Что такое математика

Отметьте на окружности несколько точек и соедините каждую с каждой отрезками. Такие отрезки называют хордами, и они режут круг на части. Сколько частей получится?

Начнём с малого. Одна точка — хорд нет, круг целый: одна часть. Две точки — одна хорда и две части. Три точки дают треугольник и четыре части: сам треугольник и три горбушки вокруг него. Четыре точки режут круг на восемь частей, пять — на шестнадцать. Условие одно: точки стоят так, чтобы никакие три хорды не проходили через одну точку внутри круга. Зачем оно нужно, станет ясно чуть позже.

Один, два, четыре, восемь, шестнадцать: каждый раз вдвое больше. Прежде чем читать дальше, сделайте ставку.

Сколько частей получится, если точек на окружности шесть и никакие три хорды не пересекаются в одной точке?

Тридцать одна. Если вы написали 32, не расстраивайтесь: ради этого ответа задачу и показывают. Проверьте на круге ниже — добавьте шестую точку.

Тридцать одна

Круг ниже работает как лист бумаги и карандаш, только не сбивается со счёта. Он находит все точки пересечения хорд и все части, даже самые мелкие у края, и раскрашивает их так, чтобы соседние не сливались. Точки можно таскать по окружности, добавлять и убирать.

При шести точках частей 31. Двигайте точки как угодно: пока никакие три хорды не встречаются в одной точке, частей ровно 31, и тридцать вторая не появится никогда. Дальше расхождение только растёт. Семь точек дают 57 частей вместо 64, восемь — 99 вместо 128.

На десятой точке ряд ещё раз задевает степень двойки: $256 = 2^8$. Это случайность, дальше идут 386, 562, 794. Саму задачу называют задачей Мозера о круге, по имени канадского математика Лео Мозера.

Ловушка внутри ловушки

Условие про три хорды не придирка. Поставьте шесть точек в вершины правильного шестиугольника: три длинные диагонали сойдутся в центре, и частей станет 30. Там, где три хорды пересеклись бы в трёх разных точках и отгородили маленький треугольник, теперь одна точка, и треугольника нет. Совпадение точек пересечения всегда съедает части (в следующем разделе мы это докажем). Поэтому 31 — наибольшее число частей при шести точках, и задача спрашивает именно о нём.

Восемь точек стоят в вершинах правильного восьмиугольника, проведены все хорды. Сколько получится частей?

$128$, как обещает удвоение Ровно $99$, как в таблице Меньше $99$ Больше $99$

В центре правильного восьмиугольника сходятся все четыре длинные диагонали, и ещё в восьми точках встречаются по три хорды. Каждое такое совпадение съедает части, и их остаётся 88. Число 99 из таблицы — наибольшее возможное: оно получается, только когда никакие три хорды не проходят через одну точку.

Откуда берётся 31

Чтобы понять, почему частей 31, а не 32, пересчитывать их поштучно не нужно. Нужно понять, откуда части берутся. Будем проводить хорды по одной и следить, сколько частей добавляет каждая.

Закономерность видна сразу: хорда, которая пересекает $k$ уже проведённых, прибавляет $k + 1$ частей. Если так будет всегда, то частей окажется

$$\text{частей} = 1 + \text{хорд} + \text{точек пересечения}:$$

один исходный круг, по единице за каждую хорду и по единице за каждую точку пересечения. Но после истории с числом 32 верить закономерности на слово мы не станем. Сначала сосчитаем слагаемые, а потом докажем, что формула верна всегда.

Хорд столько, сколько пар точек. Каждую из $n$ точек можно соединить с $n - 1$ другими, но так каждая хорда посчитана дважды, с двух концов, поэтому хорд $\frac{n(n-1)}{2}$. При шести точках это $\frac{6 \cdot 5}{2} = 15$. Число способов выбрать $k$ предметов из $n$ обозначают $\binom{n}{k}$ и читают «из $n$ по $k$»; в российских учебниках пишут ещё $C_n^k$. Хорд, стало быть, $\binom n2$. Подробно эти числа разберём в главе о комбинаторике.

С пересечениями интереснее. Оказывается, каждая точка пересечения — это ровно четвёрка точек на окружности: концы двух хорд, которые в ней встречаются. Поэтому пересечений столько же, сколько четвёрок: $\binom n4 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$. Делим на 24, потому что одну и ту же четвёрку можно набрать по очереди $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ способами. Почему четвёрки и пересечения соответствуют друг другу, объясним в доказательстве.

Исходный круг: одна часть, пока хорд нет. По одной части за каждую хорду. Хорд столько, сколько пар точек: $\binom n2 = \frac{n(n-1)}{2}$. По одной части за каждую точку пересечения. Точек пересечения столько, сколько четвёрок точек на окружности: $\binom n4 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$. При $n = 5$: $1 + 10 + 5 = 16$. При $n = 6$: $1 + 15 + 15 = 31$. При $n = 7$: $1 + 21 + 35 = 57$. Формула верна, когда никакие три хорды не проходят через одну точку; иначе частей меньше.

Теперь запишем результат так, как принято в математике: в виде теоремы с доказательством.

В этом курсе теоремы стоят в цветных карточках, а доказательство идёт сразу за карточкой. Где есть честная картинка, доказательство показано чертежом, который строится по шагам вместе с текстом: шаги можно листать вперёд и назад, а точки на чертеже — двигать, чтобы убедиться, что рассуждение не зависит от их положения.

Хитрость в том, чтобы не считать части готового рисунка, а строить его по одной хорде и следить, сколько частей прибавляет каждая.

Пока хорд нет, круг — одна целая часть. Это слагаемое $\p1{1}$ в формуле. Будем проводить хорды по одной, в любом порядке. Пусть очередная хорда пересекает $k$ из уже проведённых. Точки пересечения на ней разные, потому что никакие три хорды не проходят через одну точку. Эти $k$ точек делят новую хорду на $k + 1$ отрезков. Каждый отрезок проходит внутри одной из прежних частей от края до края и разрезает её ровно на две. Почему не на три: прямая, на которой лежит хорда, пересекает круг ровно по этой хорде, поэтому каждая часть состоит из точек круга, лежащих по одну сторону от каждой из проведённых прямых. Такая часть выпуклая: вместе с любыми двумя своими точками она содержит соединяющий их отрезок. А выпуклую фигуру отрезок, проходящий через неё от края до края, делит ровно на две — по одной с каждой стороны от прямой. Значит, новая хорда прибавляет $1 + k$ частей: единицу за себя и ещё по единице за каждую точку пересечения, которую она создала. Проведём так все хорды. Единиц «за себя» наберётся столько, сколько всего хорд. Хорда — это пара точек, а пар из $n$ точек $\binom n2$. Это слагаемое $\p2{\binom n2}$. Все слагаемые $k$ вместе дают число точек пересечения. Каждую точку мы засчитали ровно один раз: когда проводили вторую из двух хорд, которые в ней пересекаются. Когда проводили первую, этой точки ещё не было. Осталось сосчитать точки пересечения. Пусть четыре точки идут по окружности в порядке $P$, $Q$, $R$, $S$. Хорда $PR$ делит круг на две части, $Q$ и $S$ лежат в разных, поэтому отрезок $QS$ обязательно пересекает $PR$. А в парах $PQ$ и $RS$, $PS$ и $QR$ оба конца одной хорды лежат по одну сторону от другой, и хорды не встречаются. Выходит, из трёх способов разбить четыре точки на пары пересекаются только диагонали четырёхугольника: каждая четвёрка даёт ровно одну точку пересечения. И наоборот, каждая точка пересечения даёт одну четвёрку — концы двух своих хорд. Точек пересечения столько же, сколько четвёрок: $\p3{\binom n4}$. Складываем исходную часть, части за хорды и части за точки пересечения: $R(n) = \p1{1} + \p2{\binom n2} + \p3{\binom n4}$. При шести точках $1 + 15 + 15 = 31$.

Условие про три хорды в теореме стоит не для красоты. Вот что происходит, когда его нарушают.

Повторим доказательство теоремы и посмотрим, какое слагаемое уменьшится.

Три хорды в общем положении пересекаются попарно в трёх разных точках и отгораживают маленький треугольник. Считаем, как в доказательстве теоремы: одна часть, плюс по единице за каждую хорду и за каждую точку пересечения, всего $1 + 3 + 3 = 7$. Поведём конец $F$ третьей хорды так, чтобы она прошла через точку пересечения двух других. Треугольник сжимается и в конце исчезает: все три хорды проходят через одну точку. Пар пересекающихся хорд по-прежнему три, а точка пересечения одна. Третья хорда проходит через уже существующую точку и получает за пересечения одну единицу, а не две. Частей $1 + 3 + 2 = 6$, на одну меньше. Так же и в общем случае. Все шаги доказательства теоремы остаются верными, только точку пересечения на новой хорде считаем один раз, сколько бы хорд через неё ни проходило. В теореме каждая пара пересекающихся хорд приносила свою единицу, а таких пар всегда $\binom n4$, по одной на четвёрку точек. Если же в точке сходятся $m \ge 3$ хорд, их $\binom m2$ пар приносят вместе только $m - 1$ единиц: первая из этих хорд за эту точку ничего не получает, каждая следующая — единицу. Поскольку $m - 1 < \binom m2$ при $m \ge 3$, частей становится меньше. У правильного шестиугольника в центре $m = 3$, и пропадает $\binom 32 - 2 = 1$ часть: $31 - 1 = 30$.

Остаётся одна загадка: почему первые пять ответов так точно совпали со степенями двойки? Это не случайность, и объяснение умещается в одну строку.

Почему первые пять ответов — степени двойки

Степень двойки — это сумма всех чисел строки треугольника Паскаля: $2^{n-1} = \binom{n-1}{0} + \binom{n-1}{1} + \dots + \binom{n-1}{n-1}$: каждое из $n - 1$ чисел можно взять или не взять, и $\binom{n-1}{k}$ считает выборы ровно $k$ из них (подробно — в главе о комбинаторике). А ответ Мозера равен сумме только первых пяти из них. Это видно из правила треугольника Паскаля $\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom nk$:

$$\binom{n-1}{0} + \underbrace{\binom{n-1}{1} + \binom{n-1}{2}}_{\binom n2} + \underbrace{\binom{n-1}{3} + \binom{n-1}{4}}_{\binom n4} = 1 + \binom n2 + \binom n4.$$

Пока $n \le 5$, других чисел в строке нет, и совпадение полное. При $n = 6$ выпадает последнее слагаемое $\binom 55 = 1$, отсюда $31 = 32 - 1$.

Та же сумма отвечает на вопрос, который звучит совсем иначе: на сколько частей $n - 1$ трёхмерных «плоскостей» общего положения режут четырёхмерное пространство. В обычном пространстве ловушка срабатывает раньше: четыре плоских разреза делят арбуз не больше чем на $1 + 4 + 6 + 4 = 15$ кусков, а не на 16. Доказывают это тем же приёмом: следят, сколько кусков прибавляет каждый новый разрез.

На окружности восемь точек, никакие три хорды не проходят через одну точку. Сколько у хорд точек пересечения внутри круга?

Столько, сколько четвёрок точек: $\binom 84 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{24} = 70$. Для проверки: частей $1 + 28 + 70 = 99$, как в таблице.

При каком наименьшем числе точек частей станет больше тысячи?

Считаем по формуле: $R(12) = 1 + 66 + 495 = 562$, $R(13) = 1 + 78 + 715 = 794$, $R(14) = 1 + 91 + 1001 = 1093$. Ответ: 14 точек. Удвоение перевалило бы за тысячу уже на одиннадцатой точке: $2^{10} = 1024$.

Закономерности, которые ломаются

Круг Мозера — не единственная ловушка такого рода и далеко не самая коварная. Пять совпадений подряд — это немного. Бывает сорок.

В 1772 году Леонард Эйлер обратил внимание, что выражение $n^2 + n + 41$ даёт простые числа при $n = 0, 1, 2, \dots, 39$: 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, …, 1601. Простым называют число больше единицы, которое делится только на единицу и на себя. Сорок простых подряд — легко поверить, что так будет всегда. Но при $n = 40$ получается $40^2 + 40 + 41 = 40 \cdot 41 + 41 = 41^2 = 1681$. Задним числом видно, что формула обречена и без перебора: при $n = 41$ на 41 делятся все три слагаемых.

Пьер Ферма в 1640 году был уверен, что все числа вида $2^{2^n} + 1$ простые: 3, 5, 17, 257, 65 537. Следующее, $2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297$, проверить вручную было трудно, и почти сто лет его никто не проверил. В 1732 году Эйлер нашёл делитель: $4\,294\,967\,297 = 641 \cdot 6\,700\,417$. С тех пор среди следующих чисел этого вида, которые удалось проверить, не нашлось ни одного простого.

Или совсем простая игра: 31, 331, 3331, 33 331, 333 331, 3 333 331, 33 333 331. Все семь чисел простые. А восьмое, $333\,333\,331$, равно $17 \cdot 19\,607\,843$.

Среди наших примеров рекорд терпения держит гипотеза венгерского математика Дьёрдя Пойа (1919). Разложим каждое число на простые множители и посчитаем их с повторами: у $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ три множителя, у $10 = 2 \cdot 5$ два, у единицы ни одного. Пойа предположил, что при любом $N \ge 2$ среди чисел от 1 до $N$ тех, у которых множителей нечётное количество, не меньше половины. В 1958 году британец Хазелгроув доказал, что где-то гипотеза ломается, но места не указал. Наименьшее такое $N$ нашёл в 1980 году японский математик Минору Танака: $906\,150\,257$. Девятьсот с лишним миллионов подтверждений подряд, и всё же гипотеза неверна.

Продолжите последовательность

Задания «продолжите последовательность» проверяют сообразительность, но единственного ответа у них нет. Конечное начало не определяет продолжения: одни и те же первые числа бывают у сколь угодно многих правил. Вот шесть вполне естественных, которые начинаются одинаково, с $1, 2, 4, 8, 16$, а дальше расходятся. Во второй вкладке шестое число можно выбрать самому, и найдётся формула, которая его даёт.

Фокус во второй вкладке честный. Через любые шесть точек с разными абсциссами проходит ровно один многочлен степени не выше пятой (почему — в главе о многочленах), и его можно выписать явно. Поэтому ответ «шестой член равен 17» так же законен, как «32», нужно только предъявить правило. Кстати, формула Мозера — многочлен четвёртой степени, и другого многочлена степени не выше четвёртой через точки $(1;\,1)$, $(2;\,2)$, $(3;\,4)$, $(4;\,8)$, $(5;\,16)$ нет. В этом смысле 31 — самое экономное продолжение ряда.

Потренируйтесь ловить ломающиеся закономерности сами. Тренажёр предлагает утверждение, которое держится для первых нескольких $n$, и просит найти первое $n$, где оно ломается. Почти все утверждения там о простых числах; подробно о них речь пойдёт в главе 3.

Зачем доказательство

Если примеры ничего не гарантируют, как математики вообще узнают что-то наверняка? Они доказывают. Вспомните, как мы получили формулу Мозера: мы не проверяли её для шести, семи и восьми точек, а поняли, откуда берётся каждая часть. Такое рассуждение работает сразу для всех $n$, и для шести точек, и для миллиона.

Любое доказательство на что-то опирается: на определения, на уже доказанные теоремы, а в самом низу — на аксиомы, утверждения, которые принимают без доказательства как правила игры (о них подробно в главе 16). Вот самая маленькая модель такой постройки: одна аксиома геометрии и одно следствие из неё. Аксиомы в курсе стоят в серых карточках с двойной рамкой, теоремы и утверждения — в цветных.

Рассуждаем от противного: предположим, что утверждение неверно, и выведем из этого противоречие с аксиомой.

Пусть различные прямые $a$ и $b$ имеют хотя бы две общие точки; назовём их $A$ и $B$. Прямая $a$ проходит через $A$ и $B$. Прямая $b$ тоже проходит через $A$ и $B$. На чертеже она нарисована изогнутой: провести через $A$ и $B$ другую прямую не получится, и это как раз то, что говорит аксиома. Через две различные точки проходит только одна прямая, значит, $b$ совпадает с $a$. Получилось, что $a$ и $b$ — одна и та же прямая, а мы предполагали, что они различны. Противоречие. Значит, предположение неверно, и у двух различных прямых не больше одной общей точки.

Три шага, но в них есть всё, из чего состоит любое доказательство: исходные правила, утверждение и цепочка, где каждое звено опирается на уже принятое. Приём «предположим противное» встретится ещё не раз; самый знаменитый пример — доказательство того, что $\sqrt2$ нельзя записать дробью (глава 6).

Доказанное остаётся верным навсегда. Около 300 года до нашей эры Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много, и его доказательство читают до сих пор, ничего в нём не исправляя; в главе 3 оно займёт полстраницы. Физическую теорию может поправить новый опыт. Теорему не может, если в доказательстве нет ошибки.

Оговорка «если нет ошибки» не для красоты. Доказательства пишут люди, а люди ошибаются, поэтому доказательство читают и проверяют другие математики. В последние десятилетия его всё чаще проверяет и компьютер, строка за строкой; об этом — в последней главе.

История с кругом — работа математика в миниатюре. Сначала замечаем закономерность: 1, 2, 4, 8, 16. Выдвигаем гипотезу: каждый раз удваивается. Проверяем и находим контрпример, 31. Ищем, как всё устроено на самом деле, и доказываем формулу, которая верна всегда. Потом спрашиваем, что будет, если нарушить условие (три хорды через одну точку), и что будет в пространстве (арбуз). А по дороге замечаем, что пары и четвёрки точек считаются одними и теми же числами $\binom nk$, и эти числа ещё не раз всплывут в самых разных задачах. Когда одно наблюдение объясняет сразу много непохожих задач, говорят об абстракции.

Бывает, что закономерность верна, но и тогда нужно доказательство. Сложите первые нечётные числа: $1 = 1^2$, $1 + 3 = 2^2$, $1 + 3 + 5 = 3^2$, $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$. На этот раз ловушки нет. В главе о последовательностях это докажут одной картинкой и научатся доказывать такие утверждения сразу для всех $n$.

А бывает, что гипотеза выдерживает все проверки, а доказательства нет веками. В 1742 году Кристиан Гольдбах в письме Эйлеру высказал догадку, которую сегодня формулируют так: каждое чётное число больше двух есть сумма двух простых. $4 = 2 + 2$, $10 = 3 + 7$, $100 = 3 + 97$.

Гипотезу Гольдбаха проверили на компьютерах для всех чётных чисел до $4 \cdot 10^{18}$. Что это значит?

Она доказана: столько проверок достаточно До $4 \cdot 10^{18}$ она верна, а в целом остаётся гипотезой Она почти наверняка ложна, раз её до сих пор не доказали Опровергнуть её больше нельзя

Проверка — это много примеров, а примеров не хватит на все числа. Вспомните Пойа: там первый контрпример прятался за девятьсот миллионов. Если контрпример к гипотезе Гольдбаха есть, он больше $4 \cdot 10^{18}$. Доказательства пока нет ни у кого, опровержения тоже.

Почему математика работает

Всё это пока похоже на игру: точки на окружности, хорды, простые числа. Но из таких игр выросли расчёты мостов, орбит и электросетей. Физик Юджин Вигнер в 1960 году назвал статью об этом «Непостижимая эффективность математики в естественных науках». Непостижимого тут меньше, чем кажется, и две истории это показывают.

В 1840-х годах у астрономов не сходились расчёты: Уран двигался по небу не совсем так, как требовал закон всемирного тяготения. Урбен Леверье предположил, что Уран тянет неизвестная планета, и по отклонениям вычислил, где она должна быть. 23 сентября 1846 года Иоганн Галле в Берлинской обсерватории навёл телескоп в указанную точку и в ту же ночь нашёл Нептун, примерно в градусе от предсказанного места. Про эту историю говорят, что планету открыли «на кончике пера». Независимо от Леверье похожий расчёт провёл англичанин Джон Куч Адамс.

Вторая история из техники. Корни из отрицательных чисел появились в XVI веке как промежуточный фокус в формуле для кубических уравнений, и их долго считали ненастоящими, «мнимыми» (об этом глава 15). Три века спустя, в 1890-х годах, Чарльз Штейнмец и другие инженеры стали рассчитывать цепи переменного тока комплексными числами: так дифференциальные уравнения превращаются в арифметику. Электротехники считают так до сих пор, только мнимую единицу пишут буквой $j$, потому что буква $i$ у них занята силой тока.

Секрет, если он есть, в том, что математика изучает устройство: что из чего следует. Закон тяготения описывает устройство мира. Если он верен, то верны и все его следствия, в том числе те, которых никто ещё не видел. Математик выводит следствия, не заглядывая в телескоп, и подсказывает, куда заглянуть.

Семь больших вопросов

Через весь курс проходят семь вопросов. Звучат они просто, некоторые почти по-детски, а ответы на них стали событиями в истории математики. Каждый вопрос задаётся здесь, а отвечает на него та глава, где для ответа наконец хватает инструментов: первый ответ ждёт во второй главе, последний — в пятьдесят девятой. Выберите вопрос, прочитайте затравку и поставьте маленький опыт.

В шестом классе правило знаков учат наизусть: минус на минус даёт плюс. Но что такое долг, умноженный на долг? Правило похоже на договорённость, а договориться, кажется, можно было и иначе. Или нельзя?

Глава 2. Ноль и минус Глава 15. Комплексные числа

Круг и квадрат одной площади. Ножницами по прямым круг в квадрат не перекроить, циркулем и линейкой такой квадрат не построить: в 1882 году Линдеман доказал, что число $\pi$ трансцендентно. А в 1990 году Миклош Лацкович доказал, что разрезать и сложить всё-таки можно, если куски такие, каких не нарисует ни один художник, и их порядка $10^{50}$.

Глава 6. Корень из двух Глава 20. Площадь и объём Глава 43. Теория Галуа Глава 54. Мера

Квадратные уравнения решали ещё в Вавилоне, кубические и четвёртой степени одолели в Италии XVI века. Потом почти триста лет никто не мог найти формулу для пятой степени. Дело было не в том, что плохо искали: такой формулы нет, и это можно доказать.

Глава 14. Многочлены Глава 43. Теория Галуа

Натуральных чисел бесконечно много, точек на отрезке тоже, так что сравнивать вроде бы нечего. Галилей в 1638 году заметил странность: квадратов столько же, сколько всех чисел, хотя встречаются они всё реже. А Георг Кантор в 1874 году доказал, что бесконечности бывают разного размера.

Глава 52. Бесконечности

Вы договариваетесь с банком о секретном ключе, а весь разговор может подслушать кто угодно. И подслушавший всё равно не узнаёт ключа. Всё держится на действиях, которые легко выполнить и, насколько известно, практически невозможно отменить.

Глава 41. Остатки и шифры Глава 44. Эллиптические кривые

Уравнения, по которым движется воздух, известны, компьютеры считают быстро. Но в 1961 году Эдвард Лоренц округлил в расчёте одно число, $0{,}506127$, до $0{,}506$ и получил совсем другую погоду. Предел предсказуемости погоды — около двух недель, и дело не в слабости компьютеров.

Глава 31. Дифференциальные уравнения Глава 59. Хаос

Кажется, что всё верное в математике рано или поздно доказывают, нужно только постараться. В 1931 году Курт Гёдель показал, что это не так: при любой разумной системе аксиом арифметики найдутся истинные утверждения о числах, которые в ней не доказать, и новые аксиомы этого не исправят.

Глава 56. Гёдель и Тьюринг

Как устроен курс

В курсе 61 глава в десяти частях: «Вступление», «Числа», «Алгебра», «Геометрия», «Анализ», «Линейная алгебра», «Структуры», «Случай и данные», «Основания» и «Горизонты». На главной странице они нарисованы как схема метро: каждая часть — своя линия, главы — станции, а пересадки соединяют места, где идея из одной части работает в другой.

Каждая глава начинается со стены — задачи, которую прежними средствами не решить, — и строит для неё лестницу. В конце, в разделе «Куда дальше», появляется новая стена, и с неё начинается следующая глава. Читать можно по порядку, а можно зайти в любую главу сразу: в шапке сказано, на что она опирается.

У каждой главы есть уровень. «Школа» рассчитана на 5–9 класс, «Старшие классы» — на 10–11, «Университет» — на первые два курса, «Дальше» — на тех, кого не пугают абстракции. Курс начинается со школьного уровня, а к концу доходит до математики старших курсов университета.

Внутри главы вам встретятся несколько постоянных жителей.

• Разобранные формулы, как формула Мозера выше: коснитесь цветной части формулы, и подсветится её объяснение.
• Виджеты — живые чертежи, которые отвечают на вопрос «а что будет, если…». Двигайте, меняйте, ломайте: ничего не испортится.
• «Попробуйте сами» — задачи с полем для ответа. Проверка понимает любую верную запись: $\frac12$, $0{,}5$ и $\frac24$ для неё одно и то же.
• Теоремы и доказательства: теоремы — в цветных карточках, аксиомы — в серых с двойной рамкой, а доказательство идёт сразу за теоремой, по шагам, и чертёж строится вместе с текстом.
• Врезки «История», «Глубже», «Для студентов» и «Осторожно» можно пропускать, не теряя нити.
• Термины, как контрпример и доказательство, собраны в словарь с коротким определением и ссылкой на главу, где термин появился.

Кроме глав, в курсе есть два инструмента. Тренажёры, как охота на контрпример выше, придумывают задачи без конца, принимают ответ в любой верной форме и показывают разбор; все они собраны на странице тренажёров. Вот ещё один, на формулу Мозера:

Решатели берут вашу собственную задачу, например квадратное уравнение или разложение числа на простые множители, и решают её по шагам, объясняя, почему каждый шаг законен. А в каталоге тем главы можно отобрать по теме и уровню, например всё, что пригодится на ОГЭ и ЕГЭ.

Куда дальше

Мы всю главу считали части круга — 1, 2, 4, 8, 16, 31 — и ни разу не задумались, откуда взялись сами числа и их запись. Леопольд Кронекер, по воспоминаниям Генриха Вебера, говорил, что целые числа создал Бог, а всё остальное — дело рук человеческих. Даже если так, записывать их пришлось людям. Пастух может отмечать каждую овцу зарубкой на палке. Но как записать число, для которого не хватит никакой палки, и как складывать такие числа столбиком? На ответ ушли десятки тысяч лет, от кости с зарубками до двоичного кода. Об этом — глава 1.