Квадратные уравнения

Прошлая глава закончилась вопросом: при каком $x$ функция $y = x^2 + x$ принимает значение $\frac34$? На графике ответ почти виден. Парабола пересекает горизонтальную прямую $y = \frac34$ в двух точках, и правая из них, похоже, лежит ровно над отметкой $x = \frac12$. Подставим: $\frac14 + \frac12 = \frac34$. Угадали. Но угадывание не метод: замените $\frac34$ на $\frac{7}{10}$, и глаз уже ничего не подскажет.

Эту задачу решили задолго до графиков, букв и знака равенства. Её условие выдавлено тростниковой палочкой на глиняной табличке, которой около 3800 лет. Археологи снимают слои сверху вниз, от нового к старому; мы пойдём в обратную сторону — от самой древней находки к сегодняшней формуле. Каждый слой оставил свой артефакт: рецепт писца, чертёж багдадского учёного, формулу в буквах, теорему о сумме корней. К концу раскопа у нас будет способ решить любое квадратное уравнение и понимание, почему он устроен именно так.

Табличка BM 13901

В Британском музее хранится глиняная табличка с инвентарным номером BM 13901. Её исписал писец из Месопотамии в старовавилонскую эпоху, в первой половине II тысячелетия до нашей эры. На ней больше двух десятков задач, и все они про квадраты. Первая звучит так:

Площадь и сторону своего квадрата я сложил: 0;45. Единицу положи. Половину единицы отломи: 0;30 и 0;30 перемножь — 0;15. 0;15 к 0;45 прибавь — 1: это квадрат со стороной 1. 0;30, которые ты перемножал, из 1 вырви — 0;30, сторона квадрата.

Вавилоняне писали числа в шестидесятеричной системе (о ней — в главе о счёте) и не отделяли целую часть от дробной: одна и та же запись могла означать и $45$, и $\frac{45}{60}$. Какое значение имелось в виду, писец понимал из смысла задачи. Историки ставят разделитель сами — точку с запятой. Так $0{;}45 = \frac{45}{60} = \frac34$, $0{;}30 = \frac12$, $0{;}15 = \frac14$. В наших обозначениях условие — это уравнение

$$x^2 + x = \frac34,$$

а решение состоит из пяти действий. Берём половину коэффициента при $x$: $\frac12$. Возводим её в квадрат: $\frac14$. Прибавляем к правой части: $\frac14 + \frac34 = 1$. Извлекаем корень: $1$. Вычитаем ту же половину: $1 - \frac12 = \frac12$. Ответ $x = \frac12$ — тот самый, что мы угадали по графику.

Табличка ничего не объясняет. На ней нет ни одного «потому что», только приказы: положи, отломи, прибавь, вырви. Так устроены почти все вавилонские математические тексты — это сборники решённых задач, по которым учились писцы. Откуда взялся рецепт, приходится восстанавливать по косвенным уликам, как это и бывает в археологии.

Что писец делал руками

Улики — в глаголах. Числа не «отламывают» и не «вырывают»: так говорят о кусках, которые режут и перекладывают. Датский историк Йенс Хёйруп предложил читать эти тексты буквально, как инструкцию к чертежу, и сегодня его прочтение разделяют многие историки. Посмотрим, что получается.

Сторона квадрата — неизвестная $x$, его площадь — $x^2$. «Сложить площадь и сторону» значит приставить к квадрату полоску шириной $1$ и длиной $x$: её площадь как раз $x$. Вся фигура занимает $\frac34$. Разрежем полоску вдоль пополам и одну половину перенесём под квадрат. Площадь не изменилась, но фигура стала квадратом, у которого не хватает уголка $\frac12 \times \frac12$. Достроим уголок, прибавив его площадь $\frac14$, и получим целый квадрат площадью $1$, со стороной $1$. Эта сторона состоит из $x$ и половинки полоски, так что $x = 1 - \frac12$.

Ничего особенного в числах таблички нет. Если полоска имеет ширину $b$, а вся фигура — площадь $c$, те же пять действий решают уравнение $x^2 + bx = c$.

Чертёж доказывает, что положительный корень, если он есть, может быть только таким: перекладывание превращает условие $x^2 + bx = c$ в равенство $\left(x + \frac b2\right)^2 = \left(\frac b2\right)^2 + c$, а положительное число с данным квадратом одно. Осталось убедиться, что число из рецепта годится. Оно положительно: при $c > 0$ под корнем стоит число больше $\left(\frac b2\right)^2$, поэтому и корень больше $\frac b2$. И оно решает уравнение: если $x + \frac b2 = \sqrt{\left(\frac b2\right)^2 + c}$, то, возведя в квадрат, получаем $x^2 + bx + \left(\frac b2\right)^2 = \left(\frac b2\right)^2 + c$, то есть $x^2 + bx = c$.

Площадь недостающего уголка — квадрата со стороной в половину полоски. Его прибавляют, чтобы фигура стала целым квадратом. Площадь фигуры из условия: квадрат вместе с полоской. Половина полоски: сторона большого квадрата длиннее $x$ ровно на неё. Табличка: $b = 1$, $c = \frac34$, поэтому $x = \sqrt{\frac14 + \frac34} - \frac12 = 1 - \frac12 = \frac12$. Проверка: $\left(\frac12\right)^2 + \frac12 = \frac34$.

У приёма есть имя. Рецепт писца — формула квадрата суммы из главы о буквах, прочитанная справа налево: $x^2 + bx$ — это почти $\left(x + \frac b2\right)^2$, не хватает только слагаемого $\left(\frac b2\right)^2$.

Решите по вавилонскому рецепту уравнение $x^2 + 6x = 16$. Нужна сторона квадрата, то есть положительный корень.

Половина от $6$ — это $3$, её квадрат — $9$. Прибавляем: $9 + 16 = 25$, корень — $5$. Вычитаем половину: $5 - 3 = 2$. Проверка: $2^2 + 6 \cdot 2 = 4 + 12 = 16$.

Обратите внимание, чего на табличке нет. У уравнения $x^2 + x = \frac34$ есть второй корень, $x = -\frac32$: действительно, $\frac94 - \frac32 = \frac34$. Но у квадрата не бывает стороны минус полтора, и писец о таком корне даже не думал. Этот пропавший корень будет преследовать нас ещё не одну тысячу лет.

Багдад, около 820 года

Следующий слой лежит на две с половиной тысячи лет выше. В Багдаде, при дворе халифа ал-Мамуна, Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми пишет книгу об «ал-джабре и ал-мукабале». Мы уже открывали её в главе об уравнениях: из её названия выросло слово «алгебра». Начинается она с уравнений, которые мы сегодня назвали бы квадратными, и самое знаменитое из них звучит так:

Квадрат и десять его корней равны тридцати девяти дирхамам. Раздели число корней пополам — получится пять. Умножь это на себя — будет двадцать пять. Прибавь к тридцати девяти — будет шестьдесят четыре. Извлеки корень — восемь — и вычти из него половину числа корней, то есть пять. Останется три: это корень искомого квадрата, а сам квадрат — девять.

«Корнем» ал-Хорезми называет неизвестное число, «квадратом» — его квадрат, а дирхамы (монеты) означают просто число. Перед нами уравнение $x^2 + 10x = 39$, и рецепт вавилонский слово в слово. Новое здесь в другом.

Во-первых, ал-Хорезми доказывает рецепт чертежом. Один из его чертежей совпадает с вавилонским: десять корней становятся двумя полосками $5 \times x$, недостающий уголок — квадратом $5 \times 5 = 25$, целый квадрат имеет площадь $39 + 25 = 64$ и сторону $8$. Другой чертёж ещё симметричнее: полоски шириной $2\frac12$ приставлены ко всем четырём сторонам квадрата, и достраивать приходится четыре уголка по $6\frac14$ — всё те же $25$. Выберите в чертеже выше вкладку «Ал-Хорезми» и пройдите путь от $39$ до $3$.

Во-вторых, ал-Хорезми разбирает все случаи. Отрицательных чисел его алгебра не знает, коэффициенты у него — всегда положительные количества, поэтому «перенести всё в одну сторону и приравнять нулю» нельзя. Вместо одного уравнения получается шесть видов:

Все $a$, $b$, $c$ здесь положительны. Для нас это одно уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с разными знаками коэффициентов, для ал-Хорезми — шесть разных задач, у каждой свой рецепт и свой чертёж.

Третья новость важнее первых двух. В пятом виде, «квадраты и число равны корням», корней может оказаться два. Пример ал-Хорезми — $x^2 + 21 = 10x$. Половина корней — $5$, её квадрат — $25$, отнимаем $21$, остаётся $4$, корень — $2$. Теперь $2$ можно и вычесть из пяти, и прибавить к пяти: подходят оба числа, $3$ и $7$. И тут же ал-Хорезми предупреждает: если квадрат половины числа корней меньше свободного числа, задача невозможна. Через тысячу лет это условие назовут отрицательным дискриминантом.

А вот второй корень уравнения $x^2 + 10x = 39$ в книге не появляется. Для ал-Хорезми, как и для вавилонского писца, корень — это длина.

Сколько корней у уравнения $x^2 + 10x = 39$?

Один: $x = 3$ Два: $3$ и $-13$ Два: $3$ и $13$ Ни одного целого

Подставим $-13$: $(-13)^2 + 10 \cdot (-13) = 169 - 130 = 39$. А $13$ не подходит: $169 + 130 = 299$. Ал-Хорезми нашёл только $3$, потому что искал сторону квадрата.

Формула: одна на все случаи

Шесть рецептов вместо одного — плата за то, что у чисел нет знака. Чтобы свести их в одну формулу, понадобились две вещи. Первая — отрицательные числа, которые в Европе окончательно признали лишь в XVIII–XIX веках (глава 2). Вторая — буквы не только для неизвестного, но и для известных чисел. Их ввёл Франсуа Виет в 1591 году, о чём мы рассказывали в главе о буквах. С буквами рецепт можно записать один раз — для всех уравнений сразу.

Условие $a \ne 0$ не формальность: без $x^2$ уравнение становится линейным, и решать его нужно по-другому, как в главе 8. Теперь повторим путь писца, но с буквами. Число $b^2 - 4ac$, которое появится по дороге, обозначим $D$ — в следующем разделе у него будет имя.

Идея та же, что у писца: достроить левую часть до полного квадрата. Только числа теперь бывают любого знака, поэтому чертёж лишь подсказывает, а опираемся мы на формулу квадрата суммы — она верна для любых чисел.

Разделим обе части на $a$. Это можно, потому что $a \ne 0$, и корни от этого не меняются: деление обеих частей на одно и то же ненулевое число — равносильное преобразование. Обозначим $p = \frac ba$ и $q = \frac ca$; уравнение стало таким: $x^2 + px + q = 0$. Перенесём $q$ в правую часть: $x^2 + px = -q$. Слева — то, что было у писца: квадрат со стороной $x$ и полоска $p \times x$. Разрежем полоску вдоль пополам и повернём одну половину к верхней стороне квадрата. Получился квадрат со стороной $x + \frac p2$, у которого не хватает уголка $\frac p2 \times \frac p2$: $x^2 + px = \left(x + \frac p2\right)^2 - \left(\frac p2\right)^2$. Для отрицательных $x$ или $p$ картинки нет, но равенство верно всегда: это квадрат суммы $\left(x + \frac p2\right)^2 = x^2 + px + \frac{p^2}{4}$, прочитанный справа налево. Прибавим уголок $\left(\frac p2\right)^2$ к обеим частям уравнения: $\left(x + \frac p2\right)^2 = \frac{p^2}{4} - q$. Корни снова не изменились — к обеим частям прибавили одно и то же число. Приведём правую часть к общему знаменателю $4a^2$: $\frac{p^2}{4} - q = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = \frac{\p3{D}}{4a^2}$. Получилось уравнение $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{D}{4a^2}$, равносильное исходному. Справа неотрицательное число, раз $D \ge 0$. Его квадратный корень равен $\frac{\sqrt D}{2|a|}$: этот корень неотрицателен, а его квадрат равен $\frac{D}{4a^2}$. Чисел с таким квадратом два — сам корень и противоположное ему, — а других нет: если $u^2 = r^2$, то $(u - r)(u + r) = 0$, и по лемме о нулевом произведении $u = r$ или $u = -r$. Эти два числа записывают как $\p2{\pm}\frac{\sqrt D}{2a}$ — модуль не нужен, потому что знак $\pm$ и так перебирает оба знака. Значит, $x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt D}{2a}$. Вычтем $\frac{b}{2a}$ — сторона квадрата без половины полоски, как у писца: $x = \frac{\p1{-b} \p2{\pm} \sqrt{\p3{D}}}{\p4{2a}}$. Каждый переход был равносильным: деление на ненулевое число, перенос слагаемого, прибавление одного числа к обеим частям и извлечение корня с обоими знаками. Поэтому формула даёт все корни и ни одного лишнего.

Второй коэффициент с обратным знаком. Если $b = -7$, здесь стоит $+7$: на этом минусе ошибаются чаще всего. Два знака — два корня. В задачах писца «плюс» даёт положительный корень, найденный на табличке, а «минус» — тот, которого на чертеже не было. Число под корнем решает, сколько корней. О нём следующий раздел. Удвоенный старший коэффициент. При $a = 0$ делить было бы не на что, но тогда и уравнение не квадратное. Пример: $2x^2 - 7x + 3 = 0$, здесь $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$. Под корнем $49 - 24 = 25$, поэтому $x_{1,2} = \frac{7 \pm 5}{4}$, то есть $x_1 = 3$, $x_2 = \frac12$. Проверка: $2 \cdot 9 - 21 + 3 = 0$ и $2 \cdot \frac14 - \frac72 + 3 = 0$.

Когда второй коэффициент чётный, считать удобнее по формуле, в которой двойки сокращены заранее: числа мельче, ошибок меньше.

Другое доказательство формулы — без единой дроби

Индийские математики знали способ обойтись без деления. Бхаскара II в XII веке приводит его со ссылкой на более раннего автора, Шридхару. Умножим уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ на $4a$ и перенесём $4ac$ вправо:

$$4a^2x^2 + 4abx = -4ac.$$

До квадрата $(2ax + b)^2$ слева не хватает $b^2$. Прибавим его к обеим частям:

$$4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac, \qquad (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac.$$

Отсюда $2ax + b = \pm\sqrt{b^2 - 4ac}$, и та же формула получается без дробей по дороге. Заодно видно, откуда в ней четвёрка: от множителя $4a$, который превращает левую часть в квадрат.

Решите уравнение $3x^2 + 5x - 2 = 0$.

Здесь $a = 3$, $b = 5$, $c = -2$. Под корнем $b^2 - 4ac = 25 + 24 = 49$, поэтому $x_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{6}$: $x_1 = \frac{2}{6} = \frac13$, $x_2 = \frac{-12}{6} = -2$. Проверка: $3 \cdot \frac19 + \frac53 - 2 = 0$ и $3 \cdot 4 - 10 - 2 = 0$.

Дискриминант: сколько корней

Всё, что нужно знать о числе корней, спрятано в одном числе — том, что стоит под корнем. Слово «дискриминант», от латинского «различающий», ввёл в 1851 году английский математик Джеймс Сильвестр: это число различает случаи.

Квадрат второго коэффициента. Он никогда не бывает отрицательным. Учетверённое произведение крайних коэффициентов. Если $a$ и $c$ разных знаков, это число отрицательно, мы вычитаем отрицательное, и $D$ заведомо больше нуля. Примеры: у $x^2 + 2x + 5 = 0$ дискриминант равен $4 - 20 = -16$; у $x^2 - 6x + 9 = 0$ — $36 - 36 = 0$; у $2x^2 - 7x + 3 = 0$ — $49 - 24 = 25$.

Всё решает предпоследний шаг доказательства формулы корней: уравнение равносильно равенству $(x - m)^2 = r$, где $m = -\frac{b}{2a}$ и $r = \frac{D}{4a^2}$. Знаменатель $4a^2$ положителен, поэтому $r$ того же знака, что и $D$.

Нарисуем график левой части, $y = (x - m)^2$. Это парабола $y = x^2$, сдвинутая вдоль оси на $m$ (глава 9). Она касается оси $x$ в точке $m$ и нигде не опускается ниже оси: квадрат любого числа неотрицателен (глава 2). Правая часть — горизонтальная прямая $y = r$, а корни уравнения — абсциссы её общих точек с параболой. Если $D > 0$, то $r > 0$, и общих точек две: $x = m + \sqrt r$ и $x = m - \sqrt r$ — это разные числа. Других нет: из $(x - m)^2 = \left(\sqrt r\right)^2$ следует $(x - m - \sqrt r)(x - m + \sqrt r) = 0$, а произведение равно нулю, только когда нулю равен один из множителей (глава 8). Опустим прямую до $r = 0$, то есть $D = 0$. Две точки сливаются в вершине: $(x - m)^2 = 0$ только при $x = m$, потому что квадрат ненулевого числа положителен. Корень один, $x = -\frac{b}{2a}$; иногда говорят «два совпавших корня». Опустим прямую ниже оси: $D < 0$ и $r < 0$. Туда парабола не заходит — квадрат не бывает отрицательным, — поэтому общих точек нет и действительных корней нет. Других случаев не бывает: число $D$ либо больше нуля, либо равно нулю, либо меньше. Значит, $D > 0$ — два корня, $D = 0$ — один, $D < 0$ — ни одного.

Посмотрим на то же глазами прошлой главы. Корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ — это точки, где график функции $y = ax^2 + bx + c$ встречает ось $x$. Этот график — парабола (почему, докажем в разделе о вершине), и дискриминант говорит, пересекает она ось, касается её или проходит мимо.

Формулу корней удобно читать как «центр плюс-минус полуширина»:

$$x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt D}{2a}.$$

Корни всегда стоят симметрично относительно точки $-\frac{b}{2a}$: через неё проходит ось симметрии параболы, на ней же лежит вершина. Дискриминант задаёт расстояние от центра до корней. Чем он меньше, тем ближе корни друг к другу; при $D = 0$ они сливаются в вершине, а при $D < 0$ расстоянию не из чего взяться.

Сколько корней у уравнения $x^2 - 2026x - 1 = 0$?

Два Один Ни одного Без калькулятора не узнать

Считать не нужно. Коэффициенты $a = 1$ и $c = -1$ разных знаков, поэтому $-4ac = 4 > 0$ и $D = 2026^2 + 4 > 0$. На графике то же самое: при $x = 0$ парабола с ветвями вверх проходит ниже оси, через точку $(0; -1)$, а значит, пересекает ось дважды.

Сумма и произведение

Франсуа Виет (1540–1603) служил юристом и королевским советником, а математикой занимался в свободное от службы время — и стал одним из сильнейших алгебраистов своего века. Для Генриха IV он расшифровывал перехваченные испанские депеши, причём так успешно, что испанский король, по рассказам, пожаловался папе римскому на колдовство. Среди того, что Виет заметил в алгебре, есть связь, которую в российских школах учат наизусть, иногда даже в стихах: «По праву достойна в стихах быть воспета / О свойствах корней теорема Виета».

Идея: записать оба корня через их середину. Тогда в сумме всё лишнее сокращается, а произведение становится разностью квадратов.

Корни есть, значит, $D \ge 0$, и по формуле корней $x_1 = m + w$, $x_2 = m - w$, где $m = -\frac{b}{2a}$ — середина между корнями, а $w = \frac{\sqrt D}{2a}$ — расстояние от середины до корня (со знаком; при $D = 0$ оно равно нулю, и корни совпадают). Каждый корень — это путь по числовой прямой от нуля: сначала на $m$, затем на $w$ вправо (для $x_1$) или влево (для $x_2$). Сложим пути: дважды пройдём $m$, а шаги $+w$ и $-w$ взаимно уничтожатся. Значит, $x_1 + x_2 = 2m = 2 \cdot \left(-\frac{b}{2a}\right) = \p1{-\frac ba}$. Перемножим корни по формуле разности квадратов: $(m + w)(m - w) = m^2 - w^2$. Подставим $m$ и $w$: $m^2 - w^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{D}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \p2{\frac ca}$. Получили $x_1 + x_2 = -\frac ba$ и $x_1 x_2 = \frac ca$ — для любых корней любого квадратного уравнения. Сумма корней: второй коэффициент, делённый на старший, с обратным знаком. Произведение корней: свободный член, делённый на старший. Пример: у $2x^2 - 7x + 3 = 0$ корни $3$ и $\frac12$. Их сумма $\frac72$, и $-\frac ba = -\frac{-7}{2} = \frac72$. Их произведение $\frac32$, и $\frac ca = \frac32$.

Сам Виет рассматривал только положительные корни. В общем виде, с отрицательными корнями и для уравнений любой степени, эти соотношения выписал Альбер Жирар в 1629 году — к ним мы вернёмся в главе о многочленах.

Особенно просто формулы выглядят при $a = 1$. Такое уравнение называют приведённым: для $x^2 + px + q = 0$ получается $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 x_2 = q$. Любое квадратное уравнение становится приведённым после деления на $a$.

Теорема работает и в обратную сторону — и именно эта сторона позволяет угадывать корни.

Идея: собрать трёхчлен из двух скобок.

Раскроем скобки по правилу произведения сумм и сгруппируем слагаемые с $x$: $(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = x^2 - sx + p$. Это тождество, оно верно при любом $x$. Поэтому уравнение $x^2 - sx + p = 0$ равносильно уравнению $(x - x_1)(x - x_2) = 0$: левые части равны при каждом $x$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель (глава 8). Значит, корни — $x = x_1$ и $x = x_2$, и только они.

Поэтому корни приведённого уравнения с целыми коэффициентами часто можно угадать. У $x^2 - 7x + 12 = 0$ ищем два числа с суммой $7$ и произведением $12$ — это $3$ и $4$, а по обратной теореме других корней нет. Дискриминант не понадобился.

Теорема Виета подсказывает и знаки корней, о которых дискриминант молчит.

Дискриминант этого не скажет: у $x^2 + 3x + 2 = 0$ он положителен, а оба корня, $-1$ и $-2$, отрицательные.

Вавилонские писцы, между прочим, решали именно такие задачи: на табличках полно прямоугольников, у которых известны сумма длины и ширины и площадь. Способ был такой: взять половину суммы и искать отклонение от неё. Если числа равны $\frac s2 + u$ и $\frac s2 - u$, их сумма равна $s$ при любом $u$, а произведение $\left(\frac s2\right)^2 - u^2$ должно равняться $p$. Отсюда $u^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p$. Для $s = 7$, $p = 12$ получаем $u^2 = \frac{49}{4} - 12 = \frac14$, $u = \frac12$, и числа равны $3{,}5 \pm 0{,}5$. В 2019 году американский математик По-Шен Ло предложил учить школьников решать квадратные уравнения именно так: без готовой формулы, одной этой мыслью.

Ещё два признака экономят время на экзамене.

У $5x^2 - 8x + 3 = 0$ сумма коэффициентов $5 - 8 + 3 = 0$, поэтому корни — $1$ и $\frac35$, и считать дискриминант не нужно.

Не решая уравнение $x^2 - 5x - 3 = 0$, найдите сумму квадратов его корней $x_1^2 + x_2^2$.

По Виету $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1 x_2 = -3$. Тогда $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 25 + 6 = 31$. Сами корни, $\frac{5 \pm \sqrt{37}}{2}$, иррациональны, а сумма их квадратов — целое число.

Трёхчлен на множители

Если корни трёхчлена известны, по Виету его можно разложить на множители.

Идея: раскрыть скобки справа и узнать левую часть по теореме Виета. Для второй части — рассуждение от противного.

Раскроем скобки так же, как в доказательстве обратной теоремы Виета: $a(x - x_1)(x - x_2) = a\bigl(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2\bigr)$. По теореме Виета $x_1 + x_2 = -\frac ba$ и $x_1x_2 = \frac ca$. Подставим и раскроем скобку: $a\left(x^2 + \frac ba x + \frac ca\right) = ax^2 + bx + c$. Первая часть доказана. Пусть теперь $D < 0$, а трёхчлен всё-таки равен $(kx + l)(ux + v)$ при всех $x$, где $k \ne 0$ и $u \ne 0$ (иначе множитель не первой степени). Подставим $x = -\frac lk$: первый множитель обращается в ноль, а с ним и всё произведение. Выходит, $-\frac lk$ — корень трёхчлена. Но при $D < 0$ корней нет. Противоречие показывает, что такого разложения не существует. Итог: при $D \ge 0$ трёхчлен раскладывается как $a(x - x_1)(x - x_2)$, при $D < 0$ на множители первой степени не раскладывается. Старший коэффициент выносится целиком. Первый корень трёхчлена. Второй корень. При $D = 0$ он совпадает с первым, и получается $a(x - x_1)^2$. Пример: корни $2x^2 - 7x + 3$ — это $3$ и $\frac12$, поэтому $2x^2 - 7x + 3 = 2(x - 3)\left(x - \frac12\right) = (x - 3)(2x - 1)$.

Разложение работает и в обратную сторону: уравнение, записанное как произведение, решается без формулы. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель, поэтому у $x(x - 5) = 0$ корни $0$ и $5$. Но таким свойством обладает только ноль, и на этом часто попадаются.

Как решить уравнение $(x - 2)(x + 3) = 6$?

Приравнять каждую скобку к $6$: $x = 8$ или $x = 3$ Приравнять каждую скобку к нулю: $x = 2$ или $x = -3$ Раскрыть скобки и перенести $6$ влево: $x^2 + x - 12 = 0$ Разделить обе части на $x - 2$

Из того, что произведение равно $6$, про отдельные множители ничего не следует: $6 = 1 \cdot 6 = 2 \cdot 3 = 12 \cdot \frac12 = \dots$ Раскрываем скобки: $x^2 + x - 6 = 6$, то есть $x^2 + x - 12 = 0$, корни $3$ и $-4$. Проверка: $(3 - 2)(3 + 3) = 6$ и $(-4 - 2)(-4 + 3) = 6$.

Корень из минус пятнадцати

В 1545 году в Нюрнберге вышло «Великое искусство» Джероламо Кардано — книга, где впервые напечатано решение уравнений третьей степени. Среди прочего Кардано разбирает простую на вид задачу: разделить $10$ на две части, произведение которых равно $40$.

По Виету это уравнение $x^2 - 10x + 40 = 0$, и его дискриминант $100 - 160 = -60$ отрицателен. Кардано всё равно действует по рецепту: половина — $5$, её квадрат — $25$, отнимаем $40$, получаем $-15$. Ответ выходит такой: $5 + \sqrt{-15}$ и $5 - \sqrt{-15}$. Кардано даже проверяет его, перемножая «по правилам»: $(5 + \sqrt{-15})(5 - \sqrt{-15}) = 25 - (-15) = 40$. Сходится! И тут же называет такие вычисления тонкими, но бесполезными.

Почему у задачи нет обычного решения, видно из той же половины суммы, с которой работали писцы.

Идея: мерить оба числа от середины. Если одно больше $\frac s2$ на $u$, то другое на столько же меньше.

Положим $u = x - \frac s2$. Тогда $x = \frac s2 + u$, а $y = s - x = \frac s2 - u$. Произведение $xy$ — площадь прямоугольника со сторонами $\frac s2 + u$ и $\frac s2 - u$. На чертеже $0 \le u < \frac s2$, то есть оба числа положительны. Отрежем от прямоугольника всё, что выступает за квадрат со стороной $\frac s2$ (пунктир): полоску шириной $u$ и высотой $\frac s2 - u$. Повернём полоску на прямой угол и положим на прямоугольник сверху, у левого края. Теперь её длина $\frac s2 - u$ лежит вдоль верхней стороны, а ширина $u$ — ровно то, чего прямоугольнику не хватало по высоте до $\frac s2$. Площадь при перекладывании не меняется. Куски заняли весь квадрат $\left(\frac s2\right)^2$, кроме уголка $u \times u$. Значит, $xy = \left(\frac s2\right)^2 - \p3{u^2}$. Для любых чисел, не только положительных, это же равенство даёт формула разности квадратов: $\left(\frac s2 + u\right)\left(\frac s2 - u\right) = \left(\frac s2\right)^2 - u^2$. Квадрат $u^2$ не бывает отрицательным, поэтому $xy \le \left(\frac s2\right)^2$. Равенство — только при $u^2 = 0$, то есть при $u = 0$ и $x = y = \frac s2$.

Для Кардано $s = 10$: произведение двух частей десятки не больше $5 \cdot 5 = 25$, и сорок из десятки не выжать, как ни дели. В общем виде числа с суммой $s$ и произведением $p$ существуют, только если $p \le \left(\frac s2\right)^2$. Условие $p > \left(\frac s2\right)^2$ — это в точности $s^2 - 4p < 0$, то есть отрицательный дискриминант уравнения $x^2 - sx + p = 0$. Режим «держать сумму» в игре выше показывает то же самое.

Кардано отложил странные корни в сторону. Но через четверть века Рафаэль Бомбелли встретил их снова — в уравнении третьей степени, у которого все три корня самые обычные, — и понял, что обойти их нельзя. Эта история ждёт нас в главе о многочленах, вместе с формулами, похожими на нашу, для уравнений третьей и четвёртой степени. Для пятой степени такой формулы нет, и почему — это большой вопрос №3, на который ответит теория Галуа. А в главе о комплексных числах у уравнения $x^2 - 10x + 40 = 0$ появятся два полноправных корня — точки на плоскости.

Где парабола поворачивает

Выделение полного квадрата умеет больше, чем решать уравнения. Если проделать его с функцией $y = ax^2 + bx + c$, ничего не приравнивая к нулю, получится всё, что нужно знать о её графике.

Идея: выделить полный квадрат, как в доказательстве формулы корней, и посмотреть, насколько график поднимается над своей самой низкой точкой.

Вынесем $a$ и достроим квадрат, как на чертеже писца: $ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac ba x\right) + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$. Здесь $-\frac{b^2}{4a} + c = -\frac{b^2 - 4ac}{4a} = -\frac{D}{4a} = y_0$, поэтому $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2 + y_0$. На чертеже — горизонталь $y = y_0$. Пусть $a > 0$. В любой точке $x$ график поднят над горизонталью $y = y_0$ на $a(x - x_0)^2$. Это квадрат, умноженный на положительное число, и он не бывает отрицательным. Значит, $y \ge y_0$ при всех $x$: весь график лежит не ниже горизонтали. Равенство $y = y_0$ бывает, только когда $a(x - x_0)^2 = 0$, то есть при $x = x_0$: квадрат ненулевого числа положителен, а $a \ne 0$. Точка $(x_0;\,y_0)$ — единственная самая низкая точка графика. Возьмём две точки, одинаково удалённые от $x_0$: $x_0 + h$ и $x_0 - h$. В первой $(x - x_0)^2 = h^2$, во второй $(-h)^2 = h^2$, и значения функции совпадают. Поэтому график симметричен относительно прямой $x = x_0$. При $a < 0$ слагаемое $a(x - x_0)^2$ не бывает положительным, и та же точка оказывается самой высокой. А по правилу сдвигов и растяжений график $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ — это парабола $y = x^2$, растянутая по вертикали в $|a|$ раз (при $a < 0$ ещё и отражённая) и сдвинутая так, что её вершина из начала координат попала в точку $(x_0;\,y_0)$. Значит, график любого квадратного трёхчлена — парабола.

Старший коэффициент: его знак говорит, куда смотрят ветви, а величина — насколько парабола крутая. Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$ — ровно посередине между корнями, если они есть. Ордината вершины $y_0 = -\frac{D}{4a}$ — наименьшее (при $a > 0$) или наибольшее (при $a < 0$) значение функции. Пример: $x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$. Вершина — точка $(3; -4)$, наименьшее значение равно $-4$, корни $3 \pm 2$, то есть $1$ и $5$.

По вершине читается и знак дискриминанта. При $a > 0$ ордината $y_0 = -\frac{D}{4a}$ отрицательна ровно тогда, когда $D > 0$: вершина ниже оси, ветви смотрят вверх, пересечений два. Вершина выше оси — пересечений нет.

Мяч

Подброшенный мяч — самая известная парабола. Если пренебречь сопротивлением воздуха, высота мяча через $t$ секунд после броска равна $h_0 + vt - \frac{gt^2}{2}$, где $h_0$ — начальная высота, $v$ — начальная вертикальная скорость, $g \approx 9{,}8$ м/с² — ускорение свободного падения. Ради круглых чисел возьмём $g \approx 10$ м/с². Мяч, подброшенный с земли вертикально со скоростью $20$ м/с, через $t$ секунд находится на высоте $h = 20t - 5t^2$ метров. Вершина — при $t_0 = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = 2$ с, на высоте $20 \cdot 2 - 5 \cdot 4 = 20$ м.

Когда этот мяч будет на высоте $15$ м? Решите уравнение $20t - 5t^2 = 15$.

Переносим всё влево и делим на $-5$: $t^2 - 4t + 3 = 0$. По Виету корни — $1$ и $3$. Мяч бывает на высоте $15$ м дважды: через секунду, поднимаясь, и через три, падая. Вершина, $t_0 = 2$, ровно посередине.

Почему путь брошенного мяча — парабола? Если мяч летит под углом, то по горизонтали он движется равномерно: за $t$ секунд он смещается на $x = ut$, где $u$ — горизонтальная скорость. Отсюда $t = \frac xu$, и высота над землёй $h_0 + v\frac xu - \frac g2 \cdot \frac{x^2}{u^2}$ — квадратный трёхчлен от $x$ со старшим коэффициентом $-\frac{g}{2u^2}$. А график квадратного трёхчлена, как мы только что доказали, — парабола ветвями вниз.

А если бросить мяч не с земли, а с башни? Тогда в уравнении «мяч на земле», $h_0 + vt - \frac{gt^2}{2} = 0$, свободный член $h_0$ положителен, а старший коэффициент $-\frac g2$ отрицателен. Коэффициенты $a$ и $c$ разных знаков, значит, и корни разных знаков. Положительный корень — момент падения. А отрицательный?

Уравнение ничего не знает о башне. Оно описывает параболу целиком, и отрицательный корень — момент, когда мяч, летящий по той же параболе, был бы на уровне земли, если бы его бросили раньше и снизу. Это тот самый «лишний» корень, который вавилонский писец и ал-Хорезми не записывали. Здесь у него есть смысл — время до броска, но в задаче о падении он не нужен. Оставлять корень или отбрасывать, решает задача, а не алгебра.

Загон

Фермер купил $40$ метров сетки и хочет огородить прямоугольный загон вдоль длинной стены сарая, чтобы стена служила четвёртой стороной. Если ширина загона, считая от стены, равна $x$ метрам, то на сторону вдоль стены остаётся $40 - 2x$ метров, и площадь равна

$$S(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x.$$

Это парабола ветвями вниз, её вершина — при $x_0 = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = 10$. Лучший загон имеет размеры $10 \times 20$ метров и площадь $200$ м². Не квадрат: сторона вдоль стены вдвое длиннее. Без стены лучшим из загонов, которые можно обнести теми же $40$ метрами, будет квадрат $10 \times 10$ — это теорема о наибольшем произведении: у такого загона сумма длины и ширины равна $20$. Площадь окажется вдвое меньше.

Для парабол вершину даёт готовая формула. У других функций наибольшие и наименьшие значения мы научимся искать с помощью производной, а что общего у параболы со спутниковой тарелкой, расскажет глава о конических сечениях.

Полевая практика

Раскоп закончен, находки описаны; осталось набить руку. В тренажёре три уровня. На первом корни целые, и их удобно искать по Виету. На втором встречаются дробные корни и особые случаи: $D = 0$, «корней нет», уравнения без слагаемого с $x$ или без свободного члена. На третьем корни чаще всего иррациональные, а уравнение нередко сначала нужно привести к виду $ax^2 + bx + c = 0$.

Если попалось своё уравнение, решатель разберёт его по шагам. Все тренажёры курса собраны на странице практики.

Куда дальше

Все уравнения этой главы — с одним неизвестным. Даже вавилонская задача о прямоугольнике, где неизвестных на самом деле два, длина и ширина, свелась к одному: условия $x + y = 7$ и $xy = 12$ по Виету сразу дают $x^2 - 7x + 12 = 0$. Так везёт не всегда. «Три тетради и две ручки стоят 190 рублей, а две тетради и три ручки — 160. Сколько стоит тетрадь?» Здесь два неизвестных и два условия, и ни одно условие по отдельности ответа не даёт. А если условия — не равенства, а «не больше» и «не меньше»: сколько сырья на складе, сколько часов у станка? Тогда и ответ уже не число, а целая область допустимых решений. С такими задачами работают системы уравнений и неравенств.