Производная

Прошлая глава закончилась обещанием. Камень, отпущенный с башни, через секунду после старта летит со скоростью $10$ м/с: к этому числу стремятся средние скорости $10 + 5h$, когда промежуток времени $h$ сжимается к нулю. У такого предела есть имя, производная, и её, как было сказано, показывает стрелка спидометра. Проверим обещание в дороге. Стрелка стоит на шестидесяти, и все понимают, что это значит. Но что именно? За одно мгновение машина никуда не сдвигается. Ещё Зенон Элейский рассуждал о летящей стреле: в каждый момент она занимает место, равное себе, то есть покоится. Откуда же берётся движение?

Возьмём машину, спидометр и видеорегистратор, который ставит на каждом кадре точное время. По кадрам можно посчитать среднюю скорость между любыми двумя моментами. Будем сближать кадры и смотреть, к чему идут средние скорости. Предел, который мы найдём, и есть показание спидометра. Он же окажется наклоном графика, скоростью роста чего угодно и главным инструментом всего анализа. А по дороге выведем правила, которые позволят находить такие пределы, почти не думая о пределах.

Что показывает стрелка

Загорелся зелёный, и машина трогается с места с постоянным ускорением $2$ м/с². Путь, который она проедет за $t$ секунд, равен $s(t) = t^2$ метров: за первую секунду один метр, за две — четыре, за пять — двадцать пять. Какую скорость покажет спидометр ровно через пять секунд после старта?

Видеорегистратор знает время и положение, значит, умеет считать среднюю скорость, как мы считали её для камня: пройденный путь, делённый на затраченное время. Возьмём кадры в моменты $5$ с и $6$ с. Машина была на отметках $25$ м и $36$ м, проехала $11$ метров за секунду, и средняя скорость равна $11$ м/с. Но за эту секунду машина разгонялась, так что в момент $t = 5$ она ехала медленнее. Сблизим кадры: между $5$ и $5{,}1$ секунды машина проехала $5{,}1^2 - 25 = 1{,}01$ метра, средняя скорость $1{,}01 : 0{,}1 = 10{,}1$ м/с. Между $5$ и $5{,}01$ получится $10{,}01$ м/с, между $5$ и $5{,}001$ — $10{,}001$ м/с.

Закономерность видна и в общем виде. Если между кадрами $h$ секунд, средняя скорость равна

$$\frac{s(5 + h) - s(5)}{h} = \frac{(5 + h)^2 - 25}{h} = \frac{10h + h^2}{h} = 10 + h.$$

При любом $h \ne 0$ средняя скорость отличается от $10$ ровно на $h$. Делить на ноль не нужно: мы делим на ненулевое $h$ и лишь потом смотрим, к чему стремится результат, когда $h$ стремится к нулю. Это предел, и он равен $10$ м/с, то есть $36$ км/ч. Именно это число и показывает спидометр.

Зенон прав в одном: по одному кадру скорость не узнать. Но скорость и не живёт в одном кадре. Она живёт в том, как ведут себя средние скорости на всё более коротких промежутках вокруг этого кадра. Второй кадр можно брать и раньше первого, с отрицательным $h$: средние скорости $10 - 0{,}1$, $10 - 0{,}01$, $10 - 0{,}001$ подбираются к тому же числу снизу.

В таблице под спидометром видно, как быстро средние скорости подбираются к мгновенной. На разгоне $s = t^2$ отличие равно ровно $h$. В поездке от светофора до светофора оно тоже уменьшается примерно вдесятеро с каждой строкой, хотя формула пути там сложнее.

Секущая становится касательной

Нарисуем путь как график: по горизонтали время, по вертикали пройденные метры. Два кадра — это две точки графика, $P(5;\,25)$ и $Q(6;\,36)$. Средняя скорость $\frac{36 - 25}{6 - 5}$ равна наклону прямой $PQ$, отношению подъёма к шагу по горизонтали. Это тот самый угловой коэффициент из главы о функциях. Прямую через две точки графика называют секущей. Когда $Q$ скользит по графику к $P$, секущая поворачивается вокруг $P$ и в пределе ложится в положение, которое мы и назовём касательной. Мгновенная скорость — её наклон.

Слово «касательная» знакомо по окружности: там это прямая, у которой с окружностью ровно одна общая точка. Для графиков такое определение не годится. Прямая $x = 1$ пересекает параболу $y = x^2$ ровно в одной точке, но касательной её не назовёшь. А прямая $y = 0$ касается кубической параболы $y = x^3$ в начале координат и при этом проходит её насквозь.

Какое утверждение о касательной к графику верно?

Касательная в точке $P$ — предельное положение секущих $PQ$, когда $Q$ приближается к $P$ Касательная имеет с графиком ровно одну общую точку Касательная всегда лежит по одну сторону от графика У любого графика в любой точке есть касательная

Касательную к графику определяют через предел, так же как мгновенную скорость. Всё, что мы знали про касательную к окружности, для окружности остаётся верным, но для графиков не обязано.

От машины остались только функция и её график, поэтому скажем то же самое для любой функции. Вместо времени пусть будет $x$, вместо пути — $f(x)$.

Шаг сжимается к нулю, но нулём не становится: при $h = 0$ дробь не имеет смысла, и предел описывает, что происходит рядом с нулём. Приращение функции, подъём секущей. Его часто обозначают $\Delta f$ или $\Delta y$. Приращение аргумента, шаг по горизонтали, $\Delta x$. Бывает и отрицательным: тогда вторая точка секущей лежит левее первой. Пример: для $f(x) = x^2$ в точке $x = 3$ получаем $\frac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h \to 6$. Значит, $f'(3) = 6$: в этой точке парабола поднимается примерно на $6$ единиц на каждую единицу вправо. Высота точки касания: при $x = a$ скобка обнуляется, и прямая проходит через $(a;\,f(a))$. Наклон касательной — производная в точке касания. Абсцисса точки касания. Пример: касательная к $y = x^2$ в точке $a = 3$: $y = 9 + 6(x - 3) = 6x - 9$. Проверка: уравнение $x^2 = 6x - 9$, то есть $(x - 3)^2 = 0$, имеет единственный корень $3$, и при всех остальных $x$ парабола лежит выше прямой.

Найдите по определению производную функции $f(x) = x^2 - 4x$ в точке $x = 1$.

$f(1 + h) - f(1) = (1 + h)^2 - 4(1 + h) - (1 - 4) = 1 + 2h + h^2 - 4 - 4h + 3 = h^2 - 2h$. Делим на $h$: получаем $h - 2$, и при $h \to 0$ это стремится к $-2$. Значит, $f'(1) = -2$: в точке $x = 1$ парабола идёт вниз.

Лупа

Есть ещё один способ увидеть касательную, и он, пожалуй, самый честный. В прошлой главе микроскоп показал, что у нуля синусоида почти не отличается от прямой $y = x$ (первый замечательный предел). Так ведёт себя любой гладкий график. Возьмите лупу и рассмотрите маленький кусочек гладкого графика вокруг точки $P$. Чем сильнее увеличение, тем прямее выглядит кусочек, а при увеличении в миллион раз его не отличить от отрезка. Этот отрезок лежит на касательной, и его наклон равен производной.

Это свойство называют локальной линейностью: вблизи точки дифференцируемая функция почти линейна. «Почти» здесь означает точную вещь. По определению производной $\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = f'(a) + \varepsilon$, где поправка $\varepsilon$ стремится к нулю вместе с $h$. Умножим на $h$:

$$f(a + h) = f(a) + f'(a)\,h + \varepsilon h.$$

Первые два слагаемых — касательная, последнее — ошибка. Она мала даже по сравнению с маленьким $h$: при $h = 0{,}001$ ошибка составляет крошечную долю тысячной. Поэтому в лупе график и касательная сливаются. На этом держатся прикидки в уме. Чтобы найти $\sqrt{4{,}1}$, возьмём $f(x) = \sqrt x$ около точки $a = 4$. Производная корня, как мы скоро узнаем, равна $\frac{1}{2\sqrt x}$, в точке $4$ это $\frac14$. Значит, $\sqrt{4{,}1} \approx 2 + \frac14 \cdot 0{,}1 = 2{,}025$, а точное значение $2{,}02485\ldots$ отличается меньше чем на две десятитысячных.

Оцените $\sqrt[3]{8{,}1}$ с помощью касательной, если известно, что производная функции $\sqrt[3]{x}$ в точке $x = 8$ равна $\frac{1}{12}$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

$\sqrt[3]{8{,}1} \approx \sqrt[3]{8} + \frac{1}{12} \cdot 0{,}1 = 2 + 0{,}00833\ldots \approx 2{,}0083$. Калькулятор даёт $2{,}00830$, так что касательная ошиблась меньше чем на десятитысячную.

Лупа показывает и то, как производная может не существовать. Первый способ — излом. Функция $|x|$ в нуле непрерывна, но секущие справа имеют наклон $1$, а слева $-1$: односторонние пределы разные. Под лупой излом не распрямляется, потому что $|x|$ не меняется от растяжения: увеличьте картинку вокруг нуля в тысячу раз, и получится та же самая буква V. Второй способ — вертикальная касательная, как у $\sqrt[3]{x}$ в нуле: секущие становятся всё круче, и их наклон уходит в бесконечность, а бесконечность — не число.

Третий способ поразил математиков XIX века. В 1872 году Карл Вейерштрасс показал в Берлинской академии функцию, которая непрерывна всюду и не имеет производной ни в одной точке: её график состоит из одних изломов. Пример в виджете — «бланманже», его в 1903 году построил японский математик Тэйдзи Такаги. Это сумма бесконечного числа зубчатых «пил», каждая вдвое мельче и вдвое чаще предыдущей: $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{d(2^n x)}{2^n}$, где $d(y)$ — расстояние от $y$ до ближайшего целого. Сколько ни увеличивай, из-под очередного излома появляются новые.

Значит, непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой. А вот дифференцируемая всегда непрерывна.

Спидометр на всём пути

Спидометр работает не в одной точке, а всю дорогу. Если в каждой точке $x$ записывать значение $f'(x)$, получится новая функция — производная функции $f$. Для $s(t) = t^2$ это $v(t) = 2t$: мы проделали выкладку для $t = 5$, но она не зависела от того, что время равно пяти. В общем виде $\frac{(t + h)^2 - t^2}{h} = 2t + h \to 2t$.

Графики $f$ и $f'$ связаны так же, как запись пути и запись спидометра. Где $f$ растёт, касательные идут вверх и $f'$ положительна. Где $f$ убывает, $f'$ отрицательна. На вершине холма и на дне ямы касательная горизонтальна и $f' = 0$. Где график круче, там $|f'|$ больше. Почему знак производной управляет ростом функции (это не так очевидно, как кажется), будет доказано в следующей главе. Пока научимся читать один график по другому.

На «ступеньке» производная похожа на холм: она наибольшая посередине, где график круче всего, и почти равна нулю по краям, где он почти горизонтален, хотя сам график там совсем не нулевой. Путать значение функции со скоростью её изменения — самая частая ошибка при чтении графиков, от школьных задач до биржевых сводок.

Температура за окном весь день росла, но к вечеру росла всё медленнее. Что можно сказать о производной температуры по времени вечером?

Она положительна и уменьшается Она отрицательна Она положительна и растёт Она равна нулю

Температура растёт — производная положительна. Растёт всё медленнее — производная уменьшается. Так же машина, которая сбрасывает газ, но ещё едет вперёд: скорость положительна и падает.

Первые правила

Считать каждую производную по определению — всё равно что каждый раз вычислять площадь, считая клетки. Выведем несколько правил, и почти любую формулу можно будет дифференцировать, не вспоминая о пределах. Два самых простых: производная постоянной равна нулю (у $f(x) = c$ приращение всегда $c - c = 0$), а производная функции $x$ равна единице (приращение равно $h$, отношение равно $1$).

Теперь степени. Для $x^2$ производную мы уже знаем: $2x$. У этого ответа есть наглядный смысл. Пусть $x$ — сторона квадрата, а $x^2$ — его площадь. Как быстро растёт площадь, когда растёт сторона?

Две полоски размером $x \times h$ вдоль двух сторон квадрата. Уголок $h \times h$. При малом $h$ он крошечный даже по сравнению с полосками. Пример: сторона $3$ см выросла на $1$ мм. Полоски добавили $2 \cdot 30 \cdot 1 = 60$ мм², уголок — всего $1$ мм².

Хитрость в том, чтобы разрезать прибавку площади на части и посмотреть, какие из них переживут деление на $h$.

Квадрат со стороной $x$ имеет площадь $x^2$. Сторона выросла на $h$. Новая площадь $(x + h)^2$, и нам нужно приращение $(x + h)^2 - x^2$ — площадь каймы вокруг старого квадрата. Кайма состоит из двух полосок $x \times h$ вдоль двух сторон, их общая площадь $2xh$… …и маленького уголка $h \times h$ площадью $h^2$. Получилось $(x + h)^2 - x^2 = 2xh + h^2$; то же даёт формула квадрата суммы. Делим на $h$: $\frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$. Полоски дают $2x$ при любом $h$, а вклад уголка равен $h$ и исчезает при $h \to 0$. Поэтому $(x^2)' = 2x$. Скорость роста площади — половина периметра: площадь нарастает вдоль двух сторон длины $x$.

С кубом то же самое, только в пространстве. Куб со стороной $x$ растёт тремя плитами $x \times x \times h$ на трёх гранях, тремя брусками $x \times h \times h$ вдоль рёбер и кубиком $h \times h \times h$ в углу: $(x + h)^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3$. После деления на $h$ плиты дают $3x^2$, а бруски и кубик оставляют слагаемые с множителем $h$, которые исчезают. Значит, $(x^3)' = 3x^2$. Для $n > 3$ картинку не нарисовать, но рассуждение то же.

Показатель спускается множителем: столько «граней», вдоль которых нарастает степень. Показатель уменьшается на единицу. Пример: $(x^5)' = 5x^4$, поэтому $(2x^5 - 3x^2 + 7)' = 10x^4 - 6x$. Позже мы увидим, что формула верна для любого показателя: $\left(\frac1x\right)' = (x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ и $(\sqrt x)' = \left(x^{1/2}\right)' = \frac{1}{2\sqrt x}$.

Растущий прямоугольник

Производная суммы — сумма производных. Хочется так же легко разделаться с произведением, но производная произведения не равна произведению производных. Проверка на $x \cdot x = x^2$: произведение производных даёт $1 \cdot 1 = 1$, а верный ответ $2x$. На этом споткнулся и сам Лейбниц: в рукописи ноября 1675 года он проверяет, не равно ли $d(uv)$ произведению $du\,dv$, и на примере убеждается, что нет. Верное правило снова подсказывает площадь.

Растёт первый множитель, второй пока прежний: полоска $\Delta u \times v$. Растёт второй множитель при прежнем первом: полоска $u \times \Delta v$. Пример: $(x^2 \sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x$ (производную синуса мы выведем чуть позже). Или выручка магазина — цена, умноженная на число покупок. Цена $100$ рублей растёт на $2$ рубля в месяц, покупок $500$ и их становится на $10$ больше в месяц. Выручка растёт со скоростью $2 \cdot 500 + 100 \cdot 10 = 2000$ рублей в месяц.

Хитрость та же, что с квадратом: прибавка площади складывается из двух полосок и уголка, и уголок не переживёт предела.

Произведение $u(x) \cdot v(x)$ — площадь прямоугольника со сторонами $u$ и $v$. Когда $x$ получает приращение $h$, стороны меняются на $\Delta u = u(x + h) - u(x)$ и $\Delta v = v(x + h) - v(x)$. Новая площадь $(u + \Delta u)(v + \Delta v)$. Прибавка площади состоит из полоски $\Delta u \cdot v$ справа… …полоски $u \cdot \Delta v$ сверху… …и уголка $\Delta u \cdot \Delta v$. Раскрыв скобки, получаем то же для любых знаков приращений: $(u + \Delta u)(v + \Delta v) - uv = \Delta u \cdot v + u \cdot \Delta v + \Delta u \cdot \Delta v$. Делим на $h$: $\frac{\Delta u}{h}\,v + u\,\frac{\Delta v}{h} + \frac{\Delta u}{h}\,\Delta v$. При $h \to 0$ отношения $\frac{\Delta u}{h}$ и $\frac{\Delta v}{h}$ стремятся к $u'$ и $v'$, а $\Delta v$ стремится к нулю, потому что дифференцируемая функция $v$ непрерывна (теорема из раздела «Лупа»). Первые два слагаемых дают $u'v + uv'$, третье стремится к $u' \cdot 0 = 0$.

С частным справимся в два хода: сначала найдём производную дроби $\frac1v$, а потом запишем $\frac uv$ как произведение $u \cdot \frac1v$.

Как в правиле произведения: растёт числитель. Растёт знаменатель, и дробь от этого уменьшается, поэтому здесь минус. Квадрат знаменателя. Он положителен, так что знак производной решает числитель. Пример: $\left(\frac{x^2 + 1}{x - 1}\right)' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$. А из первой формулы: $\left(\frac{1}{x^n}\right)' = -\frac{n x^{n - 1}}{x^{2n}} = -n x^{-n - 1}$, то есть правило степени верно и для целых отрицательных показателей.

Коробка передач

Двигатель вращает коленчатый вал, вал через коробку передач вращает колёса, колёса катят машину. Если на третьей передаче колесо делает один оборот на три оборота вала, а за один оборот колеса машина проезжает два метра, то на каждый оборот вала приходится $\frac13 \cdot 2 = \frac23$ метра. Скорости изменения в цепочке перемножаются. На этом стоит правило для сложной функции, то есть для композиции $f(g(x))$ — «конвейера» из главы о функциях.

У шестерёнок передаточные числа постоянны, это линейные функции. Производная измеряет «местное передаточное число» любой гладкой функции: во сколько раз она растягивает маленький отрезок около выбранной точки. Под лупой все гладкие функции устроены как шестерёнки, только передаточное число у каждой меняется от точки к точке.

Производная внутренней функции: во сколько раз первая машина растягивает маленький отрезок около $x$. Производная внешней функции, взятая в точке $g(x)$, а не в $x$: вторая машина получает на вход уже $u = g(x)$. Пример: $\bigl((3x + 1)^5\bigr)' = 5(3x + 1)^4 \cdot 3 = 15(3x + 1)^4$. Внешняя функция $u^5$, внутренняя $u = 3x + 1$. В записи Лейбница правило выглядит как сокращение дробей: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.

Идея: представим каждую функцию машиной, которая переносит точки одной числовой прямой на другую, и проследим, во что превращается маленький отрезок.

На верхней прямой отметим отрезок от $x$ до $x + h$. Машина $g$ переносит его на среднюю прямую, машина $f$ — на нижнюю. На рисунке $g(x) = \frac{x^2}{3}$ и $f(u) = 10\left(1 - e^{-u/5}\right)$, но годятся любые дифференцируемые функции. Образ отрезка на средней прямой имеет длину $\Delta u = g(x + h) - g(x)$. По определению производной $\frac{\Delta u}{h} \to g'(x)$: при малых $h$ машина $g$ растягивает отрезки примерно в $g'(x)$ раз. Образ на нижней прямой имеет длину $\Delta y = f(u + \Delta u) - f(u)$. Если $\Delta u \ne 0$, отношение $\frac{\Delta y}{\Delta u}$ — наклон секущей графика $f$, и при $\Delta u \to 0$ оно стремится к $f'(u)$. Если $\Delta u \ne 0$, растяжения перемножаются: $\frac{\Delta y}{h} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{h}$. Сжимайте отрезок на рисунке и следите за тремя числами справа. Остался случай, когда $\Delta u = 0$ (например, если $g$ постоянна около $x$ или колеблется, возвращаясь к тому же значению): тогда делить на $\Delta u$ нельзя. Чтобы не делить, введём функцию наклона $\varphi(w) = \frac{f(w) - f(u)}{w - u}$ при $w \ne u$ и $\varphi(u) = f'(u)$. Равенство $f(w) - f(u) = \varphi(w)\,(w - u)$ верно при всех $w$, включая $w = u$, где обе части равны нулю. Подставим $w = g(x + h)$: получим $\Delta y = \varphi(g(x + h)) \cdot \Delta u$ без всяких делений, а значит, $\frac{\Delta y}{h} = \varphi(g(x + h)) \cdot \frac{\Delta u}{h}$. При $h \to 0$ имеем $g(x + h) \to g(x) = u$ ($g$ непрерывна), а $\varphi(w) \to f'(u)$ при $w \to u$ по определению производной, поэтому первый множитель стремится к $f'(u)$, второй — к $g'(x)$. Итог: $\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Чему равна производная функции $\sin 2x$?

$\cos 2x$ $2\cos 2x$ $2\cos x$ $-2\cos 2x$

Внешняя функция — синус, её производная $\cos u$ берётся при $u = 2x$. Внутренняя функция $2x$ растёт вдвое быстрее $x$, и это даёт множитель $2$. Синусоида $\sin 2x$ сжата по горизонтали вдвое, поэтому её склоны вдвое круче.

Найдите производную функции $(x^2 + 1)^{10}$.

Внешняя функция $u^{10}$, её производная $10u^9$; внутренняя $u = x^2 + 1$, её производная $2x$. По правилу цепочки получаем $10(x^2 + 1)^9 \cdot 2x = 20x(x^2 + 1)^9$. Раскрывать скобки в десятой степени, к счастью, не пришлось.

Кольцевая развязка

Машина въезжает на кольцевую развязку радиусом в одну единицу и едет с единичной скоростью. За время $x$ она проходит дугу длины $x$, то есть поворачивается на угол $x$ радиан, и оказывается в точке $(\cos x;\,\sin x)$: так синус и косинус определены на единичной окружности (глава о тригонометрии). Как быстро меняется её координата «на север», $\sin x$? Скорость машины направлена по касательной к окружности, перпендикулярно радиусу, и в точке с углом $x$ её северная составляющая равна $\cos x$. Физика подсказывает ответ: $(\sin x)' = \cos x$. Докажем его честно, заменив дугу хордой.

Длина хорды, которая стягивает дугу $h$ единичной окружности. Подъём хорды: на столько вторая точка выше первой. Косинус угла между хордой и вертикалью. Хорда перпендикулярна биссектрисе угла, а та идёт под углом $x + \frac h2$ к горизонтали. Пример: при $x = 0{,}45$ и $h = 0{,}6$ слева $\sin 1{,}05 - \sin 0{,}45 \approx 0{,}8674 - 0{,}4350 = 0{,}4324$, справа $2\sin 0{,}3 \cdot \cos 0{,}75 \approx 0{,}5910 \cdot 0{,}7317 \approx 0{,}4324$.

Хитрость в том, чтобы считать подъём не по дуге, а по хорде: у хорды известны и длина, и направление.

Точки $P(\cos x;\,\sin x)$ и $Q(\cos(x + h);\,\sin(x + h))$ лежат на единичной окружности, угол $POQ$ равен $h$. Нужная нам разность $\sin(x + h) - \sin x$ — это то, насколько $Q$ выше $P$, то есть вертикальная составляющая вектора $\overrightarrow{PQ}$. Треугольник $OPQ$ равнобедренный: $OP = OQ = 1$. Его высота $OM$ одновременно медиана и биссектриса (глава о треугольнике), поэтому в прямоугольном треугольнике $OMQ$ угол при $O$ равен $\frac h2$, а катет $MQ = \sin\frac h2$. Хорда $PQ = 2\sin\frac h2$. Биссектриса $OM$ идёт под углом $x + \frac h2$ к горизонтали, а хорда ей перпендикулярна. Поэтому хорда образует с вертикалью тот же угол $x + \frac h2$: у этих двух углов стороны попарно перпендикулярны. На языке направлений: вектор $\overrightarrow{PQ}$ повёрнут на $x + \frac h2 + 90°$ от оси $x$, а вертикальная составляющая вектора длины $L$ с таким направлением равна $L\sin\left(x + \frac h2 + 90°\right) = L\cos\left(x + \frac h2\right)$. В такой форме рассуждение работает при любом положении точек. Значит, $\sin(x + h) - \sin x = 2\sin\frac h2 \cdot \cos\left(x + \frac h2\right)$. При отрицательном $h$ точка $Q$ лежит по другую сторону от $P$, хорда повёрнута на $x + \frac h2 - 90°$, а её длина равна $2\sin\frac{|h|}{2}$; перемножив, получаем ту же формулу. Делим на $h$: $\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \frac{\sin(h/2)}{h/2} \cdot \cos\left(x + \frac h2\right)$. При $h \to 0$ первый множитель стремится к $1$ (первый замечательный предел), а второй — к $\cos x$, потому что косинус непрерывен. Итог: $(\sin x)' = \cos x$.

Остальная тригонометрия получается правилами. Косинус — синус дополнительного угла: $\cos x = \sin\left(\frac\pi2 - x\right)$. По правилу цепочки $(\cos x)' = \cos\left(\frac\pi2 - x\right) \cdot (-1) = -\sin x$. Минус понятен и на развязке: пока машина проходит верхнюю половину кольца, её «восточная» координата $\cos x$ уменьшается. Тангенс — частное: $(\operatorname{tg} x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$, потому что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Экспонента и логарифм

У показательной функции $a^x$ есть свойство, которого нет у многочленов: скорость её роста пропорциональна ей самой. Вклад в банке растёт тем быстрее, чем он больше; колония бактерий — тем быстрее, чем больше в ней бактерий. Посмотрим, что говорит определение производной:

$$\frac{a^{x + h} - a^x}{h} = a^x \cdot \frac{a^h - 1}{h}.$$

Множитель $a^x$ вынесся, а второй множитель от $x$ не зависит вовсе: это разностное отношение графика $a^x$ в нуле. Значит, если в нуле производная есть, то $(a^x)' = a^x \cdot m(a)$, где $m(a) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}$. Всё решает одно число — наклон в нуле. Посчитаем его для нескольких оснований:

У двойки наклон в нуле около $0{,}693$, у тройки около $1{,}099$. Где-то между ними есть основание с наклоном ровно $1$, и это число $e = 2{,}71828\ldots$ — то самое, что служит основанием натурального логарифма в главе о логарифмах. Возьмём это свойство за определение: $e$ — основание, при котором касательная к графику $y = e^x$ в точке $(0;\,1)$ имеет наклон $1$. Что такое основание существует, единственно и совпадает с пределом $\left(1 + \frac1n\right)^n$ из прошлой главы, докажет глава о числе $e$. Связь с пределом можно угадать уже сейчас. Наклон $1$ в нуле означает, что при малых $h$ почти верно $e^h \approx 1 + h$. Возьмём $h = \frac1n$ и возведём в степень $n$: $e = \left(e^{1/n}\right)^n \approx \left(1 + \frac1n\right)^n$. Это прикидка, а не доказательство: маленькие ошибки перемножаются $n$ раз, и нужно ещё проверить, что они не накапливаются. Числа обнадёживают: при $n = 1000$ получается $2{,}71692$, при $n = 10^6$ — $2{,}71828$.

Экспонента — функция, которая совпадает со своей производной: высота графика в каждой точке равна его наклону. Натуральный логарифм — обратная к ней функция, и его производную можно получить отражением.

Идея: график логарифма — зеркальное отражение графика экспоненты, а при отражении в прямой $y = x$ подъём и шаг меняются ролями, поэтому наклон переворачивается.

Функция $\ln x$ обратна к $e^x$, поэтому их графики симметричны относительно прямой $y = x$ (глава о функциях): точка $A(a;\,e^a)$ графика экспоненты отражается в точку $B(e^a;\,a)$ графика логарифма. Проведём секущую через $A$ и близкую точку $A'$ графика $e^x$. Её наклон $k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$: подъём, делённый на шаг. Отражение переводит секущую $AA'$ в секущую $BB'$ графика логарифма. Горизонтальный катет треугольника наклона становится вертикальным и наоборот, поэтому наклон отражённой секущей равен $\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac1k$. Число $k$ не ноль: экспонента строго возрастает. Пусть теперь $B'(x';\,\ln x')$ приближается к $B$, то есть $x' \to e^a$. Абсцисса точки $A'$ равна ординате точки $B'$, числу $\ln x'$. Логарифм непрерывен, поэтому $\ln x' \to \ln e^a = a$, и $A'$ приближается к $A$. Тогда $k$ стремится к производной экспоненты в точке $a$, то есть к $e^a \ne 0$, а наклон секущей $BB'$, равный $\frac1k$, стремится к $\frac{1}{e^a}$. Предел наклонов секущих существует — значит, у логарифма в точке $B$ есть производная, и она равна $\frac{1}{e^a}$. Точка $B$ имеет абсциссу $x = e^a$. Поэтому $(\ln x)' = \frac{1}{e^a} = \frac1x$. Так как $a$ любое, это верно при всех $x > 0$.

Теперь, когда есть экспонента, логарифм и правило цепочки, закрываются два долга. Первый — производная $a^x$ с любым основанием. Так как $a = e^{\ln a}$, то $a^x = e^{x\ln a}$, и по правилу цепочки $(a^x)' = e^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a$. Значит, загадочный наклон в нуле $m(a)$ — это $\ln a$: для двойки $\ln 2 = 0{,}6931\ldots$, как в таблице.

Второй долг — степень с любым показателем. При $x > 0$ имеем $x^r = e^{r\ln x}$, и $(x^r)' = e^{r\ln x} \cdot \frac rx = x^r \cdot \frac rx = r x^{r - 1}$. Формула для натуральных $n$ оказалась верной для любого действительного показателя: $(\sqrt x)' = \left(x^{1/2}\right)' = \frac12 x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt x}$, как мы и обещали в разделе «Лупа».

Окружность без формулы

Кольцевую развязку радиусом $5$ задаёт уравнение $x^2 + y^2 = 25$, но $y$ в нём не выражен через $x$: окружность — не график функции, над каждым $x$ из $(-5;\,5)$ у неё две точки. Как найти наклон касательной в точке $(3;\,4)$? Около этой точки окружность совпадает с графиком функции $y(x)$, своей верхней половинки, и для неё тождество $x^2 + y(x)^2 = 25$ верно при всех $x$ рядом с $3$. Продифференцируем обе части, помня, что $y$ — функция от $x$, и применяя к $y^2$ правило цепочки:

$$2x + 2y \cdot y' = 0, \qquad y' = -\frac{x}{y} = -\frac34.$$

Проверим: радиус из центра в точку $(3;\,4)$ имеет наклон $\frac43$, и $\frac43 \cdot \left(-\frac34\right) = -1$. Прямые с таким произведением наклонов перпендикулярны, так что касательная перпендикулярна радиусу, как и положено касательной к окружности. Выразив $y = \sqrt{25 - x^2}$ явно, мы получили бы то же: $y' = \frac{-2x}{2\sqrt{25 - x^2}} = -\frac34$. Такой приём называют неявным дифференцированием: производную находят, не выражая функцию формулой. Тем же способом можно получить и производную логарифма: из $e^{y} = x$ следует $e^{y}\,y' = 1$, то есть $y' = \frac{1}{e^y} = \frac1x$. Но это рассуждение заранее предполагает, что производная у логарифма есть, а отражение в зеркале это как раз доказало.

Найдите наклон касательной к окружности $x^2 + y^2 = 25$ в точке $(4;\,-3)$.

Из $2x + 2yy' = 0$ получаем $y' = -\frac{x}{y} = -\frac{4}{-3} = \frac43$. Проверка: наклон радиуса в эту точку равен $-\frac34$, и $\frac43 \cdot \left(-\frac34\right) = -1$: касательная перпендикулярна радиусу.

Кто изобрёл спидометр

Всё, что есть в этой главе, придумали за пару десятилетий два человека, и не одно поколение историков разбиралось, кто был первым. Исаак Ньютон построил «метод флюксий» в 1665–1666 годах, когда из-за чумы Кембриджский университет закрыли и он жил в родительском доме в Вулсторпе. Он писал трактаты, показывал их друзьям, но не печатал: главный из них, «Метод флюксий и бесконечных рядов», написанный около 1671 года, вышел только в 1736-м, уже после смерти автора. Готфрид Вильгельм Лейбниц пришёл к своему исчислению в 1675 году в Париже независимо и в 1684 году напечатал в лейпцигском журнале Acta Eruditorum статью «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных» — первую публикацию дифференциального исчисления.

В 1676 году Ньютон, отвечая на письмо Лейбница, спрятал суть своего метода в анаграмму: «6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12ux». Это пересчитанные буквы латинской фразы, которая означает примерно «по данному уравнению, содержащему любое число текучих величин, найти флюксии, и наоборот». Прочитать такое невозможно, зато потом можно доказать, что знал раньше.

Спор разгорелся в начале XVIII века. В 1712 году Лондонское королевское общество, президентом которого был Ньютон, собрало комиссию, и её отчёт признал первенство Ньютона. Позже выяснилось, что текст отчёта писал сам Ньютон. Сегодня историки согласны, что оба открыли анализ независимо: Ньютон раньше, а Лейбниц раньше опубликовал и придумал более удобные обозначения. Удобство оказалось важнее первенства. Англичане из верности Ньютону почти сто лет держались его точек, а на континенте Бернулли, Эйлер и Лагранж на языке Лейбница строили анализ дальше. Только в 1812 году кембриджские студенты Чарльз Бэббидж, Джон Гершель и Джордж Пикок основали Аналитическое общество, чтобы перейти на $d$ Лейбница. Бэббидж шутил, что они выступают за «чистый d-изм против точечного упадка», обыгрывая английское dot-age: это и «эпоха точек», и «старческое слабоумие».

Таблица и тренажёр

Соберём всё, что мы вывели. Этих формул вместе с правилами суммы, произведения, частного и цепочки хватает, чтобы продифференцировать любую функцию, составленную из степеней, корней, синусов, экспонент и логарифмов.

Производные обратных тригонометрических функций, например $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$, выводятся тем же отражением, что и логарифм; попробуйте получить эту формулу сами, продифференцировав неявно равенство $\operatorname{tg} y = x$. В тренажёре три уровня: степени и многочлены, затем произведения и частные, затем сложные функции. Любую свою производную можно проверить в решателе, а тренажёры всего курса собраны на странице практики.

Куда дальше

Спидометр отвечает на вопрос «как быстро». Но чаще нас интересует другое: где лучше всего. Из квадратного листа картона $30 \times 30$ см вырезают по углам одинаковые квадратики и загибают края, получается коробка без крышки. Маленький вырез — коробка плоская, большой — высокая, но узкая. При каком вырезе объём наибольший? Вариантов бесконечно много, и перебрать их все нельзя. Зато производная замечает вершину холма издалека: там касательная горизонтальна. Как превратить это наблюдение в метод, почему он работает и где может обмануть, расскажет глава об экстремумах и оптимизации.