Царица наук

Словарь

Термины курса с короткими определениями. У каждого — ссылка на главу, где он появляется впервые.

#

$\ell^2$

Пространство последовательностей (x₁, x₂, …) с конечной суммой квадратов Σ xₙ²; скалярное произведение ⟨x, y⟩ = Σ xₙyₙ. Глава 55 · Функциональный анализ

$L^2$

Пространство измеримых функций с конечным интегралом Лебега ∫|f|²; функции, равные почти всюду, считаются одной точкой; ⟨f, g⟩ = ∫ f g. Глава 55 · Функциональный анализ

N

n-граммой

Последовательность из n подряд идущих символов текста (букв или слов); модель n-грамм выбирает следующий символ по предыдущим n − 1 с частотами, взятыми из образца. Глава 50 · Цепи Маркова и информация

NP

Задачи с ответом «да» или «нет», у которых ответ «да» можно подтвердить подсказкой, проверяемой за полиномиальное время. Глава 60 · Передний край

NP-полной

Задача из NP, к которой любая задача из NP сводится за полиномиальное время; быстрый алгоритм для неё дал бы быстрые алгоритмы для всего NP. Глава 60 · Передний край

P

P

Задачи с ответом «да» или «нет», которые решаются алгоритмом за полиномиальное время. Глава 60 · Передний край

p-значение

Вероятность получить результат, не менее выразительный, чем наблюдаемый, при условии, что нулевая гипотеза верна. Глава 49 · Статистика

А

абелевыми

Группа, в которой операция перестановочна: ab = ba для любых элементов a и b. Глава 40 · Группы

Абсолютная геометрия

Геометрия, которая опирается на все аксиомы Евклида (в строгой форме — Гильберта), кроме аксиомы о параллельных; её теоремы верны и у Евклида, и у Лобачевского. Глава 58 · Неевклидовы геометрии

абсолютно сходящимся

Ряд Σaₙ сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей Σ|aₙ|; такой ряд сходится, и перестановка слагаемых не меняет его суммы. Глава 30 · Ряды

Аксиома

Утверждение, которое принимают без доказательства, чтобы выводить из него все остальные утверждения теории. Глава 16 · Начала: аксиомы и построения

Алгебраическая кратность

Кратность собственного значения λ как корня характеристического многочлена. Глава 38 · Собственные векторы

Алгебраическое число

Корень уравнения aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ = 0 с целыми коэффициентами, не все из которых равны нулю. Глава 6 · Корень из двух и действительные числа

Алгоритм Евклида

Способ найти НОД двух чисел: заменять пару (a, b) парой (b, r), где r — остаток от деления a на b, пока остаток не станет нулём; последний ненулевой остаток — НОД. Глава 4 · Делимость и алгоритм Евклида

алгоритмически неразрешимой

Массовая задача (семейство вопросов «да или нет»), для которой не существует алгоритма, дающего верный ответ на каждый частный случай. Глава 56 · Гёдель, Тьюринг и пределы доказательства

Аналитическое продолжение

Голоморфная функция на большей области, совпадающая с данной функцией на меньшей; по теореме единственности, если продолжение существует, оно единственно. Глава 34 · Комплексный анализ

аналитической

Функция, которая в окрестности каждой точки своей области равна сумме своего ряда Тейлора; для функций комплексного переменного это то же самое, что голоморфная. Глава 34 · Комплексный анализ

Аргумент

Угол φ между положительным направлением действительной оси и лучом из нуля в точку z ≠ 0; определён с точностью до целого числа оборотов. Глава 15 · Комплексные числа

арифметикой Пеано

Формальная система с символами 0, S, +, ×, = и аксиомами: ноль не следует ни за каким числом, S взаимно однозначно, рекурсивные определения сложения и умножения, схема индукции. Глава 56 · Гёдель, Тьюринг и пределы доказательства

Арифметическая прогрессия

Последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и то же число d — разность прогрессии. Глава 13 · Последовательности и индукция

Аттрактор

Множество в пространстве состояний, к которому со временем приближаются все траектории, начатые поблизости; траектория, попавшая на него, с него не уходит. Глава 59 · Хаос и фракталы

Б

Базис

Линейно независимый набор векторов, линейная оболочка которого — всё пространство; каждый вектор единственным образом раскладывается по базису. Глава 37 · Векторные пространства

Базовое репродуктивное число

R₀ = β/γ: сколько человек в среднем заражает один больной в полностью восприимчивом населении. Глава 31 · Дифференциальные уравнения

Байт

Группа из восьми бит; в байте помещается одно из 256 значений, от 0 до 255. Глава 1 · Счёт: от зарубок до битов

банаховым

Полное нормированное пространство. Глава 55 · Функциональный анализ

бесконечно малой

Последовательность или функция, предел которой равен нулю. Глава 25 · Пределы

Беспорядок

Перестановка, в которой ни один предмет не остался на своём месте; число таких перестановок n предметов обозначают D_n. Глава 45 · Комбинаторика

Биекцией

Отображение, которое одновременно инъекция и сюръекция: взаимно однозначное соответствие, в котором каждый элемент B получается ровно из одного элемента A. Глава 51 · Логика и множества

биномиальное распределение

Распределение числа успехов в n испытаниях Бернулли: P(X = k) = C(n, k)·p^k·(1 − p)^(n − k), k = 0, …, n. Глава 48 · Случайные величины

биномиальным коэффициентом

Число способов выбрать k предметов из n без учёта порядка: n!/(k!(n − k)!); обозначается (n над k) или C из n по k. Глава 45 · Комбинаторика

Биссектриса треугольника

Отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины до противоположной стороны. Глава 17 · Треугольник

Биссектриса угла

Луч, который выходит из вершины угла и делит угол на два равных. Глава 16 · Начала: аксиомы и построения

Бит

Двоичный разряд: одна цифра 0 или 1; наименьшая единица информации. Глава 1 · Счёт: от зарубок до битов

Бит чётности

Дополнительный бит, который делает число единиц в блоке чётным; позволяет заметить любое нечётное число ошибок в блоке, но не найти их. Глава 42 · Кольца, поля и коды

бифуркацией

Качественная перестройка поведения системы при плавном изменении параметра: например, неподвижная точка теряет устойчивость и рождается цикл удвоенного периода. Глава 59 · Хаос и фракталы

Большой круг

Сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр; кратчайший путь между двумя точками сферы — дуга большого круга. Глава 58 · Неевклидовы геометрии

Бордюр

Узор на бесконечной полосе, который переходит в себя при переносах вдоль полосы; все эти переносы кратны кратчайшему. Глава 23 · Симметрия и преобразования

Бутылка Клейна

Замкнутая неориентируемая поверхность: квадрат, у которого одна пара противоположных сторон склеена прямо, а другая — вверх ногами (слово aba⁻¹b); χ = 0. Глава 57 · Топология

Быстрое возведение в степень

Вычисление a^e mod n цепочкой возведений в квадрат и перемножением тех квадратов, которые отвечают единицам двоичной записи e; нужно не больше 2·log₂ e умножений. Глава 41 · Арифметика остатков и шифры

Быстрое преобразование Фурье

Способ вычислить ДПФ длины N = 2^m за порядка N log₂ N операций, разбивая сумму на чётные и нечётные отсчёты (Кули и Тьюки, 1965). Глава 33 · Ряды Фурье

В

ведущими элементами

Первый ненулевой элемент строки в ступенчатом виде матрицы; с его помощью исключают неизвестное из других строк. Глава 36 · Метод Гаусса

Вектор

Направленный отрезок; два направленных отрезка одной длины и одного направления задают один и тот же вектор. Глава 22 · Векторы и координаты

Векторное произведение

Вектор a × b, перпендикулярный a и b, длиной |a|·|b|·sin φ (площадь параллелограмма на a и b), направленный по правилу правой руки. Глава 22 · Векторы и координаты

Векторное пространство

Множество, элементы которого можно складывать друг с другом и умножать на числа так, что выполняются восемь аксиом: коммутативность и ассоциативность сложения, нулевой и противоположный вектор, 1·v = v и три закона для чисел. Глава 37 · Векторные пространства

вероятностью

Число P(A) от 0 до 1, мера шансов события A. При n равновозможных исходах P(A) = m/n, где m — число исходов, благоприятных для A; в общем случае — любое правило, подчиняющееся аксиомам Колмогорова. Глава 47 · Вероятность

верхняя граница

Число M, не меньшее любого элемента множества A; множество, у которого есть верхняя граница, называют ограниченным сверху. Глава 53 · Строгий анализ

вершинами

Точка графа; в задачах — перекрёсток, человек, город, страна. Глава 46 · Графы

вершиной параболы

Точка параболы y = ax² + bx + c с абсциссой x₀ = −b/(2a): при a > 0 самая низкая, при a < 0 самая высокая. Глава 10 · Квадратные уравнения

взаимно простыми

Числа, у которых нет общих делителей, кроме 1, то есть НОД(a, b) = 1. Глава 4 · Делимость и алгоритм Евклида

Взвешенный граф

Граф, у каждого ребра которого есть число — вес: длина, время, цена. Глава 46 · Графы

вмешивающимся фактором

Скрытая переменная, которая влияет и на предполагаемую причину, и на следствие и создаёт между ними корреляцию без прямой причинной связи. Глава 49 · Статистика

Внешняя мера

Внешняя мера множества A ⊂ ℝ: точная нижняя грань сумм длин интервалов по всем конечным или счётным покрытиям A интервалами. Глава 54 · Мера и интеграл Лебега

возрастает

Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Глава 9 · Функции и графики

Вписанная окружность

Окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника; её центр — точка пересечения биссектрис. Глава 17 · Треугольник

вписанным

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Глава 19 · Окружность и число π

второй производной

Производная от производной: f″(x) = (f′(x))′. Показывает, как быстро меняется наклон графика. Глава 27 · Экстремумы и оптимизация

Выбор главного элемента

Правило метода Гаусса: на каждом шаге ведущим делают наибольший по модулю элемент столбца среди оставшихся строк, переставляя строки. Глава 36 · Метод Гаусса

выборкой

Часть генеральной совокупности, которую на самом деле измерили; по ней судят о целом. Глава 49 · Статистика

Выборочное стандартное отклонение

Корень из суммы квадратов отклонений от среднего, делённой на n − 1: s = √(Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1)); типичное расстояние чисел выборки от их среднего. Глава 49 · Статистика

Выделение полного квадрата

Запись x² + bx в виде (x + b/2)² − (b/2)²: выражение превращают в квадрат суммы минус число. Глава 10 · Квадратные уравнения

выпукла вниз

Функция выпукла вниз на промежутке, если её график лежит не выше любой своей хорды на этом промежутке (как чашка); выпукла вверх — если не ниже (как шапка). Глава 27 · Экстремумы и оптимизация

Выражение

Запись из чисел, переменных, знаков действий и скобок, составленная по правилам арифметики, например 2x + 10. Глава 7 · Буквы вместо чисел

вырожденной

Квадратная матрица с нулевым определителем; её преобразование сплющивает пространство в меньшую размерность и отправляет некоторый ненулевой вектор в ноль. Глава 35 · Матрицы как преобразования

Высказывание

Повествовательное предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно, причём верно ровно одно из двух. Глава 51 · Логика и множества

Высота треугольника

Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Глава 17 · Треугольник

Вычет

Коэффициент при 1/(z − a) в разложении функции около её особой точки a по степеням z − a; в простом полюсе Res = lim (z − a)f(z). Глава 34 · Комплексный анализ

Г

Гамильтонов цикл

Цикл в графе, проходящий через каждую вершину ровно один раз. Глава 46 · Графы

Гармоника

Синусоида, частота которой в целое число раз больше основной частоты сигнала; при периоде 2π это aₙ cos nx + bₙ sin nx. Глава 33 · Ряды Фурье

гармоническим

Ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …; расходится, хотя его члены стремятся к нулю. Глава 30 · Ряды

Гауссова кривизна

Мера искривлённости поверхности в точке, которую можно измерить изнутри: K = lim 3(2πr − C(r))/(πr³), где C(r) — длина окружности радиуса r; у сферы K = 1/R², у плоскости 0, у плоскости Лобачевского −1/R². Глава 58 · Неевклидовы геометрии

Гёделева нумерация

Способ сопоставить каждой строке символов (формуле, доказательству) натуральное число так, чтобы по числу строка однозначно и механически восстанавливалась; например, 2^{a₁}·3^{a₂}·5^{a₃}·… Глава 56 · Гёдель, Тьюринг и пределы доказательства

генеральной совокупностью

Всё множество объектов, о котором делается вывод: все избиратели города, все пакеты молока с конвейера. Глава 49 · Статистика

геодезическими

Линия на поверхности, которая на каждом своём коротком куске — кратчайший путь между его концами; на плоскости это прямые, на сфере — большие круги. Глава 58 · Неевклидовы геометрии

Геометрическая кратность

Размерность собственного подпространства для λ, то есть наибольшее число линейно независимых собственных векторов с этим λ. Глава 38 · Собственные векторы

Геометрическая прогрессия

Последовательность ненулевых чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q — знаменатель прогрессии. Глава 13 · Последовательности и индукция

геометрическое распределение

Распределение номера первого успеха в схеме Бернулли: P(T = k) = (1 − p)^(k − 1)·p, k = 1, 2, …; E T = 1/p. Глава 48 · Случайные величины

гильбертовым

Полное пространство со скалярным произведением, например ℓ² или L². Глава 55 · Функциональный анализ

Гипербола

Множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) постоянен и меньше расстояния между фокусами. Глава 24 · Конические сечения

Гипотеза

Утверждение, которое пока не доказано и не опровергнуто. Глава 0 · Что такое математика

Гипотеза Римана

Утверждение, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана лежат на прямой Re s = 1/2; открытая проблема. Глава 44 · Дзета-функция и эллиптические кривые

гипотенузой

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла; самая длинная из трёх. Глава 18 · Теорема Пифагора

главными осями

Взаимно перпендикулярные прямые вдоль собственных векторов симметричной матрицы; в координатах вдоль них квадратичная форма становится суммой квадратов. Глава 38 · Собственные векторы

голоморфной

Функция комплексного переменного, у которой в каждой точке области есть комплексная производная f′(z) = lim (f(z + h) − f(z))/h при h → 0. Глава 34 · Комплексный анализ

Гомеоморфизм

Взаимно однозначное отображение одной фигуры на другую, непрерывное вместе с обратным; фигуры, между которыми оно есть, называют гомеоморфными. Глава 57 · Топология

Гомотетия

Преобразование с центром O и коэффициентом k ≠ 0, переводящее точку X в такую точку X′, что вектор OX′ равен k·OX. Глава 23 · Симметрия и преобразования

Градиент

Вектор ∇f = (∂f/∂x; ∂f/∂y) из частных производных функции; указывает направление быстрейшего роста функции, его длина — наибольшая скорость роста. Глава 32 · Функции многих переменных

Градиентный спуск

Итерационный метод поиска минимума: из текущей точки делают шаг против градиента, x ← x − η∇f(x). Глава 32 · Функции многих переменных

Грань

Кусок плоскости, на которые рёбра плоского рисунка графа разрезают плоскость; внешний бесконечный кусок тоже грань. Глава 46 · Графы

Граф

Набор вершин и рёбер, где каждое ребро соединяет две вершины; важно только, что с чем соединено. Глава 46 · Графы

График функции

Множество всех точек (x; f(x)) координатной плоскости, где x пробегает область определения функции f. Глава 9 · Функции и графики

Группа

Множество с операцией, которая сопоставляет любым двум элементам элемент того же множества, ассоциативна, имеет нейтральный элемент и обратный к каждому элементу. Глава 40 · Группы

Группа Галуа

Множество перестановок корней уравнения с рациональными коэффициентами, которые сохраняют все верные соотношения между корнями с рациональными коэффициентами. Глава 43 · Теория Галуа

Д

Движение

Преобразование плоскости (или пространства), сохраняющее расстояния между точками. Его ещё называют изометрией. Глава 23 · Симметрия и преобразования

Движения Рейдемейстера

Три способа изменить диаграмму узла в маленьком круге: добавить или убрать петлю; надвинуть одну нить на другую или убрать такое наложение; протащить нить над перекрёстком двух других. Глава 57 · Топология

Двойной интеграл

Предел сумм Σ f(xᵢ, yⱼ)·ΔxΔy по разбиениям области на всё более мелкие клетки; для f ≥ 0 — объём под поверхностью z = f(x, y). Глава 32 · Функции многих переменных

двудольным

Граф, вершины которого делятся на две группы так, что рёбра соединяют только вершины из разных групп. Глава 46 · Графы

Двуугольник

Часть сферы между двумя половинами больших кругов с общими концами в двух противоположных точках; площадь двуугольника с углом α равна 2αR². Глава 58 · Неевклидовы геометрии

Действительное число

Число, которое записывается бесконечной десятичной дробью (со знаком); множество действительных чисел ℝ. Их ещё называют вещественными. Глава 6 · Корень из двух и действительные числа

Декартово произведение

Множество A × B всех упорядоченных пар (a, b), где a ∈ A, b ∈ B. Глава 51 · Логика и множества

Делитель

Целое d — делитель числа n, если n = d · k для некоторого целого k; пишут d | n. Глава 3 · Простые числа

Делитель нуля

Ненулевой элемент a кольца, для которого найдётся ненулевой b с ab = 0; например, 2 и 3 в Z₆. Глава 42 · Кольца, поля и коды

Дерево

Связный граф без циклов; в дереве с V вершинами ровно V − 1 рёбер. Глава 46 · Графы

Десятичная дробь

Дробь со знаменателем 10, 100, 1000, …, записанная разрядами после запятой: 2,375 = 2375/1000. Глава 5 · Дроби

Десятичный логарифм

Логарифм по основанию 10: lg b = log₁₀ b. Глава 12 · Степени и логарифмы

детерминированным хаосом

Поведение системы с точным, неслучайным правилом, при котором движение остаётся ограниченным, а малые различия начальных условий растут экспоненциально: показатель Ляпунова положителен. Глава 59 · Хаос и фракталы

Дефект

Разность π − (α + β + γ) между суммой углов плоского треугольника и суммой углов треугольника на плоскости Лобачевского; равна его площади при кривизне −1. Глава 58 · Неевклидовы геометрии

дефектом

Размерность ядра матрицы или линейного отображения. Глава 37 · Векторные пространства

Дзета-функция Римана

Функция ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + … при Re s больше 1 и её аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, кроме точки s = 1. Глава 44 · Дзета-функция и эллиптические кривые

диагонализуемой

Квадратная матрица, у которой есть базис из собственных векторов; тогда A = PDP⁻¹ с обратимой P и диагональной D. Глава 38 · Собственные векторы

диофантовыми

Уравнение с целыми коэффициентами, решения которого ищут в целых числах, например ax + by = c. Глава 4 · Делимость и алгоритм Евклида

директриса

Прямая, связанная с коническим сечением: отношение расстояний от любой точки кривой до фокуса и до директрисы одно и то же и равно эксцентриситету. Глава 24 · Конические сечения

Дискретное преобразование Фурье

Преобразование N чисел x₀, …, x_{N−1} в N чисел X_k = Σ xₙ e^{−2πikn/N}; дискретный аналог коэффициентов Фурье. Глава 33 · Ряды Фурье

Дискретный логарифм

Показатель x, для которого g^x ≡ A (mod p); для больших p быстрый способ находить его неизвестен. Глава 41 · Арифметика остатков и шифры

Дискриминант

Число D = b² − 4ac для уравнения ax² + bx + c = 0; по его знаку видно, сколько у уравнения действительных корней. Глава 10 · Квадратные уравнения

Дисперсия

D X = E(X − E X)²: среднее значение квадрата отклонения величины от её ожидания; мера разброса. Глава 48 · Случайные величины

Дифференциальное уравнение

Уравнение, в котором неизвестна функция, а в запись входят её производные; наибольший порядок производной — порядок уравнения. Глава 31 · Дифференциальные уравнения

дифференцируема

Функция f(x, y) дифференцируема в точке (a; b), если f(a + h, b + k) = f(a, b) + Ah + Bk + ε·√(h² + k²), где ε → 0 при (h; k) → (0; 0); тогда A = fₓ(a, b), B = f_y(a, b). Глава 32 · Функции многих переменных

дифференцируемой

Функция, у которой в точке (или в каждой точке промежутка) существует конечная производная. Глава 26 · Производная

диэдральной

Группа симметрий правильного n-угольника: n поворотов и n отражений, всего 2n элементов; обозначается D_n. Глава 40 · Группы

Доверительный интервал

Отрезок, вычисленный по выборке по правилу, которое накрывает неизвестный параметр с заданной вероятностью (например, 95 %); вероятность относится к правилу, а не к одному посчитанному отрезку. Глава 49 · Статистика

Доказательство

Цепочка рассуждений, в которой каждый шаг по правилам логики следует из предыдущих, из аксиом или из уже доказанных утверждений. Глава 0 · Что такое математика

Доказательство от противного

Способ доказательства: предполагают, что утверждение неверно, и выводят из этого противоречие; значит, утверждение верно. Глава 6 · Корень из двух и действительные числа

Доменная раскраска

Способ изобразить функцию f: ℂ → ℂ: каждая точка z плоскости окрашивается в цвет числа f(z) — оттенок задаёт аргумент f(z), яркость — модуль. Глава 34 · Комплексный анализ

дополнение

Дополнение множества A до объемлющего множества U — множество Aᶜ = U \ A всех элементов U, не лежащих в A. Глава 51 · Логика и множества

Е

Египетская дробь

Запись числа суммой различных долей вида 1/n, например 3/4 = 1/2 + 1/4. Глава 5 · Дроби

Единичная матрица

Квадратная матрица E с единицами на главной диагонали и нулями вне её; матрица тождественного преобразования: Ev = v. Глава 35 · Матрицы как преобразования

Единичная окружность

Окружность радиуса 1 с центром в начале координат; на ней определяют синус и косинус любого угла. Глава 21 · Тригонометрия

единичный шар

Множество векторов нормированного пространства, норма которых не больше 1: {x : ‖x‖ ≤ 1}. Глава 55 · Функциональный анализ

З

задачей Коши

Дифференциальное уравнение вместе с начальными условиями: значением неизвестной функции (и её производных до порядка на единицу меньше порядка уравнения) в одной точке. Глава 31 · Дифференциальные уравнения

замкнутым

Множество, которое содержит пределы всех своих сходящихся последовательностей; например, отрезок, сфера, замкнутый шар. Глава 53 · Строгий анализ

знакопеременной группой

Группа всех чётных перестановок n предметов; обозначается A_n, при n ≥ 2 в ней n!/2 элементов. Глава 40 · Группы

Золотое сечение

Число φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618; φ² = φ + 1, цепная дробь [1; 1, 1, …]. Глава 6 · Корень из двух и действительные числа

И

идеальным

Треугольник на плоскости Лобачевского, все три вершины которого бесконечно удалены; все его углы равны нулю, а площадь при кривизне −1 равна π. Глава 58 · Неевклидовы геометрии

Избыточность

Доля сообщения, которую можно предсказать и потому не передавать: R = 1 − H/log₂ N, где H — энтропия на символ, N — число символов алфавита. Глава 50 · Цепи Маркова и информация

измерима

Функция f, у которой множество {x : f(x) > t} измеримо при каждом t; таковы все непрерывные функции, их пределы и почти все функции, встречающиеся в анализе. Глава 54 · Мера и интеграл Лебега

измеримо по Лебегу

Множество A ⊂ ℝ, которое для любого ε > 0 можно заключить в открытое множество U так, что внешняя мера U \ A меньше ε. Глава 54 · Мера и интеграл Лебега

Изоморфизм

Взаимно однозначное соответствие φ между группами, для которого φ(ab) = φ(a)φ(b); таблицы Кэли изоморфных групп совпадают с точностью до переименования элементов. Глава 40 · Группы

изоморфизмом

Взаимно однозначное линейное отображение одного векторного пространства на другое; такие пространства неразличимы с точки зрения линейной алгебры. Глава 37 · Векторные пространства

Импликация

Высказывание «если A, то B» (A → B); ложно только тогда, когда A истинно, а B ложно. Глава 51 · Логика и множества

Инверсия

Преобразование относительно окружности с центром O и радиусом R: точка X ≠ O переходит в точку X′ на луче OX, для которой OX · OX′ = R². Глава 23 · Симметрия и преобразования

Инверсия

Пара мест i < j, в которой перестановка ставит элементы в обратном порядке: σ(i) > σ(j). Глава 40 · Группы

индикатором

Случайная величина, равная 1, если событие A наступило, и 0, если нет; её ожидание равно P(A). Глава 48 · Случайные величины

Интеграл Лебега

Для измеримой f ≥ 0 — число ∫₀^∞ μ{f > t} dt; для функции любого знака — разность интегралов её положительной и отрицательной частей, если оба конечны. Глава 54 · Мера и интеграл Лебега

Интеграл по контуру

Предел сумм Σ f(zₖ)(zₖ₊₁ − zₖ) по точкам кривой γ, когда шаги стремятся к нулю; обозначается ∫_γ f(z) dz, для замкнутой кривой — ∮. Глава 34 · Комплексный анализ

Интегральная сумма

Сумма f(ξ₁)Δx₁ + … + f(ξₙ)Δxₙ для разбиения отрезка на куски длиной Δxᵢ и точек ξᵢ, выбранных в кусках; её слагаемые — площади прямоугольников (со знаком). Глава 28 · Интеграл

интегральной кривой

График решения дифференциального уравнения; в каждой своей точке он касается отрезка поля направлений. Глава 31 · Дифференциальные уравнения

Интегральный логарифм

Функция li x — интеграл от 0 до x от 1/ln t (в главном значении); около x она растёт как x/ln x, но точнее приближает число простых π(x). Глава 44 · Дзета-функция и эллиптические кривые

интегрируема

Функция, суммы Римана которой при измельчении разбиения подходят к одному числу при любом выборе точек в кусках. Глава 28 · Интеграл

интерполяционным многочленом

Многочлен степени не выше n, принимающий заданные значения в n + 1 заданных точках; такой многочлен существует и единствен. Глава 14 · Многочлены

инъекцией

Отображение, которое разные элементы переводит в разные: из a ≠ a′ следует f(a) ≠ f(a′). Глава 51 · Логика и множества

Иррациональное число

Действительное число (точка числовой прямой), которое нельзя записать дробью p/q с целыми p и q; например, √2 и π. Глава 6 · Корень из двух и действительные числа

К

Канторово множество

Множество точек отрезка [0; 1], которое остаётся, если бесконечно много раз выбрасывать из каждого отрезка его среднюю треть; это точки, в троичной записи которых можно обойтись без цифры 1. Глава 52 · Бесконечности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку — точку касания. Глава 19 · Окружность и число π

Касательная к графику

Прямая через точку (a; f(a)) графика с угловым коэффициентом f′(a): y = f(a) + f′(a)(x − a); предельное положение секущих. Глава 26 · Производная

Касательное векторное поле

Правило, сопоставляющее каждой точке поверхности вектор, касающийся её в этой точке; причёска на поверхности — непрерывное касательное поле. Глава 57 · Топология

касательной плоскостью

Плоскость z = f(a, b) + fₓ(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b), которая приближает поверхность дифференцируемой функции около точки (a; b) с ошибкой, малой по сравнению с расстоянием до точки. Глава 32 · Функции многих переменных

катетами

Сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу. Глава 18 · Теорема Пифагора

квадратичная форма

Однородный многочлен второй степени от координат вектора; записывается как ⟨x, Sx⟩ с симметричной матрицей S. Глава 38 · Собственные векторы

Квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа и a ≠ 0. Глава 10 · Квадратные уравнения

квадратным трёхчленом

Выражение ax² + bx + c, где a ≠ 0, — многочлен второй степени от x. Глава 10 · Квадратные уравнения

Кванторы

Слова «для любого» (∀) и «существует» (∃), которые превращают предикат P(x) в высказывание: ∀x P(x) — P верно для всех x, ∃x P(x) — хотя бы для одного. Глава 51 · Логика и множества

класс вычетов

Множество всех целых чисел, сравнимых с числом r по модулю n: …, r − n, r, r + n, r + 2n, … Классов вычетов по модулю n ровно n. Глава 41 · Арифметика остатков и шифры

Класс эквивалентности

Множество [a] всех элементов, эквивалентных данному элементу a. Глава 51 · Логика и множества

клеточной размерностью

D = lim ln N(ε) / ln(1/ε), где N(ε) — число клеток сетки со стороной ε, которые задевает фигура; у отрезка 1, у квадрата 2, у кривой Коха ln 4/ln 3. Глава 59 · Хаос и фракталы

ковариаций

Для облака из n точек с центром масс в начале координат — симметричная матрица C = XᵀX / n (иногда делят на n − 1); на диагонали дисперсии признаков, вне диагонали — ковариации. Глава 39 · Ортогональность, МНК и SVD

Код Хаффмана

Префиксный код наименьшей средней длины для данного распределения; строится повторным слиянием двух наименее вероятных символов в один. Глава 50 · Цепи Маркова и информация

Код Хэмминга

Двоичный код, который к 4 битам сообщения добавляет 3 проверочных бита на позициях 1, 2, 4 и исправляет любую одиночную ошибку в блоке из 7 битов. Глава 42 · Кольца, поля и коды

Код, исправляющий ошибки

Правило, по которому к сообщению добавляют проверочные символы так, чтобы по искажённому в пути сообщению можно было восстановить исходное. Глава 42 · Кольца, поля и коды

Коллинеарные векторы

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых; нулевой вектор коллинеарен любому. Глава 22 · Векторы и координаты

Кольцо

Множество с двумя операциями, сложением и умножением, в котором по сложению выполняются аксиомы коммутативной группы, умножение ассоциативно и связано со сложением распределительными законами. Глава 42 · Кольца, поля и коды

коммутатором

Элемент x y x⁻¹ y⁻¹ группы; он равен e тогда и только тогда, когда x и y перестановочны. Глава 40 · Группы

компактными

Множество, из любой последовательности точек которого можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к точке этого же множества; в ℝⁿ это ограниченные замкнутые множества. Глава 55 · Функциональный анализ

Комплексная плоскость

Плоскость, на которой число a + bi изображается точкой с координатами (a; b); горизонтальная ось — действительная, вертикальная — мнимая. Глава 15 · Комплексные числа

Комплексное число

Число вида a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица; a — действительная часть, b — мнимая часть. Глава 15 · Комплексные числа

Композиция

Функция f(g(x)): сначала к x применяется g, затем к результату — f. Обозначение f ∘ g. Глава 9 · Функции и графики

Конечное поле

Поле из конечного числа элементов; их число всегда степень простого, q = pⁿ, и для каждого такого q поле существует; обозначают GF(q) или F_q. Глава 42 · Кольца, поля и коды

Коническое сечение

Кривая, по которой плоскость, не проходящая через вершину, пересекает двойной круговой конус: эллипс (в том числе окружность), парабола или гипербола. Глава 24 · Конические сечения

Континуум-гипотеза

Утверждение, что не существует множества, мощность которого строго больше счётной и строго меньше континуума; оно не доказуемо и не опровержимо в ZFC (Гёдель, 1940; Коэн, 1963). Глава 52 · Бесконечности

континуумом

Мощность множества действительных чисел (и любого равномощного ему множества — интервала, отрезка, плоскости); обозначается 𝔠 и равна 2^ℵ₀. Глава 52 · Бесконечности

Контрпример

Случай, в котором общее утверждение неверно; одного контрпримера достаточно, чтобы утверждение опровергнуть. Глава 0 · Что такое математика

Конформным

Отображение, сохраняющее углы между кривыми и направление их отсчёта; голоморфная функция с ненулевой производной конформна. Глава 34 · Комплексный анализ

Координаты вектора

Числа x и y в разложении вектора a = x·i + y·j по единичным векторам осей координат. Глава 22 · Векторы и координаты

корень кратности

Корень a многочлена P имеет кратность k, если P делится на (x − a)^k, но не делится на (x − a)^(k+1). Глава 14 · Многочлены

Корень многочлена

Число a, при котором значение многочлена P(a) равно нулю. Глава 14 · Многочлены

корнем уравнения

Значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Глава 8 · Уравнения: искусство равновесия

корнями $n$-й степени из единицы

Решение уравнения zⁿ = 1; таких чисел n, они — вершины правильного n-угольника на единичной окружности. Глава 15 · Комплексные числа

Косинус

В прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе; для любого угла — абсцисса точки единичной окружности, повёрнутой на этот угол. Глава 21 · Тригонометрия

Котангенс

Отношение косинуса угла к его синусу, то есть 1/tg α. Глава 21 · Тригонометрия

коэффициентами Фурье

Числа aₙ = (1/π)∫ f(x) cos nx dx и bₙ = (1/π)∫ f(x) sin nx dx по периоду [−π; π]: проекции функции на гармоники. Глава 33 · Ряды Фурье

коэффициентом

Числовой множитель при буквенной части слагаемого: в 3x² коэффициент равен 3. Глава 7 · Буквы вместо чисел

коэффициентом корреляции

Число r от −1 до 1, показывающее, насколько точки (xᵢ; yᵢ) прижаты к одной прямой: r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²). Глава 49 · Статистика

Криптография с открытым ключом

Шифрование, в котором зашифровывают открытым ключом, известным всем, а расшифровывают закрытым, который практически невозможно вычислить по открытому. Глава 41 · Арифметика остатков и шифры

критическими

Внутренняя точка области определения, в которой производная функции равна нулю или не существует; только в таких точках может быть локальный экстремум. Глава 27 · Экстремумы и оптимизация

критической полосе

Полоса 0 ≤ Re s ≤ 1 комплексной плоскости, в которой лежат все нетривиальные нули дзета-функции. Глава 44 · Дзета-функция и эллиптические кривые

кругом

Часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. Глава 19 · Окружность и число π

кусочно-гладкой

Функция, у которой период (или отрезок) делится на конечное число частей, где она непрерывно дифференцируема, причём сама функция и её производная имеют конечные пределы на концах частей. Глава 33 · Ряды Фурье

Л

Лента Мёбиуса

Поверхность, которая получается из прямоугольной полоски склейкой коротких сторон с перекрутом на пол-оборота; у неё одна сторона и один край. Глава 57 · Топология

Линейная комбинация

Вектор вида s·a + t·b (и так далее для большего числа векторов), где s и t — числа. Глава 22 · Векторы и координаты

Линейная функция

Функция вида y = kx + b, где k и b — числа; её график — прямая. Глава 9 · Функции и графики

линейно независимыми

Векторы линейно независимы, если их линейная комбинация равна нулю только при всех нулевых коэффициентах; иначе они линейно зависимы. Глава 37 · Векторные пространства

линейного программирования

Раздел математики о задачах найти наибольшее или наименьшее значение линейной функции при линейных ограничениях-неравенствах. Глава 11 · Системы уравнений и неравенства

линейной оболочкой

Множество всех линейных комбинаций данных векторов; наименьшее подпространство, которое их содержит. Глава 37 · Векторные пространства

линейным

Уравнение вида ax + b = 0, где a и b — числа, а x — неизвестное. Глава 8 · Уравнения: искусство равновесия

линейным

Отображение L векторов в векторы, для которого L(u + v) = Lu + Lv и L(cv) = cLv при любых векторах u, v и любом числе c. Глава 35 · Матрицы как преобразования

Линия уровня

Множество точек плоскости, в которых функция f(x, y) принимает одно и то же значение c: f(x, y) = c. Глава 32 · Функции многих переменных

Логарифм

Показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить b: log_a b = c означает a^c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0). Глава 12 · Степени и логарифмы

Логарифмическая шкала

Шкала, на которой равные расстояния означают равные отношения величин: каждая точка ставится на расстоянии, пропорциональном логарифму величины. Глава 12 · Степени и логарифмы

логистическим

Уравнение y′ = r·y·(1 − y/K): рост, который замедляется и останавливается у предела K; решения — S-образные логистические кривые. Глава 31 · Дифференциальные уравнения

М

Математическая индукция

Способ доказать утверждение P(n) сразу для всех натуральных n: проверить его при n = 1 (база) и доказать, что из P(k) следует P(k + 1) при любом k (шаг). Глава 13 · Последовательности и индукция

Математическое ожидание

Для дискретной величины E X = Σ x_i p_i (если ряд сходится абсолютно): среднее значение, взвешенное вероятностями, центр тяжести распределения. Глава 48 · Случайные величины

Матрица

Прямоугольная таблица чисел; у матрицы линейного отображения в столбцах стоят координаты образов векторов e₁, e₂, …. Глава 35 · Матрицы как преобразования

Матрица перехода

Матрица, столбцы которой — координаты векторов нового базиса в старом; переводит новые координаты вектора в старые: x = Px′. Глава 37 · Векторные пространства

матрицу переходов

Матрица вероятностей переходов цепи Маркова: элемент p_ij — вероятность перейти из состояния j в состояние i; элементы неотрицательны, каждый столбец в сумме даёт 1. Глава 38 · Собственные векторы

Машина Тьюринга

Воображаемый вычислитель: бесконечная лента из клеток с символами, головка над одной клеткой и конечная таблица правил «в состоянии q читаю символ a — пишу b, сдвигаюсь влево или вправо, перехожу в состояние r». Глава 56 · Гёдель, Тьюринг и пределы доказательства

Мгновенная скорость

Предел средней скорости за промежуток от t до t + h при h → 0: v(t) = lim (s(t + h) − s(t))/h. Глава 26 · Производная

Медиана

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Глава 17 · Треугольник

Медиана

Число, которое делит упорядоченный набор чисел пополам: средний элемент при нечётном их количестве и полусумма двух средних при чётном. Глава 49 · Статистика

Медианта

Для дробей a/b и c/d — дробь (a + c)/(b + d); если дроби различны, а знаменатели положительны, она лежит строго между ними. Глава 5 · Дроби

Мера

Функция μ ≥ 0 на сигма-алгебре множеств (значение +∞ допускается), у которой μ(∅) = 0 и мера объединения счётного числа непересекающихся множеств равна сумме их мер. Глава 54 · Мера и интеграл Лебега

мерой Лебега

Внешняя мера, рассматриваемая только на измеримых множествах; обозначается μ; для отрезка равна его длине, счётно-аддитивна и не меняется при сдвиге. Глава 54 · Мера и интеграл Лебега

меру нуль

Множество, которое для любого ε > 0 можно накрыть конечным или счётным набором интервалов с суммой длин меньше ε; например, любое счётное множество. Глава 54 · Мера и интеграл Лебега

Метод главных компонент

Способ описать облако данных немногими направлениями: оси — собственные векторы матрицы ковариаций (правые сингулярные векторы центрированной матрицы данных), упорядоченные по убыванию разброса вдоль них. Глава 39 · Ортогональность, МНК и SVD

метод интервалов

Способ решать неравенства вида f(x) > 0, где f разложено на множители: нули множителей делят прямую на промежутки, на каждом из которых знак f постоянен. Глава 11 · Системы уравнений и неравенства

Метод Эйлера

Приближённое решение уравнения y′ = f(t, y): шагами длины h, каждый раз вдоль касательной: yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Глава 31 · Дифференциальные уравнения

методом наименьших квадратов

Способ приближённо решать несовместную систему Ax = b: выбрать x с наименьшей суммой квадратов невязок |b − Ax|²; такой x удовлетворяет нормальным уравнениям AᵀAx = Aᵀb. Глава 39 · Ортогональность, МНК и SVD

Метрическим пространством

Множество с расстоянием d(x, y) ≥ 0, которое равно нулю только при x = y, симметрично и удовлетворяет неравенству треугольника d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Глава 55 · Функциональный анализ

Минимальный многочлен

Многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом 1 и коэффициентами из поля K, корнем которого служит данное число. Глава 43 · Теория Галуа

Мнимая единица

Число i, квадрат которого равен −1. Глава 15 · Комплексные числа

Многочлен

Выражение a_n x^n + … + a_1 x + a_0, где a_0, …, a_n — числа (коэффициенты), а n — целое неотрицательное число. Глава 14 · Многочлены

Многочлен Тейлора

Многочлен Tₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)/k! · (x − a)ᵏ по k от 0 до n; у него те же значение и первые n производных в точке a, что у f. Глава 30 · Ряды

Множество

Совокупность объектов (элементов), рассматриваемая как одно целое; множество полностью определяется тем, какие элементы ему принадлежат. Понятие считается первичным и не определяется через другие. Глава 51 · Логика и множества

множество Жюлиа

Для отображения z ↦ z² + c: граница множества тех z, чьи орбиты остаются ограниченными (само это множество — заполненное множество Жюлиа). Глава 59 · Хаос и фракталы

Множество значений

Множество всех значений, которые функция принимает на своей области определения. Глава 9 · Функции и графики

Множество Мандельброта

Множество комплексных c, при которых орбита нуля 0, c, c² + c, … под действием z ↦ z² + c остаётся ограниченной. Глава 59 · Хаос и фракталы

Множество подмножеств

Множество всех подмножеств множества A, включая пустое и само A; обозначается 𝒫(A). У множества из n элементов 2ⁿ подмножеств. Глава 52 · Бесконечности

множителем Лагранжа

Число λ, при котором ∇f = λ∇g в точке условного экстремума функции f при условии g = c; показывает скорость изменения экстремального значения при сдвиге c. Глава 32 · Функции многих переменных

Модель Пуанкаре

Модель плоскости Лобачевского: точки — внутренность круга, прямые — диаметры и дуги окружностей, перпендикулярных краю; углы в ней изображаются без искажений. Глава 58 · Неевклидовы геометрии

Модуль

Расстояние от числа до нуля на числовой прямой: |a| = a при a ≥ 0 и |a| = −a при a < 0. Глава 2 · Ноль и минус

Модуль

Для z = a + bi — число |z| = √(a² + b²), расстояние от нуля до точки z на комплексной плоскости. Глава 15 · Комплексные числа

Монодромия

Перестановка корней, которую производит петля: коэффициент уравнения обходит замкнутый путь, корни непрерывно движутся и приходят на места друг друга. Глава 43 · Теория Галуа

мощностью

Вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она неверна, то есть заметить эффект, который есть; растёт с объёмом выборки и величиной эффекта. Глава 49 · Статистика

мощностью

Мощность множества — то общее, что есть у всех равномощных ему множеств; для конечного множества это число его элементов. Обозначение |A|. Глава 52 · Бесконечности

Н

Наибольший общий делитель

Наибольшее натуральное число, на которое делятся оба данных числа; обозначается НОД(a, b), по-английски gcd. Глава 4 · Делимость и алгоритм Евклида

Наименьшее общее кратное

Наименьшее натуральное число, которое делится на оба данных числа; обозначается НОК(a, b), по-английски lcm. Глава 4 · Делимость и алгоритм Евклида

Натуральные числа

Числа 1, 2, 3, …, которыми считают предметы; их множество обозначают ℕ. В российской традиции ноль к ним не относят. Глава 1 · Счёт: от зарубок до битов

Натуральный логарифм

Логарифм по основанию e = 2,71828…: ln b = log_e b. Глава 12 · Степени и логарифмы

Невязка

Разность e = b − Ax между правой частью системы и тем, что даёт приближённое решение; её координаты — промахи в каждом уравнении. Глава 39 · Ортогональность, МНК и SVD

независимы

События A и B, для которых P(A ∩ B) = P(A)·P(B); при P(B) > 0 это значит, что P(A | B) = P(A): знание о B не меняет шансов A. Глава 47 · Вероятность

независимы

Величины X и Y, для которых P(X = x, Y = y) = P(X = x)·P(Y = y) при всех x, y (в общем случае P(X ≤ s, Y ≤ t) = P(X ≤ s)·P(Y ≤ t)). Глава 48 · Случайные величины

Неопределённый интеграл

Множество всех первообразных функции f на промежутке; записывают ∫f(x)dx = F(x) + C, где F — одна из первообразных, C — любая постоянная. Глава 28 · Интеграл

неподвижной

Точка x*, которую отображение не сдвигает: f(x*) = x*. Глава 55 · Функциональный анализ

непрерывна

Функция, определённая в точке a и рядом с ней, у которой предел в точке a равен значению f(a); функция непрерывна на промежутке, если непрерывна в каждой его точке. Глава 25 · Пределы

неприводим

Многочлен ненулевой степени, который нельзя записать произведением двух многочленов меньшей степени с коэффициентами из того же поля. Глава 42 · Кольца, поля и коды

Неприводимый случай

Кубическое уравнение с тремя различными действительными корнями: формула Кардано в этом случае требует квадратного корня из отрицательного числа. Глава 14 · Многочлены

непротиворечивой

Формальная система, в которой нельзя вывести одновременно утверждение и его отрицание. Глава 56 · Гёдель, Тьюринг и пределы доказательства

Неравенство треугольника

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других: a < b + c. Глава 17 · Треугольник

Несобственный интеграл

Интеграл по бесконечному промежутку (или от неограниченной функции), понимаемый как предел: ∫ₐ^∞ f(x)dx = lim ∫ₐᴮ f(x)dx при B → ∞. Если предел конечен, интеграл сходится, иначе расходится. Глава 28 · Интеграл

несовместны

События, у которых нет общих исходов: они не могут наступить одновременно. Глава 47 · Вероятность

несоизмеримы

Отрезки, у которых нет общей меры — отрезка, который укладывается целое число раз в каждый из них; отношение их длин иррационально. Глава 6 · Корень из двух и действительные числа

Несократимая дробь

Дробь a/b, у которой числитель и знаменатель взаимно просты: НОД(a, b) = 1. Глава 5 · Дроби

Нетривиальные нули

Нуль дзета-функции Римана в критической полосе 0 ≤ Re s ≤ 1; первый из них — 1/2 + 14,1347…i. Глава 44 · Дзета-функция и эллиптические кривые

нечётной

Функция, для которой f(−x) = −f(x) при всех x из области определения; её график симметричен относительно начала координат. Глава 9 · Функции и графики

неявным дифференцированием

Нахождение производной функции y(x), заданной уравнением F(x, y) = 0: обе части уравнения дифференцируют по x, считая y функцией от x, и выражают y′. Глава 26 · Производная

Норма матрицы

Наибольшее растяжение, которое даёт матрица: ‖M‖ = max |Mx| по единичным векторам x; равна наибольшему сингулярному числу. Глава 39 · Ортогональность, МНК и SVD

Нормаль

Ненулевой вектор, перпендикулярный прямой (или плоскости). Глава 22 · Векторы и координаты

нормальное распределение

Распределение с плотностью e^(−(x − μ)²/(2σ²))/(σ√(2π)); обозначение N(μ, σ²); μ — ожидание, σ — стандартное отклонение. Глава 48 · Случайные величины

нормальными уравнениями

Система AᵀA x̂ = Aᵀb; её решения — решения несовместной системы Ax = b по методу наименьших квадратов. Глава 39 · Ортогональность, МНК и SVD

нормированным

Векторное пространство, в котором выбрана норма; расстояние между векторами x и y в нём — ‖x − y‖. Глава 55 · Функциональный анализ

Нормой

Функция ‖x‖ на векторном пространстве: ‖x‖ ≥ 0 и равна нулю только у нулевого вектора, ‖cx‖ = |c|·‖x‖, ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖. Глава 55 · Функциональный анализ

нулевой гипотезой

Предположение «эффекта нет, всё объясняется случайностью»; его проверяют, пытаясь опровергнуть данными. Обозначают H₀. Глава 49 · Статистика

нули функции

Значение аргумента, при котором функция равна нулю; на графике — абсцисса общей точки графика и оси x. Глава 9 · Функции и графики

О

Область определения

Множество всех значений аргумента, при которых функция определена. Глава 9 · Функции и графики

областью допустимых решений

Множество всех решений системы ограничений задачи оптимизации; для линейных ограничений на плоскости это обычно многоугольник или неограниченная область (а может оказаться и пустым). Глава 11 · Системы уравнений и неравенства

Образ

Множество всех векторов вида Ax: то, куда линейное отображение переводит пространство; оно совпадает с оболочкой столбцов матрицы. Глава 37 · Векторные пространства

образующими

Любая из прямых, из которых состоит поверхность конуса (или цилиндра); у конуса все образующие проходят через вершину. Глава 24 · Конические сечения

Обратная теорема

Утверждение, в котором условие и заключение данной теоремы поменялись местами; оно может быть и верным, и неверным. Глава 18 · Теорема Пифагора

Обратное число

Число 1/x для x ≠ 0: при умножении на x даёт единицу. Для дроби a/b обратная — b/a. Глава 5 · Дроби

обратной

Функция f⁻¹, которая отменяет действие f: f⁻¹(f(x)) = x для всех x из области определения f и f(f⁻¹(y)) = y для всех y из множества значений f. Глава 9 · Функции и графики

обратной

Матрица A⁻¹, для которой A⁻¹A = AA⁻¹ = E; её преобразование отменяет преобразование A. Глава 35 · Матрицы как преобразования

Обратный к $a$ по модулю

Число a′, для которого a · a′ ≡ 1 (mod n); существует тогда и только тогда, когда НОД(a, n) = 1, и находится расширенным алгоритмом Евклида. Глава 41 · Арифметика остатков и шифры

Объединение

Множество A ∪ B всех элементов, которые принадлежат A или B (хотя бы одному из них). Глава 51 · Логика и множества

Объём

Число, которое сопоставлено телу так, что оно неотрицательно, одинаково у равных тел, складывается при разрезании тела на части и равно 1 у куба с ребром 1. Глава 20 · Площадь и объём

Обыкновенная дробь

Число вида a/b, где a — целое, b — натуральное: a долей по 1/b целого. Оно же — частное от деления a на b. Глава 5 · Дроби

ограничен

Линейный оператор T нормированного пространства, для которого ‖Tx‖ ≤ C‖x‖ с одной постоянной C; наименьшая такая C — норма оператора ‖T‖. Глава 55 · Функциональный анализ

однородная система

Система линейных уравнений, у которой все правые части равны нулю; у неё всегда есть нулевое решение. Глава 36 · Метод Гаусса

односвязной

Фигура, в которой любую замкнутую петлю можно непрерывно стянуть в точку, не выходя за её пределы. Глава 57 · Топология

Односторонний предел

Предел функции, когда x подходит к a только с одной стороны: справа (x > a) или слева (x < a). Глава 25 · Пределы

Окружность

Множество всех точек плоскости, удалённых от данной точки (центра) на одно и то же расстояние (радиус). Глава 19 · Окружность и число π

Окружность девяти точек

Окружность через середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков от ортоцентра до вершин; её радиус вдвое меньше радиуса описанной окружности. Глава 17 · Треугольник

Описанная окружность

Окружность, проходящая через все три вершины треугольника; её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Глава 17 · Треугольник

определённым интегралом

Предел сумм Римана функции f на отрезке [a; b] при измельчении разбиения; обозначается ∫ₐᵇ f(x)dx и равен площади под графиком со знаком. Глава 28 · Интеграл

Определитель

Число, сопоставленное квадратной матрице; для матрицы 2 × 2 это ad − bc — площадь со знаком параллелограмма на её столбцах, множитель, на который преобразование умножает площади. Глава 35 · Матрицы как преобразования

Орбитой

Последовательность x₀, f(x₀), f(f(x₀)), … — что получается из начальной точки при повторном применении отображения f. Глава 59 · Хаос и фракталы

ориентацию

Направление кратчайшего поворота от первого вектора пары ко второму: против часовой стрелки — положительная, по часовой — отрицательная. Преобразование с отрицательным определителем меняет ориентацию. Глава 35 · Матрицы как преобразования

ориентируема

Поверхность, на которой нет замкнутого пути, возвращающего маленькие часы зеркально отражёнными; иначе говоря, в ней нет ленты Мёбиуса. Глава 57 · Топология

ортогональной

Квадратная матрица Q с ортонормированными столбцами: QᵀQ = E, то есть Q⁻¹ = Qᵀ. Сохраняет длины и углы. Глава 39 · Ортогональность, МНК и SVD

ортогональной проекцией

Вектор p подпространства W, для которого разность b − p ортогональна W; это ближайшая к b точка W. Глава 39 · Ортогональность, МНК и SVD

ортогональны

Векторы с нулевым скалярным произведением: ⟨u, v⟩ = 0. Нулевой вектор ортогонален любому. Глава 39 · Ортогональность, МНК и SVD

ортогональными

Функции f и g, скалярное произведение которых ∫ f(x)g(x) dx по периоду равно нулю. Глава 33 · Ряды Фурье

ортонормированную систему

Конечный или бесконечный набор векторов e₁, e₂, … с ⟨eᵢ, eⱼ⟩ = 0 при i ≠ j и ‖eᵢ‖ = 1. Глава 55 · Функциональный анализ

ортонормированный базис

Базис из попарно ортогональных векторов длины 1: ⟨qᵢ, qⱼ⟩ = 0 при i ≠ j и |qᵢ| = 1. Координаты в нём равны скалярным произведениям на базисные векторы. Глава 39 · Ортогональность, МНК и SVD

Ортоцентр

Точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника. Глава 17 · Треугольник

Осевая симметрия

Движение, при котором каждая точка переходит в симметричную ей относительно данной прямой (оси): ось — серединный перпендикуляр к отрезку между точкой и образом. Глава 23 · Симметрия и преобразования

основанием системы счисления

Целое число b ≥ 2 в позиционной системе счисления: каждый разряд весит в b раз больше соседнего справа, а цифр в системе ровно b — от 0 до b − 1. Глава 1 · Счёт: от зарубок до битов

Остовное дерево

Дерево, составленное из рёбер графа и проходящее через все его вершины. Глава 46 · Графы

Отношение

Бинарное отношение на множестве A — подмножество R ⊂ A × A; пишут a R b, если пара (a, b) принадлежит R. Глава 51 · Логика и множества

отношением эквивалентности

Отношение на множестве, которое рефлексивно (a ∼ a), симметрично (из a ∼ b следует b ∼ a) и транзитивно (из a ∼ b и b ∼ c следует a ∼ c). Глава 51 · Логика и множества

Отображение

Отображение f из A в B — подмножество f ⊂ A × B, в котором для каждого a ∈ A есть ровно одна пара (a, b); пишут f: A → B и f(a) = b. Глава 51 · Логика и множества

Ошибка второго рода

Не отвергнуть неверную нулевую гипотезу, то есть пропустить эффект, который есть. Глава 49 · Статистика

Ошибка первого рода

Отвергнуть верную нулевую гипотезу, объявить несуществующий эффект («ложная тревога»); при пороге α это случается с вероятностью не больше α. Глава 49 · Статистика

Ошибка прокурора

Подмена вероятности улики при невиновности P(улика | невиновен) вероятностью невиновности при улике P(невиновен | улика). Глава 47 · Вероятность

П

Парабола

Множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы), не проходящей через фокус. Глава 24 · Конические сечения

Парадоксом Симпсона

Ситуация, когда связь, которая есть в каждой из групп, исчезает или меняет знак при объединении групп; возникает, когда сравниваемые совокупности по-разному распределены между группами. Глава 49 · Статистика

Параллельные прямые

Прямые на плоскости, которые не пересекаются, сколько их ни продолжай. Глава 16 · Начала: аксиомы и построения

Параллельный перенос

Движение, при котором каждая точка сдвигается на один и тот же вектор. Глава 23 · Симметрия и преобразования

Первообразная

Функция F, производная которой на данном промежутке равна f: F′(x) = f(x) во всех точках промежутка. Глава 28 · Интеграл

Первообразный корень

Число g, степени которого g, g², …, g^(p−1) дают все ненулевые остатки по простому модулю p; иначе говоря, порядок g равен p − 1. Глава 41 · Арифметика остатков и шифры

Переменная

Буква, вместо которой можно подставлять разные числа. Глава 7 · Буквы вместо чисел

Пересечение

Множество A ∩ B всех элементов, которые принадлежат и A, и B. Глава 51 · Логика и множества

Перестановка

Расстановка n различных предметов в каком-то порядке; их число равно n!. Глава 45 · Комбинаторика

Период полураспада

Время, за которое распадается половина атомов радиоактивного образца; не зависит от размера образца: T½ = ln 2 / λ. Глава 29 · Число e и экспонента

периодическая

Функция, значения которой повторяются при сдвиге аргумента на одно и то же число T ≠ 0 — период: f(x + T) = f(x). Глава 21 · Тригонометрия

Периодическая дробь

Бесконечная десятичная дробь, в которой с некоторого места один и тот же блок цифр (период) повторяется бесконечно: 1/6 = 0,1(6). Глава 5 · Дроби

Пирамида

Многогранник, одна грань которого — многоугольник (основание), а остальные — треугольники с общей вершиной. Глава 20 · Площадь и объём

Пифагорова тройка

Три натуральных числа a, b, c с условием a² + b² = c²: стороны прямоугольного треугольника с целыми длинами. Глава 18 · Теорема Пифагора

Планарный граф

Граф, который можно нарисовать на плоскости так, чтобы рёбра не пересекались. Глава 46 · Графы

Плоскость Лобачевского

Плоскость, на которой выполнены все аксиомы абсолютной геометрии и аксиома Лобачевского; её называют также гиперболической плоскостью. Глава 58 · Неевклидовы геометрии

плотность распределения

Функция f ≥ 0 с интегралом 1, для которой P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x) dx: вероятности — площади под её графиком. Глава 48 · Случайные величины

Площадь

Число, которое сопоставлено фигуре так, что оно неотрицательно, одинаково у равных фигур, складывается при разрезании фигуры на части и равно 1 у квадрата со стороной 1. Глава 20 · Площадь и объём

Поверхность

Фигура, у каждой точки которой есть окрестность, гомеоморфная кругу. Замкнутая поверхность не имеет края и разбивается на конечное число многоугольников. Глава 57 · Топология

Поворот

Движение, при котором каждая точка поворачивается вокруг одной и той же точки (центра) на один и тот же угол. Глава 23 · Симметрия и преобразования

подгонкой p-значения

Перебор вариантов сбора и анализа данных, пока p-значение не опустится ниже 0,05; резко повышает долю ложных открытий. Глава 49 · Статистика

Подгруппа

Подмножество группы, которое само образует группу с той же операцией: содержит произведение любых двух своих элементов, нейтральный элемент и обратный к каждому своему элементу. Глава 40 · Группы

подмножество

Множество A — подмножество B (A ⊂ B), если каждый элемент A принадлежит B. Глава 51 · Логика и множества

Подобные треугольники

Треугольники, у которых соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Глава 17 · Треугольник

подобными

Слагаемые, которые отличаются только числовым коэффициентом, например 3x и −5x. Глава 7 · Буквы вместо чисел

подобными

Квадратные матрицы A и P⁻¹AP с обратимой P; это матрицы одного и того же линейного отображения в разных базисах. Глава 37 · Векторные пространства

Подпоследовательность

Последовательность a_{n₁}, a_{n₂}, … с номерами n₁ < n₂ < …: часть членов исходной последовательности без перестановок. Глава 53 · Строгий анализ

подпространством

Непустое подмножество векторного пространства, замкнутое относительно сложения и умножения на числа; оно само — векторное пространство. Глава 37 · Векторные пространства

Подходящая дробь

Дробь, которая получается, если оборвать цепную дробь числа на k-м звене: p_k/q_k. Глава 6 · Корень из двух и действительные числа

позиционной системе счисления

Система счисления, в которой вклад цифры зависит от её места: цифра умножается на степень основания. Глава 1 · Счёт: от зарубок до битов

показательной

Функция y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1; определена при всех x, принимает только положительные значения, при a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает. Глава 12 · Степени и логарифмы

Поле

Коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в котором у каждого ненулевого элемента есть обратный; примеры: Q, R, C, Zₚ. Глава 42 · Кольца, поля и коды

Поле направлений

Картина из коротких отрезков: в каждой точке (t, y) — отрезок с наклоном f(t, y) из уравнения y′ = f(t, y); решения идут вдоль отрезков. Глава 31 · Дифференциальные уравнения

полиномиальное время

Алгоритм работает за полиномиальное время, если число его шагов на входе длины n не больше C·n^k для некоторых постоянных C и k. Глава 60 · Передний край

полное

Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность (‖xₘ − xₙ‖ → 0) сходится к элементу этого же пространства. Глава 55 · Функциональный анализ

полной

Ортонормированная система, по которой любой вектор раскладывается в ряд Σ cₖeₖ, сходящийся к нему по норме; равносильно — для всех векторов верно равенство Парсеваля. Глава 55 · Функциональный анализ

полной

Формальная система, в которой для каждого утверждения её языка выводится либо оно само, либо его отрицание. Глава 56 · Гёдель, Тьюринг и пределы доказательства

полным

Граф K_n из n вершин, в котором каждые две вершины соединены ребром. Глава 46 · Графы

положением равновесия

Состояние, в котором правые части всех уравнений системы равны нулю: решение, начавшееся в нём, остаётся там навсегда. Глава 31 · Дифференциальные уравнения

полуплоскости

Часть плоскости по одну сторону от прямой (вместе с самой прямой, если граница включена). Глава 11 · Системы уравнений и неравенства

полюс

Точка a, около которой f(z) = g(z)/(z − a)ᵐ с голоморфной g, g(a) ≠ 0; число m — порядок полюса, при m = 1 полюс простой. Глава 34 · Комплексный анализ

Полярные координаты

Координаты точки плоскости: расстояние r до начала координат и угол φ с осью x; x = r cos φ, y = r sin φ. Глава 32 · Функции многих переменных

порядком

Число элементов конечной группы G; обозначается |G|. Глава 40 · Группы

Порядок элемента

Наименьшее натуральное k, для которого g^k = e; если такого k нет, порядок элемента бесконечен. Глава 40 · Группы

Последовательность

Числа, занумерованные натуральными числами: a₁, a₂, a₃, …; иначе говоря, функция, определённая на натуральных числах. Глава 13 · Последовательности и индукция

Посторонний корень

Число, полученное в ходе решения из-за неравносильного преобразования, которое не удовлетворяет исходному уравнению. Глава 8 · Уравнения: искусство равновесия

Построение циркулем и линейкой

Построение, в котором разрешено только проводить прямую через две уже построенные точки и окружность с построенным центром через построенную точку; новые точки получаются как пересечения. Глава 16 · Начала: аксиомы и построения

построимо

Действительное число a, для которого отрезок длины |a| можно построить циркулем и линейкой, начав с отрезка длины 1. Глава 43 · Теория Галуа

почти всюду

Во всех точках, кроме множества меры нуль. Например, функция Дирихле почти всюду равна нулю. Глава 54 · Мера и интеграл Лебега

правиле произведения

Если выбор идёт в несколько шагов и на каждом шаге число вариантов не зависит от того, что выбрано раньше, то варианты перемножаются. Глава 45 · Комбинаторика

правиле суммы

Если объект можно выбрать m способами из одной группы или n способами из другой, не пересекающейся с ней, то всего способов m + n. Глава 45 · Комбинаторика

пределом последовательности

Число a, к которому подходят члены последовательности: для любого ε > 0 найдётся номер N, после которого все члены отличаются от a меньше чем на ε. Глава 25 · Пределы

пределом функции

Число L, к которому подходят значения функции, когда x подходит к a: для любого ε > 0 найдётся δ > 0, такое, что при 0 < |x − a| < δ выполнено |f(x) − L| < ε. Глава 25 · Пределы

Предикат

Утверждение с переменной, например «x > 3»: оно становится высказыванием, когда вместо переменной подставляют конкретный объект. Глава 51 · Логика и множества

Преобразование подобия

Преобразование плоскости, умножающее все расстояния на одно и то же число k > 0; это гомотетия, за которой следует движение. Глава 23 · Симметрия и преобразования

префиксным

Код, в котором ни одно кодовое слово не служит началом другого; сообщение в таком коде читается однозначно без разделителей. Глава 50 · Цепи Маркова и информация

приведённого ступенчатого вида

Ступенчатый вид, в котором все ведущие элементы равны 1, а в их столбцах все остальные элементы — нули. Глава 36 · Метод Гаусса

приведённым

Квадратное уравнение со старшим коэффициентом 1: x² + px + q = 0. Глава 10 · Квадратные уравнения

Призма

Многогранник, две грани которого — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а остальные — параллелограммы. Глава 20 · Площадь и объём

примитивной

Пифагорова тройка, три числа которой не имеют общего делителя больше 1. Глава 18 · Теорема Пифагора

принципом Дирихле

Если n + 1 предмет разложен по n ящикам, то в каком-то ящике окажется не меньше двух предметов. Глава 45 · Комбинаторика

Проблема остановки

Вопрос: по описанию программы P и входу x определить, остановится ли P на x за конечное число шагов. Тьюринг (1936) доказал, что никакой алгоритм не решает его для всех P и x. Глава 56 · Гёдель, Тьюринг и пределы доказательства

Проективная плоскость

Замкнутая неориентируемая поверхность: квадрат, у которого обе пары противоположных сторон склеены вверх ногами (слово abab); χ = 1. Глава 57 · Топология

Проекция вектора

Число |b|·cos φ = (a·b)/|a| — длина «тени» вектора b на прямой вектора a, взятая со знаком минус, если угол между ними тупой. Глава 22 · Векторы и координаты

Произведение матриц

Матрица AB композиции преобразований «сначала B, потом A»: (AB)v = A(Bv); её j-й столбец — матрица A, умноженная на j-й столбец B. Глава 35 · Матрицы как преобразования

Производная

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента: f′(x) = lim (f(x + h) − f(x))/h при h → 0; наклон касательной к графику. Глава 26 · Производная

Производная по направлению

Скорость изменения функции при движении из точки P в направлении единичного вектора u: предел (f(P + tu) − f(P))/t при t → 0. Глава 32 · Функции многих переменных

Простая функция

Измеримая функция с конечным числом значений: c₁ на A₁, …, cₖ на Aₖ; её интеграл Лебега равен c₁μ(A₁) + … + cₖμ(Aₖ). Глава 54 · Мера и интеграл Лебега

Пространством со скалярным произведением

Векторное пространство с операцией ⟨x, y⟩ — числом, которое симметрично, линейно по каждому аргументу и даёт ⟨x, x⟩ > 0 при x ≠ 0; длина в нём ‖x‖ = √⟨x, x⟩. Глава 55 · Функциональный анализ

пространством элементарных исходов

Множество Ω всех возможных исходов опыта, записанных так, что при каждом проведении опыта происходит ровно один из них. Глава 47 · Вероятность

Простые числа Ферма

Простое число вида 2^(2^m) + 1; известны пять: 3, 5, 17, 257, 65 537. Глава 43 · Теория Галуа

Простые-близнецы

Пара простых чисел, отличающихся на 2, например 11 и 13. Глава 3 · Простые числа

простым

Натуральное число больше 1, у которого ровно два делителя: 1 и оно само. Глава 3 · Простые числа

противоположными

Число −a, которое в сумме с a даёт ноль; на числовой прямой a и −a симметричны относительно нуля. Глава 2 · Ноль и минус

Прямая Эйлера

Прямая, на которой лежат центр описанной окружности, центроид и ортоцентр треугольника (Эйлер, 1765). Глава 17 · Треугольник

пустым

Множество, в котором нет ни одного элемента; обозначается ∅. Оно единственно и является подмножеством любого множества. Глава 51 · Логика и множества

Пятый постулат

Постулат Евклида о параллельных; равносилен утверждению: через точку вне прямой проходит не больше одной прямой, параллельной данной. Глава 16 · Начала: аксиомы и построения

Р

равновелики

Фигуры, у которых площади равны. Глава 20 · Площадь и объём

равномерно непрерывна

Свойство функции на множестве D: для любого ε > 0 найдётся δ > 0, такое что |f(x) − f(y)| < ε для всех x, y из D с |x − y| < δ — одна δ на все точки. Глава 53 · Строгий анализ

равномощными

Множества A и B равномощны, если между ними есть биекция — взаимно однозначное соответствие. Глава 52 · Бесконечности

равносильны

Две логические формулы равносильны, если их таблицы истинности совпадают: при любых значениях переменных они одновременно истинны или ложны. Пишут F ≡ G. Глава 51 · Логика и множества

равносильными

Уравнения, у которых одно и то же множество корней. Глава 8 · Уравнения: искусство равновесия

равносоставлены

Два многоугольника, один из которых можно разрезать на конечное число многоугольников и сложить из них другой. Глава 20 · Площадь и объём

Равные треугольники

Треугольники, которые можно совместить наложением; у них соответственно равны все стороны и все углы. Глава 17 · Треугольник

Радиан

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу; полный оборот — 2π радиан, 1 радиан ≈ 57,3°. Глава 19 · Окружность и число π

радиусом сходимости

Число R, при котором степенной ряд с центром a сходится для |x − a| < R и расходится для |x − a| > R. Глава 30 · Ряды

Разделение секрета

Способ раздать секрет n участникам так, чтобы любые k из них могли его восстановить, а меньшее число участников не узнавало о нём ничего. Глава 14 · Многочлены

Разделить с остатком

Представление целого a в виде a = bq + r, где b — натуральное, q — целое, 0 ≤ r < b; r называют остатком. Глава 4 · Делимость и алгоритм Евклида

Разложение на простые множители

Запись натурального числа в виде произведения простых чисел (одинаковые собирают в степени). Глава 3 · Простые числа

Разложить выражение на множители

Запись выражения в виде произведения нескольких множителей, например x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Глава 7 · Буквы вместо чисел

размерностью

Число векторов в любом базисе векторного пространства; если конечного базиса нет, пространство бесконечномерно. Глава 37 · Векторные пространства

Размещение

Упорядоченный выбор k различных предметов из n; их число A из n по k равно n!/(n − k)!. Глава 45 · Комбинаторика

разрешима

Группа, в которой цепочка «подгруппа, порождённая коммутаторами; подгруппа, порождённая её коммутаторами; …» за конечное число шагов доходит до группы из одного тождественного элемента. Глава 43 · Теория Галуа

разрешимо в радикалах

Уравнение, корни которого выражаются через его коэффициенты сложением, вычитанием, умножением, делением и извлечением корней натуральной степени. Глава 43 · Теория Галуа

разрядами

Место цифры в позиционной записи. Разряд номер k (считая справа, начиная с нуля) весит b^k, где b — основание. Глава 1 · Счёт: от зарубок до битов

рангом

Число ведущих элементов (ненулевых строк) в ступенчатом виде матрицы; оно не зависит от того, как матрицу приводили к этому виду. Глава 36 · Метод Гаусса

раскрашивается в три цвета

Свойство узла: дуги его диаграммы можно покрасить тремя красками так, что у каждого перекрёстка три дуги одного цвета или трёх разных, и красок использовано хотя бы две. Глава 57 · Топология

распределение

Для дискретной случайной величины — список её значений x_i с вероятностями p_i = P(X = x_i), p_i ≥ 0, сумма p_i равна 1. Глава 48 · Случайные величины

распределение Пуассона

Распределение с P(X = k) = λ^k·e^(−λ)/k!, k = 0, 1, 2, …; описывает число редких независимых событий; E X = D X = λ. Глава 48 · Случайные величины

распределительный закон

Закон a(b + c) = ab + ac: умножить число на сумму — то же, что умножить на каждое слагаемое и сложить. Глава 2 · Ноль и минус

Расстояние Хаусдорфа

Для ограниченных замкнутых множеств A и B плоскости — наименьшее r, при котором каждая точка A отстоит от B не больше чем на r, и каждая точка B отстоит от A не больше чем на r. Глава 55 · Функциональный анализ

Расстояние Хэмминга

Число позиций, в которых различаются два слова одинаковой длины; например, у 10110 и 11100 оно равно 2. Глава 42 · Кольца, поля и коды

расходящимся

Ряд, у последовательности частичных сумм которого нет конечного предела. Глава 30 · Ряды

расширение поля

Поле K, содержащее поле F с теми же операциями; например, C — расширение R, а Q(√2) — расширение Q. Глава 42 · Кольца, поля и коды

расширенной матрицей

Матрица коэффициентов системы линейных уравнений, к которой справа приписан столбец правых частей; обозначение (A | b). Глава 36 · Метод Гаусса

Рациональное число

Число, которое можно записать дробью p/q с целым p и натуральным q. Множество рациональных чисел обозначают ℚ. Глава 5 · Дроби

рёбрами

Линия графа, соединяющая две вершины; в задачах — мост, дорога, знакомство, граница. Глава 46 · Графы

Регрессия к среднему

Если два измерения связаны неидеально (|r| < 1), то у объектов с крайним значением первого второе в среднем менее крайнее — без всякой причины, кроме случайности. Глава 49 · Статистика

рекуррентным соотношением

Правило, по которому член последовательности вычисляется через предыдущие, например a(n+1) = 2a(n) + 1; вместе с первыми членами оно задаёт всю последовательность. Глава 13 · Последовательности и индукция

Решето Эратосфена

Способ выписать все простые до N: берём первое невычеркнутое число, объявляем его простым и вычёркиваем его кратные, пока его квадрат не превзойдёт N. Глава 3 · Простые числа

родом

Число ручек замкнутой ориентируемой поверхности (сквозных дырок, как у бублика): у сферы 0, у тора 1, у кренделя 2. Глава 57 · Топология

рядом

Бесконечная сумма a₁ + a₂ + a₃ + …, составленная из членов последовательности; записывают Σaₙ. Глава 30 · Ряды

рядом Тейлора

Степенной ряд Σ f⁽ᵏ⁾(a)/k! · (x − a)ᵏ функции f с центром в точке a; при a = 0 его называют также рядом Маклорена. Глава 30 · Ряды

рядом Фурье

Ряд a₀/2 + Σ (aₙ cos nx + bₙ sin nx), коэффициенты которого — коэффициенты Фурье функции f; пишут f ~ этот ряд, пока сходимость не доказана. Глава 33 · Ряды Фурье

С

самоподобным

Множество, составленное из нескольких своих уменьшенных копий (треугольник Серпинского — из трёх вдвое меньших). Глава 59 · Хаос и фракталы

Свободная группа

Группа несократимых слов из букв a, a⁻¹, b, b⁻¹ (буква не стоит рядом с обратной), включая пустое слово; умножение — приписать слово к слову и сократить соседние пары вроде a·a⁻¹. Глава 54 · Мера и интеграл Лебега

свободными

Неизвестное, в столбце которого нет ведущего элемента ступенчатого вида; ему можно дать любое значение, а главные неизвестные выражаются через свободные. Глава 36 · Метод Гаусса

Связная сумма

Поверхность M # N: из поверхностей M и N вырезают по кругу и склеивают края получившихся дырок. Глава 57 · Топология

Связный граф

Граф, в котором из любой вершины можно дойти по рёбрам до любой другой. Глава 46 · Графы

Сдвиг

Линейное преобразование (x; y) ↦ (x + ky; y): каждая точка смещается вдоль оси x на расстояние, пропорциональное её высоте y. Глава 35 · Матрицы как преобразования

Седловая точка

Стационарная точка, в любой окрестности которой функция принимает и большие, и меньшие значения, чем в ней самой; на карте — перевал. Глава 32 · Функции многих переменных

Серединный перпендикуляр

Прямая, которая проходит через середину отрезка перпендикулярно ему; её точки и только они одинаково удалены от концов отрезка. Глава 16 · Начала: аксиомы и построения

Сечение Дедекинда

Множество дробей A, которое не пусто, не совпадает со всем ℚ, вместе с каждой дробью содержит все меньшие и не имеет наибольшего элемента; так Дедекинд определил действительное число. Глава 53 · Строгий анализ

сжатием

Отображение T метрического пространства в себя, для которого d(Tx, Ty) ≤ q·d(x, y) с одним числом q < 1 для всех x, y. Глава 55 · Функциональный анализ

Сигма-алгебра

Семейство подмножеств множества X, которое содержит X и вместе с каждым множеством содержит его дополнение, а вместе со счётным набором множеств — их объединение. Глава 54 · Мера и интеграл Лебега

симметрической группой

Группа всех перестановок n предметов с операцией композиции; обозначается S_n, в ней n! элементов. Глава 40 · Группы

симметричной

Квадратная матрица, совпадающая со своей транспонированной: S^T = S. Глава 38 · Собственные векторы

Симметрия фигуры

Движение, которое переводит фигуру в себя; тождественное преобразование — симметрия любой фигуры. Глава 23 · Симметрия и преобразования

сингулярные числа

Числа σ₁ ≥ σ₂ ≥ … ≥ 0 на диагонали Σ в сингулярном разложении; квадратные корни из собственных значений AᵀA, длины полуосей эллипса — образа единичной сферы. Глава 39 · Ортогональность, МНК и SVD

сингулярным разложением

Запись матрицы в виде A = UΣVᵀ, где U и V ортогональны, а Σ — прямоугольная диагональная с неотрицательными числами по убыванию; по-английски singular value decomposition, SVD. Глава 39 · Ортогональность, МНК и SVD

Синдром

Результат проверок, применённых к принятому слову, s = Hr; зависит только от ошибки, а не от сообщения, и по нему декодер находит ошибку. Глава 42 · Кольца, поля и коды

Синус

В прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе; для любого угла — ордината точки единичной окружности, повёрнутой на этот угол. Глава 21 · Тригонометрия

Система счисления

Способ записывать числа: набор знаков и правила, по которым из знаков складывается запись числа. Глава 1 · Счёт: от зарубок до битов

Система уравнений

Несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно; решение системы — набор значений неизвестных, при котором верно каждое уравнение. Глава 11 · Системы уравнений и неравенства

Система формальной проверки доказательств

Программа, которая принимает доказательство, записанное на формальном языке, только если каждый его шаг следует по правилам логики из аксиом и уже проверенных утверждений (Lean, Coq, Isabelle). Глава 60 · Передний край

системой итерированных функций

Набор сжатий плоскости f₁, …, f_k; фигуре A он сопоставляет объединение f₁(A) ∪ … ∪ f_k(A), а его неподвижная фигура — аттрактор, часто фрактал. Глава 55 · Функциональный анализ

Скалярное произведение

Число a·b = |a|·|b|·cos φ, где φ — угол между векторами; в координатах a₁b₁ + a₂b₂ (+ a₃b₃). Глава 22 · Векторы и координаты

Скользящая симметрия

Отражение в прямой, за которым следует параллельный перенос вдоль этой же прямой на ненулевой вектор. Глава 23 · Симметрия и преобразования

Скорость кода

Отношение числа битов сообщения к числу переданных битов; у тройного повтора 1/3, у кода Хэмминга (7, 4) — 4/7. Глава 42 · Кольца, поля и коды

следом

Сумма диагональных элементов квадратной матрицы, tr A; равна сумме её собственных значений. Глава 38 · Собственные векторы

случайная

Выборка, в которой каждый член совокупности имел одинаковые шансы попасть в неё, а выбор одних не влиял на выбор других; её наблюдения — независимые одинаково распределённые величины. Глава 49 · Статистика

Случайная величина

Числовая функция X на пространстве исходов Ω: каждому исходу опыта сопоставлено число X(ω). Глава 48 · Случайные величины

Случайное блуждание

Последовательность положений, в которой каждый следующий шаг выбирается наугад, независимо от прошлых; простейшее — шаги ±1 по прямой с вероятностями 1/2. Глава 47 · Вероятность

Смежный класс

Множество gH = {gh : h ∈ H} — всё, что получается умножением элемента g на элементы подгруппы H. Глава 40 · Группы

смешанным числом

Запись вида 2⅓: целая часть и правильная дробь рядом; означает их сумму. Глава 5 · Дроби

смещением выборки

Систематическое отличие выборки от генеральной совокупности (из-за способа отбора или того, кто согласился ответить); с ростом объёма выборки не уменьшается. Глава 49 · Статистика

собственное значение

Число λ, для которого Av = λv при некотором ненулевом векторе v; корень характеристического многочлена. Глава 38 · Собственные векторы

собственное подпространство

Все собственные векторы матрицы A с данным собственным значением λ вместе с нулевым вектором; это ядро матрицы A − λE. Глава 38 · Собственные векторы

собственную информацию

Мера неожиданности события вероятности p: I = −log₂ p бит; событие вероятности 1/2 несёт 1 бит, 1/8 — 3 бита, достоверное — 0. Глава 50 · Цепи Маркова и информация

собственным вектором

Ненулевой вектор v, который матрица переводит в коллинеарный ему: Av = λv для некоторого числа λ. Глава 38 · Собственные векторы

Событие

Любое множество исходов опыта (подмножество пространства исходов Ω); событие наступило, если выпал один из его исходов. Глава 47 · Вероятность

совместной

Система уравнений, у которой есть хотя бы одно решение; система без решений — несовместная. Глава 36 · Метод Гаусса

Соотношение Безу

Равенство ax + by = НОД(a, b) с целыми x и y; такие x и y всегда существуют и находятся расширенным алгоритмом Евклида. Глава 4 · Делимость и алгоритм Евклида

Сопряжённое

Для z = a + bi — число z̄ = a − bi: та же действительная часть, мнимая часть с противоположным знаком. Глава 15 · Комплексные числа

составным

Натуральное число больше 1, у которого есть делитель, отличный от 1 и от самого числа. Глава 3 · Простые числа

Софизм

Рассуждение, которое выглядит правильным, но приводит к ложному выводу; ошибка в нём спрятана. Глава 16 · Начала: аксиомы и построения

Сочетание

Неупорядоченный выбор k предметов из n (подмножество из k элементов); их число — биномиальный коэффициент «из n по k». Глава 45 · Комбинаторика

Спектр

Для ограниченного оператора T — множество чисел λ, при которых T − λI не имеет ограниченного обратного; у матриц совпадает с множеством собственных значений. Глава 55 · Функциональный анализ

спектром

Набор амплитуд (и фаз) гармоник, из которых складывается сигнал; показывает, сколько в сигнале каждой частоты. Глава 33 · Ряды Фурье

спектром

Множество всех собственных значений квадратной матрицы (с учётом комплексных). Глава 38 · Собственные векторы

Специфичность

Вероятность, что тест даст отрицательный результат у того, у кого болезни нет: P(− | здоров); 1 − специфичность — доля ложных тревог. Глава 47 · Вероятность

сравнимы по модулю

Числа a и b сравнимы по модулю n, если n делит разность a − b, то есть a и b дают одинаковые остатки при делении на n; пишут a ≡ b (mod n). Глава 41 · Арифметика остатков и шифры

Средним значением

Число (1/(b − a))·∫ₐᵇ f(x)dx — высота прямоугольника на [a; b], площадь которого равна площади под графиком f. Глава 28 · Интеграл

Средняя линия треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника; он параллелен третьей стороне и вдвое короче её. Глава 17 · Треугольник

стандартное отклонение

σ = √(D X): корень из дисперсии; измеряет типичное отклонение величины от её ожидания в тех же единицах, что и сама величина. Глава 48 · Случайные величины

стандартной ошибкой

Стандартное отклонение выборочного среднего, σ/√n; на практике его оценивают как s/√n. Типичная ошибка среднего по выборке объёма n. Глава 49 · Статистика

стандартным видом числа

Запись числа в виде a·10ⁿ, где 1 ≤ a < 10 и n — целое число. Глава 12 · Степени и логарифмы

стационарным распределением

Распределение вероятностей π, которое цепь Маркова не меняет: Pπ = π; собственный вектор матрицы переходов с собственным значением 1. Глава 38 · Собственные векторы

стационарными

Точка, в которой все частные производные функции равны нулю: ∇f = 0. Кандидат на экстремум; бывает и седлом. Глава 32 · Функции многих переменных

степенной метод

Приближённый поиск собственного вектора с наибольшим по модулю собственным значением: вектор многократно умножают на матрицу и нормируют. Глава 38 · Собственные векторы

степенным рядом

Ряд вида Σ cₖ(x − a)ᵏ — «бесконечный многочлен» с центром в точке a. Глава 30 · Ряды

Степень

Произведение n одинаковых множителей, равных a; a — основание степени, n — показатель. Глава 12 · Степени и логарифмы

Степень вершины

Число рёбер, выходящих из вершины (ребро-петля считается дважды). Глава 46 · Графы

Степень расширения

Размерность поля L как векторного пространства над его подполем K: наибольшее число элементов L, линейно независимых над K. Обозначается [L : K]. Глава 43 · Теория Галуа

степенью многочлена

Наибольший показатель степени x, при котором у многочлена стоит ненулевой коэффициент. Глава 14 · Многочлены

Степенью точки

Число OP² − r² для точки P и окружности с центром O и радиусом r; отрицательно внутри круга, ноль на окружности, положительно снаружи. Глава 19 · Окружность и число π

ступенчатый вид

Вид матрицы, в котором нулевые строки стоят внизу, а первый ненулевой элемент каждой ненулевой строки стоит правее, чем у строки над ней. Глава 36 · Метод Гаусса

суммой бесконечной геометрической прогрессии

Число, к которому сколь угодно близко подходят суммы первых n членов геометрической прогрессии; при |q| < 1 оно равно b₁/(1 − q). Глава 13 · Последовательности и индукция

Сфера

Поверхность, состоящая из всех точек пространства на данном расстоянии R от данной точки — центра. Глава 20 · Площадь и объём

Сферический избыток

Разность α + β + γ − π между суммой углов сферического треугольника и суммой углов плоского; площадь треугольника равна избытку, умноженному на R². Глава 58 · Неевклидовы геометрии

Схема Горнера

Способ вычислить P(a) и одновременно разделить P(x) на x − a: b₀ = aₙ, b_k = a_{n−k} + a·b_{k−1}; последнее число — остаток P(a). Глава 14 · Многочлены

схемой Бернулли

Серия независимых опытов с двумя исходами («успех» с вероятностью p, «неудача» с вероятностью 1 − p), одинаковых для всех опытов. Глава 48 · Случайные величины

сходится поточечно

Сходимость последовательности функций fₙ к f на множестве D, при которой в каждой точке x ∈ D числа fₙ(x) стремятся к f(x); номер N может зависеть от точки. Глава 53 · Строгий анализ

сходится равномерно

Сходимость fₙ к f на множестве D, при которой sup |fₙ(x) − f(x)| по x ∈ D стремится к нулю: один номер N годится сразу для всех точек. Глава 53 · Строгий анализ

сходящейся

Последовательность, у которой есть конечный предел; последовательность без предела называют расходящейся. Глава 25 · Пределы

сходящимся

Ряд, частичные суммы которого имеют конечный предел; этот предел называют суммой ряда. Глава 30 · Ряды

счётным

Множество, равномощное множеству натуральных чисел: его элементы можно занумеровать 1, 2, 3, … так, что каждый получит ровно один номер. Бесконечное множество, которое так занумеровать нельзя, называют несчётным. Глава 52 · Бесконечности

Сюръекцией

Отображение f: A → B, при котором каждый элемент B является образом какого-нибудь элемента A. Глава 51 · Логика и множества

Т

Таблица истинности

Таблица, в которой для каждого набора значений переменных (истина или ложь) указано значение формулы; при n переменных в ней 2ⁿ строк. Глава 51 · Логика и множества

Таблица Кэли

Таблица, в которой на пересечении строки a и столбца b стоит результат операции a ∘ b; для конечного множества задаёт операцию целиком. Глава 40 · Группы

тавтологией

Логическая формула, истинная при любых значениях переменных, например A ∨ ¬A. Глава 51 · Логика и множества

Тангенс

Отношение синуса угла к его косинусу; в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему. Глава 21 · Тригонометрия

теоремой

Утверждение, для которого найдено доказательство. Глава 0 · Что такое математика

Тождество

Равенство с переменными, верное при всех значениях переменных, при которых обе его части имеют смысл. Глава 7 · Буквы вместо чисел

Толстое канторово множество

Множество, которое остаётся от отрезка [0; 1], если на n-м шаге выбрасывать из середины каждого из 2ⁿ⁻¹ оставшихся отрезков интервал длины 1/4ⁿ; не содержит ни одного отрезка, а его мера равна 1/2. Глава 54 · Мера и интеграл Лебега

Топологический инвариант

Свойство или число, одинаковое у гомеоморфных фигур; если у двух фигур оно разное, они не гомеоморфны. Глава 57 · Топология

точка локального максимума

Точка c, в которой значение f(c) не меньше (локальный максимум) или не больше (локальный минимум) всех значений функции в некоторой окрестности c. Глава 27 · Экстремумы и оптимизация

точкой перегиба

Точка графика непрерывной функции, в которой направление выпуклости меняется (с выпуклости вниз на выпуклость вверх или наоборот). Глава 27 · Экстремумы и оптимизация

точкой разрыва

Точка, рядом с которой функция определена, но в которой она не непрерывна: предела нет, или значения нет, или оно не равно пределу. Глава 25 · Пределы

точной верхней гранью

Наименьшая из верхних границ множества A, sup A; может не принадлежать A, как 1 = sup [0; 1). Глава 53 · Строгий анализ

точную нижнюю грань

Наибольшая из нижних границ множества A, inf A. Глава 53 · Строгий анализ

транспозициями

Перестановка, которая меняет местами два элемента и оставляет остальные на месте; цикл длины 2. Глава 40 · Группы

транспонированная матрица

Матрица Aᵀ, полученная из A заменой строк столбцами: элемент в строке i и столбце j у Aᵀ равен элементу в строке j и столбце i у A. Глава 35 · Матрицы как преобразования

трансцендентным

Число, которое не служит корнем никакого уравнения с целыми коэффициентами (не всеми нулевыми); например, π и e. Глава 6 · Корень из двух и действительные числа

Треугольник Паскаля

Таблица биномиальных коэффициентов: n-я строка состоит из чисел «из n по k», k = 0…n; каждое число равно сумме двух над ним. Глава 45 · Комбинаторика

треугольными

Сумма 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2; столько шаров укладывается в треугольник со стороной n: 1, 3, 6, 10, 15, … Глава 13 · Последовательности и индукция

трёхмерное многообразие

Фигура, у каждой точки которой есть окрестность, гомеоморфная шару n-мерного пространства; поверхности — двумерные многообразия. Глава 57 · Топология

Триангуляция

Способ измерять большие расстояния: местность покрывают цепью треугольников, в которых измеряют все углы и одну сторону (базис), а остальные стороны вычисляют по теореме синусов. Глава 21 · Тригонометрия

Тригонометрическая форма

Запись комплексного числа в виде z = r(cos φ + i sin φ), где r = |z|, φ = arg z. Глава 15 · Комплексные числа

тригонометрическим многочленом

Функция вида a₀/2 + Σ (aₙ cos nx + bₙ sin nx) с конечным числом слагаемых; у неё период 2π. Глава 33 · Ряды Фурье

Трисекция угла

Деление угла на три равные части; циркулем и линейкой для произвольного угла невозможно (Ванцель, 1837). Глава 16 · Начала: аксиомы и построения

У

убывает

Функция убывает на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. Глава 9 · Функции и графики

угловым коэффициентом

Число k в формуле прямой y = kx + b: на сколько меняется y, когда x увеличивается на единицу. Глава 9 · Функции и графики

Угол параллельности

Угол Π(d) между перпендикуляром, опущенным из точки на прямую, и предельной параллельной через эту точку; зависит только от длины перпендикуляра d: tg(Π/2) = e^(−d). Глава 58 · Неевклидовы геометрии

Узел

Замкнутая кривая в пространстве без самопересечений; два узла одинаковы, если один можно непрерывно передвинуть в другой, не протаскивая кривую сквозь саму себя. Глава 57 · Топология

Узор обоев

Узор на плоскости, который переходит в себя при переносах на два непараллельных вектора; все его переносы складываются из целых кратных двух кратчайших. Глава 23 · Симметрия и преобразования

Уравнение

Равенство с неизвестным, про которое спрашивают, при каких значениях неизвестного оно верно. Глава 8 · Уравнения: искусство равновесия

уровня значимости

Порог α, с которым сравнивают p-значение (чаще всего 0,05); вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна. Глава 49 · Статистика

Усердный бобёр

BB(n) — наибольшее число шагов, которое делает перед остановкой машина Тьюринга с n состояниями и символами 0, 1, запущенная на пустой ленте; функцию ввёл Тибор Радо (1962). Глава 56 · Гёдель, Тьюринг и пределы доказательства

условию Липшица

Оценка |f(t, y₁) − f(t, y₂)| ≤ K·|y₁ − y₂| с одной константой K: функция меняется не быстрее линейной. Глава 31 · Дифференциальные уравнения

Условная вероятность

Вероятность события A при условии, что наступило событие B (P(B) > 0): P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B). Глава 47 · Вероятность

условно сходящимся

Ряд сходится условно, если он сходится, а ряд из модулей его членов расходится; перестановкой слагаемых его сумму можно сделать любой. Глава 30 · Ряды

условный экстремум

Экстремум функции f среди точек, удовлетворяющих дополнительному условию, например g(x, y) = c. Глава 32 · Функции многих переменных

Ф

Фазовая плоскость

Плоскость состояний системы из двух величин (x, y): решение изображается движущейся точкой, а его след — фазовой траекторией. Глава 31 · Дифференциальные уравнения

факториалом

Произведение натуральных чисел от 1 до n; обозначается n!, по договорённости 0! = 1. Глава 45 · Комбинаторика

Фигура постоянной ширины

Выпуклая фигура, у которой расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми одно и то же. Глава 19 · Окружность и число π

фокусами

Особая точка конического сечения: у эллипса и гиперболы их две, у параболы одна; через расстояния до фокусов кривая определяется, и в фокусах собираются отражённые ею лучи. Глава 24 · Конические сечения

Формальная система

Набор символов, аксиом (исходных строк) и механических правил вывода новых строк из имеющихся; строки, которые можно получить из аксиом, называют теоремами системы. Глава 56 · Гёдель, Тьюринг и пределы доказательства

Формула включений и исключений

Способ сосчитать объединение нескольких групп: складываем размеры групп, вычитаем попарные пересечения, прибавляем тройные и так далее, чередуя знаки. Глава 45 · Комбинаторика

формулами сокращённого умножения

Готовые правила раскрытия скобок: квадрат и куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов. Глава 7 · Буквы вместо чисел

фрактал

Множество, у которого на всех масштабах видны новые подробности и размерность больше топологической — часто дробная (кривая Коха, треугольник Серпинского, берег). Глава 59 · Хаос и фракталы

фундаментальной

Последовательность, члены которой сколь угодно близки друг к другу при больших номерах: для любого ε > 0 найдётся N, такой что |aₘ − aₙ| < ε при всех m, n > N. Глава 53 · Строгий анализ

Функция

Правило, которое каждому числу x из некоторого множества сопоставляет ровно одно число y = f(x). Глава 9 · Функции и графики

Функция $\pi(x)$

Функция π(x) — количество простых чисел, не превосходящих x. Глава 3 · Простые числа

Функция Дирихле

Функция, равная 1 в рациональных точках и 0 в иррациональных; разрывна в каждой точке и не интегрируема по Риману. Глава 53 · Строгий анализ

Функция нескольких переменных

Правило, которое каждой точке (x₁; …; xₙ) некоторой области ставит в соответствие одно число f(x₁, …, xₙ). Глава 32 · Функции многих переменных

Функция Тома

Функция, равная 1/q в точке p/q (несократимая дробь, q ≥ 1) и 0 в иррациональных точках; непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна во всех рациональных. Глава 53 · Строгий анализ

Функция Чебышёва

Функция ψ(x) — сумма ln p по всем степеням простых pᵏ ≤ x; закон распределения простых равносилен тому, что ψ(x)/x → 1. Глава 44 · Дзета-функция и эллиптические кривые

Функция Эйлера

φ(n) — количество чисел от 1 до n, взаимно простых с n; например, φ(10) = 4, φ(p) = p − 1 для простого p. Глава 41 · Арифметика остатков и шифры

Х

Характеристика поля

Наименьшее натуральное p, для которого 1 + 1 + … + 1 (p единиц) = 0 в поле; если такого нет, характеристика равна нулю. Характеристика конечного поля — простое число. Глава 42 · Кольца, поля и коды

характеристическим

Для уравнения x″ + px′ + qx = 0 — квадратное уравнение λ² + pλ + q = 0; его корни задают решения вида e^(λt). Глава 31 · Дифференциальные уравнения

характеристическим многочленом

Многочлен det(A − λE) от переменной λ; его корни — собственные значения матрицы A. Глава 38 · Собственные векторы

Хроматическое число

Наименьшее число красок, которыми можно раскрасить вершины графа так, чтобы концы каждого ребра были разного цвета. Глава 46 · Графы

Ц

целевой функцией

Функция, наибольшее или наименьшее значение которой ищут в задаче оптимизации, например прибыль или затраты. Глава 11 · Системы уравнений и неравенства

целой

Функция комплексного переменного, голоморфная на всей плоскости: многочлены, eᶻ, sin z, cos z. Глава 34 · Комплексный анализ

Целые числа

Натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль: …, −2, −1, 0, 1, 2, …; множество обозначают ℤ. Глава 2 · Ноль и минус

Центральная симметрия

Поворот на 180° вокруг точки: точка X переходит в X′, и центр — середина отрезка XX′. Глава 23 · Симметрия и преобразования

центральным

Угол с вершиной в центре окружности; его величину принимают за градусную меру дуги, на которую он опирается. Глава 19 · Окружность и число π

Центроид

Точка пересечения медиан треугольника; делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, и служит центром тяжести однородной треугольной пластины. Глава 17 · Треугольник

Цепная дробь

Запись числа в виде a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + …)) с целым a₀ и натуральными a₁, a₂, …; кратко [a₀; a₁, a₂, …]. Глава 6 · Корень из двух и действительные числа

цепью Маркова

Случайный процесс со скачками между состояниями, в котором вероятности следующего состояния зависят только от текущего, а не от предыстории. Глава 38 · Собственные векторы

Цикл

Перестановка, которая переводит a₁ в a₂, a₂ в a₃, …, a_k в a₁ и оставляет остальные элементы на месте; записывается (a₁ a₂ … a_k), k — длина цикла. Глава 40 · Группы

циклической

Группа, все элементы которой — степени одного элемента, её образующей; конечная циклическая группа из n элементов устроена как циферблат Z_n. Глава 40 · Группы

Циклом периода

Точки x₀, x₁, …, x_{p−1}, которые отображение переводит друг в друга по кругу: f^p(x₀) = x₀, и меньшего такого p нет. Глава 59 · Хаос и фракталы

цифрами

Один из знаков, из которых складывается запись числа. В десятичной системе цифр десять: от 0 до 9. Глава 1 · Счёт: от зарубок до битов

Ч

частичной суммой

Сумма первых n членов ряда: Sₙ = a₁ + … + aₙ. Глава 30 · Ряды

Частная производная

Производная функции f(x, y) по одной переменной при зафиксированных остальных: ∂f/∂x в точке (a; b) — производная функции x ↦ f(x, b) в точке a. Глава 32 · Функции многих переменных

чётной

Функция, для которой f(−x) = f(x) при всех x из области определения; её график симметричен относительно оси y. Глава 9 · Функции и графики

чётной

Перестановка чётная, если у неё чётное число инверсий, и нечётная, если нечётное; знак sgn σ равен соответственно +1 или −1. Глава 40 · Группы

Четырёхугольник Саккери

Четырёхугольник ABCD, у которого углы при основании AB прямые, а боковые стороны AD и BC равны; его верхние углы C и D равны между собой. Глава 58 · Неевклидовы геометрии

Числа Каталана

Последовательность 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, …: число расстановок скобок в произведении n + 1 множителей, число разрезаний (n + 2)-угольника на треугольники и многое другое. Глава 45 · Комбинаторика

Числа Фибоначчи

Последовательность F₁ = F₂ = 1, F(n+1) = F(n) + F(n−1): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … — каждое число равно сумме двух предыдущих. Глава 13 · Последовательности и индукция

числами Кармайкла

Составное число n, для которого a^(n−1) ≡ 1 (mod n) при всех a, взаимно простых с n; наименьшее — 561. Глава 41 · Арифметика остатков и шифры

Число $\pi$

Отношение длины окружности к её диаметру, одно и то же для всех окружностей; π ≈ 3,14159. Глава 19 · Окружность и число π

Число $e$

Предел (1 + 1/n)ⁿ при n → ∞, равный 2,718281828…; основание натуральных логарифмов: площадь под гиперболой y = 1/t от 1 до e равна 1. Глава 29 · Число e и экспонента

Число обусловленности

Число κ(A) = ‖A‖·‖A⁻¹‖; показывает, во сколько раз относительная погрешность правой части может вырасти в относительной погрешности решения системы Ax = b. Глава 36 · Метод Гаусса

Число Рамсея

R(m, n) — наименьшее число людей, среди которых обязательно найдутся m попарно знакомых или n попарно незнакомых. Глава 45 · Комбинаторика

Числовая прямая

Прямая с отмеченной точкой 0, выбранным направлением и единичным отрезком: каждому числу на ней соответствует точка. Глава 2 · Ноль и минус

Чувствительность

Вероятность, что тест даст положительный результат у того, у кого болезнь есть: P(+ | болен). Глава 47 · Вероятность

чувствительностью к начальным условиям

Свойство системы: сколь угодно близкие начальные состояния со временем расходятся на заметное расстояние. Глава 59 · Хаос и фракталы

Ш

Шар

Тело, состоящее из всех точек пространства на расстоянии не больше R от центра; его граница — сфера. Глава 20 · Площадь и объём

Э

Эйлеров путь

Маршрут по графу, проходящий по каждому ребру ровно один раз; если он возвращается в начало, его называют эйлеровым циклом. Глава 46 · Графы

Эйлерова характеристика

Число χ = V − E + F для разбиения поверхности на многоугольники; не зависит от разбиения: у сферы 2, у тора 0, у сферы с g ручками 2 − 2g. Глава 57 · Топология

Экспонента

Функция y = eˣ (её пишут и exp x) — показательная функция с основанием e; единственная функция, которая равна своей производной и в нуле равна 1. Глава 29 · Число e и экспонента

Эксцентриситет

Число e, которое показывает, насколько коническое сечение отличается от окружности: e = c/a для эллипса и гиперболы; у окружности e = 0, у эллипса 0 < e < 1, у параболы e = 1, у гиперболы e > 1. Глава 24 · Конические сечения

Элементарные преобразования строк

Три хода над строками матрицы: переставить две строки, умножить строку на ненулевое число, прибавить к строке другую строку, умноженную на число. Глава 36 · Метод Гаусса

Эллипс

Множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) постоянна и больше расстояния между фокусами. Глава 24 · Конические сечения

Эллиптическая кривая

Кривая y² = x³ + ax + b с 4a³ + 27b² ≠ 0, дополненная бесконечно удалённой точкой O; её точки образуют коммутативную группу относительно сложения по правилу хорд и касательных. Глава 44 · Дзета-функция и эллиптические кривые

Энтропия

Среднее количество информации в одном исходе: H = −Σ pᵢ log₂ pᵢ бит; мера неопределённости распределения и предел сжатия. Глава 50 · Цепи Маркова и информация

Я

явлением Гиббса

Выброс частичных сумм ряда Фурье у скачка функции: около 9 % высоты скачка, не уменьшается с ростом числа гармоник, только сужается. Глава 33 · Ряды Фурье

Ядро

Множество векторов, которые линейное отображение (матрица A) переводит в нулевой вектор: ker A = {x : Ax = 0}. Глава 37 · Векторные пространства

ядро Дирихле

Функция D_N(t) = 1/2 + cos t + … + cos Nt = sin((N + 1/2)t) / (2 sin(t/2)); частичная сумма ряда Фурье — интеграл сигнала с этим весом. Глава 33 · Ряды Фурье