Ряды
Сходится ли ряд и как — абсолютно или условно, сумма геометрического ряда, коэффициенты ряда Тейлора и радиус сходимости степенного ряда.
Как решать
Ряд — бесконечная сумма. Он сходится, если частичные суммы стремятся к числу. Первый вопрос — стремятся ли члены к нулю: если нет, ряд точно расходится. Если да, решает признак: сравнение с известным рядом, отношение соседних членов, знакочередование.
По шагам
- Необходимое условие: если $a_n \not\to 0$, ряд расходится.
- Факториалы и степени — признак Даламбера: предел $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ меньше $1$ — сходится, больше $1$ — расходится.
- Дроби со степенями $n$ — сравнение с рядом $\sum \frac{1}{n^p}$: он сходится при $p > 1$.
- Знакочередующийся ряд: сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей; если нет, но модули убывают к нулю — условно (признак Лейбница).
- Геометрический ряд суммируется формулой; коэффициенты Тейлора берите из готовых рядов $e^x$, $\sin x$, $\ln(1 + x)$, $\frac{1}{1 - x}$.
Где ошибаются
- Считают, что из $a_n \to 0$ следует сходимость: гармонический ряд $\sum \frac{1}{n}$ расходится.
- При $q = 1$ в признаке Даламбера делают вывод — а признак молчит.
- Путают абсолютную и условную сходимость: $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ сходится условно, а $\sum \frac{(-1)^n}{n^3}$ — абсолютно.
- В сумме геометрического ряда берут первым членом $b_0$ вместо $b_1$, когда ряд начинается с $n = 1$.