Производные
Производные степеней и многочленов, произведения и частного, сложных функций — от x² до (x² − 2)⁵ и ln x / x. Новые функции без конца, с разбором.
Как решать
Производная показывает скорость изменения функции. Считают её по таблице для простых функций и по трём правилам для составных: производная суммы — сумма производных, для произведения и частного есть свои формулы, а у сложной функции производная внешней умножается на производную внутренней.
По шагам
- Корни и дроби запишите степенями: $\frac{6}{x^2} = 6x^{-2}$, $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Тогда работает правило $(x^n)' = nx^{n-1}$.
- Сумма — дифференцируйте каждое слагаемое, постоянный множитель выносите.
- Произведение: $(uv)' = u'v + uv'$. Частное: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
- Сложная функция: производная внешней функции (от того же аргумента) умножается на производную внутренней.
- Упростите ответ.
Где ошибаются
- Забывают множитель от внутренней функции: $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$, а не $\cos 3x$.
- Дифференцируют произведение как произведение производных: $(uv)' \ne u'v'$.
- Путают порядок в числителе формулы частного: $u'v - uv'$, а не наоборот.
- Ошибаются со степенью при отрицательном показателе: $(x^{-2})' = -2x^{-3}$.