мы увидим, что все рациональные точки отрезка можно накрыть интервалами общей длины меньше любого заданного числа.
Особо опасные: трансцендентные числа
У $\sqrt2$ есть смягчающее обстоятельство. Хоть это и не дробь, его легко описать целыми числами: это корень уравнения $x^2 - 2 = 0$. Золотое сечение — корень уравнения $x^2 - x - 1 = 0$, $\sqrt[3]{5}$ — корень $x^3 - 5 = 0$.
Алгебраическое число — корень уравнения $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ с целыми коэффициентами, не все из которых нули. Любая дробь $\frac pq$ алгебраическая: она корень уравнения $qx - p = 0$. Число, которое не алгебраическое, называют трансцендентным.
Существуют ли трансцендентные числа вообще? Первые примеры построил Жозеф Лиувилль в 1844 году. В 1873 году Шарль Эрмит доказал трансцендентность числа $e \approx 2{,}718$ — основания натуральных логарифмов, о котором будет глава 29. А в 1882 году Фердинанд фон Линдеман доказал, что трансцендентно и $\pi$. (Что $\pi$ иррационально, Иоганн Ламберт показал ещё в 1761 году; трансцендентность — гораздо более сильное утверждение.)
Число $\pi$ трансцендентно.
Идея доказательства — и почему целиком оно здесь не поместится
Все доказательства трансцендентности устроены похоже. Предполагают, что число — корень уравнения с целыми коэффициентами, и с помощью этого уравнения строят целое число, про которое удаётся показать две вещи: оно не равно нулю и при этом по модулю меньше единицы. Такого целого числа не бывает — противоречие. Для $\pi$ такое число строят из значений функции $e^x$ в комплексных точках и из хитро подобранных интегралов, а для оценок нужна вся техника анализа. Даже в современном изложении это несколько страниц, опирающихся на главы 28, 29 и 34. Полное и доступное доказательство есть, например, в книге Айвена Нивена «Иррациональные числа».
Результат Линдемана закрыл задачу, над которой бились больше двух тысяч лет: построить циркулем и линейкой квадрат, равный по площади данному кругу. Круг радиуса $1$ имеет площадь $\pi$, так что сторона такого квадрата должна равняться $\sqrt\pi$. Нужен ещё один факт о построениях.
Любая длина, которую можно построить циркулем и линейкой из единичного отрезка, — алгебраическое число.
Идея доказательства
Каждая новая точка построения — пересечение двух прямых, прямой и окружности или двух окружностей, проведённых через уже известные точки. Если записать это в координатах, пересечение прямых находится из линейных уравнений, а пересечения с окружностями — из квадратных. Поэтому все построимые числа получаются из единицы сложением, вычитанием, умножением, делением и извлечением квадратных корней. Остаётся доказать, что такие выражения всегда служат корнями многочленов с целыми коэффициентами: корни «убирают» по одному, возводя в квадрат. Аккуратно это делается на языке полей и их расширений в главе 43, там же — и невозможность удвоения куба и трисекции угла.
Циркулем и линейкой нельзя построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга.
Идея: если бы построение существовало, из уравнения для стороны $\sqrt\pi$ получилось бы уравнение для самого $\pi$ — вопреки теореме Линдемана.
Примем радиус данного круга за единицу длины; тогда площадь круга равна $\pi$. Допустим, квадрат площади $\pi$ построен; тогда построена и его сторона $s = \sqrt\pi$. По лемме $s$ — корень некоторого ненулевого многочлена $P$ с целыми коэффициентами: $P(s) = 0$.
Соберём в $P$ отдельно чётные и нечётные степени: $P(x) = A(x^2) + x \cdot B(x^2)$, где $A$ и $B$ — многочлены с целыми коэффициентами (например, $x^3 + 2x^2 + 5 = (2x^2 + 5) + x \cdot x^2$). Подставим $x = s$ и вспомним, что $s^2 = \pi$: $A(\pi) + s \cdot B(\pi) = 0$, то есть $A(\pi) = -s \cdot B(\pi)$. Возведём в квадрат: $A(\pi)^2 = \pi \cdot B(\pi)^2$.
Значит, $\pi$ — корень многочлена $Q(y) = A(y)^2 - y\,B(y)^2$ с целыми коэффициентами. Он не нулевой: если $B \ne 0$, то степень $y\,B(y)^2$ нечётна, а степень $A(y)^2$ чётна, и они не могут сократиться; если же $B = 0$, то $A \ne 0$ (иначе $P = 0$) и $Q = A^2 \ne 0$. Выходит, $\pi$ алгебраическое — а это противоречит теореме Линдемана.
Первая часть ответа: циркулем и линейкой — нельзя. Квадрат с той же площадью, что у круга, построить невозможно, потому что число $\pi$ трансцендентно (Линдеман, 1882). Ещё в 1775 году Парижская академия наук, устав от «решений», постановила больше не рассматривать квадратуры круга. Но вопрос о разрезании круга на куски — другое дело: почему не выйдет ножницами, расскажет глава 20, а неожиданный финал — глава 54.
Трансцендентных чисел, как выяснил Кантор, «почти все», но доказать трансцендентность конкретного числа невероятно трудно. До сих пор неизвестно даже, иррационально ли число $\pi + e$. Следствие закрыто лишь по нескольким эпизодам.
Куда дальше
Чисел теперь хватает: у каждой точки прямой есть имя. Но в этой главе нам то и дело приходилось рассуждать о числах, которых мы не знали. «Пусть $\sqrt2 = \frac mn$» — и дальше мы работали с буквами $m$ и $n$, как с числами. Правило $\frac mn \to \frac{m + 2n}{m + n}$ дало $\frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \frac{239}{169}$, и каждый раз $m^2 - 2n^2$ оказывалось равным $\pm 1$. Шесть совпадений подряд — но из вступления мы помним, что закономерность может сломаться на седьмом шаге.
Можно ли доказать, что это правило никогда не подведёт, — для всех $m$ и $n$ сразу? Для этого нужно научиться вычислять с буквами так же уверенно, как с числами: раскрывать скобки и проверять, что выражение равно другому при любых значениях. Этим занимается алгебра, и начинается она в главе 7.