Что такое математика

Обтяните Землю по экватору верёвкой — туго, вплотную к земле. Верёвка выйдет длиной около сорока тысяч километров. Теперь удлините её всего на один метр и поднимите над землёй равномерно, со всех сторон сразу. Пролезет ли под ней хоть кто-нибудь?

Прикиньте на глаз. Метр на сорок тысяч километров — всё равно что прибавить к километровой беговой дорожке кусочек тоньше волоса. Сделайте ставку, прежде чем читать дальше, и посмотрите, что ответили другие.

На сколько поднимется верёвка над землёй?

На толщину волоса, меньше миллиметра Примерно на миллиметр Примерно на сантиметр: проползёт муравей Сантиметров на пятнадцать: проползёт кошка Больше чем на метр: пройдёт человек

Примерно на 16 см: под такой верёвкой свободно проползёт кошка. Почему так много, объясняет одна строчка вычислений ниже.

Кот под верёвкой

Шестнадцать сантиметров. Не волосок, а щель, в которую пролезет кошка. И это ещё не самое странное. Замените Землю теннисным мячом: верёвка вокруг мяча, удлинённая на тот же метр, отойдёт от него на те же 16 сантиметров. Вокруг Солнца — тоже на 16. Вокруг всей нашей Галактики — снова на 16.

Интуиция ошиблась, а исправить её можно за одну строчку. Длина окружности равна её радиусу, умноженному на $2\pi \approx 6{,}28$. Если радиус вырос на $h$, длина выросла на $2\pi h$ — и неважно, каким был радиус. Метр лишней верёвки поднимает её на $1 : 6{,}28 \approx 0{,}159$ метра.

Высота, на которую поднялась верёвка: зазор между ней и шаром. На сколько верёвку удлинили. Всё равно, какой она была длины. Во столько раз длина любой окружности больше её радиуса: $2\pi \approx 6{,}28$. Пример: $\Delta = 1$ м даёт $h = \frac{1}{6{,}28} \approx 0{,}159$ м, то есть почти 16 см. Удлините верёвку на 10 см — зазор станет 1,6 см, как у мяча, так и у Земли.

Утверждение «зазор не зависит от размера шара» верно для всех шаров сразу, и проверять его на каждом по очереди не нужно. Так устроена вся математика: она не перебирает случаи, а объясняет, почему иначе быть не может.

В этом курсе теоремы стоят в цветных карточках, а доказательство идёт сразу за карточкой. Где есть честная картинка, доказательство показано чертежом, который строится по шагам вместе с текстом: шаги можно листать вперёд и назад, а точки на чертеже — двигать, чтобы убедиться, что рассуждение не зависит от их положения. Вот первое.

Сравним длины двух окружностей: той, по которой верёвка лежала, и той, по которой она лежит теперь.

Туго натянутая верёвка лежит на окружности радиуса $r$. Её длина $2\pi r$: длина окружности равна радиусу, умноженному на $2\pi$. Откуда берётся число $\pi$ и почему оно одно для всех окружностей, расскажет глава об окружности. Поднятая верёвка — тоже окружность с тем же центром, только её радиус больше на высоту подъёма: $r + h$. Её длина $2\pi(r + h) = 2\pi r + 2\pi h$. Новая верёвка длиннее старой ровно на добавленные $\Delta$. Вычитаем: $2\pi r + 2\pi h - 2\pi r = 2\pi h$. Слагаемое $2\pi r$ сократилось, а вместе с ним исчез и радиус. Осталось $2\pi h = \Delta$. Значит, $h = \frac{\Delta}{2\pi}$, и радиус в ответ не входит вовсе. При $\Delta = 1$ м зазор равен $\frac{1}{2\pi}$ м $\approx 15{,}9$ см — у мяча, у Земли и у Солнца.

А если обтянуть не шар, а футбольное поле?

Обтянем верёвкой прямоугольник — скажем, футбольное поле — и снова удлиним её на метр. Отведём верёвку на $h$ от края поля: вдоль сторон она пойдёт параллельно им, а у каждого угла обогнёт его по дуге окружности радиуса $h$. Прямые куски вместе дают периметр поля, а четыре дуги по четверти окружности складываются в целую окружность длины $2\pi h$. Значит, лишняя длина снова $2\pi h$, и метр верёвки снова даёт 16 см.

То же верно для любого выпуклого многоугольника: у углов добавляются дуги, и все они вместе поворачивают верёвку ровно на полный оборот, потому что сумма внешних углов выпуклого многоугольника — $360^\circ$ (это докажем в главе о треугольнике). Шар оказался просто самым известным случаем общего правила.

Подсолнух умеет считать

Посмотрите на середину подсолнуха. Семечки в ней не рассыпаны как попало: они закручиваются спиралями, одни по часовой стрелке, другие против. Если сосчитать спирали, чаще всего выходят 34 и 55 или 55 и 89. В 1979 году Хельмут Фогель предложил простую модель такой корзинки: каждое новое семечко появляется в центре и поворачивается относительно предыдущего на один и тот же угол, а старые семена отодвигаются к краю.

При повороте ровно на треть оборота, $120^\circ$, семена выстраиваются в три прямых луча, при $144^\circ$ — в пять. Между лучами остаётся пустота, и растение тратит место впустую. Это не случайность, а теорема.

Семечко номер $k$ повёрнуто на $k \cdot \frac pq$ оборота. На чертеже угол равен $\frac 25$ оборота, $144^\circ$.

Сравним семечко $k$ с семечком $k + q$. Второе повёрнуто на $(k + q) \cdot \frac pq = k \cdot \frac pq + p$ оборота — на $p$ полных оборотов больше первого. Полный оборот возвращает направление на место. Поэтому семечко $k + q$ смотрит туда же, куда семечко $k$, только сидит дальше от центра. Все семена разбиваются на цепочки $k,\ k + q,\ k + 2q, \dots$, и каждая цепочка лежит на одном луче. Цепочек $q$: они начинаются с семян $0, 1, \dots, q - 1$. Осталось проверить, что эти $q$ лучей разные. Пусть два семечка $i < j$ из первых $q$ смотрят в одну сторону. Тогда разница их поворотов $(j - i) \cdot \frac pq$ — целое число оборотов, и $(j - i) \cdot p$ делится на $q$. У $p$ и $q$ нет общих делителей, поэтому на $q$ делится $j - i$ (это свойство взаимно простых чисел докажем в главе 4). Но $j - i$ — число от $1$ до $q - 1$, и на $q$ оно не делится. Противоречие. Семена лежат ровно на $q$ лучах, а между лучами пусто. Чем меньше $q$, тем больше пустоты.

Значит, хороший угол не должен быть дробью оборота. Но и близким к простой дроби ему быть нельзя: при $137^\circ$ семена почти ложатся на лучи дроби $\frac{8}{21}$, и у края щели уже видны. Нужен угол, который хуже всех приближается дробями. Такой угол есть. Это золотой угол, $\frac{360^\circ}{\varphi^2} \approx 137{,}508^\circ$, где $\varphi = \frac{1 + \sqrt 5}{2} \approx 1{,}618$ — золотое сечение. Лучшие дроби для него — $\frac12, \frac13, \frac25, \frac38, \frac{5}{13}, \frac{8}{21}, \frac{13}{34}, \dots$: в числителях и знаменателях стоят числа Фибоначчи, и к золотому углу эти дроби подбираются так медленно, как только возможно. Спирали, которые видит глаз, — следы этих приближений: их 21, 34, 55, как знаменатели дробей.

На сколько лучей лягут семена, если каждое следующее повёрнуто на $135^\circ$?

$135^\circ$ — это $\frac{135}{360} = \frac38$ оборота, дробь несократима, значит, лучей $8$. Не три: число лучей — знаменатель несократимой дроби, а не числитель. Проверьте в виджете кнопкой «135°».

Растения, конечно, дробей не считают: золотой угол получается сам, когда каждый новый зачаток появляется там, где соседи оставили больше всего места. Над тем, почему так выходит, думал в 1950-х годах Алан Тьюринг. А в 2016 году участники британского проекта пересчитали спирали у сотен подсолнухов и обнаружили, что примерно у каждого пятого числа спиралей не фибоначчиевы или спирали вообще не читаются. Природа хорошо приближает математику, но не обязана её соблюдать. Золотое сечение и числа Фибоначчи ещё встретятся в главе 6 и в главе о последовательностях.

Дракон из полоски бумаги

Возьмите длинную полоску бумаги и сложите её пополам. Потом ещё раз пополам, в ту же сторону, и ещё. Разверните и раскройте каждый сгиб ровно под прямым углом. Если посмотреть на полоску с ребра, изломы складываются в фигуру, которую в 1960-х годах придумали физики из НАСА Джон Хейуэй, Брюс Бэнкс и Уильям Хартер. Мартин Гарднер рассказал о ней в журнале Scientific American в 1967 году, и с тех пор её зовут кривой дракона.

Из скольких прямых отрезков будет состоять полоска после десяти сгибов?

Каждый сгиб удваивает число слоёв, а значит, и число отрезков полоски: $2^{10} = 1024$. Сгибов-изломов между ними на один меньше, $1023$. Обычный лист больше семи-восьми раз пополам не сложить, толщина растёт слишком быстро (об этом — глава 12), но в воображении можно продолжать сколько угодно.

Посмотрите, как строится дракон: раскрыть последний сгиб — значит взять всё, что уже развёрнуто, и повернуть копию на прямой угол вокруг конца. Поэтому дракон состоит из двух драконов поменьше, каждый из них — из двух ещё меньших, и так до отдельных отрезков. Фигуры, в которых части похожи на целое, называют фракталами; о них — глава 59.

Несмотря на тысячи изломов, дракон ни разу не проходит по одному отрезку дважды и нигде не перечёркивает себя, только иногда касается себя углами. Это доказали в 1970 году Чандлер Дэвис и Дональд Кнут. Они же показали, что четыре дракона, развёрнутые вокруг общего начала, прилегают друг к другу без наложений, а из драконов можно выложить всю плоскость. Повороты вдоль полоски тоже подчиняются правилу: на нечётных местах они просто чередуются, направо и налево, а на чётных повторяют всю последовательность с начала. Майкл Крайтон открыл каждую часть романа «Парк юрского периода» драконом, всё более сложным от части к части.

Муравей, который строит шоссе

В 1986 году американский исследователь искусственной жизни Кристофер Лэнгтон придумал муравья с двумя правилами. Муравей стоит на клетчатом поле, все клетки белые. На белой клетке он поворачивает направо, на чёрной — налево; потом перекрашивает клетку в противоположный цвет и шагает вперёд на одну клетку. Всё. Ни памяти, ни цели.

Правила детские, а поведение — нет. Первые несколько сотен шагов муравей рисует почти симметричные узоры. Потом наступает хаос: чёрный клубок тысячи шагов растёт без всякого видимого порядка. А примерно на десятитысячном шаге муравей вдруг начинает строить «шоссе»: повторяет одни и те же 104 шага, с каждым разом сдвигаясь на две клетки по диагонали, и уходит так в бесконечность.

Если начать не с чистого поля, а насыпать немного чёрных клеток, шоссе всё равно появляется — во всех опытах, какие ставили. Но доказать, что так будет при любом начальном рисунке, до сих пор никто не сумел. Это открытая проблема: утверждение проверено на огромном числе примеров, выглядит очевидным, а доказательства нет. Зато кое-что про муравья доказать можно, и доказательство помещается в полстраницы.

Рассуждаем от противного: допустим, муравей навсегда заперт в какой-то ограниченной области, и выведем из этого нелепость.

Каждый шаг муравей поворачивает на $90^\circ$, поэтому шаги по горизонтали и по вертикали чередуются. Назовём клетку чётной, если сумма её номеров по горизонтали и вертикали чётна; каждый шаг меняет чётность клетки. Раз и направление шага, и чётность клетки меняются на каждом шаге, в чётные клетки муравей всегда входит одним способом — например, по горизонтали, — а в нечётные другим. У каждой клетки свой способ входа, и выходит муравей из неё всегда поперёк. Клеток в ограниченной области конечное число, а шагов бесконечно много, поэтому в какие-то клетки муравей заходит бесконечно много раз. Обозначим множество таких клеток $S$. В каждую клетку вне $S$ муравей заходит лишь конечное число раз, значит, с некоторого момента он ходит только по клеткам $S$. Возьмём в $S$ самый верхний ряд, а в нём — самую правую клетку $c$. Клетки над $c$ и справа от $c$ в $S$ не входят: туда муравей после того момента не ступает. Пусть в $c$ муравей входит по горизонтали. Справа ему прийти неоткуда, значит, он входит слева, двигаясь вправо. Выходит по вертикали, а вверх нельзя, значит, вниз. Двигаться вправо и уйти вниз — это поворот направо, и так при каждом визите. Но направо муравей поворачивает только на белой клетке и тут же перекрашивает её в чёрную: при следующем визите он повернёт налево. Противоречие. Если же в $c$ он входит по вертикали, то приходит снизу, а уходит налево — каждый раз поворачивает налево, и противоречие то же. Значит, допущение неверно: область, по которой ходит муравей, не ограничена. Эту теорему доказали Леонид Бунимович и Серж Трубецкой в 1992 году. А появится ли шоссе всегда, по-прежнему не знает никто.

В одном муравье поместилась вся математика в миниатюре: наблюдение, которое пока не удаётся доказать, и теорема, которая верна для любого начального рисунка, хотя проверить их все невозможно. Разницу между «видели много раз» и «доказали» мы сейчас рассмотрим внимательнее.

Сорок простых подряд

В 1772 году Леонард Эйлер обратил внимание, что выражение $n^2 + n + 41$ даёт простые числа — те, что делятся только на единицу и на себя, — при $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ Прежде чем запускать машину, сделайте ставку.

При каком $n$ выражение $n^2 + n + 41$ впервые даст составное число?

Почти сразу, при $n$ меньше пяти Где-то между $n = 5$ и $n = 39$ Не раньше, чем при $n = 40$ Никогда: оно всегда даёт простые

При $n = 40$: $40^2 + 40 + 41 = 40 \cdot 41 + 41 = 41 \cdot 41 = 1681$. До этого — сорок простых подряд. А «никогда» не бывает: при $n = 41$ на 41 делятся все три слагаемых.

Сорок простых подряд: 41, 43, 47, 53, 61, …, 1601. Легко поверить, что так будет всегда. Но при $n = 40$ выходит $1681 = 41^2$, и точки складываются в идеальный квадрат. Задним числом видно, что формула обречена и без перебора: при $n = 41$ на 41 делятся все три слагаемых.

Эйлер тут не исключение. Пьер Ферма в 1640 году был уверен, что все числа вида $2^{2^n} + 1$ простые: 3, 5, 17, 257, 65 537. Следующее, $2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297$, почти сто лет никто не проверил, пока в 1732 году тот же Эйлер не нашёл делитель: $641 \cdot 6\,700\,417$. Или совсем простая игра: 31, 331, 3331, 33 331, 333 331, 3 333 331, 33 333 331 — все семь чисел простые, а восьмое, $333\,333\,331$, равно $17 \cdot 19\,607\,843$.

Рекорд терпения среди наших примеров держит гипотеза венгерского математика Дьёрдя Пойа (1919). Разложим каждое число на простые множители и посчитаем их с повторами: у $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ три множителя, у $10 = 2 \cdot 5$ два, у единицы ни одного. Пойа предположил, что при любом $N \ge 2$ среди чисел от 1 до $N$ тех, у которых множителей нечётное количество, не меньше половины. В 1958 году британец Хазелгроув доказал, что где-то гипотеза ломается, но места не указал. Наименьшее такое $N$ нашёл в 1980 году японский математик Минору Танака: $906\,150\,257$. Девятьсот с лишним миллионов подтверждений подряд, и всё же гипотеза неверна.

Продолжите последовательность

Задания «продолжите последовательность» проверяют сообразительность, но единственного ответа у них нет. Конечное начало не определяет продолжения: одни и те же первые числа бывают у сколь угодно многих правил. Вот шесть вполне естественных, которые начинаются одинаково, с $1, 2, 4, 8, 16$, а дальше расходятся. Одно из них — наибольшее число частей, на которые хорды режут круг: за 16 там идёт 31, и эту ловушку мы разберём в главе об окружности. Во второй вкладке шестое число можно выбрать самому, и найдётся формула, которая его даёт.

Фокус во второй вкладке честный. Через любые шесть точек с разными абсциссами проходит ровно один многочлен степени не выше пятой (почему — в главе о многочленах), и его можно выписать явно. Поэтому ответ «шестой член равен 17» так же законен, как «32», нужно только предъявить правило.

Потренируйтесь ловить ломающиеся закономерности сами. Тренажёр предлагает утверждение, которое держится для первых нескольких $n$, и просит найти первое $n$, где оно ломается. Почти все утверждения там о простых числах; подробно о них речь пойдёт в главе 3.

Зачем доказательство

Если примеры ничего не гарантируют, как математики вообще узнают что-то наверняка? Они доказывают. Вспомните верёвку: мы не мерили зазор у мяча, у Земли и у Солнца по очереди, одна строчка вычислений ответила сразу за все шары, какие только бывают. Так же и с лучами подсолнуха, и с муравьём: рассуждение работает сразу для всех случаев, и для пяти, и для миллиона.

Любое доказательство на что-то опирается: на определения, на уже доказанные теоремы, а в самом низу — на аксиомы, утверждения, которые принимают без доказательства как правила игры (о них подробно в главе 16). Вот самая маленькая модель такой постройки: одна аксиома геометрии и одно следствие из неё. Аксиомы в курсе стоят в серых карточках с двойной рамкой, теоремы и утверждения — в цветных.

Рассуждаем от противного: предположим, что утверждение неверно, и выведем из этого противоречие с аксиомой.

Пусть различные прямые $a$ и $b$ имеют хотя бы две общие точки; назовём их $A$ и $B$. Прямая $a$ проходит через $A$ и $B$. Прямая $b$ тоже проходит через $A$ и $B$. На чертеже она нарисована изогнутой: провести через $A$ и $B$ другую прямую не получится, и это как раз то, что говорит аксиома. Через две различные точки проходит только одна прямая, значит, $b$ совпадает с $a$. Получилось, что $a$ и $b$ — одна и та же прямая, а мы предполагали, что они различны. Противоречие. Значит, предположение неверно, и у двух различных прямых не больше одной общей точки.

Три шага, но в них есть всё, из чего состоит любое доказательство: исходные правила, утверждение и цепочка, где каждое звено опирается на уже принятое. Приём «предположим противное» встретится ещё не раз; самый знаменитый пример — доказательство того, что $\sqrt2$ нельзя записать дробью (глава 6).

Доказанное остаётся верным навсегда. Около 300 года до нашей эры Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много, и его доказательство читают до сих пор, ничего в нём не исправляя; в главе 3 оно займёт полстраницы. Физическую теорию может поправить новый опыт. Теорему не может, если в доказательстве нет ошибки.

Оговорка «если нет ошибки» не для красоты. Доказательства пишут люди, а люди ошибаются, поэтому доказательство читают и проверяют другие математики. В последние десятилетия его всё чаще проверяет и компьютер, строка за строкой; об этом — в последней главе.

История с верёвкой — работа математика в миниатюре. Интуиция подсказала ответ: волосок. Вычисление его опровергло: шестнадцать сантиметров. Доказательство объяснило, почему ответ один для всех шаров, а обобщение показало, что шар тут вообще ни при чём: сойдёт любое выпуклое поле. С подсолнухом было так же: заметили спирали, выдвинули догадку про угол, доказали, почему дроби плохи, и нашли число, которое хуже всех приближается дробями. Когда одно наблюдение объясняет сразу много непохожих задач, говорят об абстракции.

Бывает, что закономерность верна, но и тогда нужно доказательство. Сложите первые нечётные числа: $1 = 1^2$, $1 + 3 = 2^2$, $1 + 3 + 5 = 3^2$, $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$. На этот раз ловушки нет. В главе о последовательностях это докажут одной картинкой и научатся доказывать такие утверждения сразу для всех $n$.

А бывает, что гипотеза выдерживает все проверки, а доказательства нет веками. В 1742 году Кристиан Гольдбах в письме Эйлеру высказал догадку, которую сегодня формулируют так: каждое чётное число больше двух есть сумма двух простых. $4 = 2 + 2$, $10 = 3 + 7$, $100 = 3 + 97$.

Гипотезу Гольдбаха проверили на компьютерах для всех чётных чисел до $4 \cdot 10^{18}$. Что это значит?

Она доказана: столько проверок достаточно До $4 \cdot 10^{18}$ она верна, а в целом остаётся гипотезой Она почти наверняка ложна, раз её до сих пор не доказали Опровергнуть её больше нельзя

Проверка — это много примеров, а примеров не хватит на все числа. Вспомните Пойа: там первый контрпример прятался за девятьсот миллионов. Если контрпример к гипотезе Гольдбаха есть, он больше $4 \cdot 10^{18}$. Доказательства пока нет ни у кого, опровержения тоже.

Почему математика работает

Всё это пока похоже на игру: верёвки, подсолнухи, бумажные драконы, простые числа. Но из таких игр выросли расчёты мостов, орбит и электросетей. Физик Юджин Вигнер в 1960 году назвал статью об этом «Непостижимая эффективность математики в естественных науках». Непостижимого тут меньше, чем кажется, и две истории это показывают.

В 1840-х годах у астрономов не сходились расчёты: Уран двигался по небу не совсем так, как требовал закон всемирного тяготения. Урбен Леверье предположил, что Уран тянет неизвестная планета, и по отклонениям вычислил, где она должна быть. 23 сентября 1846 года Иоганн Галле в Берлинской обсерватории навёл телескоп в указанную точку и в ту же ночь нашёл Нептун, примерно в градусе от предсказанного места. Про эту историю говорят, что планету открыли «на кончике пера». Независимо от Леверье похожий расчёт провёл англичанин Джон Куч Адамс.

Вторая история из техники. Корни из отрицательных чисел появились в XVI веке как промежуточный фокус в формуле для кубических уравнений, и их долго считали ненастоящими, «мнимыми» (об этом глава 15). Три века спустя, в 1890-х годах, Чарльз Штейнмец и другие инженеры стали рассчитывать цепи переменного тока комплексными числами: так дифференциальные уравнения превращаются в арифметику. Электротехники считают так до сих пор, только мнимую единицу пишут буквой $j$, потому что буква $i$ у них занята силой тока.

Секрет, если он есть, в том, что математика изучает устройство: что из чего следует. Закон тяготения описывает устройство мира. Если он верен, то верны и все его следствия, в том числе те, которых никто ещё не видел. Математик выводит следствия, не заглядывая в телескоп, и подсказывает, куда заглянуть.

Семь больших вопросов

Через весь курс проходят семь вопросов. Звучат они просто, некоторые почти по-детски, а ответы на них стали событиями в истории математики. Каждый вопрос задаётся здесь, а отвечает на него та глава, где для ответа наконец хватает инструментов: первый ответ ждёт во второй главе, последний — в пятьдесят девятой. Выберите вопрос, прочитайте затравку и поставьте маленький опыт.

В шестом классе правило знаков учат наизусть: минус на минус даёт плюс. Но что такое долг, умноженный на долг? Правило похоже на договорённость, а договориться, кажется, можно было и иначе. Или нельзя?

Глава 2. Ноль и минус Глава 15. Комплексные числа

Круг и квадрат одной площади. Ножницами по прямым круг в квадрат не перекроить, циркулем и линейкой такой квадрат не построить: в 1882 году Линдеман доказал, что число $\pi$ трансцендентно. А в 1990 году Миклош Лацкович доказал, что разрезать и сложить всё-таки можно, если куски такие, каких не нарисует ни один художник, и их порядка $10^{50}$.

Глава 6. Корень из двух Глава 20. Площадь и объём Глава 43. Теория Галуа Глава 54. Мера

Квадратные уравнения решали ещё в Вавилоне, кубические и четвёртой степени одолели в Италии XVI века. Потом почти триста лет никто не мог найти формулу для пятой степени. Дело было не в том, что плохо искали: такой формулы нет, и это можно доказать.

Глава 14. Многочлены Глава 43. Теория Галуа

Натуральных чисел бесконечно много, точек на отрезке тоже, так что сравнивать вроде бы нечего. Галилей в 1638 году заметил странность: квадратов столько же, сколько всех чисел, хотя встречаются они всё реже. А Георг Кантор в 1874 году доказал, что бесконечности бывают разного размера.

Глава 52. Бесконечности

Вы договариваетесь с банком о секретном ключе, а весь разговор может подслушать кто угодно. И подслушавший всё равно не узнаёт ключа. Всё держится на действиях, которые легко выполнить и, насколько известно, практически невозможно отменить.

Глава 41. Остатки и шифры Глава 44. Эллиптические кривые

Уравнения, по которым движется воздух, известны, компьютеры считают быстро. Но в 1961 году Эдвард Лоренц округлил в расчёте одно число, $0{,}506127$, до $0{,}506$ и получил совсем другую погоду. Предел предсказуемости погоды — около двух недель, и дело не в слабости компьютеров.

Глава 31. Дифференциальные уравнения Глава 59. Хаос

Кажется, что всё верное в математике рано или поздно доказывают, нужно только постараться. В 1931 году Курт Гёдель показал, что это не так: при любой разумной системе аксиом арифметики найдутся истинные утверждения о числах, которые в ней не доказать, и новые аксиомы этого не исправят.

Глава 56. Гёдель и Тьюринг

Как устроен курс

В курсе 61 глава в десяти частях: «Вступление», «Числа», «Алгебра», «Геометрия», «Анализ», «Линейная алгебра», «Структуры», «Случай и данные», «Основания» и «Горизонты». На главной странице они нарисованы как схема метро: каждая часть — своя линия, главы — станции, а пересадки соединяют места, где идея из одной части работает в другой.

Каждая глава начинается со стены — задачи, которую прежними средствами не решить, — и строит для неё лестницу. В конце, в разделе «Куда дальше», появляется новая стена, и с неё начинается следующая глава. Читать можно по порядку, а можно зайти в любую главу сразу: в шапке сказано, на что она опирается.

У каждой главы есть уровень. «Школа» рассчитана на 5–9 класс, «Старшие классы» — на 10–11, «Университет» — на первые два курса, «Дальше» — на тех, кого не пугают абстракции. Курс начинается со школьного уровня, а к концу доходит до математики старших курсов университета.

Внутри главы вам встретятся несколько постоянных жителей.

• Разобранные формулы, как формула зазора выше: коснитесь цветной части формулы, и подсветится её объяснение.
• Виджеты — живые чертежи, которые отвечают на вопрос «а что будет, если…». Двигайте, меняйте, ломайте: ничего не испортится.
• «Попробуйте сами» — задачи с полем для ответа. Проверка понимает любую верную запись: $\frac12$, $0{,}5$ и $\frac24$ для неё одно и то же.
• Теоремы и доказательства: теоремы — в цветных карточках, аксиомы — в серых с двойной рамкой, а доказательство идёт сразу за теоремой, по шагам, и чертёж строится вместе с текстом.
• Врезки «История», «Глубже», «Для студентов» и «Осторожно» можно пропускать, не теряя нити.
• Термины, как контрпример и доказательство, собраны в словарь с коротким определением и ссылкой на главу, где термин появился.

Кроме глав, в курсе есть два инструмента. Тренажёры, как охота на контрпример выше, придумывают задачи без конца, принимают ответ в любой верной форме и показывают разбор; все они собраны на странице тренажёров.

Решатели берут вашу собственную задачу, например квадратное уравнение или разложение числа на простые множители, и решают её по шагам, объясняя, почему каждый шаг законен. А в каталоге тем главы можно отобрать по теме и уровню, например всё, что пригодится на экзаменах.

Куда дальше

Весь урок мы обращались с числами самого разного размера: шестнадцать сантиметров зазора и сорок тысяч километров верёвки, 1024 отрезка дракона, десять тысяч шагов муравья, девятьсот миллионов проверок гипотезы Пойа. И ни разу не задумались, откуда взялись сами числа и их запись. Леопольд Кронекер, по воспоминаниям Генриха Вебера, говорил, что целые числа создал Бог, а всё остальное — дело рук человеческих. Даже если так, записывать их пришлось людям. Пастух может отмечать каждую овцу зарубкой на палке. Но как записать число, для которого не хватит никакой палки, и как складывать такие числа столбиком? На ответ ушли десятки тысяч лет, от кости с зарубками до двоичного кода. Об этом — глава 1.