Начала: аксиомы и построения

В прошлой главе мы обращались с плоскостью как с давно знакомой вещью: поворачивали, растягивали, мерили длины и складывали углы. И ни разу не спросили, откуда мы всё это знаем. Нарисуйте треугольник, измерьте его углы транспортиром и сложите. Выйдет что-нибудь около $180^\circ$ — может быть, $179^\circ$ или $181^\circ$. Транспортир не скажет, что сумма ровно $180^\circ$. Тем более он ничего не скажет о треугольниках, которые никто никогда не рисовал.

Как узнать что-то обо всех фигурах сразу, если нарисовать можно только несколько? Около 300 года до нашей эры Евклид из Александрии ответил на этот вопрос книгой. Она называется «Начала», в ней тринадцать частей, и держится она на простой мысли: принять без доказательства совсем немного очевидных утверждений, а всё остальное из них вывести. Инструментов у Евклида два — циркуль и линейка. Правила строгие, ходов мало, а задачи иногда требуют настоящей изобретательности. Получается игра, и в этой главе мы в неё сыграем.

Правила игры

Линейка у Евклида без делений: ею нельзя ничего измерить, можно только провести прямую через две точки, которые уже есть на чертеже. Циркулем можно описать окружность с центром в одной отмеченной точке, проходящую через другую. Новые точки появляются только как точки пересечения прямых и окружностей. Больше ничего не разрешено: ни «на глаз», ни «примерно здесь», ни угольника, ни транспортира.

Циркуль Евклида «складывается»: подняли его с бумаги — и раствор потерян, перенести отрезок на новое место нельзя. Кажется, это серьёзное ограничение. Но уже второе предложение «Начал» показывает, как отложить от любой точки отрезок, равный данному, одними складными ходами. Так что складной циркуль ничем не хуже обычного, просто работать с ним дольше.

Первая задача книги звучит так: на данном отрезке построить равносторонний треугольник. Прежде чем читать решение, попробуйте сами. Касайтесь точек на доске: циркулем — сначала центра, потом точки, через которую пройдёт окружность; линейкой — двух точек прямой. Пунктир показывает, что нужно получить. Счётчик считает каждую окружность и каждую прямую, а норма — наименьшее число ходов, за которое задачу можно решить.

Решение занимает четыре хода: две окружности радиусом $AB$ с центрами в $A$ и $B$ и два отрезка из концов $AB$ к общей точке окружностей $C$. Интереснее другое — почему треугольник получился равносторонним. Об этом следующий раздел.

Пять требований и пять общих понятий

Первая книга «Начал» открывается двадцатью тремя определениями. «Точка есть то, что не имеет частей». «Линия — длина без ширины». Первые из них скорее описания, чем определения: ни одно доказательство на них не опирается. Дальше идут пять утверждений, которые Евклид просит принять без доказательства. По-гречески они называются «айтемата», то есть требования; в латинских переводах — постулаты.

Первые три — это и есть правила нашей игры: линейка, продолжение линейкой, циркуль. Четвёртый звучит странно: разве бывают неравные прямые углы? Он говорит, что плоскость всюду одинакова: прямой угол в одном месте такой же, как в любом другом. Пятый длиннее всех остальных вместе взятых, и с ним связана самая долгая история в геометрии. Мы к нему вернёмся.

За постулатами следуют пять общих понятий — утверждений не про фигуры, а про величины вообще.

Теперь можно записать решение первой задачи так, как это делает Евклид: каждый шаг со ссылкой на то, что его разрешает.

Каждый шаг — ссылка на постулат, общее понятие или определение. Ничего не берём с рисунка.

Опишем окружность с центром $A$ радиусом $AB$ — это разрешает постулат 3. Опишем окружность с центром $B$ радиусом $BA$ — снова постулат 3. Пусть $C$ — точка, где окружности пересекаются. Проведём отрезки $CA$ и $CB$ — это разрешает постулат 1. Точка $C$ лежит на первой окружности, поэтому $AC = AB$: все радиусы окружности равны — так Евклид определяет окружность. Точка $C$ лежит и на второй окружности, поэтому $BC = BA$. Отрезки $AC$ и $BC$ равны одному и тому же отрезку $AB$, а значит, равны между собой (общее понятие 1). Все три стороны треугольника $ABC$ равны.

Построения Евклид заканчивает словами «что и требовалось сделать», а теоремы — «что и требовалось доказать». В латинских изданиях это сокращали до Q.E.F. и Q.E.D.; второе сокращение живо до сих пор.

Обратите внимание, чего в доказательстве нет. Нет слов «как видно из рисунка». Рисунок помогает понять, но довод — только ссылки на постулаты и общие понятия. Чуть позже мы увидим, что в этом доказательстве всё-таки есть дыра, и поймём, почему её не замечали две тысячи лет.

Первые ходы

В первой задаче спрятан приём, который пригодится почти везде. Две окружности одинакового радиуса с центрами $A$ и $B$ пересекаются в двух точках, и каждая из них одинаково удалена от $A$ и от $B$. Прямая через эти точки — особенная.

Серединный перпендикуляр сразу даёт середину отрезка. А если посмотреть на ту же картинку с другой стороны, он даёт перпендикуляр к прямой из точки, которая на ней не лежит: достаточно найти точку, симметричную данной относительно прямой. Для угла есть свой приём.

Все четыре задачи ниже решаются в три-четыре хода. Если застрянете, вспомните, что у ромба все стороны равны, диагонали перпендикулярны и делят его углы пополам. А ромб из радиусов строится циркулем в два касания.

У Евклида эти задачи идут в другом порядке: сначала он делит пополам угол, а уже с его помощью — отрезок. Порядок в «Началах» определяется не удобством, а тем, что уже доказано к этому месту: предложение можно использовать только после того, как оно доказано.

На отрезке $AB$ длиной $6$ описаны две окружности радиусом $AB$ с центрами в $A$ и $B$. Найдите расстояние между двумя точками их пересечения. Можно ответить точно (например, 2sqrt(3)) или приближённо, с двумя знаками после запятой.

Каждая из точек пересечения вместе с $A$ и $B$ образует равносторонний треугольник со стороной $6$. Его высота делит основание пополам, и по теореме Пифагора (ей посвящена глава 18) она равна $\sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt3$. Точки лежат на серединном перпендикуляре по разные стороны от $AB$, поэтому расстояние между ними $2 \cdot 3\sqrt3 = 6\sqrt3 \approx 10{,}39$.

Книга, которую переписывали двадцать три века

О самом Евклиде известно очень мало: он учил математике в Александрии, скорее всего при царе Птолемее I, около 300 года до нашей эры. Всё остальное — предания. Самое известное пересказывает Прокл, философ V века нашей эры, написавший комментарий к первой книге: царь спросил, нет ли пути к геометрии короче «Начал», и Евклид ответил, что царской дороги в геометрию нет.

Многое в «Началах» открыл не Евклид. Теорию пропорций пятой книги обычно связывают с Евдоксом, учение о правильных многогранниках — с Теэтетом. Заслуга Евклида в другом: он выстроил около 465 предложений в одну цепочку, где каждое опирается только на предыдущие. Книги I–IV — геометрия на плоскости: треугольники, параллельные, площади, теорема Пифагора, окружность, вписанные многоугольники. Книга V — пропорции, VI — подобие. Книги VII–IX — про числа; там живут алгоритм Евклида и доказательство того, что простых чисел бесконечно много. Книга X — о несоизмеримых отрезках, книги XI–XIII — о телах. Заканчивается всё пятью правильными многогранниками и доказательством, что шестого нет.

Египтяне и вавилоняне знали немало фактов о фигурах задолго до греков. Новым в «Началах» было не содержание, а устройство: знание стало зданием, у которого есть фундамент и этажи. Ниже — первая книга целиком: 48 предложений на пяти постулатах. Предложение стоит этажом выше самого высокого из тех, на которые ссылается его доказательство.

Теорема Пифагора (I.47) опирается на 28 из 46 предыдущих предложений и на все пять постулатов. А предложение I.4 — равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними — не опирается ни на что: Евклид доказывает его, мысленно накладывая один треугольник на другой. Такого хода среди постулатов нет, и это ещё одна дыра, к которой мы вернёмся.

Пятый постулат

Пятый постулат выглядит как теорема, которую забыли доказать. Возьмём две прямые и третью, которая их пересекает. Если внутренние углы по одну сторону от третьей прямой в сумме дают меньше $180^\circ$, прямые наклонены друг к другу и где-то с этой стороны встретятся. Звучит очевидно. Но «где-то» может оказаться очень далеко: если сумма углов равна $179{,}99^\circ$, а прямые пересекают третью в метре друг от друга, они сойдутся почти в шести километрах. Ни один чертёж такого не покажет.

Прежде чем обращаться к пятому постулату, посмотрим, как далеко можно уйти без него. Евклид и сам так поступает: первые 28 предложений первой книги обходятся одними первыми четырьмя постулатами. Главный инструмент там — теорема о внешнем угле.

Удвоим медиану — и один из внутренних углов окажется «перенесён» внутрь внешнего угла.

Продолжим сторону $BC$ треугольника $ABC$ за точку $C$ до точки $D$. Докажем, что внешний угол $ACD$ больше угла $A$. Разделим сторону $AC$ пополам точкой $E$ (построение середины отрезка, I.10). Проведём отрезок $BE$ и продолжим его за $E$ на такую же длину: $EF = BE$ (постулат 2 и откладывание отрезка, I.2–I.3). Углы $AEB$ и $CEF$ равны как вертикальные. Поэтому треугольники $ABE$ и $CFE$ равны по двум сторонам и углу между ними: $AE = CE$, $BE = FE$. Этот признак равенства — предложение I.4; подробно о нём в главе 17. У равных треугольников равны соответственные углы: $\angle ECF = \angle EAB$, то есть угол $ACF$ равен углу $A$. Луч $CF$ проходит внутри угла $ACD$: точка $F$ лежит по ту же сторону от $BD$, что и $A$, и по другую сторону от $AC$, чем $B$. Значит, $\angle ACD > \angle ACF = \angle A$. Для угла $B$ рассуждение то же, только середину берут на стороне $BC$, а сравнивают с углом, вертикальным к $ACD$.

Обратите внимание на последний шаг: «точка лежит по ту сторону» — это знание о порядке точек, которое Евклид берёт с чертежа. К этой тонкости мы вернёмся в разделе о дырах в «Началах». Из теоремы о внешнем угле сразу получаются два следствия.

Отсюда следует, что хотя бы одна параллельная существует и без пятого постулата: через точку вне прямой достаточно провести прямую, которая образует с секущей такой же накрест лежащий угол. Евклид делает это в предложении I.31. Попробуйте сами — это следующий уровень игры.

А вот доказать, что другой параллельной через ту же точку нет, без пятого постулата не получается. Больше того, запрет на вторую параллельную — это и есть пятый постулат, только сказанный короче.

Сравним любую прямую через точку $P$ с той единственной, у которой накрест лежащие углы равны.

Пусть даны прямая $l$ и точка $P$ вне её. Проведём секущую $PQ$ и прямую $m$ через $P$, образующую с $PQ$ такой же накрест лежащий угол, как $l$. По признаку параллельности (I.27) прямая $m$ параллельна $l$; пятый постулат здесь не нужен. Возьмём любую другую прямую $m'$ через $P$. Она повёрнута относительно $m$, поэтому с одной стороны от секущей внутренние односторонние углы, которые образуют с ней $m'$ и $l$, в сумме меньше $180^\circ$ — ровно на угол между $m$ и $m'$. По пятому постулату $m'$ и $l$ пересекаются с этой стороны. Значит, никакая прямая, кроме $m$, не параллельна $l$: из пятого постулата следует аксиома Плейфера. Обратно, примем аксиому Плейфера, и пусть прямая $m'$ образует с секущей и прямой $l$ внутренние односторонние углы, в сумме меньшие $180^\circ$. Прямая $m'$ отличается от $m$, а параллельная через $P$ только одна — поэтому $m'$ пересекает $l$ в какой-то точке $X$. Точка $X$ не может лежать с другой стороны от секущей: там внутренние углы в сумме больше $180^\circ$, а в треугольнике $PQX$ любые два угла вместе меньше $180^\circ$ (I.17). Значит, $X$ лежит с той стороны, где сумма меньше, — это и утверждает пятый постулат.

Похоже, Евклид чувствовал особое положение постулата: он откладывает его до последнего и впервые применяет только в предложении I.29. Вернитесь к карте первой книги и нажмите «Постулат 5». Подсвечена часть здания, которая на нём держится; всё остальное устоит и без него.

Сколько предложений первой книги обходятся без пятого постулата? Ответ можно найти на карте выше.

Пятый постулат нужен предложению I.29 и всему, что на него опирается, а ещё предложению I.44, которое ссылается на постулат напрямую. Вместе это 19 предложений: I.29, I.30 и I.32–I.48. Остаются $48 - 19 = 29$: первые 28 предложений подряд и построение параллельной, I.31. Знаменитые «первые 28 предложений Евклида, доказанные без пятого постулата» — это сплошной блок в начале книги.

Две тысячи лет математики пытались вывести пятый постулат из остальных четырёх. Прокл пишет, что пробовал ещё Птолемей, и предлагает собственное доказательство; позже этим занимались Омар Хайям и итальянский иезуит Джованни Саккери. Все доказательства оказывались ошибочными: в каждом где-нибудь пряталось утверждение, равносильное самому постулату. В XIX веке выяснилось, почему. Существует геометрия, в которой верны первые четыре постулата, а пятый — нет. Путешествие туда — в главе 58.

Какое из этих утверждений нельзя доказать без пятого постулата?

Сумма углов треугольника равна двум прямым. Через точку вне прямой можно провести прямую, параллельную данной. Вертикальные углы равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Сумма углов — предложение I.32, оно стоит на I.29, первом применении пятого постулата. Существование параллельной (I.31), вертикальные углы (I.15) и углы при основании (I.5) доказываются без него. А на сфере, где параллельных нет вовсе, сумма углов треугольника больше $180^\circ$.

Шестиугольник и квадрат

С правильными многоугольниками циркуль и линейка обращаются по-разному. Равносторонний треугольник мы уже построили. Правильный шестиугольник Евклид вписывает в окружность в четвёртой книге (IV.15), и это самая короткая задача главы, если заметить одну вещь про его сторону. Квадрат на отрезке — предложение I.46, предпоследнее в первой книге. Евклид строит его через перпендикуляр и параллельные, а мы обойдёмся меньшим.

В доказательстве для квадрата мы говорим, что прямоугольный равнобедренный треугольник даёт угол в $45^\circ$. Это следует из суммы углов треугольника, то есть из пятого постулата. Иначе и быть не могло: как выяснится в главе 58, в геометрии, где первые четыре постулата верны, а пятый нет, квадратов не бывает вовсе — четырёхугольник с равными сторонами и четырьмя прямыми углами там невозможен.

Удваивая число сторон биссектрисами, из квадрата получаем восьмиугольник, шестнадцатиугольник и так далее, из шестиугольника — двенадцатиугольник. Евклид умел строить ещё правильный пятиугольник (IV.11) и пятнадцатиугольник (IV.16). Следующий шаг сделал только восемнадцатилетний Гаусс: в 1796 году он нашёл построение правильного семнадцатиугольника. А вот семиугольник циркулем и линейкой не построить. Какие именно многоугольники строятся, объясняет глава 43.

В окружность радиусом $7$ вписан правильный шестиугольник. Найдите его периметр.

Центр и две соседние вершины образуют треугольник, у которого две стороны — радиусы, а угол между ними $360^\circ : 6 = 60^\circ$. Такой треугольник равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине, а значит, и два других его угла по $60^\circ$: он равносторонний. Поэтому сторона шестиугольника равна радиусу, $7$, а периметр — $6 \cdot 7 = 42$.

Все треугольники равнобедренные

Вот доказательство того, что у любого треугольника есть две равные стороны. Каждый шаг в нём ссылается на верное утверждение, а вывод, очевидно, ложен.

Этот софизм давно кочует по сборникам математических развлечений. Попробуйте найти ошибку, пока рисунок выглядит так, как его обычно рисуют от руки. Потом переключитесь на точный чертёж или потяните вершину.

Шаги с первого по четвёртый верны при любом положении точки $O$. Ошибка в последнем: равенство $AB = AE + EB$ предполагает, что $E$ лежит между $A$ и $B$. На точном чертеже точка $O$ всегда оказывается вне треугольника — на описанной окружности, посередине дуги $BC$. Тогда одно из оснований перпендикуляров лежит на стороне, а другое — на её продолжении, и вместо суммы получается разность: например, $AB = AE - EB$, но $AC = AF + FC$.

Урок этого софизма серьёзнее, чем кажется. В «Началах» нет ни одной аксиомы о том, что значит «точка лежит между двумя другими». Евклид берёт такие вещи с чертежа, и его чертежи всегда правильные. Но чертёж — не довод, а неправильный чертёж даёт неправильную теорему.

Дыры в «Началах»

Вернёмся к самому первому доказательству. Почему две окружности в предложении I.1 вообще пересекаются? На рисунке это видно, но ни один постулат этого не гарантирует. Можно устроить «плоскость», где все пять постулатов выполнены, а окружности проходят друг сквозь друга, не встретившись.

Оставим на плоскости только точки с рациональными координатами. Прямая через две такие точки состоит из рациональных точек, окружности — тоже, и все пять постулатов по-прежнему выполняются. Пусть $A = (0;\,0)$ и $B = (1;\,0)$. Окружности с центрами в $A$ и $B$ радиусом $1$ задаются уравнениями

$$x^2 + y^2 = 1, \qquad (x - 1)^2 + y^2 = 1.$$

Вычтем второе из первого: $2x - 1 = 0$, то есть $x = \frac12$, и тогда $y^2 = \frac34$, $y = \pm\frac{\sqrt3}{2}$. Но $\sqrt3$ иррационально (почему — в главе 6), так что в рациональной плоскости таких точек нет. Окружности пересекаются в «дыре». Чтобы предложение I.1 было верным, нужна аксиома непрерывности: у плоскости нет дыр.

Вторая дыра — наложение в I.4. Евклид передвигает треугольник, как вырезанный из картона, хотя постулаты ничего не говорят о движении фигур. Третья — порядок точек на прямой, на котором споткнулся софизм. Её заметил Мориц Паш и в 1882 году добавил к геометрии аксиому, которой у Евклида не было.

Из неё и других аксиом порядка выводится многое из того, что Евклид брал с чертежа, например что в доказательстве теоремы о внешнем угле точка $F$ действительно лежит внутри угла $ACD$.

С аксиомами Гильберта теоремы Евклида доказываются без единого взгляда на чертёж. Сам Евклид при этом ни в одной теореме не ошибся: дыры были в обосновании, а не в результатах. Но только после Гильберта геометрия стала тем, чем хотела быть с самого начала, — знанием, которое держится на логике, а не на рисунке.

Три задачи, которые не сдаются

Три задачи древние греки так и не смогли решить циркулем и линейкой. Первая — удвоение куба: построить ребро куба, объём которого вдвое больше данного. По преданию, жители острова Делос спросили оракула, как остановить мор, и получили ответ: удвоить жертвенник кубической формы. Вторая — трисекция угла.

Третья задача — квадратура круга: построить квадрат, равный по площади данному кругу. Над этими задачами бились две тысячи лет, и ответ пришёл с неожиданной стороны — из алгебры.

Идея доказательства и почему целиком оно здесь не помещается

Примем данный отрезок за единицу и введём координаты. Прямая через две точки задаётся уравнением первой степени, окружность — второй, поэтому каждая новая точка пересечения получается решением линейного или квадратного уравнения. Значит, циркуль и линейка умеют получать из известных длин их суммы, разности, произведения, частные и квадратные корни — и больше ничего.

Удвоение куба требует длины $\sqrt[3]{2}$ — корня уравнения $x^3 = 2$, а трисекция угла $60^\circ$ — числа $\cos 20^\circ$, корня уравнения $8x^3 - 6x - 1 = 0$. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корни таких кубических уравнений через квадратные корни не выражаются. Квадратура круга требует длины $\sqrt\pi$, а в 1882 году Фердинанд фон Линдеман доказал, что $\pi$ не может быть корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами — и тем более не получается из единицы квадратными корнями.

Чтобы довести это до строгого доказательства, нужен язык расширений полей и степеней многочленов — ему посвящена глава 43. Доказательство Линдемана ещё длиннее: оно опирается на анализ и занимает несколько страниц даже в современных учебниках.

С квадратурой круга связан большой вопрос №2: можно ли разрезать круг на куски и сложить из них квадрат той же площади? Циркулем и линейкой построить такой квадрат нельзя, ножницами по прямым тоже не выйдет — это глава 20. Окончательный и очень странный ответ ждёт в главе 54.

Какой из этих углов можно разделить на три равные части циркулем и линейкой?

$90^\circ$ $60^\circ$ $120^\circ$ $30^\circ$

Треть прямого угла — $30^\circ$, а его легко построить: это половина угла равностороннего треугольника. Треть угла $60^\circ$ — это $20^\circ$, треть $120^\circ$ — $40^\circ$, треть $30^\circ$ — $10^\circ$, и ни один из них не строится. «Трисекция невозможна» значит «не для каждого угла есть построение», а не «ни для какого».

Невозможность здесь — свойство правил, а не угла. Стоит чуть ослабить правила, и задача решается. Построение, которое приписывают Архимеду, делит любой угол на три части линейкой, на которой отмечены две точки. Такую линейку разрешается двигать, пока метки не лягут на нужные линии; греки называли этот приём «невсис», вставка.

Пусть вершина угла $AOB$ — в центре окружности радиусом $r$, а точки $A$ и $B$ лежат на окружности. Приложим линейку к точке $B$ и будем двигать её так, чтобы одна метка скользила по прямой $OA$ за центром (это точка $P$), а другая попала на окружность в точке $Q$. Расстояние между метками равно радиусу, поэтому $PQ = QO = OB = r$.

Угол $\alpha$ между линейкой и прямой $OA$ — угол при метке $P$. Угол $2\alpha$ при вершине $B$ между линейкой и радиусом $OB$. Данный угол $AOB$, который делим на три части. Пример: для угла $75^\circ$ линейка встаёт под углом $25^\circ$ к прямой $OA$, для $60^\circ$ — под углом $20^\circ$, который циркулем и линейкой не построить.

Два равнобедренных треугольника и дважды — теорема о внешнем угле в её точной форме: внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним (глава 17).

Расстояние между метками равно радиусу, поэтому $PQ = QO = OB = r$: $QO$ и $OB$ — радиусы. Треугольник $PQO$ равнобедренный ($PQ = QO$), углы при его основании $PO$ равны: $\angle QOP = \angle QPO = \alpha$. Угол $OQB$ — внешний угол треугольника $PQO$ при вершине $Q$. Он равен сумме двух других углов этого треугольника: $\alpha + \alpha = 2\alpha$. Треугольник $OQB$ равнобедренный ($OQ = OB$), поэтому $\angle OBQ = \angle OQB = 2\alpha$. Угол $AOB$ — внешний угол треугольника $POB$ при вершине $O$, и он равен сумме углов при $P$ и при $B$: $\alpha + 2\alpha = 3\alpha$. Значит, угол при $P$ — ровно треть угла $AOB$. Точная форма теоремы о внешнем угле опирается на сумму углов треугольника, а значит, и на пятый постулат.

А если отнять линейку?

Правила можно не только ослаблять, но и ужесточать. В 1672 году датчанин Георг Мор, а в 1797 году независимо от него итальянец Лоренцо Маскерони доказали: всё, что строится циркулем и линейкой, строится одним циркулем. Прямую циркулем, конечно, не провести, но любые точки, которые дала бы линейка, можно найти без неё. Идея доказательства: достаточно научиться одним циркулем находить точку пересечения двух прямых и точки пересечения прямой с окружностью, если каждая прямая задана двумя точками. Второе удаётся с помощью отражения центра окружности относительно прямой, первое — сложнее, через инверсию, о которой речь пойдёт в главе 23. А Якоб Штейнер в 1833 году показал, что можно обойтись и одной линейкой, если на плоскости уже нарисована одна окружность с отмеченным центром.

Куда дальше

Больше всего работы в «Началах» делают треугольники: равносторонний в I.1, пары равных треугольников почти в каждом доказательстве, треугольник из трёх отрезков в I.22. Это не случайность. Любой многоугольник диагоналями режется на треугольники, так что, поняв треугольник, мы поймём любую фигуру с прямыми сторонами. Первый вопрос о нём кажется простым. У треугольника три стороны и три угла — шесть чисел. Сколько из них и какие нужно знать, чтобы треугольник восстановился однозначно? Трёх чисел хватает не всегда, а в одном случае три числа описывают сразу два разных треугольника. Об этом — глава 17.