Часть III · Геометрия Глава 20 из 60

Площадь и объём

Мастерская с ножницами: режем фигуры, перекладываем куски и выясняем, что такое площадь. Любой многоугольник перекраивается в любой другой той же площади — а круг и куб ножницам не поддаются.

5–9 класс 55 минут

Опирается на: 19 · Окружность и число π

Вы научитесь

выводить площади параллелограмма, треугольника и трапеции перекраиванием и считать площадь на клетчатой бумаге по формуле Пика
понимать, почему любые два многоугольника равной площади перекраиваются друг в друга, а круг и квадрат — нет
находить объёмы призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара и площадь сферы — и знать, откуда берутся эти формулы

Линия III · Геометрия

Вы здесь: 20 · Площадь и объём

Пересадки 54 · Мера и интеграл

Площадь круга прошлая глава нашла хитростью: круг нарезали на тонкие секторы и сложили из них фигуру, почти неотличимую от прямоугольника со сторонами $\pi r$ и $r$. Хитрость сработала, но за ней прячутся два вопроса. Почему площадь не меняется, когда фигуру режут и перекладывают? И что такое площадь вообще: число, которое мы фигуре приписываем, или что-то, что в ней «содержится»?

В этой главе работает мастерская. Инструментов два: ножницы, которые режут только по прямой, и стол, на котором куски можно сдвигать, поворачивать и переворачивать, но нельзя растягивать и накладывать друг на друга. Поначалу мастерская справляется с любым заказом: параллелограмм, треугольник, трапеция, произвольный многоугольник, даже треугольник, который нужно превратить в квадрат. Потом приходят два заказа, которые она не выполнит, — круг и куб, — и становится ясно, чего ножницам не хватает.

Правила мастерской

Школьное «площадь — это сколько квадратиков помещается в фигуре» хорошо для прямоугольника. У треугольника квадратики на краях приходится резать, у круга они не укладываются вовсе. Поэтому математики поступают по-другому: не объясняют, что такое площадь «на самом деле», а перечисляют её свойства. Всё остальное из них выводится.

Площадь многоугольника — число, сопоставленное ему по четырём правилам, записанным ниже. Площадь круга и других фигур с кривыми краями определяют через многоугольники, которые приближают фигуру изнутри и снаружи; как это сделать аккуратно, расскажут главы об интеграле и о мере.

Площадь любого многоугольника — неотрицательное число.
Равные многоугольники, то есть совмещаемые движением, имеют равные площади.
Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, не налегающих друг на друга, его площадь равна сумме их площадей.
Площадь квадрата со стороной $1$ равна $1$.

Четвёртое правило — договорённость о единице: сантиметр, метр или клетка тетради. А вот знаменитое «длину умножить на ширину» среди правил не записано. Его придётся доказать.

Площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $ab$.

План такой: заполнить прямоугольник одинаковыми квадратиками, а где они не помещаются ровно, зажать площадь между двумя приближениями.

Сначала стороны целые, например $a = 5$ и $b = 3$. Линии сетки режут прямоугольник на $3$ ряда по $5$ единичных квадратов. Каждый квадрат имеет площадь $1$ по правилам 2 и 4, а весь прямоугольник по правилу 3 — площадь $5 \cdot 3 = 15$.

Разрежем единичный квадрат на $n \times n$ одинаковых квадратиков со стороной $\frac1n$. Они равны друг другу, их $n^2$, и вместе они дают площадь $1$. Значит, площадь каждого равна $\frac{1}{n^2}$.

Если стороны — дроби, приведём их к общему знаменателю: $a = \frac pn$, $b = \frac qn$. Прямоугольник складывается из $p \cdot q$ квадратиков со стороной $\frac1n$, и его площадь $\frac{pq}{n^2} = \frac pn \cdot \frac qn = ab$.

Если сторона иррациональна, скажем $a = 3\sqrt2$, возьмём её десятичные приближения с недостатком и с избытком: $4{,}2 < 3\sqrt2 < 4{,}3$. Прямоугольник с меньшей стороной помещается внутри нашего, а наш — внутри прямоугольника с большей. Если одна фигура лежит внутри другой, её площадь не больше: остаток — тоже многоугольник, и его площадь неотрицательна (правила 1 и 3). Поэтому площадь $S$ зажата между двумя произведениями, а они подходят к $ab$ сколь угодно близко, если брать больше знаков.

Число, которое при любой точности лежит между двумя числами, сходящимися к $ab$, само равно $ab$. Значит, $S = ab$ для любых положительных $a$ и $b$.

Из правил следует и главное свойство мастерской: если фигуру разрезать и сложить из кусков другую, площадь не изменится. Куски во второй фигуре те же, только сдвинутые или повёрнутые, поэтому их площади те же (правило 2), а каждая из двух фигур имеет площадь, равную сумме площадей кусков (правило 3). Для таких пар есть свои слова.

Две фигуры равновелики, если их площади равны. Два многоугольника равносоставлены, если один из них можно разрезать на конечное число многоугольников и сложить из этих кусков другой.

Равносоставленные многоугольники, как мы только что убедились, равновелики. Главный вопрос мастерской — обратный: если две фигуры равновелики, всегда ли одну можно перекроить в другую? Для многоугольников ответ будет «да», и это совсем не очевидно. Для круга и квадрата — «нет», если резать ножницами. А с объёмами ножницы отказывают даже для многогранников.

Три перекройки

Первые заказы — фигуры, площади которых проходят в школе. Каждую формулу можно вывести одним-двумя разрезами, и каждый раз фигура превращается в другую, площадь которой уже известна.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Хитрость в том, чтобы отрезать от параллелограмма треугольник и приставить его с другой стороны.

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, $AB = a$ — основание. Опустим из $D$ перпендикуляр $DH$ на прямую $AB$; его длина — высота $h$. Сначала пусть точка $H$ попала на отрезок $AB$.

Разрежем по $DH$: получатся прямоугольный треугольник $AHD$ и трапеция $HBCD$.

Сдвинем треугольник $AHD$ вдоль основания на расстояние $a$, в направлении от $A$ к $B$. Точка $A$ попадёт в $B$, а $D$ — в $C$: противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому путь от $D$ до $C$ — тот же сдвиг, что и от $A$ до $B$. Точка $H$ уйдёт на продолжение основания, в точку $H'$, а треугольник ляжет вплотную к стороне $BC$.

Получился четырёхугольник $HH'CD$. Углы при $H$ и $H'$ прямые (сдвиг не меняет углов), $HH' = a$, а стороны $DH$ и $CH'$ равны $h$. Это прямоугольник со сторонами $a$ и $h$.

Площадь прямоугольника равна $ah$, а параллелограмм состоит из тех же кусков. Значит, $S = ah$.

Доказательство опиралось на удачу: точка $H$ попала на основание. У очень косого параллелограмма высота падает мимо, и отрезанный треугольник уже не помещается на место. Выручает другой раскрой. Каждая горизонтальная прямая пересекает параллелограмм по отрезку длины ровно $a$. Разрежем фигуру вертикальными линиями через каждые $a$ единиц и сдвинем полосы влево на целое число длин $a$. Все полосы лягут в один и тот же прямоугольник $a \times h$, а горизонтальные отрезки на каждой высоте сложатся встык, без щелей и нахлёста. Кусков станет больше, но способ годится для любого наклона.

Тяните вершину $D$ далеко вправо или влево и нажмите «Сложить прямоугольник». Вершины можно двигать и тогда, когда прямоугольник уже сложен: он не меняется, пока не меняются $a$ и $h$.

Сторона, которую назначили основанием. Годится любая.

Высота к этой стороне — расстояние между прямыми $AB$ и $CD$, а не длина боковой стороны.

Пример: $a = 5$, $h = 3{,}5$, поэтому $S = 5 \cdot 3{,}5 = 17{,}5$. С основанием $AD$ пришлось бы взять высоту к $AD$, и произведение вышло бы тем же.

У параллелограмма стороны $5$ и $3$. Чему равна его площадь?

Площадь равна основанию, умноженному на высоту, а высота зависит от угла между сторонами. Если параллелограмм «сложить», высота стремится к нулю, если выпрямить в прямоугольник — вырастет до $3$. Площадь может быть любым числом от $0$ до $15$, а ровно $15$ получается только у прямоугольника.

Треугольник. В главе 17 формула $S = \frac12 ah$ получилась из того, что два одинаковых треугольника складываются в параллелограмм. Мастерская умеет больше: перекроить сам треугольник, не удваивая его.

Треугольник с основанием $a$ и высотой $h$ равносоставлен с параллелограммом, у которого основание $a$ и высота $\frac h2$. Поэтому $S = \frac12 ah$.

Отрежем верхушку по средней линии и повернём её вокруг середины стороны.

Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$. Отрезок $MN$ — средняя линия: он параллелен $AB$. Треугольник $MNC$ подобен $ABC$ с коэффициентом $\frac12$, поэтому его высота из $C$ равна $\frac h2$, и средняя линия проходит ровно на половине высоты.

Разрежем по $MN$ и повернём треугольник $MNC$ на $180^\circ$ вокруг точки $N$. Поскольку $N$ — середина $BC$, вершина $C$ попадёт в $B$. Поворот на $180^\circ$ переводит в себя любую прямую, проходящую через центр поворота, поэтому $M$ окажется на продолжении $MN$ за точкой $N$, в точке $M'$ с $NM' = NM$.

Поворот на $180^\circ$ переводит любую прямую в параллельную ей. Прямая $CM$ перешла в прямую $BM'$, значит, $BM' \parallel AM$. Кроме того, $MM'$ лежит на средней линии, параллельной $AB$. У четырёхугольника $ABM'M$ противоположные стороны попарно параллельны: это параллелограмм.

Основание параллелограмма $ABM'M$ — отрезок $AB = a$, высота — расстояние от $AB$ до средней линии, то есть $\frac h2$. Его площадь $a \cdot \frac h2$, и столько же у треугольника. Способ работает для любого треугольника, в том числе тупоугольного.

Трапеция. Тот же приём — поворот на $180^\circ$ вокруг середины стороны — превращает её в треугольник.

Площадь трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$ равна $\frac{a + b}{2} \cdot h$.

Превратим трапецию в треугольник той же высоты, у которого основание равно сумме оснований трапеции.

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AB = a$ и $DC = b$, $M$ — середина боковой стороны $BC$.

Разрежем трапецию по отрезку $DM$ и повернём треугольник $DCM$ на $180^\circ$ вокруг $M$. Вершина $C$ перейдёт в $B$, потому что $M$ — середина $BC$. Вершина $D$ перейдёт в точку $E$ на продолжении $DM$, причём $ME = MD$.

Прямая $DC$ при повороте перешла в параллельную ей прямую через точку $B$. Через $B$ параллельно $DC$ проходит только одна прямая — $AB$: так говорит пятый постулат. Значит, $E$ лежит на продолжении $AB$, и $BE = DC = b$.

Трапеция превратилась в треугольник $AED$ с основанием $AE = a + b$ и прежней высотой $h$. Его площадь $\frac12 (a + b)\,h$.

Нижнее основание.

Верхнее основание. При $b = 0$ трапеция вырождается в треугольник, и формула превращается в $\frac12 ah$; при $b = a$ получается параллелограмм и $S = ah$.

Высота — расстояние между основаниями.

Пример: $a = 7$, $b = 3$, $h = 4$, поэтому $S = \frac{7 + 3}{2} \cdot 4 = 20$. Дробь $\frac{a + b}{2}$ — длина средней линии трапеции: трапеция равновелика прямоугольнику со сторонами «средняя линия» и «высота».

Участок имеет форму трапеции: параллельные стороны $11$ м и $5$ м, расстояние между ними $6$ м. Найдите площадь участка в квадратных метрах.

$S = \frac{11 + 5}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ м². Проверка перекройкой: треугольник с основанием $11 + 5 = 16$ и высотой $6$ имеет площадь $\frac12 \cdot 16 \cdot 6 = 48$.

Клетчатая бумага

Нарисуйте на клетчатой бумаге многоугольник с вершинами в узлах сетки. Его площадь можно найти вообще без разрезов — достаточно пересчитать точки: узлы строго внутри и узлы на границе (вершины тоже считаются). Формулу нашёл в 1899 году австрийский математик Георг Пик.

Тяните вершины, добавляйте и убирайте их. Зелёные точки — узлы внутри, синие — на границе. Площадь виджет считает отдельно, по координатам вершин. Включите «вершины не только в узлах» и сломайте формулу.

Число узлов сетки строго внутри многоугольника.

Число узлов на границе, включая вершины. Граничный узел «наполовину внутри», поэтому идёт с весом $\frac12$.

Поправка на углы. Вершина многоугольника «отрезает» от своего узла меньше половины, и вместе эти недостачи дают ровно единицу.

Пример: у «домика» с вершинами $(2; 1)$, $(7; 1)$, $(7; 4)$, $(4; 6)$, $(2; 4)$ внутри $14$ узлов и на границе $14$, так что $S = 14 + 7 - 1 = 20$. Проверка разрезом: прямоугольник $5 \times 3$ и крыша-треугольник с основанием $5$ и высотой $2$ дают $15 + 5 = 20$.

Если все вершины многоугольника без самопересечений и дыр лежат в узлах квадратной сетки со стороной $1$, то его площадь равна $I + \frac B2 - 1$, где $I$ — число узлов внутри, $B$ — на границе.

Покажем, что величина $f = I + \frac B2 - 1$ ведёт себя как площадь: складывается при разрезании и совпадает с площадью у простейших фигур.

Разрежем многоугольник отрезком с концами в узлах на две части; пусть на разрезе, кроме концов, лежат ещё $k$ узлов. Эти $k$ узлов для частей граничные, а для целого — внутренние: $I = I_1 + I_2 + k$. Концы разреза и эти $k$ узлов посчитаны на границах обеих частей: $B = B_1 + B_2 - 2k - 2$. Подставляем: $I + \frac B2 - 1 = I_1 + I_2 + k + \frac{B_1 + B_2}{2} - k - 1 - 1 = \left(I_1 + \frac{B_1}{2} - 1\right) + \left(I_2 + \frac{B_2}{2} - 1\right)$. Величина $f$ складывается, как площадь.

Прямоугольник $m \times n$ со сторонами по линиям сетки. Внутри $(m - 1)(n - 1)$ узлов, на границе $2m + 2n$. Тогда $f = mn - m - n + 1 + m + n - 1 = mn$ — ровно площадь.

Прямоугольный треугольник с катетами $m$ и $n$ вдоль линий сетки — половина такого прямоугольника, разрезанного диагональю. Две половины переходят друг в друга поворотом на $180^\circ$ вокруг центра прямоугольника, и этот поворот переводит узлы в узлы, поэтому $f$ у половин одинаково. По шагу 1 их сумма равна $mn$, значит, у треугольника $f = \frac{mn}{2}$ — снова площадь.

Произвольный треугольник с вершинами в узлах. Впишем его в наименьший прямоугольник со сторонами по линиям сетки. Остаток прямоугольника распадается не больше чем на три прямоугольных треугольника из шага 3 и, может быть, прямоугольник. У каждого куска $f$ равно площади, а значения $f$ по шагу 1 складываются так же, как площади. Вычтем из прямоугольника куски: у треугольника $f$ тоже равно площади.

Любой многоугольник режется диагоналями на треугольники с вершинами в тех же узлах. У каждого треугольника $f$ равно площади (шаг 4), при склеивании $f$ складывается (шаг 1). Значит, у всего многоугольника $I + \frac B2 - 1 = S$.

Почему любой многоугольник режется диагоналями на треугольники

Достаточно показать, что у любого многоугольника с числом вершин больше трёх есть диагональ, целиком лежащая внутри: она режет его на два многоугольника с меньшим числом вершин, и дальше можно повторять. Возьмём самую левую вершину $V$ и её соседей $U$ и $W$. Угол при $V$ меньше $180^\circ$: левее $V$ ничего нет. Если в треугольнике $UVW$ нет других вершин многоугольника, отрезок $UW$ — нужная диагональ. Если есть, возьмём из них ту, что дальше всех от прямой $UW$; отрезок от неё до $V$ не пересекает сторон и тоже годится.

Формула рушится, стоит нарушить условия. Если вершина не в узле, точки считают уже не то, что нужно, — попробуйте в виджете. Если в многоугольнике есть дыры, к правой части добавляется по единице на каждую. А в пространстве аналога нет вовсе: в 1957 году британский математик Джон Рив построил тетраэдры с вершинами в узлах кубической решётки, у которых внутри и на гранях нет ни одного узла, кроме вершин, а объём сколь угодно велик.

Треугольник имеет вершины в узлах $(0; 0)$, $(6; 0)$ и $(2; 4)$. Сколько узлов сетки лежит строго внутри него? Подсказка: площадь найти легко, а узлы на сторонах можно посчитать через наибольшие общие делители.

Площадь $\frac12 \cdot 6 \cdot 4 = 12$. На стороне от $(0; 0)$ до $(6; 0)$ лежат $7$ узлов. Сторона от $(6; 0)$ до $(2; 4)$ идёт со сдвигом $(-4; 4)$ и проходит через $\text{НОД}(4, 4) + 1 = 5$ узлов, сторона от $(2; 4)$ до $(0; 0)$ со сдвигом $(-2; -4)$ — через $\text{НОД}(2, 4) + 1 = 3$ узла. Каждую вершину мы посчитали дважды, поэтому $B = 7 + 5 + 3 - 3 = 12$. По формуле Пика $I = S - \frac B2 + 1 = 12 - 6 + 1 = 7$.

Любой многоугольник — в любой

До сих пор мастерская перекраивала фигуры в такие, площадь которых мы уже знали. Главный вопрос звучал шире: можно ли перекроить друг в друга любые два равновеликих многоугольника — скажем, букву «Г» в правильный пятиугольник той же площади? В первой трети XIX века это доказали несколько человек независимо. Теорему называют по двоим из них — венгерскому математику Фаркашу Бойяи, отцу Яноша Бойяи, одного из создателей неевклидовой геометрии, и немцу Паулю Гервину, опубликовавшему доказательство в 1833 году.

Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

План: научиться превращать любой многоугольник в прямоугольную полоску ширины $1$. Если это получится для обоих многоугольников, полоски выйдут одинаковыми — длина каждой равна площади, — и останется наложить один раскрой на другой.

Первый шаг — разрезать многоугольник диагоналями на треугольники, как в доказательстве формулы Пика.

Каждый треугольник перекроим в параллелограмм поворотом верхушки вокруг середины стороны, а параллелограмм — в прямоугольник полосами. Теперь многоугольник разрезан на куски, из которых складываются несколько прямоугольников.

Главная лемма: прямоугольник $a \times b$ перекраивается в прямоугольник со стороной $1$. Если $b > 1$, разрежем его поперёк пополам и положим половинки рядом; повторим, пока высота не станет не больше $1$. Теперь построим параллелограмм с тем же основанием $a$ и той же высотой $b$, но с боковой стороной длины ровно $1$ — наклонить её так можно, потому что $1 \ge b$. Прямоугольник и этот параллелограмм равносоставлены: основание и высота у них общие, а полосы работают при любом наклоне.

Посмотрим на тот же параллелограмм иначе: пусть основанием будет боковая сторона длины $1$. Площадь не изменилась, она равна $ab$, поэтому высота к новому основанию равна $ab$. Перекроим параллелограмм полосами ещё раз — в прямоугольник $1 \times ab$.

Поставим все прямоугольники ширины $1$ друг на друга: получится полоска $1 \times S$, где $S$ — площадь многоугольника. То же проделаем со вторым многоугольником и получим ту же полоску. На полоске теперь два раскроя: линии первого и линии второго. Вместе они режут её на мелкие куски, и каждый мелкий кусок целиком лежит и в каком-то куске первого раскроя, и в каком-то куске второго.

Разрежем первый многоугольник на эти мелкие куски, сложим из них полоску, а из полоски — второй многоугольник. Все разрезы прямые, кусков конечное число. Многоугольники равносоставлены.

Доказательство дарит рецепт, но расточительный: кусков выходит много, и чем меньше фигуры похожи, тем больше. Искать самые экономные раскрои — отдельный вид спорта, и его чемпион жил в Англии сто с лишним лет назад.

Галантерейщик и четыре куска

Генри Дьюдени (1857–1930) был, пожалуй, самым изобретательным составителем головоломок своего времени. В 1902 году он загадал в газетной колонке задачу о галантерейщике: разрезать кусок ткани в форме равностороннего треугольника на четыре части, из которых складывается квадрат. В 1907 году задача вошла в его книгу «Кентерберийские головоломки». Решение оказалось красивее, чем можно было надеяться: четыре куска можно соединить шарнирами в цепочку, и она складывается то в треугольник, то в квадрат. Модель из красного дерева с латунными петлями Дьюдени показал в 1905 году на заседании Лондонского королевского общества.

Нажмите «Сложить» или ведите ползунок: каждый кусок поворачивается на $180^\circ$ вокруг своего шарнира. «Показать построение» рисует линии, которыми находят разрезы.

Разрезы находят циркулем и линейкой. Треугольник со стороной $2$ имеет площадь $\sqrt3$, поэтому сторона нужного квадрата равна $\sqrt{\sqrt3} = \sqrt[4]{3} \approx 1{,}316$. Такой отрезок строится как среднее геометрическое. Пусть $E$ — середина стороны $BC$; медиана $AE$ имеет длину $\sqrt3$. Продолжим её за $E$ на $EF = 1$ и построим полуокружность на $AF$ как на диаметре. Перпендикуляр к $AF$ в точке $E$ пересечёт её в точке $H$, и $EH^2 = AE \cdot EF = \sqrt3$: треугольник $AHF$ прямоугольный, потому что опирается на диаметр, а высота прямоугольного треугольника — среднее геометрическое отрезков гипотенузы (это следует из подобия двух треугольников, на которые высота его делит). Дальше окружность радиусом $EH$ с центром $E$ отмечает точку $J$ на стороне $AC$, от неё откладывают $JK = 1$, а на $EJ$ опускают перпендикуляры из $K$ и из середины $D$ стороны $AB$.

Больше века никто не сомневался, что четыре куска — предел, но и доказать этого не мог. Только в 2024 году Эрик Демейн, Тонан Камата и Рюхэй Уэхара доказали: из трёх кусков квадрат из равностороннего треугольника не сложить.

Круг, который не режется

С многоугольниками мастерская справилась. Теперь заказ, ради которого её, в сущности, и открывали, — большой вопрос №2. Круг и квадрат одной площади: можно ли разрезать круг на куски и сложить из них квадрат? Ножницами по прямым — нет, и причину видно невооружённым глазом.

Двигайте концы разрезов по окружности и раздвигайте куски. Жирные линии — куски исходной окружности. Попробуйте получить кусок, у которого дуга выгнута внутрь.

Круг нельзя разрезать прямыми разрезами на конечное число кусков так, чтобы из них сложился квадрат.

Суть в том, что у каждого куска дуги окружности выгнуты наружу, а чтобы выпуклой дуге было куда лечь, у соседа нужна вогнутая.

Граница любого куска состоит из отрезков разрезов и дуг исходной окружности. Кусок лежит внутри круга, то есть с вогнутой стороны своей дуги: для куска дуга всегда «горбом наружу». Сдвиг, поворот и переворот этого не меняют.

Допустим, куски сложились в квадрат. Возьмём кусок $Q$ с дугой и точку $p$ на дуге, которая не совпадает ни с чьей вершиной и не лежит на сторонах квадрата. Такая точка найдётся: вершин конечное число, а окружность пересекает каждую из четырёх сторон не больше чем в двух точках. Значит, вокруг $p$ квадрат со всех сторон заполнен кусками.

С выпуклой стороны дуги рядом с $p$ лежат точки квадрата, не принадлежащие $Q$. Их занимает другой кусок $Q'$, и его граница возле $p$ обязана идти по той же дуге: иначе между кусками осталась бы щель или они налегли бы друг на друга. Но для $Q'$ эта дуга выгнута внутрь — $Q'$ лежит с её выпуклой стороны.

По шагу 1 вогнутых дуг нет ни у одного куска. Противоречие: сложить квадрат нельзя.

Дело не только в прямоте разрезов: в 1963 году американские математики Лестер Дубинс, Моррис Хирш и Джек Каруш доказали, что не помогут и ножницы, режущие по любым кривым. Циркулем и линейкой квадрат нужной площади тоже не построить — это следует из трансцендентности числа $\pi$, которую доказал Линдеман в 1882 году (глава 6). И всё же в 1990 году венгерский математик Миклош Лацкович доказал, что круг можно разрезать на конечное число кусков и сложить из них квадрат, причём куски даже не нужно поворачивать — только сдвигать. Кусков понадобится порядка $10^{50}$, и это не фигуры, а причудливые облака точек, которые ни нарисовать, ни вырезать нельзя. Как такое возможно и почему площадь при этом не нарушается, объясняет глава 54: там большой вопрос №2 будет закрыт.

Куб и тетраэдр

Перейдём в пространство. Объём, как и площадь, задают правилами.

Объём многогранника — число, сопоставленное ему по тем же четырём правилам, что и площадь: он неотрицателен, у равных многогранников одинаков, при разрезании складывается, а у куба с ребром $1$ равен $1$.

Объём прямоугольного параллелепипеда $a \times b \times c$ равен $abc$: доказательство слово в слово повторяет рассуждение о прямоугольнике, только вместо квадратиков — кубики, а вместо двух сторон — три ребра. Естественно ожидать и пространственного аналога теоремы Бойяи — Гервина: любые два многогранника одного объёма режутся друг в друга. Тогда объём любой пирамиды можно было бы найти, перекроив её в параллелепипед.

Но школьные учебники выводят объём пирамиды иначе — через бесконечную последовательность всё более мелких разрезов, как Евклид в XII книге «Начал». Гаусс в письмах к своему ученику Кристиану Герлингу сожалел, что объём пирамиды не удаётся найти без такого предельного перехода. В 1900 году на Международном конгрессе математиков в Париже Давид Гильберт назвал 23 задачи на новый век, и третья из них была именно об этом: найти два тетраэдра с равными основаниями и высотами, которые нельзя перекроить друг в друга. В том же году её решил ученик Гильберта Макс Ден. Это была первая решённая проблема из списка.

Куб и правильный тетраэдр одного объёма не равносоставлены.

Полное доказательство требует инструментов, до которых курс дойдёт позже, поэтому здесь — его идея. Ден нашёл величину, которая, как и объём, не меняется при разрезании и перекладывании, но у куба и тетраэдра разная. Для каждого ребра многогранника берут его длину и двугранный угол при нём, то есть угол между гранями, сходящимися на ребре, и составляют «сумму длин, умноженных на углы». Складывать приходится хитро: углы, составляющие рациональную долю от $180^\circ$, считаются нулём. Тогда разрез через ребро делит угол при нём на части, которые в сумме дают прежний угол, а новые рёбра внутри тела приносят углы, в сумме равные $180^\circ$ или $360^\circ$, то есть нулю. У куба все двугранные углы прямые — половина от $180^\circ$, — и величина Дена равна нулю. У правильного тетраэдра двугранный угол равен $\arccos\frac13 \approx 70{,}53^\circ$, и это не рациональная доля $180^\circ$, поэтому величина Дена не ноль. Аккуратно определить такое «сложение с точностью до рациональных долей» позволяют векторные пространства над рациональными числами (глава 37). А в 1965 году швейцарец Жан-Пьер Сидлер доказал обратное: если у двух многогранников совпадают объём и величина Дена, их можно перекроить друг в друга.

Вывод для мастерской неутешительный: для объёмов одних ножниц мало, нужен предельный переход — нарезка на бесконечно тонкие слои. Самый удобный его вариант умещается в стопку монет.

Стопка монет

Сложите стопку монет и подтолкните её сбоку. Стопка перекосится, изогнётся, но металла в ней не прибавится и не убавится: монеты те же. Если монеты бесконечно тонкие, сдвиг слоёв превращает прямой цилиндр в наклонный или в любую изогнутую «змейку», а объём остаётся прежним. В 1635 году итальянский монах и математик Бонавентура Кавальери, ученик Галилея, сделал из этого наблюдения метод в книге «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного».

Тяните две точки — середину и верх стопки — или выберите форму. Переключатель заменяет монеты квадратными пластинками той же площади: объём снова тот же.

Пусть два тела лежат между двумя параллельными плоскостями, и каждая плоскость, параллельная им, пересекает оба тела по фигурам равной площади. Тогда объёмы тел равны.

Строгое доказательство требует интеграла: в главе 28 объём тела окажется «суммой» площадей его сечений, $\int S(z)\,dz$, и равные сечения дадут равные интегралы. Здесь — идея, которая этот интеграл и подсказывает. Нарежем оба тела на $n$ слоёв одинаковой толщины $\frac hn$ плоскостями, параллельными данным. Каждый слой заменим «монетой» — прямым цилиндром, основание которого совпадает с сечением на нижней границе слоя. По условию основания соответствующих монет у двух тел равны по площади, толщины тоже равны, поэтому стопки монет имеют равные объёмы. Чем тоньше слои, тем точнее стопка повторяет своё тело: разница между телом и стопкой — тонкая «бахрома» по краям слоёв, и её объём стремится к нулю. Значит, объёмы тел — пределы одной и той же величины, и они равны.

У Кавальери был предшественник на другом конце света. В Китае на рубеже V и VI веков Цзу Гэн, сын астронома Цзу Чунчжи (того самого, что нашёл для $\pi$ дробь $\frac{355}{113}$), сформулировал то же правило: если площади сечений на каждой высоте одинаковы, объёмы не могут различаться. С его помощью он нашёл объём шара — задачу, на которой двумя с лишним веками раньше остановился комментатор «Математики в девяти книгах» Лю Хуэй.

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы. Цилиндр устроен так же, только основания — круги.

Объём призмы или цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту: $V = Sh$ — даже если тело наклонное.

Поставим рядом прямоугольный параллелепипед высоты $h$ с основанием-прямоугольником $S \times 1$. Любая плоскость, параллельная основаниям, пересекает призму по многоугольнику, равному основанию: сдвиг вдоль боковых рёбер переводит основание в сечение. Значит, площадь сечения равна $S$ — как и у параллелепипеда. По принципу Кавальери объёмы равны, а объём параллелепипеда $S \cdot 1 \cdot h = Sh$. Для цилиндра рассуждение то же.

Пирамида — треть призмы

Пирамида — многогранник, одна грань которого — многоугольник (основание), а остальные — треугольники с общей вершиной. Высота пирамиды — расстояние от этой вершины до плоскости основания. Конус устроен так же, только основание — круг.

Что пирамида занимает треть призмы с тем же основанием и той же высотой, знали задолго до доказательств. Московский математический папирус, записанный около 1850 года до нашей эры и хранящийся в ГМИИ имени Пушкина, в задаче 14 находит объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями $4$ и $2$ и высотой $6$ по правилу, равносильному формуле $V = \frac h3\left(a^2 + ab + b^2\right)$: выходит $2 \cdot (16 + 8 + 4) = 56$. По словам Архимеда, утверждение о трети первым высказал Демокрит, а доказал Евдокс.

Нагляднее всего это видно на кубе: его можно разрезать на три одинаковые пирамиды с общей вершиной.

Раздвиньте пирамиды ползунком и покрутите куб. Основание каждой пирамиды — грань куба, не проходящая через вершину $P$.

У каждой из трёх пирамид основание — квадрат $a \times a$, высота — ребро $a$, а объём — треть куба: $\frac13 a^3 = \frac13 \cdot a^2 \cdot a$. Для общего случая понадобятся принцип Кавальери и одна лемма.

Две пирамиды (или пирамида и конус) с равными площадями оснований и равными высотами имеют равные объёмы.

Сравним сечения на одной высоте и применим принцип Кавальери.

Поставим пирамиды на одну плоскость: высота обеих $h$, площадь оснований $S$. Проведём плоскость, параллельную основаниям, на высоте $z$.

Сечение пирамиды — уменьшенная копия основания. Плоскость сечения параллельна основанию, поэтому делит в одном и том же отношении высоту и любой отрезок от вершины до точки основания — так же, как параллельные прямые в теореме о пропорциональных отрезках. От вершины до сечения — доля $k = \frac{h - z}{h}$ каждого такого отрезка. Поэтому сечение подобно основанию с коэффициентом $k$, а площадь подобной фигуры умножается на $k^2$ (её можно разрезать на треугольники, и у каждого основание и высота умножаются на $k$).

Значит, у обеих пирамид площадь сечения на высоте $z$ равна $S\left(\frac{h - z}{h}\right)^2$ — одно и то же число, какой бы формы ни было основание. У конуса то же: его сечение — круг, уменьшенный в том же отношении.

Сечения равны на любой высоте, поэтому по принципу Кавальери объёмы равны.

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту: $V = \frac13 Sh$. Объём конуса с радиусом основания $r$ и высотой $h$ равен $\frac13 \pi r^2 h$.

Идея Евклида (предложение XII.7): треугольная призма режется на три пирамиды, и по лемме у них попарно равные объёмы.

Пусть $ABCA'B'C'$ — треугольная призма, вершины $A'$, $B'$, $C'$ лежат над $A$, $B$, $C$; площадь основания $S$, высота $h$. Первый разрез — плоскостью $A'BC$: он отрезает пирамиду $A'ABC$ с вершиной $A'$ и основанием $ABC$.

Оставшаяся часть — четырёхугольная пирамида с вершиной $A'$ и основанием-параллелограммом $BCC'B'$. Второй разрез — плоскостью $A'BC'$ через диагональ $BC'$: он делит её на пирамиды $A'BB'C'$ и $A'BCC'$.

Сравним первую и вторую. Вторую, $A'BB'C'$, будем считать пирамидой с основанием $A'B'C'$ и вершиной $B$. Её основание равно основанию призмы, а вершина $B$ лежит в плоскости нижнего основания, поэтому высота равна $h$. У первой основание $ABC$ и высота тоже $h$. По лемме объёмы равны.

Сравним вторую и третью, взяв у обеих вершину $A'$. Их основания — треугольники $BB'C'$ и $BCC'$, на которые диагональ $BC'$ делит параллелограмм $BCC'B'$, — равны. Высота у обеих — расстояние от $A'$ до плоскости этого параллелограмма. По лемме объёмы снова равны.

Три пирамиды равного объёма составляют призму объёмом $Sh$, значит, каждая — $\frac13 Sh$. Любая другая пирамида или конус с площадью основания $S$ и высотой $h$ по лемме имеет тот же объём.

Площадь основания. Для конуса $S = \pi r^2$.

Высота — расстояние от вершины до плоскости основания, а не длина бокового ребра.

Пример: пирамида Хеопса в момент постройки имела квадратное основание со стороной около $230{,}3$ м и высоту около $146{,}6$ м. Её объём $\frac13 \cdot 230{,}3^2 \cdot 146{,}6 \approx 2{,}59$ млн м³ — столько же, сколько у куба с ребром около $137$ м.

Вафельный рожок — конус с радиусом основания $3$ см и высотой $10$ см. Сколько кубических сантиметров мороженого в нём помещается вровень с краем? Ответ можно записать через $\pi$ или десятичной дробью.

$V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \cdot \pi \cdot 9 \cdot 10 = 30\pi \approx 94{,}2$ см³. Цилиндрический стаканчик тех же размеров вместил бы втрое больше, $90\pi \approx 282{,}7$ см³.

Шар в цилиндре

Сфера радиуса $R$ — поверхность, состоящая из всех точек пространства на расстоянии $R$ от центра. Шар — тело, ограниченное сферой: все точки на расстоянии не больше $R$ от центра. У сферы есть площадь, у шара — объём.

В 75 году до нашей эры квестор Сицилии Марк Туллий Цицерон разыскал близ Сиракуз заросшую терновником могилу Архимеда. Узнал он её по колонне, на которой были изображены шар и описанный около него цилиндр. По рассказу Плутарха, Архимед сам просил поставить на своей могиле этот рисунок: объём шара составляет две трети объёма описанного цилиндра, и этот результат он ценил выше прочих. Докажем его средствами, которые у нас уже есть, — сечениями.

Объём шара радиуса $R$ равен $\frac43 \pi R^3$.

Нужно тело, у которого на каждой высоте такое же сечение, как у полушара, но объём которого мы уже умеем считать.

Поставим на плоскость полушар радиуса $R$. Рядом поставим цилиндр радиуса $R$ и высоты $R$ и вынем из него конус, вершина которого — центр нижнего основания цилиндра, а основание — верхнее основание цилиндра.

Разрежем полушар плоскостью на высоте $z$. Сечение — круг. Его радиус $\rho$ — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $R$ (от центра шара до края сечения) и вторым катетом $z$. По теореме Пифагора $\rho^2 = R^2 - z^2$, и площадь сечения равна $\pi\left(R^2 - z^2\right)$.

Та же плоскость режет цилиндр без конуса по кольцу. Внешний радиус кольца — радиус цилиндра $R$. Внутренний — радиус конуса на высоте $z$: у конуса высота и радиус основания равны $R$, поэтому радиус его сечения растёт вместе с высотой и на высоте $z$ равен $z$. Площадь кольца $\pi R^2 - \pi z^2$.

Площади совпали: $\pi\left(R^2 - z^2\right) = \pi R^2 - \pi z^2$ на любой высоте от $0$ до $R$. По принципу Кавальери объём полушара равен объёму цилиндра без конуса: $\pi R^2 \cdot R - \frac13 \pi R^2 \cdot R = \frac23 \pi R^3$.

Шар — два полушара, его объём $\frac43 \pi R^3$. Описанный цилиндр (радиус $R$, высота $2R$) имеет объём $2\pi R^3$, и шар занимает ровно две трети — то, что было на могиле Архимеда.

Две трети от двух: шар занимает $\frac23$ описанного цилиндра, а объём цилиндра — $2\pi R^3$.

Куб радиуса, умноженный на $\pi$. Радиус вдвое больше — объём в $2^3 = 8$ раз больше.

Пример: шар радиуса $3$ имеет объём $\frac43 \pi \cdot 27 = 36\pi \approx 113{,}1$. Земля со средним радиусом около $6371$ км — примерно $1{,}08 \cdot 10^{12}$ км³.

Один арбуз в диаметре $30$ см, другой — $20$ см. Во сколько раз в первом больше мякоти, если считать арбузы шарами?

Отношение радиусов $\frac32$, а объём пропорционален кубу радиуса: $\left(\frac32\right)^3 = \frac{27}{8} \approx 3{,}4$. Первый арбуз всего в полтора раза «шире», но мякоти в нём больше, чем в трёх вторых.

Осталась площадь сферы. Её тоже можно получить из объёма — тем же приёмом, каким площадь круга получается из длины окружности.

Площадь сферы радиуса $R$ равна $4\pi R^2$ — ровно четырём площадям большого круга.

Покроем сферу мелкой сеткой, как глобус параллелями и меридианами, и соединим каждую ячейку с центром. Шар распадётся на множество тонких «пирамидок» с вершиной в центре. Основание каждой — ячейка сферы, почти плоская, если ячейки мелкие, а высота почти равна $R$. Объём пирамидки примерно равен трети площади ячейки, умноженной на $R$. Сложив все пирамидки, получим, что объём шара примерно равен $\frac13 R \cdot S$, где $S$ — площадь сферы. При измельчении сетки погрешность стремится к нулю, и равенство становится точным: $\frac43 \pi R^3 = \frac13 R S$. Отсюда $S = 4\pi R^2$. Строгое обоснование такого перехода к пределу даёт интеграл.

Четыре больших круга. Кухонный опыт: снимите кожуру с апельсина и уложите её кусочками в круги радиусом с апельсин — хватит примерно на четыре.

Площадь большого круга — сечения через центр.

Пример: для Земли $R \approx 6371$ км, и $S \approx 4\pi \cdot 6371^2 \approx 5{,}1 \cdot 10^8$ км² — около $510$ млн квадратных километров. Боковая поверхность описанного цилиндра, $2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2$, — та же самая. Это Архимед тоже знал.

Радиус шара увеличили вдвое. Во сколько раз увеличился его объём?

$\frac43 \pi (2R)^3 = 8 \cdot \frac43 \pi R^3$ — в $8$ раз. Площадь сферы при этом выросла только в $4$ раза, и на каждый квадратный сантиметр поверхности теперь приходится вдвое больше объёма. Поэтому крупные животные остывают медленнее мелких.

Заказы на дом

Мастерская закрывается, но заказы остались. В тренажёре три уровня: площади многоугольников по формулам этой главы; клетчатая бумага, где выручает формула Пика; объёмы призм, пирамид, цилиндров, конусов и шаров.

Куда дальше

Всё, что мы измеряли в этой главе, можно было потрогать: разрезать, переложить, положить на весы. Но бывают размеры, до которых не дотянуться ни ножницами, ни рулеткой. Высоту Эвереста геодезисты Британской Индии вычислили в 1856 году — почти за сто лет до того, как в 1953 году Эдмунд Хиллари и Тенцинг Норгей впервые поднялись на вершину. Сами геодезисты к горе не приближались: их инструменты стояли на равнинах Индии, за сотню с лишним километров от неё, и измеряли только углы. Как по углам найти расстояние и высоту, а заодно и размер всей Земли, рассказывает тригонометрия.