Часть II · Алгебра Глава 15 из 60
Комплексные числа
Число, квадрат которого равен −1, почти триста лет считали невозможным. Проследим, как оно превращалось из фокуса в символ, из символа в точку, а из точки в поворот, и что после этого стало с уравнениями.
Опирается на: 14 · Многочлены
Вы научитесь
- складывать, умножать и делить комплексные числа и изображать их точками плоскости
- понимать умножение как поворот с растяжением и возводить в степень по формуле Муавра
- находить корни n-й степени и решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом
- объяснять, почему у многочлена степени n ровно n комплексных корней
1Почему минус на минус даёт плюс?
Прошлая глава закончилась фокусом, который не был фокусом. Рафаэль Бомбелли решал уравнение $x^3 = 15x + 4$ по формуле Кардано и получил $\sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}}$. Он предположил, что кубические корни имеют вид $2 \pm \sqrt{-1}$, проверил это, считая с $\sqrt{-1}$ как с обычным числом, сложил и получил $4$ — верный корень. Числа, которого «не бывает», хватило, чтобы честно дойти до ответа.
Эта глава — история превращений одного числа. Сначала оно было призраком, который появлялся посреди вычислений и исчезал к ответу. Потом стало символом с правилами действий. Потом — точкой на плоскости. А потом выяснилось, что умножение на него — это поворот, и это наконец объяснило, почему минус на минус даёт плюс. В главе 2 умножение на $-1$ оказалось разворотом на $180^\circ$, и мы спросили: нет ли числа, умножение на которое поворачивает на $90^\circ$? Сейчас мы его построим.
Призрак
Первым с корнем из отрицательного числа столкнулся Кардано. В «Великом искусстве» (1545) он разделил $10$ на две части с произведением $40$, получил $5 + \sqrt{-15}$ и $5 - \sqrt{-15}$, проверил, что произведение сходится, и назвал такое вычисление столь же тонким, сколь бесполезным. Бомбелли в «Алгебре» (1572) пошёл дальше: дал новым величинам имена, «più di meno» и «meno di meno», то есть «плюс от минуса» и «минус от минуса», и выписал правила умножения, в том числе главное — «плюс от минуса на плюс от минуса даёт минус».
Название, которое осталось в языке, придумал Декарт. В «Геометрии» (1637) он писал, что корни уравнения бывают не только истинными и ложными (положительными и отрицательными), но и «воображаемыми» — imaginaires. По-русски их называют мнимыми. Лейбниц в 1702 году назвал мнимый корень чудом анализа, «уродцем из мира идей, почти амфибией между бытием и небытием». Считать с ними умели все, понимать — никто.
Поступим так же, как в главе 2 с отрицательными числами: потребуем, чтобы новые числа подчинялись старым законам арифметики, и посмотрим, что из этого выйдет. Там этот подход назывался принципом перманентности. Добавим к действительным числам одно новое число с единственным свойством.
Мнимая единица $i$ — число, квадрат которого равен $-1$: $i^2 = -1$. Обозначение $i$ предложил Эйлер в 1777 году.
Раз $i$ можно умножать на действительные числа и складывать с ними, появятся выражения вида $a + bi$. Больше ничего не понадобится: сумма и произведение двух таких выражений снова имеют этот вид, в чём мы сейчас убедимся.
Комплексное число — число вида $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа. Число $a$ называют действительной частью $z$ и пишут $a = \operatorname{Re} z$, число $b$ — мнимой частью, $b = \operatorname{Im} z$. Два комплексных числа равны, когда равны и их действительные, и их мнимые части. Множество комплексных чисел обозначают $\mathbb C$.
Действительные числа — это комплексные числа с нулевой мнимой частью: $3 = 3 + 0i$. Числа вида $bi$ называют чисто мнимыми. Складывают комплексные числа почленно: $(2 + 3i) + (4 - i) = 6 + 2i$. Умножают, раскрывая скобки и заменяя $i^2$ на $-1$:
Степени $i$ повторяются с периодом четыре: $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, $i^4 = (i^2)^2 = 1$, дальше снова $i$. Поэтому $i^{2026} = i^{4 \cdot 506 + 2} = i^2 = -1$.
Вычислите $(4 + 3i)^2$.
По формуле квадрата суммы: $(4 + 3i)^2 = 16 + 2 \cdot 4 \cdot 3i + (3i)^2 = 16 + 24i + 9i^2$. Здесь $9i^2 = -9$, поэтому ответ $16 - 9 + 24i = 7 + 24i$. Заметьте: $|4 + 3i| = 5$, а $|7 + 24i| = \sqrt{49 + 576} = 25 = 5^2$. Почему модуль квадрата равен квадрату модуля, станет ясно чуть ниже.
Деление
Чтобы разделить на комплексное число, нужно избавиться от $i$ в знаменателе — так же, как в главе о корнях избавлялись от корня. Поможет число, которое отличается от данного только знаком мнимой части.
Сопряжённое к числу $z = a + bi$ — число $\bar z = a - bi$.
Для $z = a + bi$ произведение $z\bar z$ — неотрицательное действительное число: $z\bar z = a^2 + b^2$.
Перемножим по формуле произведения: $(a + bi)(a - bi) = (a \cdot a - b \cdot (-b)) + (a \cdot (-b) + b \cdot a)\,i = a^2 + b^2 + 0 \cdot i$. Мнимая часть сократилась, а сумма квадратов действительных чисел неотрицательна.
Складывать, вычитать, умножать и делить (кроме как на ноль) комплексные числа можно всегда, и все законы арифметики — переместительный, сочетательный, распределительный — выполняются: это проверяется прямым вычислением по формулам выше. Такие числовые системы называют полями; подробно о них — в главе о кольцах и полях.
А существуют ли такие числа?
Мы объявили $i^2 = -1$ и начали считать. А вдруг из этого правила, как из деления на ноль, рано или поздно выведется противоречие? В 1837 году ирландец Уильям Роуэн Гамильтон снял вопрос: комплексное число можно определить как упорядоченную пару действительных чисел $(a, b)$ с правилами $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ и $(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$. Никакого «мнимого» в этом определении нет, только действительные числа. Все законы арифметики для пар проверяются прямым вычислением, пары вида $(a, 0)$ ведут себя в точности как действительные числа, а пара $i = (0, 1)$ даёт $(0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0)$, то есть $-1$. Раз построенная из действительных чисел конструкция непротиворечива, противоречию взяться неоткуда.
Точка
Двести пятьдесят лет с мнимыми числами считали, не понимая, что они такое. Ответ нашли трое, независимо друг от друга. Норвежец Каспар Вессель, землемер, работавший в Дании, доложил его Датской академии в 1797 году; статья вышла в 1799-м и была замечена только через сто лет. Парижский любитель математики родом из Женевы Жан-Робер Арган в 1806 году издал о том же брошюру без имени автора. А Гаусс в 1831 году изложил ту же идею подробно — и его услышали все. Он же дал числам имя «комплексные», то есть составные.
Идея такая. Действительное число — точка на прямой. У комплексного числа две действительные «координаты», $a$ и $b$, значит, и место ему — на плоскости.
Комплексная плоскость — плоскость с прямоугольной системой координат, на которой число $a + bi$ изображается точкой $(a;\,b)$. Горизонтальная ось — действительная (на ней лежат обычные числа), вертикальная — мнимая.
Сложение на плоскости — сложение стрелок, как у векторов: действительные части складываются отдельно, мнимые отдельно, так что $z + w$ — четвёртая вершина параллелограмма, построенного на стрелках $0 \to z$ и $0 \to w$. Сопряжение — отражение относительно действительной оси. Расстояние от нуля до точки $a + bi$ по теореме Пифагора равно $\sqrt{a^2 + b^2}$.
Модуль комплексного числа $z = a + bi$ — расстояние от нуля до точки $z$: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Для действительных чисел это обычный модуль из главы 2.
Из параллелограмма сложения получается неравенство, которое в главе о треугольнике мы обещали увидеть на комплексной плоскости.
Для любых комплексных $z$ и $w$ выполняется $|z + w| \le |z| + |w|$. Равенство бывает, только когда одно из чисел равно нулю или стрелки $0 \to z$ и $0 \to w$ смотрят в одну сторону.
Хитрость в том, чтобы увидеть в параллелограмме сложения треугольник, стороны которого — ровно $|z|$, $|w|$ и $|z + w|$.
Поворот
Сложение на плоскости — старая знакомая, векторная операция. Настоящее превращение случается с умножением. Начнём с самого простого множителя — с $i$. Возьмём точку $z = 3 + 2i$ и умножим: $i(3 + 2i) = 3i + 2i^2 = -2 + 3i$. Точка $(3;\,2)$ перешла в точку $(-2;\,3)$. Ещё раз: $i(-2 + 3i) = -3 - 2i$. Ещё: $2 - 3i$. И ещё: снова $3 + 2i$.
Умножение на $i$ поворачивает комплексную плоскость вокруг нуля на $90^\circ$ против часовой стрелки: точка $(a;\,b)$ переходит в точку $(-b;\,a)$.
Хитрость в том, чтобы повернуть не точку, а прямоугольный треугольник, у которого она вершина: куда попадут его катеты, туда попадёт и она.
Теперь посмотрим на $i^2 = -1$ глазами геометра. Умножить на $i$ дважды — повернуть на $90^\circ$ и ещё на $90^\circ$, то есть на $180^\circ$. А умножение на $-1$ — как раз разворот на $180^\circ$, тот самый, что был в главе 2 на числовой прямой. Поэтому $i \cdot i = -1$: два поворота на четверть оборота складываются в пол-оборота. Мнимая единица — это «половина разворота», и живёт она не на прямой, а сбоку от неё.
На плоскости правило знаков превращается в геометрию. Умножение на $-1$ — разворот на $180^\circ$, умножение на $i$ — поворот на $90^\circ$, и при умножении повороты складываются. Два разворота — полный оборот: $(-1)(-1) = 1$. Два поворота на $90^\circ$ — разворот: $i \cdot i = -1$. В главе 2 правило «минус на минус» мы вывели из распределительного закона; здесь видно, как то же правило выглядит на плоскости.
Сам Гаусс считал, что туман вокруг мнимых чисел создали неудачные слова. В 1831 году он писал: если бы $+1$, $-1$ и $\sqrt{-1}$ называли не положительной, отрицательной и мнимой (а то и невозможной) единицами, а, скажем, прямой, обратной и боковой, о такой темноте не было бы и речи.
Длина и угол
Умножение на $i$ — поворот. А что делает умножение на любое комплексное число? Чтобы ответить, опишем точку не двумя координатами, а длиной и направлением.
Аргумент ненулевого комплексного числа $z$ — угол $\varphi = \arg z$ между положительным направлением действительной оси и лучом из нуля в точку $z$, отсчитанный против часовой стрелки. Он определён с точностью до целого числа полных оборотов: $30^\circ$ и $390^\circ$ — один и тот же аргумент. У нуля аргумента нет.
Если модуль числа $z$ равен $r$, а аргумент равен $\varphi$, то его координаты — $r\cos\varphi$ и $r\sin\varphi$. Это определение синуса и косинуса через точку на окружности: при повороте точки $(1;\,0)$ на угол $\varphi$ вокруг нуля она попадает в точку $(\cos\varphi;\,\sin\varphi)$ (подробно — в главе о тригонометрии).
Тригонометрическая форма комплексного числа: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$, $\varphi = \arg z$.
Например, $1 + i = \sqrt2\,(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)$, $\ i = \cos 90^\circ + i\sin 90^\circ$, $\ -1 = \cos 180^\circ + i\sin 180^\circ$. Теперь главная теорема главы.
При умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются: $|zw| = |z| \cdot |w|$ и $\arg(zw) = \arg z + \arg w$ (с точностью до полного оборота). Иначе говоря, умножение на $w \ne 0$ поворачивает всю плоскость вокруг нуля на угол $\arg w$ и растягивает её от нуля в $|w|$ раз.
Хитрость в том, чтобы следить не за самой точкой, а за сеткой, по которой читают её «адрес»: умножение на $w$ сохраняет адрес и меняет сетку.
В тригонометрической форме теорема записывается одной строкой.
У этой теоремы есть неожиданный подарок. Перемножим по обычной формуле два числа модуля $1$ и сравним с тригонометрической формой произведения.
Для любых углов $\alpha$ и $\beta$: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ и $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
По теореме об умножении $(\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta) = \cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)$: модули $1 \cdot 1 = 1$, аргументы складываются. С другой стороны, по формуле произведения та же левая часть равна $(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + (\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta)\,i$. Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части; приравняв их, получаем обе формулы.
Формулы, которые в школе обычно выводят из чертежа с двумя треугольниками, здесь выпали из правила «углы при умножении складываются». Если умножать число само на себя, углы складываются снова и снова.
Для любого натурального $n$: $\bigl(r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\bigr)^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$.
Индукция по $n$. При $n = 1$ обе части равенства совпадают. Пусть оно верно для $n$. Тогда $z^{n+1} = z^n \cdot z = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi) \cdot r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, и по теореме об умножении модули перемножаются, $r^n \cdot r = r^{n+1}$, а аргументы складываются, $n\varphi + \varphi = (n + 1)\varphi$. Это и есть формула для $n + 1$.
Формула носит имя Абрахама де Муавра, у которого она встречается в неявном виде в работах 1707 и 1722 годов; в привычном виде её записал Эйлер в 1748 году.
Корни из единицы
Сколько решений у уравнения $z^3 = 1$? Среди действительных чисел одно: $z = 1$. Но если умножение — поворот, то куб числа модуля $1$ — это тройной поворот, и в точку $1$ вернётся любое число, чей угол при утроении даёт целое число оборотов: $0^\circ$, $120^\circ$ и $240^\circ$. Три решения, и все на единичной окружности.
Для любого ненулевого комплексного числа $c = \rho(\cos\theta + i\sin\theta)$ и натурального $n$ уравнение $z^n = c$ имеет ровно $n$ решений:
$$w_k = \sqrt[n]{\rho}\left(\cos\frac{\theta + 360^\circ k}{n} + i\sin\frac{\theta + 360^\circ k}{n}\right), \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1.$$На плоскости они — вершины правильного $n$-угольника с центром в нуле.
Идея: по формуле Муавра возведение в степень умножает угол на $n$, и нужно понять, какие углы после умножения на $n$ попадают в направление числа $c$.
Эти числа — решения. По формуле Муавра $w_k^n = \left(\sqrt[n]{\rho}\right)^n\bigl(\cos(\theta + 360^\circ k) + i\sin(\theta + 360^\circ k)\bigr)$. Первый множитель равен $\rho$, а угол $\theta + 360^\circ k$ отличается от $\theta$ на $k$ полных оборотов, так что косинус и синус те же. Значит, $w_k^n = c$.
Они различны. Все $w_k$ лежат на окружности радиуса $\sqrt[n]{\rho}$, а их углы $\frac{\theta}{n} + \frac{360^\circ}{n}k$ при $k = 0, \dots, n - 1$ различаются меньше чем на полный оборот. Соседние отстоят друг от друга на $\frac{360^\circ}{n}$ — поэтому точки делят окружность на $n$ равных дуг и служат вершинами правильного $n$-угольника.
Других нет. Все решения уравнения $z^n = c$ — корни многочлена $z^n - c$ степени $n$. Рассуждение из главы о многочленах дословно проходит и для комплексных чисел — там использовались только законы арифметики и то, что произведение равно нулю лишь при нулевом множителе. Поэтому у многочлена степени $n$ не больше $n$ различных корней, и $n$ найденных — это все.
Решения уравнения $z^n = 1$ называют корнями $n$-й степени из единицы. Это числа $\cos\frac{360^\circ k}{n} + i\sin\frac{360^\circ k}{n}$, $k = 0, 1, \dots, n - 1$.
Сумма всех корней $n$-й степени из единицы при $n \ge 2$ равна нулю. Это видно двумя способами. По формулам Виета из прошлой главы сумма корней многочлена $z^n - 1$ равна коэффициенту при $z^{n-1}$ с обратным знаком, а он нулевой. А геометрически: поворот на $\frac{360^\circ}{n}$ переставляет вершины многоугольника, поэтому не меняет их сумму $S$; но он умножает её на $\cos\frac{360^\circ}{n} + i\sin\frac{360^\circ}{n} \ne 1$, и значит, $S = 0$.
Найдите корень уравнения $z^3 = -8$ с положительной мнимой частью.
Число $-8$ имеет модуль $8$ и аргумент $180^\circ$. Корни имеют модуль $\sqrt[3]{8} = 2$ и аргументы $\frac{180^\circ + 360^\circ k}{3}$, то есть $60^\circ$, $180^\circ$, $300^\circ$. Положительная мнимая часть — у угла $60^\circ$: $z = 2(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ) = 1 + i\sqrt3$. Проверка: $(1 + i\sqrt3)^3 = 2^3(\cos 180^\circ + i\sin 180^\circ) = -8$.
Разгадка Бомбелли
Вернёмся к уравнению $x^3 = 15x + 4$ и формуле $x = \sqrt[3]{2 + 11i} + \sqrt[3]{2 - 11i}$ (здесь $\sqrt{-121} = 11i$). Теперь мы знаем, что кубических корней у каждого числа три, и можем найти их все.
Модуль числа $A = 2 + 11i$ равен $\sqrt{4 + 121} = \sqrt{125}$, поэтому модуль каждого кубического корня равен $\sqrt[3]{\sqrt{125}} = \sqrt5$. Число $2 + i$ имеет как раз модуль $\sqrt5$, и мы уже проверили, что $(2 + i)^3 = 2 + 11i$. Два других кубических корня получаются поворотом на $120^\circ$ и $240^\circ$ — умножением на кубические корни из единицы: $u_1 = (2 + i)\left(-\frac12 + \frac{\sqrt3}{2}i\right)$ и $u_2 = (2 + i)\left(-\frac12 - \frac{\sqrt3}{2}i\right)$.
Какой из трёх корней числа $B = 2 - 11i$ складывать с каким? В доказательстве формулы Кардано (глава 14) нужно было, чтобы произведение слагаемых было равно $-\frac p3 = 5$. Если $u$ — кубический корень из $A$, то сопряжённое $\bar u$ — кубический корень из $\bar A = B$, и $u\bar u = |u|^2 = 5$, ровно то, что нужно. Поэтому пары такие: $u_k + \bar u_k = 2\operatorname{Re} u_k$ — сумма числа и сопряжённого к нему, всегда действительная.
Посчитаем: $u_0 + \bar u_0 = 4$; $\ 2\operatorname{Re} u_1 = 2\left(-1 - \frac{\sqrt3}{2}\right) = -2 - \sqrt3$; $\ 2\operatorname{Re} u_2 = -2 + \sqrt3$. Это и есть три корня уравнения $x^3 = 15x + 4$, найденные в прошлой главе по Горнеру. В неприводимом случае формула Кардано всегда работает так: числа $A$ и $B$ сопряжены, их кубические корни разбиваются на сопряжённые пары, и три пары дают три действительных корня. А если у уравнения нет рациональных корней, то, как мы видели в прошлой главе, обойти мнимые числа на пути к действительным корням вообще невозможно.
Корни не пропадают
Самое простое применение новых чисел — квадратные уравнения. В главе 10 Кардано делил $10$ на две части с произведением $40$ и пришёл к уравнению $x^2 - 10x + 40 = 0$ с дискриминантом $-60$. Там же было обещание: в этой главе у уравнения появятся два полноправных корня.
Если $a$, $b$, $c$ действительные, $a \ne 0$ и $D = b^2 - 4ac < 0$, то уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два комплексных корня $x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-D}}{2a}$, сопряжённых друг другу.
Повторим вывод формулы корней из главы 10: выделение полного квадрата использовало только законы арифметики и потому верно и для комплексных $x$. Получаем $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{D}{4a^2}$. Правая часть отрицательна, и у неё ровно два квадратных корня: $\pm\frac{i\sqrt{-D}}{2a}$. Действительно, $\left(\frac{i\sqrt{-D}}{2a}\right)^2 = \frac{i^2 \cdot (-D)}{4a^2} = \frac{D}{4a^2}$, а других нет: если $y^2 = s^2$, то $(y - s)(y + s) = 0$, и $y = \pm s$. Остаётся вычесть $\frac{b}{2a}$.
Для уравнения Кардано $x^2 - 10x + 40 = 0$ получаем $x = \frac{10 \pm i\sqrt{60}}{2} = 5 \pm i\sqrt{15}$. Проверим по Виету: сумма $10$, произведение $(5 + i\sqrt{15})(5 - i\sqrt{15}) = 25 + 15 = 40$. Кардано перемножил эти числа ещё в 1545 году и получил то же самое. Теперь мы знаем, где они живут.
Картинка объясняет и загадку из прошлой главы, где при сдвиге графика кубического многочлена два корня сливались и исчезали. Никуда они не исчезали: так же, как здесь, встретились и сошли с прямой парой сопряжённых чисел. Это не совпадение.
Если у многочлена все коэффициенты действительные и $z$ — его корень, то сопряжённое число $\bar z$ — тоже корень.
Идея: сопряжение уважает сложение и умножение, а действительные числа не меняет. Проверим первое. Для $z = a + bi$ и $w = c + di$ сумма $z + w$ имеет мнимую часть $b + d$, а сумма $\bar z + \bar w$ — мнимую часть $-b - d$; действительные части одинаковы, поэтому $\overline{z + w} = \bar z + \bar w$. Произведение $zw = (ac - bd) + (ad + bc)i$, а $\bar z \cdot \bar w = (a - bi)(c - di) = (ac - bd) - (ad + bc)i$, то есть $\overline{zw} = \bar z \cdot \bar w$; отсюда и $\overline{z^k} = \bar z^k$. Пусть $P(z) = a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0 = 0$ с действительными $a_k$, так что $\bar a_k = a_k$. Возьмём сопряжённое от обеих частей: $\overline{P(z)} = a_n \bar z^n + \dots + a_1 \bar z + a_0 = P(\bar z)$, а сопряжённое к нулю — ноль. Значит, $P(\bar z) = 0$.
Решите уравнение $x^2 + 4x + 13 = 0$ и запишите корень с положительной мнимой частью.
$D = 16 - 52 = -36$, $\sqrt{-D} = 6$. Корни $x = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i$. Проверка по Виету: сумма $-4$, произведение $4 + 9 = 13$. Ответ: $-2 + 3i$.
Отработать действия с комплексными числами, деление, уравнения и тригонометрическую форму поможет тренажёр: на первом уровне — сложение, умножение и степени $i$, на втором — деление, модуль и квадратные уравнения, на третьем — формула Муавра и корни $n$-й степени.
Любое своё выражение с $i$ можно разобрать в решателе, а все тренажёры собраны на странице практики.
Все корни на месте
Мы добавили к числам единственный корень единственного уравнения $x^2 = -1$. А получили корни всех квадратных уравнений, всех уравнений $z^n = c$, и формула Кардано перестала упираться в невозможное. Может быть, придётся добавлять новые числа снова — для уравнений пятой, седьмой степени, для уравнений с комплексными коэффициентами? Не придётся.
Всякий многочлен ненулевой степени с комплексными (в частности, действительными) коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.
Первым утверждение похожего рода высказал Альбер Жирар в 1629 году; доказать его пытались Даламбер (1746), Эйлер, Лагранж. Доказательство, которое принято считать первым почти полным, дал Гаусс в своей диссертации 1799 года. Одно топологическое утверждение в нём, казавшееся Гауссу очевидным, строго обосновал только Александр Островский в 1920 году. Полное доказательство требует понятия непрерывности и появится в главе о комплексном анализе, где теорема получится как следствие теоремы Лиувилля. Здесь — честная идея, которую можно увидеть.
Пусть $P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots + a_0$ и $a_0 \ne 0$ (иначе корень — ноль). Будем водить точку $z$ по окружности $|z| = r$ и смотреть, какую кривую при этом рисует $P(z)$. Если $r$ очень маленький, все значения $P(z)$ близки к $P(0) = a_0$: кривая — маленькая петля возле $a_0$, и ноль она не обходит. Если $r$ очень большой, слагаемое $z^n$ по модулю больше суммы всех остальных, и $P(z)$ ведёт себя почти как $z^n$. А $z^n$, пока $z$ обходит окружность один раз, по формуле Муавра обходит ноль $n$ раз. Так же поступает и $P(z)$: кривая обходит ноль $n$ раз. Будем плавно увеличивать $r$. Число оборотов кривой вокруг нуля может измениться только в тот момент, когда кривая проходит через ноль, а изменилось оно — было $0$, стало $n$. Значит, при каком-то $r$ кривая прошла через ноль: на окружности нашлась точка $z$, где $P(z) = 0$.
Строгим это рассуждение делают три вещи: определение «числа оборотов» кривой вокруг точки, доказательство, что при непрерывном изменении кривой оно меняется только при прохождении через точку, и оценка «$z^n$ перевешивает остальные слагаемые». Каждая требует аккуратной работы с непрерывностью, но идея от этого не меняется.
Многочлен степени $n \ge 1$ с комплексными коэффициентами раскладывается на $n$ множителей первой степени: $P(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)\cdots(z - z_n)$. Иначе говоря, у него ровно $n$ комплексных корней, если считать каждый столько раз, какова его кратность.
Индукция по $n$. При $n = 1$ многочлен $a_1 z + a_0$ равен $a_1\left(z - \left(-\frac{a_0}{a_1}\right)\right)$. Пусть для степени $n - 1$ утверждение верно. Многочлен $P$ степени $n$ по основной теореме алгебры имеет корень $z_1$, и по теореме Безу (её доказательство из главы 14 проходит для комплексных чисел без изменений) $P(z) = (z - z_1)Q(z)$, где $Q$ имеет степень $n - 1$ и тот же старший коэффициент $a_n$. По предположению индукции $Q(z) = a_n(z - z_2)\cdots(z - z_n)$, откуда и следует разложение $P$.
Для многочленов с действительными коэффициентами отсюда следует ещё одно. Пусть $z$ — невещественный корень такого многочлена $P$. По теореме о сопряжённых корнях $\bar z$ — тоже корень, и $\bar z \ne z$. По теореме Безу $P(x) = (x - z)Q_1(x)$; подставив $\bar z$, получаем $0 = (\bar z - z)Q_1(\bar z)$, откуда $Q_1(\bar z) = 0$ и $Q_1(x) = (x - \bar z)Q_2(x)$. Значит, $P$ делится на $(x - z)(x - \bar z) = x^2 - 2\operatorname{Re} z \cdot x + |z|^2$ — трёхчлен с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом $-4(\operatorname{Im} z)^2$. Частное $Q_2$ снова имеет действительные коэффициенты: деление уголком действительных многочленов не выводит из действительных чисел, а частное определено однозначно. Повторяя это, разложим любой многочлен с действительными коэффициентами на действительные множители первой и второй степени; других «неразложимых кирпичей» нет. Заодно видно, почему у многочлена нечётной степени есть действительный корень: множители второй степени не могут дать нечётную сумму степеней, и хотя бы один множитель — первой степени.
Комплексных чисел достаточно: уравнение $P(z) = 0$ любой степени $n$ имеет в них ровно $n$ корней с учётом кратности. Расширять числа ради корней многочленов больше не придётся. Существование корня не означает существования формулы — для пятой степени её нет (большой вопрос №3), — но сами корни есть всегда.
Куда дальше
В этой главе мы свободно пользовались плоскостью: поворотами, длинами, подобными треугольниками, неравенством треугольника, тем, что противоположные стороны параллелограмма равны. На этих фактах держится главное доказательство главы — что умножение есть поворот с растяжением. Но почему верны они сами? Откуда мы знаем, что поворот сохраняет углы, а сумма углов треугольника равна $180^\circ$, и знаем ли мы это наверняка или только видели на рисунках? Две с лишним тысячи лет назад Евклид задался именно этим вопросом и построил геометрию из нескольких очевидных правил. С его «Начал» начинается следующая часть курса — глава 16.