Дифференциальные уравнения
Рост и остывание по экспоненте, приближённое решение методом Эйлера и задача Коши для уравнений второго порядка — с затуханием и колебаниями.
Как решать
Дифференциальное уравнение задаёт не функцию, а правило её изменения. Уравнение $y' = ky$ — «скорость роста пропорциональна величине» — решает экспонента. Уравнение $x'' + px' + qx = 0$ — пружина с трением — сводится к квадратному уравнению.
По шагам
- $y' = k(y - y_\infty)$: решение $y = y_\infty + (y_0 - y_\infty)e^{kt}$. Так остывает чай до температуры комнаты.
- Метод Эйлера: шагайте по касательной, $y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n)$, где $f$ — правая часть уравнения.
- $x'' + px' + qx = 0$: составьте характеристическое уравнение $\lambda^2 + p\lambda + q = 0$.
- Два действительных корня — $C_1e^{\lambda_1t} + C_2e^{\lambda_2t}$; один кратный — $(C_1 + C_2t)e^{\lambda t}$; комплексные $\alpha \pm \beta i$ — $e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t)$.
- Постоянные найдите из начальных условий $x(0)$ и $x'(0)$.
Где ошибаются
- При кратном корне пишут $C_1e^{\lambda t} + C_2e^{\lambda t}$ — это одна функция; второе решение — $te^{\lambda t}$.
- Ищут $x'(0)$, забыв продифференцировать множитель $e^{\alpha t}$.
- В методе Эйлера берут наклон в конце шага, а не в начале.
- В законе остывания ставят $e^{kt}$ к самой температуре, а не к разности с комнатной.