Число e и экспонента

Прошлая глава оставила трещину в самой удобной своей формуле. Площадь под графиком $y = x^n$ даёт первообразная $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ — при любом $n$, кроме одного: при $n = -1$ в знаменателе оказывается ноль. А гипербола $y = \frac1x$ никуда не делась, площадь под ней есть, её можно закрасить и измерить. Была и подсказка: прямоугольники Ферма над отрезками $[1;\ q]$, $[q;\ q^2]$, $[q^2;\ q^3]$, … все одной площади, так что площадь под гиперболой растёт, как число шагов геометрической прогрессии, — как логарифм. Какой именно? И второй вопрос, оставленный напоследок: есть ли функция, которая совпадает со своей производной, то есть растёт ровно с той скоростью, какую показывает её собственное значение?

Оба вопроса приводят к одному числу, $2{,}71828\ldots$, которое обозначают буквой $e$. Странно другое: это число появляется там, где его никто не ждёт. В банковском договоре. На графике показательной функции. Под гиперболой. В древней кости, где распадается радиоактивный углерод. На окружности. В гардеробе, где перепутали шляпы. И даже на смотринах невесты. Будем вести записи, как натуралист, который встречает похожую птицу то в лесу, то на болоте, то посреди города. Сначала отметим, где и при каких обстоятельствах её видели, а потом разберёмся, один ли это вид или несколько похожих.

Банк: проценты на проценты

Первое наблюдение записал Якоб Бернулли, старший из математиков знаменитой базельской семьи. В 1683 году он разбирал задачу, которую мог бы задать любой вкладчик. Банк обещает $100\,\%$ годовых. Кладём рубль — через год получаем два. А если проценты начисляют дважды в год, по $50\,\%$ за полгода? Через полгода на счёте $1{,}5$ рубля, и следующие $50\,\%$ начисляются уже на полтора рубля, а не на один. К концу года выходит $1{,}5^2 = 2{,}25$ рубля. Проценты на проценты выгоднее.

Будем дробить год всё мельче. При $n$ начислениях каждое добавляет $\frac1n$ от суммы, которая лежит на счёте, то есть умножает её на $1 + \frac1n$. За год рубль превращается в $\left(1 + \frac1n\right)^n$ рублей.

Сумма растёт, но прибавки тают. Переход с ежемесячного начисления на ежедневное приносит ещё десять копеек, с ежедневного на ежечасное — треть копейки, с ежечасного на ежеминутное — полторы сотых копейки. Рост явно во что-то упирается. Бернулли увидел, что суммы подходят к пределу, лежащему между двумя и тремя, но самого числа не нашёл. Запишем в дневник: $2{,}71828\ldots$

Начальный вклад. Какую долю добавляет одно начисление: годовая ставка $r$ в долях единицы ($12\,\% = 0{,}12$), делённая на число начислений в год. Сколько раз начисляли: $n$ раз в год на протяжении $t$ лет. Пример: $100\,000$ рублей под $12\,\%$ годовых с ежемесячным начислением. За месяц сумма умножается на $1{,}01$, и через год на счёте $100\,000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 112\,683$ рубля — на $683$ рубля больше, чем при одном начислении в конце года.

При ставке $r$ картина та же: $\left(1 + \frac rn\right)^n$ растёт с ростом $n$ и подходит к своему пределу. Такое начисление «бесконечно часто» называют непрерывным. Сыграйте в банк: частоту выбирайте в таблице, ставку — ползунком.

В выражении $\left(1 + \frac1n\right)^n$ основание стремится к единице, а единица в любой степени равна единице. Значит, при $n \to \infty$ оно стремится к $1$?

Да, к $1$ Нет, к $2{,}71828\ldots$ Нет, оно растёт без предела

Основание тянет к единице, показатель — к бесконечности, и исход перетягивания зависит от того, кто быстрее. Такую запись называют неопределённостью вида $1^\infty$. Сравните: $\left(1 + \frac1{n^2}\right)^n \to 1$, потому что основание подходит к единице слишком быстро, а $\left(1 + \frac1n\right)^{n^2}$ растёт без предела. В нашем случае силы уравновешены, и получается $e$.

Пока у нас только таблица. Ни того, что предел существует, ни того, что он меньше трёх, мы не доказали. Вернёмся к этому, когда наблюдений станет больше, а пока — второе место.

Склон: функция, равная своей скорости

Второе место — график. Показательная функция $y = a^x$ из главы о степенях за одинаковые промежутки времени растёт в одно и то же число раз. А с какой скоростью? Скорость — это производная, и её можно посчитать по определению. Разностное отношение раскладывается на два множителя:

$$\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x \cdot \frac{a^h - 1}{h}.$$

Второй множитель от $x$ не зависит. При $h \to 0$ это наклон графика $y = a^x$ в точке $x = 0$ — число, которое зависит только от основания. Обозначим его $k(a)$.

Хитрость в равенстве $a^{x_0 + h} = a^{x_0} \cdot a^h$: график возле любой точки $x_0$ — это график возле нуля, поднятый в $a^{x_0}$ раз.

Возле нуля график почти совпадает со своей касательной: $a^h \approx 1 + k h$. За единицу пути вправо касательная поднимается на $k = k(a)$ — таков наклон в нуле. На чертеже $a = 2$ и $k \approx 0{,}693$. Возьмём кусок графика над отрезком $[0;\ h]$ и перенесём его вправо на $x_0$. По равенству $a^{x_0 + h} = a^{x_0} a^h$ каждая его высота умножается на одно и то же число $a^{x_0}$: над отрезком $[x_0;\ x_0 + h]$ лежит тот же кусок, растянутый по вертикали в $a^{x_0}$ раз. Растяжение по вертикали умножает на $a^{x_0}$ все подъёмы, а пробеги не трогает, поэтому наклон касательной тоже умножается на $a^{x_0}$. В алгебре это то же самое: разностное отношение в точке $x_0$ равно $a^{x_0} \cdot \frac{a^h - 1}{h}$ и при $h \to 0$ стремится к $a^{x_0} k$. Двигайте точку $x_0$: где бы она ни стояла, наклон равен $k(a) \cdot a^{x_0}$. Значит, $(a^x)' = k(a)\,a^x$.

Производная показательной функции пропорциональна ей самой. Разные основания отличаются только множителем $k(a)$. У двойки он около $0{,}693$: функция $2^x$ растёт медленнее своего значения, её касательная в точке $(0;\ 1)$ идёт полого. У тройки — около $1{,}099$, быстрее значения. Где-то между двойкой и тройкой прячется основание, у которого $k = 1$, и для него производная совпадает с функцией. Поищите его сами.

Нашли? У того, кто подбирал основание аккуратно, получилось $2{,}718\ldots$ В дневнике второе появление того же числа. Но сходство ещё не тождество: число найдено на ощупь, с тремя знаками, и никакой причины, по которой банку и графику понадобилось одно и то же число, у нас нет. Больше того, мы даже не доказали, что наклон $k(a)$ существует. Нужно третье наблюдение.

Гипербола: площадь, которая складывает

Вернёмся к вопросу, с которого началась глава, — к площади под гиперболой. Обозначим через $A(x)$ площадь под графиком $y = \frac1t$ от единицы до $x$:

$$A(x) = \int_1^x \frac{dt}{t}, \qquad x > 0.$$

При $x > 1$ это обычная площадь, при $x < 1$ — площадь от $x$ до единицы, взятая со знаком минус (так интеграл устроен по определению, см. главу об интеграле), и $A(1) = 0$. Первообразную по готовой формуле не найти, но численно площадь считается легко: $A(2) \approx 0{,}693$, $A(3) \approx 1{,}099$, $A(4) \approx 1{,}386$, $A(8) \approx 2{,}079$.

Два совпадения сразу. Первые два числа — те самые наклоны $k(2)$ и $k(3)$ из прошлого раздела. А последние два — удвоенное и утроенное $A(2)$: площадь до четырёх вдвое больше площади до двух, до восьми — втрое. Так ведёт себя логарифм: $\log 4 = 2\log 2$, $\log 8 = 3 \log 2$. Совпадение не случайно.

Хитрость в том, чтобы растянуть фигуру по горизонтали и сжать по вертикали в одно и то же число раз: площадь при этом не меняется, а гипербола переходит сама в себя. Нарисуем случай $a > 1$, $b > 1$.

Закрасим площадь под гиперболой от $1$ до $b$. Это $A(b)$. Растянем фигуру по горизонтали в $a$ раз: точка $(t;\ s)$ переходит в $(at;\ s)$. Отрезок $[1;\ b]$ становится отрезком $[a;\ ab]$, а площадь вырастает в $a$ раз: каждый узкий прямоугольник ширины $w$ превращается в прямоугольник ширины $aw$ той же высоты. Теперь сожмём фигуру по вертикали в $a$ раз: $(at;\ s) \to \left(at;\ \frac sa\right)$. Высоты уменьшаются в $a$ раз, и площадь возвращается к $A(b)$. Верхний край при этом ложится точно на гиперболу: точка $\left(t;\ \frac1t\right)$ перешла в $\left(at;\ \frac1{at}\right)$. Значит, площадь под гиперболой от $a$ до $ab$ тоже равна $A(b)$. Важно не где стоит отрезок, а во сколько раз правый конец дальше левого. Площадь под гиперболой от $1$ до $a$ по определению равна $A(a)$. Площадь от $1$ до $ab$ складывается из двух кусков, от $1$ до $a$ и от $a$ до $ab$: $A(ab) = A(a) + A(b)$. Если $a$ или $b$ меньше единицы, то же растяжение работает с площадями со знаком: при $a > 0$ оно не меняет направления отрезков, и $\int_a^{ab} \frac{dt}{t} = \int_1^b \frac{dt}{t}$ по-прежнему. Площадь под гиперболой от единицы до произведения. Площадь до первого множителя. Площадь до второго. Она же — площадь от $a$ до $ab$: отрезки с одинаковым отношением концов собирают под гиперболой одинаковую площадь. Пример: $A(6) = A(2) + A(3) \approx 0{,}693 + 1{,}099 = 1{,}792$. Численное интегрирование даёт $A(6) = 1{,}7918\ldots$

Площадь под гиперболой — логарифм. Но по какому основанию? Основание логарифма — то число, логарифм которого равен единице. Ищем $x$, при котором $A(x) = 1$. Площадь растёт вместе с $x$ и меняется без скачков; $A(2) \approx 0{,}693$ меньше единицы, а $A(3) \approx 1{,}099$ больше, поэтому такое $x$ есть, лежит между двумя и тремя и единственно (здесь работает теорема о промежуточном значении из главы о пределах). Численно оно равно $2{,}71828\ldots$ Третье наблюдение — и снова то же число.

Одно и то же число

Наблюдений три. Банк: предел $\left(1 + \frac1n\right)^n$. Склон: основание, у которого наклон в нуле равен единице. Гипербола: число, до которого площадь под ней равна единице. Пора доказать, что это одно число, а не три похожих. Всё решает одна узкая полоска под гиперболой.

Площадь прямоугольника шириной $h$ и высотой $\frac1{1+h}$ — самой низкой точки гиперболы на отрезке $[1;\ 1 + h]$. Площадь прямоугольника шириной $h$ и высотой $1$ — самой высокой точки. Пример: при $h = 0{,}1$ получаем $0{,}0909 < A(1{,}1) < 0{,}1$; на самом деле $A(1{,}1) = 0{,}0953\ldots$ Чем уже полоска, тем теснее вилка: при малых $h$ площадь почти равна $h$.

Гипербола на отрезке $[1;\ 1 + h]$ убывает, поэтому зажата между своей самой низкой и самой высокой точкой.

Полоска под гиперболой над отрезком $[1;\ 1 + h]$ — это $A(1 + h)$. Во всех точках отрезка, кроме правого конца, гипербола выше своего значения на правом конце, $\frac{1}{1 + h}$. Поэтому прямоугольник с этой высотой целиком помещается в полоске и не заполняет её: $\frac{h}{1 + h} < A(1 + h)$. Во всех точках, кроме левого конца, гипербола ниже единицы. Прямоугольник высоты $1$ накрывает полоску с запасом: $A(1 + h) < h$. Полоска зажата между прямоугольниками: $\frac{h}{1 + h} < A(1 + h) < h$. Для отрицательных $h$ (от $-1$ до $0$) картинка та же, только полоска лежит слева от единицы и площадь берётся со знаком минус; неравенства получаются те же.

Сначала сверим банк с гиперболой. Обозначим пока через $e$ число, для которого $A(e) = 1$.

Банк и гипербола говорят об одном и том же числе. Теперь у него есть имя и строгое определение.

Основание, которое прижимается к единице: сколько добавляет одно начисление процентов, если год разбит на $n$ частей. Показатель, который растёт: сколько раз начисляли. Основание и показатель тянут в разные стороны, и перетягивание кончается вничью на числе $e$. Пример: при $n = 10$ теорема даёт $2{,}5937 < e < 2{,}8531$, при $n = 1000$ — $2{,}71692 < e < 2{,}71964$. Предел сходится медленно: чтобы получить каждый следующий верный знак, $n$ приходится увеличивать примерно в десять раз. В русских учебниках анализа его называют вторым замечательным; первый — $\frac{\sin x}{x} \to 1$ из главы о пределах.

Теперь назовём площадь её настоящим именем. В главе о логарифмах натуральный логарифм $\ln x$ был логарифмом по основанию $e$.

Эту теорему можно прочитать и наоборот и сделать формулу $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ определением логарифма. Тогда всё строится заново без оговорок. Функция $\ln x$ возрастает, меняется без скачков и принимает любые значения: $\ln 2^k = k\ln 2$ уходит в плюс бесконечность, $\ln 2^{-k} = -k\ln 2$ — в минус бесконечность. Значит, для каждого действительного $x$ есть ровно одно число $y > 0$ с $\ln y = x$. Его и называют $e^x$, а степень с любым основанием $a > 0$ определяют равенством $a^x = e^{x \ln a}$. В главе о степенях мы обещали аккуратно разобраться с показателями вроде $\sqrt 2$ — вот это определение. Для рациональных $x$ оно даёт то же, что раньше (по следствию о степенях $\ln a^q = q\ln a$), а правила степеней следуют из свойства площади: логарифмы чисел $e^x e^y$ и $e^{x+y}$ оба равны $x + y$, значит, сами числа равны.

Теперь производные. Они уже встречались в главе о производной, но здесь обе функции построены заново, из площади под гиперболой, и производные мы выведем, опираясь только на основную теорему анализа. Логарифм — накопленная площадь под гиперболой, а по основной теореме скорость роста накопленной площади равна высоте графика. Поэтому $(\ln x)' = \frac1x$, и трещина из начала главы закрыта: $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$ (при $x < 0$ производная $\ln(-x)$ по правилу цепочки тоже равна $\frac{-1}{-x} = \frac1x$). Производную экспоненты даёт зеркало.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$. Отражение меняет местами пробег и подъём, поэтому наклон касательной переворачивается.

Возьмём на графике $y = \ln x$ точку $P = (a;\ \ln a)$. Наклон касательной в ней равен $(\ln x)' = \frac1a$: на единицу пробега касательная поднимается на $\frac1a$. Отразим весь чертёж в прямой $y = x$. Точка $(x;\ y)$ переходит в $(y;\ x)$, поэтому график логарифма переходит в график экспоненты, точка $P$ — в точку $P' = (\ln a;\ a)$, а касательная — в касательную к экспоненте в точке $P'$. У отражённого треугольника катеты поменялись ролями: пробег стал равен $\frac1a$, подъём — единице. Наклон касательной к экспоненте в точке $P'$ равен $\frac{1}{1/a} = a$. Абсцисса точки $P'$ равна $x_0 = \ln a$, а её высота — $e^{x_0} = a$. Наклон совпал с высотой: $(e^x)' = e^x$ в точке $x_0$. Точку $P$ можно поставить в любое место графика, поэтому равенство верно при всех $x$.

Вот и объяснение второго совпадения. По определению $a^x = e^{x \ln a}$, и по правилу цепочки $(a^x)' = \ln a \cdot e^{x\ln a} = \ln a \cdot a^x$. Множитель из раздела о склоне — натуральный логарифм основания: $k(a) = \ln a = A(a)$. Отсюда $k(2) = A(2)$ и $k(3) = A(3)$, а наклон в нуле равен единице ровно при $\ln a = 1$, то есть при $a = e$. Все три наблюдения — одно число.

Осталось ответить на вопрос из прошлой главы: какие функции совпадают со своей производной? Экспонента — одна из них, и любое её кратное $Ce^x$ тоже. Других нет.

Эта теорема — рабочая лошадка анализа. Всякий раз, когда величина меняется со скоростью, пропорциональной ей самой, ответ — экспонента, и никаких других вариантов нет. Первое применение — к самому банку.

Рубль под $100\,\%$ при непрерывном начислении вырастает за год в $e$ раз, а при ставке $r$ за $t$ лет — в $e^{rt}$ раз. Это и есть та плавная кривая, к которой прижимаются ступеньки в банке.

Вклад $100\,000$ рублей положили под $8\,\%$ годовых с непрерывным начислением на $10$ лет. Сколько рублей будет на счёте? Ответ округлите до рубля; $e^{0{,}8}$ можно посчитать на калькуляторе.

$S = 100\,000 \cdot e^{0{,}08 \cdot 10} = 100\,000 \cdot e^{0{,}8} \approx 100\,000 \cdot 2{,}225541 \approx 222\,554$ рубля. Для сравнения: при начислении раз в год было бы $100\,000 \cdot 1{,}08^{10} \approx 215\,892$ рубля. Разница — почти семь тысяч.

Факториалы: портрет с точностью до знака

Предел $\left(1 + \frac1n\right)^n$ — плохой способ считать $e$: при $n = 1000$ верны лишь два знака после запятой. Есть способ несравнимо быстрее, и дорогу к нему прокладывает интегрирование по частям из прошлой главы.

Первые два слагаемых: $\frac{1}{0!}$ и $\frac{1}{1!}$ (по соглашению $0! = 1$). Уже они дают целую часть, $2$. Общий член. Факториал растёт так быстро, что каждое слагаемое меньше предыдущего как минимум вдвое, а начиная с $k = 10$ — в десять раз и больше. Пример: сумма до $k = 10$ равна $2{,}718\,281\,801\ldots$, а $e = 2{,}718\,281\,828\ldots$ — семь верных знаков после запятой. Теорема обещает ошибку не больше $\frac{e}{11!} < \frac{3}{11!} \approx 7{,}5 \cdot 10^{-8}$, на деле она около $2{,}7 \cdot 10^{-8}$. Предел $\left(1 + \frac1n\right)^n$ дал бы такую точность лишь при $n$ в десятки миллионов.

Для любого другого показателя ряд работает так же быстро: $e^{0{,}1} \approx 1 + 0{,}1 + 0{,}005 + 0{,}000\,167 + 0{,}000\,004 = 1{,}105\,171$, и все шесть знаков после запятой верны.

Сколько первых слагаемых ряда $1 + 1 + \frac1{2!} + \frac1{3!} + \ldots$ нужно сложить, чтобы ошибка стала меньше одной миллионной?

Если сложить слагаемые с $k = 0$ до $k = n$, ошибка равна $R_n(1) < \frac{e}{(n+1)!} < \frac{3}{(n+1)!}$. При $n = 9$ это $\frac{3}{10!} \approx 8{,}3 \cdot 10^{-7}$, меньше миллионной. При $n = 8$ оценки не хватает, и настоящая ошибка тоже велика: $e - 2{,}718\,278\,77\ldots \approx 3{,}1 \cdot 10^{-6}$. Значит, нужны слагаемые с $k = 0$ по $k = 9$ — всего десять.

Число $e$ иррационально: доказательство в четыре строки

Эйлер доказал иррациональность $e$ в 1737 году, через цепную дробь. Короткое доказательство, которое приписывают Фурье (его опубликовали в 1815 году), держится на оценке остатка. Допустим, $e = \frac pq$ с натуральными $p$ и $q$. Умножим ряд на $q!$: число $q!\,e = p \cdot (q - 1)!$ целое, и $q!\left(1 + 1 + \frac1{2!} + \ldots + \frac1{q!}\right)$ тоже целое, потому что $q!$ делится на каждый $k!$ при $k \le q$. Значит, целое и число $q! \, R_q(1)$. Но $0 < q!\,R_q(1) < q! \cdot \frac{e}{(q+1)!} = \frac{e}{q+1} < 1$ при $q \ge 2$: целое число строго между нулём и единицей. Противоречие. Случай $q = 1$ исключён сразу: $e$ лежит между $2$ и $3$ и не целое. В 1873 году Шарль Эрмит доказал больше: $e$ трансцендентно.

Распад: сколько осталось

Следующее место, где видели $e$, — лаборатория. У радиоактивного атома нет часов. Он не стареет: атом, проживший тысячу лет, распадается в следующую секунду с той же вероятностью, что и только что родившийся, и атомы не влияют друг на друга. Поэтому в большом образце за короткое время распадается одна и та же доля атомов: вдвое больше атомов — вдвое больше распадов. Скорость убывания пропорциональна количеству: $N' = -\lambda N$, где $\lambda > 0$ — постоянная распада. По теореме о единственности экспоненты $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$.

Сколько атомов было в начальный момент. Постоянная распада: какая доля атомов распадается за единицу времени, если этот промежуток мал по сравнению с периодом полураспада. Период полураспада $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$. За каждый такой период остаётся половина: за два — четверть, за три — восьмая часть. Пример: у углерода-14 период полураспада $5730$ лет, $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1{,}21 \cdot 10^{-4}$ в год. За $10\,000$ лет остаётся $2^{-10\,000/5730} \approx 0{,}298$ — около $30\,\%$ исходного количества.

На этой формуле стоит радиоуглеродный анализ, который в конце 1940-х годов придумал американский химик Уиллард Либби (в 1960 году он получил за него Нобелевскую премию по химии). Пока организм жив, доля углерода-14 в нём такая же, как в атмосфере: он постоянно обменивается с ней углеродом. После смерти обмен прекращается, углерод-14 распадается, и часы начинают идти. Измерив, какая доля углерода-14 осталась в кости или угле от костра, можно узнать, сколько лет назад прекратился обмен.

В древней кости осталась $\frac18$ того углерода-14, что был при жизни. Сколько лет назад жило животное? Период полураспада — $5730$ лет.

$\frac18 = \left(\frac12\right)^3$ — прошло три периода полураспада: $3 \cdot 5730 = 17\,190$ лет. Через формулу: $2^{-t/5730} = 2^{-3}$, откуда $t = 17\,190$.

Проверить закон можно без реактора — с игральными кубиками. Бросим горсть кубиков и уберём те, на которых выпала шестёрка: они «распались». Остальные бросим снова. У кубика тоже нет памяти: сколько бы бросков он ни пережил, шестёрка выпадает с вероятностью $\frac16$. За бросок остаётся в среднем $\frac56$ кубиков, после $t$ бросков — $N_0\left(\frac56\right)^t = N_0 e^{-t\ln(6/5)}$. Это распад с постоянной $\lambda = \ln\frac65 \approx 0{,}182$ и периодом полураспада $\frac{\ln 2}{\ln(6/5)} \approx 3{,}8$ броска.

Период полураспада йода-131 — около $8$ суток. Какая часть йода останется через $16$ суток?

Ничего: два раза по половине Четверть Треть Половина

За первые $8$ суток распадается половина, за следующие $8$ — половина оставшегося: $\frac12 \cdot \frac12 = \frac14$. Ноль не наступает никогда: экспонента не обращается в ноль. На практике, конечно, после нескольких десятков периодов не остаётся ни одного атома, но это уже потому, что атомов конечное число.

Тем же законом Ньютон в 1701 году описал остывание. Его статья вышла без подписи в журнале Лондонского королевского общества. Горячее тело отдаёт тепло тем быстрее, чем сильнее оно нагрето по сравнению с окружающим воздухом, поэтому разница температур убывает по экспоненте: $T(t) = T_{\text{возд}} + \left(T_0 - T_{\text{возд}}\right)e^{-kt}$.

Чашку кипятка ($100\,°$C) оставили в комнате при $20\,°$C. Через $10$ минут вода остыла до $60\,°$C. Через сколько минут от начала она остынет до $30\,°$C?

Следим за разницей с комнатой: вначале $80°$, через $10$ минут — $40°$. Разница уменьшилась вдвое за $10$ минут, и по закону Ньютона она будет уменьшаться вдвое каждые $10$ минут. $30\,°$C — это разница $10°$, в восемь раз меньше исходной, то есть три «периода полуостывания»: $30$ минут.

Окружность: $e^{i\pi} = -1$

Следующее наблюдение похоже на ошибку наблюдателя: число $e$ видели на окружности, в компании с $\pi$ и мнимой единицей. Что вообще может означать $e$ в мнимой степени? Первая попытка: $e^x$ — это $e$, умноженное само на себя $x$ раз. С мнимым $x$ эта мысль ничего не даёт. Вторая: $e^x = \lim\left(1 + \frac xn\right)^n$. Здесь нужны только сложение, умножение и предел, а их для комплексных чисел мы умеем делать. Подставим $x = i\varphi$ и посмотрим на плоскость. При умножении комплексных чисел модули перемножаются, а углы складываются.

Хитрость в том, что умножение на $1 + \frac{i\varphi}{n}$ — это маленький поворот с маленьким растяжением. Проследим за углом и за длиной отдельно; нарисуем $0 < \varphi \le \pi$ (для отрицательных $\varphi$ всё зеркально).

Умножим точку $z$ на $1 + \frac{i\varphi}{n}$: получим $z + \frac{i\varphi}{n} z$. Умножение на $i$ поворачивает на $90°$, поэтому к $z$ прибавляется шаг, перпендикулярный отрезку $0z$, длиной $|z| \cdot \frac{\varphi}{n}$. Получается прямоугольный треугольник с катетами $|z|$ и $|z|\frac{\varphi}{n}$. Начнём с $z = 1$ и повторим $n$ раз. Все треугольники подобны: у каждого отношение катетов $\frac{\varphi}{n}$, поэтому каждый поворачивает на один и тот же угол $\theta$ с $\operatorname{tg}\theta = \frac{\varphi}{n}$ и удлиняет на один и тот же множитель $\sqrt{1 + \frac{\varphi^2}{n^2}}$. После $n$ шагов мы в точке $\left(1 + \frac{i\varphi}{n}\right)^n$. Угол. Для острого угла $\sin\theta < \theta < \operatorname{tg}\theta$ (это сравнение площадей из главы о пределах). Здесь $\operatorname{tg}\theta = \frac{\varphi}{n}$ и $\sin\theta = \frac{\varphi/n}{\sqrt{1 + \varphi^2/n^2}}$, поэтому полный поворот $n\theta$ зажат между $\frac{\varphi}{\sqrt{1 + \varphi^2/n^2}}$ и $\varphi$. Обе границы стремятся к $\varphi$. Длина. Модуль конца цепочки равен $\left(1 + \frac{\varphi^2}{n^2}\right)^{n/2}$. Его логарифм $\frac n2 \ln\left(1 + \frac{\varphi^2}{n^2}\right)$ положителен и по лемме о полоске ($\ln(1 + h) < h$) меньше $\frac n2 \cdot \frac{\varphi^2}{n^2} = \frac{\varphi^2}{2n}$, то есть стремится к нулю. Значит, длина стремится к единице. Точка, до которой дошла цепочка, стремится к точке единичной окружности под углом $\varphi$, то есть к $\cos\varphi + i\sin\varphi$.

Поэтому естественно положить, как Эйлер во «Введении в анализ бесконечно малых» (1748):

Абсцисса точки единичной окружности, повёрнутой на угол $\varphi$ от точки $1$. Её ордината. Модуль числа $e^{i\varphi}$ всегда равен единице: мнимая степень не растягивает, а только поворачивает. Примеры: $e^{i\pi/2} = i$, $e^{i\pi} = -1$, $e^{2\pi i} = 1$. При таком определении правило степеней сохраняется: $e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$, потому что при умножении углы складываются, — это и есть формулы синуса и косинуса суммы.

При $\varphi = \pi$ получается равенство, которое часто называют самым красивым в математике:

$$e^{i\pi} + 1 = 0.$$

В нём встретились пять главных констант: $0$ и $1$ из арифметики, $\pi$ из геометрии, $i$ из алгебры и $e$ из анализа. А смысл у него простой: если поворачивать единицу мелкими шагами, как описано в доказательстве, на общий угол $\pi$, она приедет в $-1$.

У формулы Эйлера есть и «скоростное» прочтение. Производная $e^{it}$ по $t$ — это $ie^{it}$: скорость равна положению, повёрнутому на $90°$. Точка, скорость которой всегда перпендикулярна радиусу и равна ему по длине, бежит по окружности радиуса $1$ с единичной скоростью и за время $t$ пробегает дугу длины $t$ — ровно угол $t$ в радианах. Та же функция, что описывает рост вклада, при мнимом показателе описывает вращение. Поэтому экспонента и управляет всем, что колеблется: маятниками, переменным током, звуком.

Гардероб и лотерея

Два последних места, где встречается $e$, — там, где считают шансы. Первое — гардероб. В главе о комбинаторике $n$ гостей сдавали шляпы, а гардеробщик возвращал их наугад, и мы нашли вероятность того, что никто не получил свою шляпу — что получился беспорядок:

$$p_n = \frac{D_n}{n!} = 1 - \frac1{1!} + \frac1{2!} - \frac1{3!} + \ldots + \frac{(-1)^n}{n!}.$$

Там же было сказано, что эти вероятности стремятся к $\frac1e \approx 0{,}368$. Теперь это следует из ряда для экспоненты при $x = -1$.

Проверим: $\frac{4!}{e} \approx 8{,}83$, и $D_4 = 9$; $\frac{5!}{e} \approx 44{,}15$, и $D_5 = 44$; $\frac{13!}{e} \approx 2\,290\,792\,932{,}07$, и число беспорядков из тринадцати карт игры Монмора равно $2\,290\,792\,932$. Уже при шести гостях вероятность отличается от $\frac1e$ меньше чем на $\frac1{7!} \approx 0{,}0002$.

Второе — лотерея. Пусть шанс выиграть на один билет равен $\frac1n$, и вы покупаете $n$ билетов в $n$ разных тиражах. Вероятность ни разу не выиграть равна $\left(1 - \frac1n\right)^n$, а по теореме о непрерывных процентах при $x = -1$ это стремится к $e^{-1}$. Билет с шансом один на миллион, купленный миллион раз, оставляет вас без выигрыша с вероятностью $0{,}367\,879\ldots$ Отличие от $\frac1e$ — в седьмом знаке.

Шанс выиграть в моментальную лотерею — один из ста. Вы купили сто билетов, по одному в каждом тираже. Какова вероятность выиграть хотя бы раз?

$100\,\%$ Около $63\,\%$ Около $37\,\%$ Ровно $50\,\%$

Ни разу не выиграть: $0{,}99^{100} \approx 0{,}366$ — почти $\frac1e$. Выиграть хотя бы раз: $1 - 0{,}366 = 0{,}634$. Ту же долю, $1 - \frac1e \approx 63{,}2\,\%$, мы уже видели: столько выигрывает банкомёт в игре «Тринадцать».

Смотрины: правило 37 процентов

Невеста принимает женихов по одному, в случайном порядке. Всего их $n$, и это число известно заранее. Каждого она может сравнить со всеми, кого уже видела, но про будущих ничего не знает. Решать нужно сразу: отказ окончательный, а согласие прекращает смотрины. Цель — выбрать лучшего из всех. Если соглашаться наугад, шанс равен $\frac1n$: при сотне женихов это один процент. Можно ли надеяться на большее?

Попробуем стратегию: первых $m$ женихов пропустить, только присматриваясь, а затем согласиться на первого, кто лучше всех предыдущих. Если такого не найдётся, остаться с последним.

Какую долю женихов пропустить, только присматриваясь. Лучшая доля: пропустить примерно $37\,\%$ и затем соглашаться на первого, кто лучше всех прежних. Вероятность выбрать лучшего тогда тоже около $37\,\%$. Пример: при $n = 100$ точная формула даёт наибольшую вероятность $0{,}371$ при $m = 37$; при $n = 10$ — $0{,}399$ при $m = 3$. Заметьте: шанс не падает с ростом числа женихов: из тысячи лучшего можно выбрать почти так же уверенно, как из десяти.

Можно доказать, что никакая стратегия не даёт в этой игре больше: правило «пропусти примерно $\frac ne$, потом бери первого, кто лучше всех» лучшее из возможных. Широкой публике задачу представил Мартин Гарднер в 1960 году в журнале Scientific American, как «игру в гугол»: на бумажках пишут числа, и нужно угадать, когда перед тобой наибольшее. Под именами «задача о секретаре» и «задача о разборчивой невесте» она живёт в учебниках теории вероятностей, а её вариантами описывают выбор квартиры, продажу машины и момент, когда пора перестать искать и начать действовать.

Куда дальше

Дневник можно закрывать. В банке, на склоне, под гиперболой, в распаде, на окружности, в гардеробе и на смотринах встречалось одно и то же число, а самый точный его портрет дал ряд из факториалов: $e = 1 + 1 + \frac1{2!} + \frac1{3!} + \ldots$ Больше того, вся экспонента оказалась «бесконечным многочленом»: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$

А другие функции так можно записать? Подставим в этот ряд $x = i\varphi$ и разделим слагаемые на действительные и мнимые: по формуле Эйлера должны получиться $\cos\varphi = 1 - \frac{\varphi^2}{2!} + \frac{\varphi^4}{4!} - \ldots$ и $\sin\varphi = \varphi - \frac{\varphi^3}{3!} + \ldots$ — и это правда. Логарифм, синус, корень — у многих функций есть свой бесконечный многочлен. Но здесь начинаются сюрпризы. Функция $\frac{1}{1 + x^2}$ гладкая на всей прямой, а её ряд $1 - x^2 + x^4 - x^6 + \ldots$ при $x = 2$ даёт $1 - 4 + 16 - 64 + \ldots$ — полную бессмыслицу. А ряд $1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \ldots$ можно переставить так, что он даст любую наперёд заданную сумму. Когда сумма бесконечного числа слагаемых вообще имеет смысл? Это вопрос главы о рядах.