Функции и графики

Прошлая глава закончилась признанием: на некоторые вопросы отвечает не число, а правило. Сколько стоит поездка на такси? Смотря сколько ехать. Если посадка стоит 150 рублей, а каждый километр 30, то четыре километра обойдутся в 270 рублей, десять — в 450, а $x$ километров — в $150 + 30x$. Сколько секунд камень летит до земли? Смотря с какой высоты его уронить. Такой ответ — не число, а зависимость: одна величина меняется, другая следует за ней.

В этой главе мы будем обращаться с зависимостями как с машинами. У машины есть щель, куда бросают число, и лоток, откуда выпадает другое. Что внутри, не видно. Сначала поиграем в угадывание: по нескольким броскам попробуем понять, что машина делает. Потом научимся видеть машину целиком, на одном рисунке, крутить её ручки, собирать из нескольких машин конвейер и даже запускать задом наперёд.

Чёрный ящик

Вот восемь машин. Бросайте в них числа, смотрите, что выпадает, и, когда правило станет понятно, запишите его формулой. Машина проверит догадку не только на ваших бросках, а на всех числах сразу.

Первые машины сдаются быстро. Если $3$ превращается в $8$, $10$ — в $15$, а $0$ — в $5$, то машина прибавляет пятёрку, и сомневаться тут трудно. Над второй приходится подумать: $1 \to 2$, $2 \to 5$, $3 \to 8$. Каждая лишняя единица на входе добавляет к выходу тройку, значит, внутри умножение на $3$, а дальше что-то вычитается. Полезная привычка — бросить ноль: он сразу показывает, что машина добавляет от себя.

Восьмая машина повторяет ловушку из главы 0, где первые члены последовательности не определяли её продолжения. Четыре броска тоже ничего не определяют. Какими бы ни были ваши числа $a$, $b$, $c$, $d$, машина $2x + (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)$ ответит на них так же, как машина $2x$: последнее слагаемое на этих четырёх числах обращается в ноль. На всех остальных ответы у машин разные. Таблица из нескольких строк — отпечаток правила, но не само правило.

От машины мы требуем одного: постоянства. Одно и то же число на входе всегда даёт одно и то же на выходе. Автомат, который на $2$ выдаёт то $5$, то $7$, — лотерея, а не машина.

Главное слово здесь — «ровно». Правило «каждому человеку — его день рождения» задаёт функцию: день рождения у каждого один, а то, что у многих людей он совпадает, ничему не мешает. Обратное правило, «каждому дню — человек, который в этот день родился», функцией не будет: таких людей может быть много, а может не оказаться ни одного. В этой главе входы и выходы — числа, но определение не запрещает брать людей, слова или точки плоскости. Самое общее определение функции ждёт нас в главе о логике и множествах.

Какое из этих правил не задаёт функцию?

Каждому числу — его квадрат Каждому положительному числу — число, квадрат которого равен данному Каждому натуральному числу — его последняя цифра Каждому числу — число $7$

Квадрат, равный $9$, есть у двух чисел: у $3$ и у $-3$. Правило не говорит, какое из них выбрать, а функция обязана выдать одно. Поэтому и договорились, что $\sqrt 9 = 3$: квадратный корень — неотрицательное число с данным квадратом, и с такой оговоркой правило становится функцией. Машина, которая на любой вход выдаёт $7$, скучна, но честна: это функция, её называют постоянной.

Буква f

Чтобы говорить о машине, ей нужно имя. Обычно её называют буквой $f$, от латинского functio — «исполнение». Запись $f(3)$ читают «эф от трёх», и означает она число, которое выпадет, если бросить в машину $3$. Если машина возводит число в квадрат и вычитает из результата утроенное число, пишут $f(x) = x^2 - 3x$. Тогда $f(3) = 9 - 9 = 0$, а $f(-1) = 1 + 3 = 4$.

Скобки в $f(\ldots)$ — не умножение. Внутрь можно подставить что угодно, и тогда всё содержимое скобок целиком встаёт на место $x$:

$$f(a + 1) = (a + 1)^2 - 3(a + 1) = a^2 + 2a + 1 - 3a - 3 = a^2 - a - 2.$$

Частая ошибка — думать, что $f(a + 1) = f(a) + 1$. Для нашей функции это неверно уже при $a = 0$: слева $f(1) = -2$, справа $f(0) + 1 = 1$. Прибавить единицу ко входу и прибавить единицу к выходу — разные вещи, и к этой разнице мы ещё вернёмся, когда будем двигать графики.

Для той же функции $f(x) = x^2 - 3x$ запишите $f(2x)$.

На место $x$ ставим $2x$ целиком: $f(2x) = (2x)^2 - 3 \cdot 2x = 4x^2 - 6x$. Обратите внимание: это не $2f(x) = 2x^2 - 6x$. Проверка при $x = 1$: $f(2) = 4 - 6 = -2$, и $4 - 6 = -2$.

Что пролезает в щель

Пятая машина из чёрного ящика не принимает ноль, седьмая — отрицательные числа. Их правила, $\frac1x$ и $\sqrt x$, на этих входах теряют смысл: на ноль не делят, а квадрат не бывает отрицательным. Поэтому у функции, кроме правила, есть ещё и список допустимых входов.

Числовые множества удобно записывать промежутками: $[0;\,+\infty)$ — все числа от нуля и больше, $(-\infty;\,3]$ — все числа не больше трёх. Квадратная скобка означает, что конец входит в промежуток, круглая — что не входит. Бесконечность числом не является, поэтому рядом с ней скобка всегда круглая.

Со множеством значений приходится рассуждать. То, что $x^2$ не бывает отрицательным, понятно. Но выпадает ли из машины любое неотрицательное число? Да: чтобы получить $c \ge 0$, достаточно бросить $\sqrt c$. А из машины $\frac1x$ никогда не выпадет ноль: дробь с единицей в числителе нулём не бывает.

Последняя строка таблицы — про область определения, которую диктует задача. Формула $150 + 30x$ прекрасно считается и при $x = -3$, но такси не возит на минус три километра. Одна и та же формула может описывать разные функции, если у них разные области определения.

Найдите область определения функции $y = \sqrt{6 - 2x}$. Ответ запишите промежутком.

Под корнем должно стоять неотрицательное число: $6 - 2x \ge 0$, то есть $2x \le 6$ и $x \le 3$. Ответ: $(-\infty;\,3]$. Проверка на краю: $\sqrt{6 - 6} = 0$ — годится; при $x = 4$ под корнем $-2$ — нет.

Портрет функции

Таблица бросков — отпечатки машины. Когда отпечатков много, из них складывается портрет. Каждую пару «вход — выход» отметим точкой на координатной плоскости: вход отложим по горизонтали, выход — по вертикали. Для машины $y = x^2$ получатся точки $(-2;\,4)$, $(-1;\,1)$, $(0;\,0)$, $(1;\,1)$, $(2;\,4)$, между ними $\left(\frac12;\,\frac14\right)$, $\left(\frac32;\,\frac94\right)$ и так далее. Если отметить точки для всех $x$ сразу, они сольются в сплошную линию.

Кривую $y = x^2$ называют параболой. Почему по параболе летит мяч, мы увидим в следующей главе, а что у неё общего со спутниковой тарелкой — в главе о конических сечениях. Способ превращать уравнения в кривые и обратно придумали в 1630-х годах почти одновременно Рене Декарт и Пьер Ферма. Привычной нам пары перпендикулярных осей с отрицательными координатами у Декарта ещё не было, она сложилась позже, но название «декартовы координаты» закрепилось за ней.

Портрет говорит о машине больше, чем любая таблица. Одного взгляда на график хватает, чтобы понять, где значения положительны, а где отрицательны, где функция растёт, а где падает, какое значение самое маленькое. Отдельно отмечают точки, где график встречает ось $x$: абсциссы этих точек — нули функции, то есть корни уравнения $f(x) = 0$.

Не всякая линия на плоскости — портрет функции. Функция на каждый вход выдаёт одно значение, а значит, над каждой точкой оси $x$ у графика не больше одной точки.

Окружность $x^2 + y^2 = 25$ этой проверки не проходит: вертикаль $x = 3$ пересекает её в точках $(3;\,4)$ и $(3;\,-4)$. А верхняя половина окружности — уже график функции $y = \sqrt{25 - x^2}$ с областью определения $[-5;\,5]$.

Сколько раз график функции может пересечь ось $y$?

Не больше одного раза Не больше двух раз Сколько угодно Ровно один раз

Ось $y$ — это вертикаль $x = 0$, а при одном входе у функции одно значение. Пересечения может и не быть совсем: график $y = \frac1x$ оси $y$ не касается, потому что ноль не входит в область определения. Ось $x$, наоборот, график может пересекать сколько угодно раз: у $y = x^2 - 1$ два нуля, $-1$ и $1$.

Прямая

Вернёмся к такси. Каждый следующий километр добавляет к цене одни и те же $30$ рублей. Отметим точки $(0;\,150)$, $(1;\,180)$, $(2;\,210)$, $(3;\,240)$: от каждой к следующей один и тот же шаг — единица вправо, тридцать вверх. Точки выстраиваются в линию, и это не совпадение.

Хитрость в подобных треугольниках.

Возьмём на графике точку $A$ и ещё две точки правее неё, $B$ и $C$. Серые точки — график, отмеченный через каждые полклетки. Точки $A$, $B$, $C$ можно тянуть по нему, а точкой $K$ — менять наклон $k$ (здесь $b = -1$). От $A$ проведём горизонтальный отрезок до вертикали точки $B$ и вертикальный — до самой $B$. Разбег равен $x_B - x_A$, подъём — $(kx_B + b) - (kx_A + b) = k(x_B - x_A)$. Вертикальный катет в $|k|$ раз длиннее горизонтального и направлен вверх при $k > 0$, вниз при $k < 0$. То же для $C$: разбег $x_C - x_A$, подъём $k(x_C - x_A)$. У двух прямоугольных треугольников катеты пропорциональны с одним и тем же коэффициентом $|k|$, а угол между ними прямой. Значит, треугольники подобны (глава о треугольнике), и их углы при вершине $A$ равны. Лучи $AB$ и $AC$ выходят из $A$ под одним и тем же углом к горизонтали и в одну сторону: вправо и вверх (при $k < 0$ — вправо и вниз). Значит, это один и тот же луч, и $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. Точки левее $A$ разбираются так же, только треугольники строятся влево. Обратно, возьмём любую точку $D$ этого луча. Её треугольник подобен первому с тем же углом, поэтому её подъём равен $k(x_D - x_A)$, то есть $y_D = kx_D + b$, и $D$ лежит на графике. Значит, график — вся прямая целиком, без пропусков. График $y = kx + b$ — прямая. При $k = 0$ треугольники сплющиваются в отрезки, но тогда и так ясно: все точки на высоте $b$, это горизонтальная прямая. Угловой коэффициент — скорость, с которой растёт $y$. При $k > 0$ прямая поднимается слева направо, при $k < 0$ опускается, при $k = 0$ идёт горизонтально. Начальное значение — $y$ при $x = 0$, высота, на которой прямая пересекает ось $y$. Пример: такси, $y = 30x + 150$. Прямая пересекает ось $y$ на высоте $150$ — это посадка, и каждый километр поднимает её на $30$ рублей. За $12$ км: $30 \cdot 12 + 150 = 510$ рублей.

Чаще прямая бывает дана не формулой, а двумя точками: скажем, известно, что в 8 утра в бассейне было 20 кубометров воды, а в 11 — уже 50. Угловой коэффициент — это подъём, делённый на разбег:

Подъём: на сколько вторая точка выше первой. Если она ниже, подъём отрицательный. Разбег: на сколько вторая точка правее первой. Он не должен быть нулём. Две точки на одной вертикали задают прямую $x = \mathrm{const}$, а она, как мы знаем, не график функции. Пример: прямая проходит через $(1;\,3)$ и $(4;\,9)$. Тогда $k = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$. Чтобы найти $b$, подставим одну из точек: $3 = 2 \cdot 1 + b$, откуда $b = 1$ и $y = 2x + 1$. Проверка второй точкой: $2 \cdot 4 + 1 = 9$. У бассейна $k = \frac{50 - 20}{11 - 8} = 10$ кубометров в час.

Коэффициент называют угловым, потому что он задаёт угол наклона: чем больше $|k|$, тем круче прямая. Точная связь с углом — тангенс, о нём расскажет глава о тригонометрии. Прямые с одинаковым $k$ и разными $b$ растут с одной скоростью и не встречаются, а прямые с разными $k$ пересекаются ровно в одной точке; доказательство будет в главе 11. Сравним два тарифа такси: $150 + 30x$ и $50 + 40x$. Второй дешевле на коротких поездках, первый — на длинных, а при $x = 10$ они равны: $150 + 300 = 50 + 400 = 450$. Искать такие точки встречи научит глава о системах уравнений.

Запишите формулу линейной функции, график которой проходит через точки $(-1;\,5)$ и $(3;\,-3)$.

Угловой коэффициент: $k = \frac{-3 - 5}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$. Подставляем точку $(-1;\,5)$: $5 = -2 \cdot (-1) + b$, откуда $b = 3$. Ответ: $y = -2x + 3$. Проверка второй точкой: $-2 \cdot 3 + 3 = -3$.

Ручки настройки

Возьмём готовую машину $f$ и приделаем к ней ручки. Можно что-то прибавить к выходу, можно выход умножить, можно сдвинуть вход, а можно вход умножить. Каждая ручка по-своему двигает график, и две из четырёх двигают его не туда, куда ждёшь.

С выходом всё предсказуемо. График $y = f(x) + b$ — тот же график, поднятый на $b$: каждое значение стало больше на $b$. График $y = k\,f(x)$ растянут от оси $x$ в $|k|$ раз (при $|k| < 1$ это сжатие), а при отрицательном $k$ ещё и перевёрнут.

Со входом всё наоборот. Машина $y = f(x - 3)$ при каждом $x$ выдаёт то, что старая выдавала при числе на $3$ меньшем. Она будто опаздывает на три шага: всё, что старая делала в нуле, новая делает в тройке. Поэтому минус во входе сдвигает график вправо. По той же причине машина $y = f(2x)$ проходит весь старый путь вдвое быстрее, и её график сжат к оси $y$ вдвое.

Растяжение от оси $x$ в $|k|$ раз; при $k < 0$ график ещё и отражается в оси $x$. Сжатие к вертикали $x = a$ в $|m|$ раз (при $|m| < 1$ это растяжение); при $m < 0$ график отражается слева направо. Сдвиг вправо на $a$ (при $a < 0$ — влево на $|a|$). Сдвиг вверх на $b$ (при $b < 0$ — вниз). Пример: $y = 2(x - 3)^2 + 1$ получается из $y = x^2$ при $k = 2$, $m = 1$, $a = 3$, $b = 1$. Вершина $(0;\,0)$ переезжает в $(3;\,1)$, точка $(1;\,1)$ — в $(4;\,3)$; проверка: $2(4 - 3)^2 + 1 = 3$.

Идея — прикручивать ручки по одной и следить, куда уезжает одна точка.

Возьмём точку $P_0(x_0;\,y_0)$ исходного графика, то есть $y_0 = f(x_0)$. На рисунке $f(x) = x^2$, а ручки выставлены так: $k = \frac12$, $m = 2$, $a = 3$, $b = 1$; точку $P_0$ можно тянуть по параболе. Первая ручка: $y = f(mx)$. При каком $x$ в скобках окажется $x_0$? Нужно $mx = x_0$, то есть $x = \frac{x_0}{m}$ — здесь и пригодилось $m \ne 0$. В этой точке новая функция равна $f(x_0) = y_0$: точка переехала в $\left(\frac{x_0}{m};\,y_0\right)$. Вторая: $y = f\bigl(m(x - a)\bigr)$. Чтобы в скобках снова вышло $x_0$, нужно $x - a = \frac{x_0}{m}$, то есть $x = a + \frac{x_0}{m}$. Значение прежнее, $y_0$: точка сдвинулась на $a$ вправо. Третья: выход умножаем на $k$. При том же $x$ значение стало $k\,y_0$ — точка поднялась или опустилась по вертикали. Четвёртая: прибавляем $b$. Значение стало $k\,y_0 + b$. Итак, точка $P_0$ переехала в $\left(a + \frac{x_0}{m};\ k\,y_0 + b\right)$. Осталось убедиться, что лишних точек не появилось. Если $(x;\,y)$ лежит на новом графике, то $y = k\,f\bigl(m(x - a)\bigr) + b$. Положим $x_0 = m(x - a)$ и $y_0 = \frac{y - b}{k}$ — это законно, потому что $k \ne 0$. Тогда $y_0 = f(x_0)$, точка $(x_0;\,y_0)$ лежит на старом графике и переезжает ровно в $(x;\,y)$. Значит, новый график — в точности перенесённый старый.

Следующая глава опирается на это правило: любая парабола $y = ax^2 + bx + c$ окажется там параболой $y = x^2$, сдвинутой и растянутой этими ручками.

Как получить график $y = (x + 2)^2$ из графика $y = x^2$?

Сдвинуть на $2$ влево Сдвинуть на $2$ вправо Сдвинуть на $2$ вверх Сдвинуть на $4$ вверх

$(x + 2)^2 = f(x - (-2))$ — сдвиг на $a = -2$, то есть на два влево. Проверка: вершина нового графика там, где $x + 2 = 0$, при $x = -2$.

График $y = \sqrt x$ начинается в точке $(0;\,0)$. В какой точке начинается график $y = \sqrt{x - 4} + 1$?

Сдвиг на $4$ вправо и на $1$ вверх переносит начало в $(4;\,1)$. Проверка: при $x = 4$ под корнем ноль и $y = 0 + 1 = 1$, а при $x < 4$ функция не определена.

Зеркала

Некоторые портреты симметричны. График $y = x^2$ не меняется, если отразить его в оси $y$: значения в точках $3$ и $-3$ одинаковы. График $y = x^3$ не меняется при повороте на $180°$ вокруг начала координат: $2^3 = 8$, $(-2)^3 = -8$, значения в противоположных точках противоположны.

Имена пришли от степеней: $x^2$, $x^4$, $x^6$ — чётные функции, $x$, $x^3$, $x^5$ — нечётные. Чётна функция $|x|$, нечётна $\frac1x$. Но большинство функций ни то ни другое. У $(x + 1)^2$ ось симметрии сдвинута в $x = -1$, у $\sqrt x$ нет отрицательных входов вообще. Зато если функция чётная или нечётная, половина работы сделана заранее: достаточно нарисовать график при $x \ge 0$, а вторую половину получить зеркалом.

Функция $y = x^3 + 1$ —

нечётная чётная ни чётная, ни нечётная и чётная, и нечётная

$f(1) = 2$, $f(-1) = 0$: значения в противоположных точках не равны и не противоположны. Прибавив единицу, мы подняли график $y = x^3$ на единицу вверх, и центр симметрии уехал из начала координат в точку $(0;\,1)$. Одновременно чётна и нечётна только функция, тождественно равная нулю: из $f(-x) = f(x)$ и $f(-x) = -f(x)$ следует $f(x) = -f(x)$.

Любая функция — сумма чётной и нечётной

Если область определения симметрична, функцию можно разложить на две половинки:

$$f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{чётная}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{нечётная}}.$$

Подставьте $-x$ вместо $x$ и убедитесь: первая дробь не меняется, вторая меняет знак. Например, $(x + 1)^2 = (x^2 + 1) + 2x$. Такое разложение единственно, и оно ещё встретится в самых разных местах, от формул для гиперболических функций до рядов Фурье, где чётная часть раскладывается по косинусам, а нечётная — по синусам.

В гору и под гору

Прочитаем портрет слева направо, как профиль горной дороги. График $y = x^2$ сначала спускается, в нуле достигает дна и дальше поднимается. У дороги есть подъёмы и спуски, у функции — промежутки возрастания и убывания.

Функция $y = x^2$ убывает на $(-\infty;\,0]$ и возрастает на $[0;\,+\infty)$. Линейная функция монотонна целиком: при $k > 0$ возрастает, при $k < 0$ убывает. А вот с гиперболой $y = \frac1x$ есть подвох.

Где убывает функция $y = \frac1x$?

На всей области определения На каждом из промежутков $(-\infty;\,0)$ и $(0;\,+\infty)$ по отдельности Только при $x > 0$ Нигде: у графика разрыв

На каждом куске большему $x$ соответствует меньшее $\frac1x$. Но стоит взять точки по разные стороны от нуля, и правило ломается: $-1 < 1$, а $\frac{1}{-1} < \frac11$. Поэтому говорят «убывает на $(-\infty;\,0)$ и на $(0;\,+\infty)$», и союз «и» здесь не заменить объединением промежутков.

Монотонность — сильное свойство, и вот почему.

Возьмём уравнение $x^3 + x = 10$. Корень угадывается: $x = 2$, ведь $8 + 2 = 10$. Других корней нет, и искать их не нужно. Функция $x$ возрастает, $x^3$ тоже: при $x_1 < x_2$ разность $x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2)$ положительна, потому что второй множитель равен $\left(x_1 + \frac{x_2}{2}\right)^2 + \frac34x_2^2$ и обращается в ноль, только если $x_1 = x_2 = 0$. По лемме возрастает и сумма $x^3 + x$, а по теореме значение $10$ она принимает только один раз.

Конвейер

Куртка стоит $3000$ рублей. В магазине скидка $20\,\%$, а у вас ещё купон на $500$ рублей. Кассир может применить их в двух порядках. Сначала скидка, потом купон: $0{,}8 \cdot 3000 - 500 = 1900$. Сначала купон, потом скидка: $0{,}8 \cdot (3000 - 500) = 2000$. Разница в сто рублей, и она не зависит от цены.

Каждое действие кассира — машина: $s(x) = 0{,}8x$ снимает скидку, $c(x) = x - 500$ гасит купон. Поставить машины друг за другом, чтобы выход одной шёл на вход другой, значит собрать конвейер.

В магазине получаются две разные композиции: $c(s(x)) = 0{,}8x - 500$ и $s(c(x)) = 0{,}8(x - 500) = 0{,}8x - 400$. Покупателю выгоднее первая, при любой цене ровно на сто рублей. Порядок в конвейере важен почти всегда: в отличие от умножения чисел, композиция не переставительна.

Все ручки из предыдущего раздела тоже были конвейерами. Функция $\sqrt{x - 4} + 1$ — это три машины подряд: вычесть $4$, извлечь корень, прибавить $1$. Отсюда видна и её область определения: первая машина должна выдать то, что пролезет в щель второй, то есть $x - 4 \ge 0$.

Пусть $f(x) = x^2$ и $g(x) = 2x - 1$. Запишите $f(g(x))$.

Сначала работает $g$, её выход $2x - 1$ идёт на вход $f$: $f(g(x)) = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$. В обратном порядке получается другое: $g(f(x)) = 2x^2 - 1$. Проверка при $x = 2$: $f(g(2)) = f(3) = 9$, а $g(f(2)) = g(4) = 7$.

Задний ход

Американский прогноз обещает $86$ градусов. Чтобы понять, брать ли куртку, нужно перевести градусы Фаренгейта в градусы Цельсия. Машина перевода в другую сторону известна: $F = 1{,}8C + 32$, она умножает на $1{,}8$ и прибавляет $32$. Запустим её задом наперёд: вычтем $32$ и разделим на $1{,}8$. Получается $C = \frac{86 - 32}{1{,}8} = \frac{54}{1{,}8} = 30$. Куртка не нужна.

Задний ход есть не у каждой машины. Машина $x^2$ превращает в $4$ и число $2$, и число $-2$. Увидев на выходе $4$, нельзя сказать, что было на входе.

Если машину немного ограничить, задний ход появляется: $x^2$ на промежутке $[0;\,+\infty)$ возрастает, и обратная к ней — $\sqrt x$. Портрет обратной функции рисовать заново не нужно: если $f(a) = b$, то $f^{-1}(b) = a$, и вместе с точкой $(a;\,b)$ графика $f$ на графике $f^{-1}$ лежит точка $(b;\,a)$. Остаётся понять, как связаны эти две точки.

Хитрость — найти на прямой $y = x$ две точки, одинаково удалённые от $A$ и от $B$.

Возьмём на графике $f(x) = 2^x$ точку $A(a;\,b)$, то есть $f(a) = b$; её можно тянуть. Тогда $f^{-1}(b) = a$, и точка $B(b;\,a)$ лежит на графике $f^{-1}$. Докажем, что $B$ — отражение $A$ в прямой $y = x$. Пусть $a \ne b$: иначе $A$ лежит на самой прямой и отражается сама в себя. Точка $C(a;\,a)$ лежит на прямой $y = x$. Отрезок $CA$ вертикальный — у $C$ и $A$ общая абсцисса $a$, — и его длина $|b - a|$. Отрезок $CB$ горизонтальный — общая ордината $a$, — и его длина тоже $|b - a|$. Значит, $CA = CB$. Точка $D(b;\,b)$ тоже лежит на прямой $y = x$. Отрезок $DA$ горизонтальный (общая ордината $b$), $DB$ — вертикальный (общая абсцисса $b$), и оба длины $|a - b|$. Значит, $DA = DB$. Точки, одинаково удалённые от концов отрезка $AB$, — это в точности его серединный перпендикуляр. Точки $C$ и $D$ разные и обе ему принадлежат, а через две точки проходит только одна прямая. Значит, серединный перпендикуляр к $AB$ — это прямая $CD$, то есть $y = x$. Она перпендикулярна $AB$ и делит его пополам — ровно это и означает, что $B$ симметрична $A$ относительно прямой $y = x$. Обратно, каждая точка графика $f^{-1}$ имеет вид $(y;\,f^{-1}(y))$ и по доказанному служит отражением точки $(f^{-1}(y);\,y)$, а та лежит на графике $f$. Значит, отражение переводит график $f$ в график $f^{-1}$ целиком, без лишних и пропущенных точек. Графики $f$ и $f^{-1}$ симметричны относительно прямой $y = x$. Для $f(x) = 2^x$ второй график — логарифм по основанию $2$.

У двух машин из этого рисунка обратные оказываются старыми знакомыми. Машина $\frac1x$ обратна самой себе: дважды перевернуть дробь — значит вернуть её на место, и её график симметричен относительно прямой $y = x$. Машина $2^x$ спрашивает, какое число получится, если перемножить $x$ двоек. Её задний ход отвечает на обратный вопрос: сколько двоек нужно перемножить, чтобы получить данное число. У этой машины есть имя — логарифм, и ей посвящена глава о степенях и логарифмах.

Найдите функцию, обратную к $f(x) = 3x - 6$.

Машина умножает на $3$ и вычитает $6$. Задний ход выполняет обратные действия в обратном порядке: прибавить $6$, разделить на $3$. Получается $f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{3}$. Проверка: $f^{-1}(f(x)) = \frac{3x - 6 + 6}{3} = x$.

Графики, которые рассказывают

График не обязан начинаться с формулы. Он может начаться с истории. Возьмём прогулку и будем через каждую минуту отмечать, на каком расстоянии от дома находится человек. По горизонтали отложим время, по вертикали — расстояние. Получится портрет прогулки, и читать его можно как рассказ. Горизонтальный участок означает, что человек стоит на месте. Подъём — что он удаляется от дома, спуск — что возвращается. Крутизна участка — скорость: если время отложено в минутах, а расстояние в километрах, угловой коэффициент измеряется в километрах в минуту. Строго вертикальной линии на таком графике быть не может: человек не бывает в двух местах одновременно, и это то же самое требование «ровно одно значение», с которого началась глава.

Такие графики — рабочий инструмент. Поезда на железной дороге планируют именно так: по горизонтали время, по вертикали станции, а каждый поезд — наклонная линия, которую диспетчеры называют ниткой графика. Горизонтальные ступеньки на нитке — стоянки, крутизна — скорость. Где нитки пересекаются, поезда встречаются, а если это нитки попутных поездов, один обгоняет другой. Физиолог Этьен-Жюль Марей поместил такой график поездов Париж — Лион в книгу о графическом методе (издание 1885 года), приписав сам способ французскому инженеру Ибри.

Читаем графики

В тренажёре три уровня. На первом по графику нужно найти значение функции или все $x$, при которых она принимает данное значение. На втором — записать формулу прямой, проходящей через отмеченные точки. На третьем — узнать в графике знакомую функцию, сдвинутую, растянутую или отражённую, и записать формулу.

Исследовать свою функцию — найти область определения, нули, промежутки знакопостоянства и построить график — поможет решатель. Все тренажёры курса собраны на странице практики.

Куда дальше

Вспомните шестую машину из чёрного ящика. Она возводит число в квадрат и прибавляет к нему само число: $f(x) = x^2 + x$. Бросить в неё число и посмотреть, что выпадет, легко. А если нужно наоборот? При каком $x$ функция $y = x^2 + x$ принимает значение $\frac34$? Заднего хода у этой машины нет: парабола сначала спускается, потом поднимается, и горизонталь $y = \frac34$ пересекает её дважды. Можно прищуриться и прикинуть ответ по рисунку, но нам нужен способ, который сработает при любом числе в правой части. Такой способ нашли задолго до графиков и даже до букв: условие этой самой задачи и рецепт её решения выдавлены на глиняной табличке, которой без малого четыре тысячи лет. С неё начинается глава о квадратных уравнениях.