Часть II · Алгебра Глава 8 из 60
Уравнения: искусство равновесия
Уравнение — это весы в равновесии, на которых лежит коробка неизвестного веса. Научимся снимать с чаш лишнее так, чтобы весы не дрогнули, и узнаем, откуда взялось само слово «алгебра».
Опирается на: 7 · Буквы вместо чисел
Вы научитесь
- решать линейные уравнения со скобками и дробями и проверять ответ подстановкой
- понимать, какие преобразования сохраняют корни, а какие их теряют или добавляют
- переводить текстовую задачу на язык уравнения и обратно
В конце прошлой главы зритель сказал фокуснику: «Я задумал число, умножил на 3, прибавил 7 и получил 25». Записать услышанное буквами фокусник умеет: $3x + 7 = 25$. Но это уже не выражение, а утверждение, и верно оно не для всех $x$, а для одного-единственного. Его и нужно найти.
Можно подбирать. При $x = 5$ выходит 22 — мало, при $x = 7$ выходит 28 — много, значит, ответ где-то между, и $x = 6$ подходит. Подбор сработал, потому что числа маленькие, а ответ целый. Для задачи, к которой мы придём в середине главы, — $\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x$ — он был бы пыткой. Нужен способ, а не удача. Такой способ придумали больше тысячи лет назад, и лучшая картинка для него — чашечные весы.
Весы в равновесии
Положим на левую чашу три одинаковые коробки неизвестного веса $x$ и две килограммовые гири, а на правую — четырнадцать гирь. Весы стоят ровно. Это и есть запись $3x + 2 = 14$: левая часть лежит на левой чаше, правая — на правой, а знак равенства — ось весов.
Уравнение — равенство с неизвестным, про которое спрашивают: при каких значениях неизвестного оно верно? Каждое такое значение называют корнем уравнения. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Что можно делать с весами, не нарушая равновесия? Снять или добавить одно и то же на обе чаши. И разделить содержимое каждой чаши на одинаковое число равных частей, оставив по одной части (или, наоборот, увеличить обе чаши в одно и то же число раз). Снимем по две гири с обеих чаш: слева останутся три коробки, справа двенадцать гирь, $3x = 12$. Разделим обе чаши на три части: одна коробка против четырёх гирь, $x = 4$. Коробка взвешена, хотя внутрь мы не заглядывали.
Весы не умеют держать отрицательный вес, поэтому для вычитания пришлось придумать воздушные шарики. Шарик тянет чашу вверх с силой в один килограмм, и $4x - 3$ — это четыре коробки с тремя привязанными шариками. Гиря и шарик на одной чаше гасят друг друга, как $+1$ и $-1$ из главы 2.
Каждое действие на весах превращает уравнение в новое, но корень у них общий: $3x + 2 = 14$, $3x = 12$ и $x = 4$ верны при одном и том же $x$ и неверны при остальных.
Уравнения называют равносильными, если у них одни и те же корни. Решение уравнения — цепочка равносильных уравнений, последнее из которых настолько простое, что корень виден сразу.
Весы подсказывают два правила, но весы — только картинка. Сформулируем правила как утверждения о числах и докажем их, опираясь на законы действий из прошлой главы.
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или вычесть из обеих частей одно и то же число, получится уравнение, равносильное исходному. То же верно, если прибавлять или вычитать выражение с неизвестным, которое имеет смысл при всех значениях неизвестного, например $2x$.
Идея: показать, что каждый корень одного уравнения — корень другого, и наоборот. Пусть уравнение $A = B$ (где $A$ и $B$ — выражения с $x$) превратили в $A + c = B + c$.
Возьмём любой корень первого уравнения, то есть такое число $x_0$, что при нём $A$ и $B$ — одно и то же число. Прибавив к одному и тому же числу одно и то же $c$, получим одинаковые результаты. Значит, при $x_0$ верно и $A + c = B + c$: корень первого уравнения — корень второго.
Обратно, пусть при $x_0$ верно $A + c = B + c$. Прибавим к обеим частям число $-c$. Слева получится $A + c + (-c) = A + \bigl(c + (-c)\bigr) = A + 0 = A$ по сочетательному закону, справа точно так же $B$. Значит, $A = B$ при $x_0$: корень второго уравнения — корень первого. Корни совпадают, уравнения равносильны. Вычитание $c$ — это прибавление $-c$, для него рассуждение то же. Если $c$ — выражение с $x$, определённое при всех $x$, то при каждом $x_0$ оно превращается в число, и рассуждение проходит без изменений.
Если обе части уравнения умножить на одно и то же число $k \ne 0$ или разделить на него, получится уравнение, равносильное исходному. Для $k = 0$ это неверно.
Рассуждение то же, что для первого правила. Если при $x_0$ части $A$ и $B$ равны, то равны и $kA$ и $kB$ — произведения одинаковых чисел. Обратно, пусть при $x_0$ верно $kA = kB$. Раз $k \ne 0$, у него есть обратное число $\frac1k$; умножим на него обе части. Слева по сочетательному закону $\frac1k \cdot (kA) = \bigl(\frac1k \cdot k\bigr)A = 1 \cdot A = A$, справа так же $B$. Значит, $A = B$ при $x_0$, и корни совпадают. Деление на $k$ — это умножение на $\frac1k$, которое тоже не ноль.
Условие $k \ne 0$ нельзя отбросить: у нуля обратного числа нет, и обратный шаг не проходит. Уравнение $x + 1 = 3$ имеет единственный корень $2$, а после умножения на ноль получается $0 = 0$, где корнем служит любое число. Равносильность пропала.
Второе правило, в отличие от первого, нельзя без оглядки применять к выражениям с неизвестным: такое выражение при некоторых $x$ может обратиться в ноль. Что из этого выходит, мы увидим в разделе о ловушках.
Восполнение и противопоставление
Около 820 года в Багдаде Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми, учёный из «Дома мудрости» при дворе халифа ал-Мамуна, написал «Краткую книгу об исчислении восполнения и противопоставления». Ни одной буквы и ни одного знака в ней нет. Неизвестное называется «вещью», его квадрат — «имуществом», числа — «дирхемами», по названию монеты. Уравнение $x^2 + 10x = 39$ звучит у него так: имущество и десять корней равны тридцати девяти дирхемам. Решать такие уравнения мы будем в главе 10, а сейчас нас интересуют два действия из названия книги.
Ал-джабр, восполнение, избавляет уравнение от вычитаемого: к обеим частям прибавляют то, что вычтено. Из $4x - 3 = 2x + 5$ получается $4x = 2x + 8$. На наших весах это привязать к обеим чашам по гире на каждый шарик. Ал-мукабала, противопоставление, убирает одинаковое с обеих сторон: из $4x = 2x + 8$ получается $2x = 8$. На весах это снять по коробке с каждой чаши.
Зачем ал-Хорезми понадобилось восполнение? Отрицательных чисел он не признавал, и уравнение считалось приведённым к порядку, только когда в обеих частях стоят одни прибавляемые. Поэтому у него шесть отдельных видов уравнений, вроде «имущество и корни равны числу» или «имущество и число равны корням», и для каждого свой рецепт. Нам проще: с отрицательными числами все шесть видов сливаются в один.
Сегодня оба действия записывают одним правилом.
Слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, поменяв его знак: получится равносильное уравнение.
Пусть в левой части стоит слагаемое $c$: уравнение имеет вид $A + c = B$. Вычтем $c$ из обеих частей — по первому правилу равновесия получится равносильное уравнение $A + c - c = B - c$. Слева $c - c = 0$, и остаётся $A = B - c$: слагаемое $c$ исчезло слева и появилось справа со знаком минус. Если слагаемое было со знаком минус, $A - c = B$, прибавим $c$ к обеим частям и получим $A = B + c$. Это в точности ал-мукабала и ал-джабр, записанные одной строкой.
В $4x - 3 = 2x + 5$ переносим $-3$ вправо, где оно станет $+3$, а $2x$ влево, где оно станет $-2x$: $4x - 2x = 5 + 3$, то есть $2x = 8$ и $x = 4$. Два действия ал-Хорезми уместились в одну строку.
Три судьбы линейного уравнения
Какие бы скобки и дроби ни стояли в уравнении, если неизвестное входит в него только в первой степени и не стоит в знаменателе, после раскрытия скобок и переноса слагаемых оно превращается в $ax + b = 0$.
Уравнение вида $ax + b = 0$, где $a$ и $b$ — числа, называют линейным. Название пришло из геометрии: в главе 9 мы увидим, что выражение $ax + b$ рисует прямую линию.
Если $a \ne 0$, корень ровно один. Но $a$ может оказаться нулём. На весах это значит, что коробок на чашах было поровну и после ал-мукабалы их не осталось совсем. Тогда уравнение превращается в $0 \cdot x = -b$, и дальше возможны два исхода. Если $b \ne 0$, то слева при любом $x$ стоит ноль, а справа не ноль: корней нет, весы не уравновесить никакой коробкой. Если же $b = 0$, получается $0 \cdot x = 0$, и корнем служит любое число: весам всё равно, сколько весит коробка.
Уравнение $ax + b = 0$ при $a \ne 0$ имеет единственный корень $x = -\frac{b}{a}$; при $a = 0$ и $b \ne 0$ не имеет корней; при $a = 0$ и $b = 0$ любое число — его корень.
Идея: перенести $b$ вправо и посмотреть, можно ли разделить на $a$. По правилу переноса уравнение $ax + b = 0$ равносильно уравнению $ax = -b$.
Пусть $a \ne 0$. По второму правилу равновесия разделим обе части на $a$ и получим равносильное уравнение $x = -\frac{b}{a}$. У него ровно один корень — само число $-\frac{b}{a}$, а равносильные уравнения имеют одни и те же корни. Значит, и у исходного корень один.
Пусть $a = 0$. Тогда при любом $x$ левая часть $0 \cdot x$ равна нулю (по лемме об умножении на ноль из главы 2), и уравнение говорит: $0 = -b$. Если $b \ne 0$, это ложно при любом $x$ — корней нет. Если $b = 0$, это верно при любом $x$ — корнем служит каждое число. Других возможностей нет: $a$ либо равно нулю, либо нет, и то же с $b$.
В журнале взвешиваний видно, почему случаев ровно три. Перекос весов меняется с одним и тем же шагом: каждый лишний килограмм в коробке сдвигает его на одну и ту же величину. Поэтому точки ложатся на прямую. Прямая с наклоном пересекает нулевой уровень ровно один раз. Горизонтальная прямая либо идёт выше или ниже нуля и не встречает его никогда, либо совпадает с ним целиком. Четвёртого не дано: не бывает линейного уравнения ровно с двумя корнями.
Сколько корней у уравнения $2(x - 1) = 2x - 2$?
После раскрытия скобок получается $2x - 2 = 2x - 2$, а после переноса $0 \cdot x = 0$. Это тождество: корнем служит любое число.
Скобки и дроби
О жизни Диофанта, того самого, что завёл для неизвестного особый значок, известно так мало, что даже век определяют по косвенным признакам. Зато в «Греческой антологии», старинном сборнике коротких стихотворений, есть задача-эпитафия про его возраст. В пересказе она звучит так. Детство Диофанта заняло шестую часть его жизни, юность — ещё двенадцатую. Ещё через седьмую часть жизни он женился, а через пять лет у него родился сын. Сын прожил вдвое меньше отца, и через четыре года после смерти сына умер Диофант. Сколько лет он прожил?
Кто и когда сочинил эпитафию, неизвестно, и верить ей как биографии не стоит. Но как задача она прекрасна. Пусть Диофант прожил $x$ лет; все отрезки его жизни вместе составляют всю жизнь:
$$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x.$$Дроби мешают, но второе правило равновесия от них избавляет. Наименьшее общее кратное знаменателей 6, 12, 7 и 2 равно 84 — вспомните НОК из главы 4. Умножим обе части на 84, то есть каждое слагаемое:
$$14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x.$$Переносим слагаемые с $x$ влево, числа вправо и приводим подобные: $75x - 84x = -756$, то есть $-9x = -756$ и $x = 84$. Детство длилось 14 лет, в 21 год кончилась юность, в 33 Диофант женился, в 38 у него родился сын, который прожил 42 года, а сам Диофант умер в 84.
Любое линейное уравнение решается одним и тем же порядком действий:
- избавиться от дробей, умножив обе части на общий знаменатель;
- раскрыть скобки;
- перенести слагаемые с неизвестным в одну часть, числа — в другую;
- привести подобные и прийти к $ax = c$;
- разделить на $a$, если $a \ne 0$, или узнать один из двух особых случаев;
- проверить ответ подстановкой в исходное уравнение.
Последний шаг не формальность: он ловит ошибки, сделанные на любом из предыдущих. В виджете ниже можно вписать своё уравнение и посмотреть, как этот порядок работает на нём.
Решите уравнение $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 4}{2}$.
Общий знаменатель 6. Умножаем обе части на 6: $2(2x - 1) = 3(x + 4)$, то есть $4x - 2 = 3x + 12$. Переносим: $4x - 3x = 12 + 2$, $x = 14$. Проверка: $\frac{28 - 1}{3} = 9$ и $\frac{14 + 4}{2} = 9$.
Решите уравнение $0{,}3(x - 2) = 0{,}2x + 0{,}4$.
Десятичные дроби — те же обыкновенные со знаменателем 10. Умножаем обе части на 10: $3(x - 2) = 2x + 4$, $3x - 6 = 2x + 4$, $x = 10$. Проверка: $0{,}3 \cdot 8 = 2{,}4$ и $0{,}2 \cdot 10 + 0{,}4 = 2{,}4$.
Для уравнений посложнее, где полезно видеть каждый шаг с объяснением, есть решатель линейных уравнений.
Где весы обманывают
Решим уравнение $x^2 = x$. Разделим обе части на $x$ — получим $x = 1$. Проверка: $1^2 = 1$, верно. Всё? Нет: $x = 0$ тоже подходит, ведь $0^2 = 0$. Корень потерялся при делении. Второе правило равновесия разрешает делить только на число, отличное от нуля, а $x$ как раз может оказаться нулём — и именно этот случай мы выбросили вместе с корнем.
Правильно — перенести всё в одну часть и разложить на множители, как в прошлой главе: $x^2 - x = 0$, $x(x - 1) = 0$. Дальше работает простое, но очень полезное утверждение.
Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю: $pq = 0 \iff p = 0$ или $q = 0$.
В одну сторону: если $p = 0$ или $q = 0$, то $pq = 0$, потому что умножение на ноль даёт ноль (глава 2). В другую: пусть $pq = 0$ и $p \ne 0$. Тогда у $p$ есть обратное число, и по сочетательному закону $q = 1 \cdot q = \bigl(\frac1p \cdot p\bigr)q = \frac1p \cdot (pq) = \frac1p \cdot 0 = 0$. Значит, если первый множитель не ноль, то ноль — второй.
Для $x(x - 1) = 0$ лемма даёт: $x = 0$ или $x - 1 = 0$, то есть $x = 0$ или $x = 1$. Оба корня на месте.
Нельзя делить обе части уравнения на выражение с неизвестным: при тех значениях, где оно равно нулю, теряются корни. Вместо деления переносите всё в одну часть и раскладывайте на множители.
Умножение на выражение с неизвестным опасно по-другому: оно может добавить корень, которого не было. Возьмём $\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}$ и умножим обе части на $x - 2$: получится $x = 2$. Но при $x = 2$ знаменатели обращаются в ноль, и исходное уравнение теряет смысл. У него нет корней, а двойка появилась потому, что при $x = 2$ мы умножали на ноль.
Посторонний корень — число, которое появилось в ходе решения, но исходному уравнению не удовлетворяет. Посторонние корни приносят неравносильные преобразования: умножение на выражение с неизвестным, а позже — возведение обеих частей в квадрат. Поэтому ответ всегда проверяют подстановкой в исходное уравнение.
Ниже собраны семь решений. В каждом ровно один неверный шаг — делением на выражение с неизвестным дело не ограничивается. Попробуйте найти ошибку раньше, чем прочитаете разбор.
Задача, записанная словами
Большинство уравнений в жизни приходят не в виде формулы, а в виде истории. Перевод с языка слов на язык уравнений делается в четыре хода. Решите, что будет неизвестным, и обозначьте его буквой. Выразите через неё все величины, о которых говорится в условии. Найдите величину, которую можно посчитать двумя способами, и приравняйте. Решив уравнение, переведите ответ обратно в слова и спросите себя, разумен ли он.
Из двух сёл, между которыми 36 километров, одновременно навстречу друг другу выехал велосипедист со скоростью 13 км/ч и вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Когда они встретятся? Пусть через $x$ часов. К этому моменту велосипедист проедет $13x$ километров, пешеход пройдёт $5x$, а вместе они покроют всё расстояние: $13x + 5x = 36$. Значит, $18x = 36$ и $x = 2$. Через два часа велосипедист будет в 26 километрах от своего села, пешеход — в 10 километрах от своего, и $26 + 10 = 36$.
Ответ уравнения стоит читать внимательно. Отцу 40 лет, сыну 10. Через сколько лет отец станет вдвое старше сына? $40 + x = 2(10 + x)$, откуда $x = 20$: отцу будет 60, сыну 30. А впятеро? $40 + x = 5(10 + x)$ даёт $x = -2{,}5$. Отрицательный ответ не ошибка: он значит, что это было два с половиной года назад, когда отцу было $37{,}5$, а сыну $7{,}5$. Уравнение не знает слов «через» и «назад» и просто показывает, куда смотреть.
Бутылка с пробкой стоят 1 рубль 10 копеек. Бутылка дороже пробки на рубль. Сколько стоит пробка?
Пусть пробка стоит $x$ копеек, тогда бутылка стоит $x + 100$, и $x + (x + 100) = 110$. Отсюда $2x = 10$ и $x = 5$. Ответ «10 копеек» подсказывает интуиция, а проверка его опровергает.
Сумма трёх последовательных натуральных чисел равна 96. Найдите наименьшее из них.
Пусть наименьшее число $x$, тогда два других $x + 1$ и $x + 2$. Получаем $x + (x + 1) + (x + 2) = 96$, $3x + 3 = 96$, $x = 31$. Проверка: $31 + 32 + 33 = 96$.
Куда дальше
Весы отвечали на вопрос, сколько весит коробка, и ответом было число. Но вернёмся к велосипедисту и пешеходу. Расстояние между ними не одно: через час после старта оно 18 километров, через полчаса — 27, а через $t$ часов — $36 - 18t$. Уравнение спрашивало, когда это расстояние станет нулём. А если нужно видеть всю историю сразу — как одна величина зависит от другой, где она растёт, где убывает, когда обращается в ноль? Тогда ответ — не число, а правило. Такое правило называют функцией, и точки из журнала взвешиваний уже подсказали, как его рисовать. Об этом глава 9.