Комплексный анализ

Прошлая глава закончилась тем, что комплексные числа упростили ряды Фурье: гармоника $e^{inx}$ при дифференцировании просто умножается на $in$. Сделаем следующий шаг и разрешим быть комплексным не только значению функции, но и её аргументу. Пусть $z = x + iy$ бродит по всей плоскости, а $f(z)$ — тоже точка плоскости. Такие функции можно дифференцировать и интегрировать почти по тем же правилам, что и обычные, но устроены они намного жёстче: стоит потребовать от функции одну-единственную производную, и она получает все свои свойства сразу.

У этой главы два старых долга. В главе 30 осталась загадка: функция $\frac{1}{1 + x^2}$ гладкая на всей прямой, а её ряд Тейлора $1 - x^2 + x^4 - \dots$ сходится только при $|x| < 1$. Сдвинув центр ряда в точку $a$, мы получали радиус $\sqrt{1 + a^2}$ — расстояние до чего-то, что стоит на единицу в стороне от прямой. А в главе 15 мы обещали доказать основную теорему алгебры: у каждого многочлена есть комплексный корень. Оба долга вернёт одна и та же идея, и к ней мы придём по ходу выставки.

Выставки — потому что функция $f\colon \mathbb C \to \mathbb C$ переводит плоскость в плоскость, и график ей нужен четырёхмерный. Нарисовать его нельзя, поэтому каждую функцию мы будем вешать на стену картиной и выводить теоремы из того, что на картинах видно. В российских университетах этот предмет называют ТФКП — теорией функций комплексного переменного.

Как повесить функцию на стену

У числа $f(z)$ две характеристики: направление (аргумент) и длина (модуль). Направление передадим цветом, длину — яркостью. Покрасим каждую точку $z$ плоскости в цвет числа $f(z)$, и функция превратится в раскрашенную плоскость.

Наша палитра такая. Положительные числа красные, $i$ — жёлто-зелёное, отрицательные числа голубые, $-i$ — фиолетовое; обход против часовой стрелки проводит через радугу: красный, жёлтый, зелёный, голубой, синий, пурпурный. Яркость меняется кольцами: в каждом кольце $|f|$ растёт вдвое, от $2^k$ до $2^{k+1}$, и кольцо светлеет к внешнему краю. Легенда в углу картины — раскраска самой функции $f(z) = z$.

Теперь картины можно читать. Возьмите $z^2$. Вокруг нуля цвета обходят круг дважды, против часовой стрелки, а кольца сгущаются к центру: там $|z^2|$ стремится к нулю. Так выглядит нуль второго порядка. Причина — формула Муавра из главы 15: $\arg z^2 = 2\arg z$, и пока $z$ обходит ноль один раз, $z^2$ обходит его дважды. Около любого нуля порядка $n$ функция ведёт себя как $c(z - a)^n$, и цвета обходят точку $a$ ровно $n$ раз.

У $1/z$ картина та же, но цвета идут по кругу в обратную сторону, а кольца сгущаются, потому что модуль растёт до бесконечности: $\arg\frac1z = -\arg z$. Такую точку называют полюсом. А теперь откройте $\frac{1}{1 + z^2}$. На действительной оси ничего особенного: цвет красный, яркость плавно меняется, функция положительна и не больше единицы. Но в точках $i$ и $-i$ стоят два водоворота, в которых цвета крутятся по часовой стрелке. Запомните их: в них спрятана разгадка из главы 30.

Вокруг точки $a$ цвета обходят полный круг три раза, по часовой стрелке, а кольца яркости сгущаются к $a$. Что происходит с функцией в этой точке?

Нуль третьего порядка Полюс третьего порядка: $f(z) \approx \frac{c}{(z - a)^3}$ Три разных нуля Ничего особенного, это ошибка раскраски

Около $a$ функция ведёт себя как $c(z - a)^{-3}$, а у этого выражения аргумент равен $\arg c - 3\arg(z - a)$: точка обходит $a$ против часовой стрелки, а значение — трижды по часовой. Модуль при этом растёт до бесконечности.

$z^2$ против $\bar z$: жёсткость

Производную определим так же, как в главе 26, только приращение $h$ теперь комплексное и может подходить к нулю с любой стороны: слева, сверху, по спирали.

Комплексное приращение. Предел должен быть одним и тем же, как бы $h$ ни стремилось к нулю. Изменение значения — тоже комплексное число, стрелка на плоскости значений. Пример: для $f(z) = z^2$ отношение равно $\frac{2z_0h + h^2}{h} = 2z_0 + h \to 2z_0$. В точке $z_0 = 1 + i$ производная $2 + 2i$. Проверим числами: при $h = 0{,}01$ отношение равно $2{,}01 + 2i$, при $h = 0{,}01i$ — $2 + 2{,}01i$. С обеих сторон одно и то же.

Доказательства правил дифференцирования из главы 26 используют только арифметику и пределы, а они для комплексных чисел те же. Поэтому сумма, произведение и частное голоморфных функций голоморфны (частное — там, где знаменатель не ноль), работает цепное правило и $(z^n)' = nz^{n-1}$. Многочлены голоморфны на всей плоскости, дробь $\frac{1}{1 + z^2}$ — везде, кроме $\pm i$. И голоморфная функция непрерывна: разность $f(z_0 + h) - f(z_0)$ равна $h$, умноженному на разностное отношение, и стремится к $0 \cdot f'(z_0) = 0$.

А вот самая безобидная с виду функция $f(z) = \bar z = x - iy$ — отражение относительно действительной оси — производной не имеет нигде. Разностное отношение равно $\bar h / h$: при действительном $h$ оно равно $1$, а при чисто мнимом $-1$. Как отображение плоскости отражение совершенно гладкое, но комплексная производная требует большего: чтобы вблизи точки функция действовала как умножение на одно число, то есть как поворот с растяжением. Отражение ни одним поворотом не заменишь.

Запишем функцию через действительную и мнимую части: $f(x + iy) = u(x, y) + i\,v(x, y)$. Производная требует, чтобы подход к точке вдоль оси $x$ и вдоль оси $y$ давал одно и то же. Это требование выражается двумя уравнениями на частные производные — те самые, которые Жан Лерон Даламбер записал в 1752 году в работе о сопротивлении жидкостей, а Коши и Риман положили в основу всей теории.

Скорости изменения $u$ и $v$ вдоль оси $x$. Вместе они дают производную: $f'(z_0) = u_x + i\,v_x$ (коротко пишем $u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$, как в главе 32). Скорости изменения вдоль оси $y$. Условия говорят, что они определяются первыми: шаг вверх действует так же, как шаг вправо, только повёрнутый на $90^\circ$. Пример: $z^2 = (x^2 - y^2) + 2xy\,i$, так что $u_x = 2x = v_y$ и $u_y = -2y = -v_x$. А у подделки $(x^2 - y^2) + xy\,i$ с потерянной двойкой $u_x = 2x$, но $v_y = x$, а $u_y = -2y$, но $-v_x = -y$: условия нарушены во всех точках, кроме нуля, и производной там нет.

Хитрость в том, чтобы подойти к точке $z_0$ двумя дорогами — вдоль действительной оси и вдоль мнимой — и сравнить, куда $f$ отправляет маленький шаг по каждой.

Производная — предел отношения $\bigl(f(z_0 + \Delta) - f(z_0)\bigr)/\Delta$, как бы $\Delta$ ни стремилось к нулю. Значит, предел не изменится, если брать только действительные приращения $\Delta = h$ или только чисто мнимые $\Delta = ih$ (на чертеже — шаги $h$ и $ih$, для $f(z) = z^2$). Шаг вдоль оси $x$. При действительном $h$ меняется только $x$, и числитель равен $\Delta u + i\,\Delta v$, где $\Delta u = u(x_0 + h, y_0) - u(x_0, y_0)$ и так же $\Delta v$. Разделим на $h$. Комплексные числа сходятся, когда сходятся их действительные и мнимые части, а всё отношение стремится к $f'(z_0)$. Поэтому обе части имеют пределы — частные производные, и $f'(z_0) = \p1{u_x} + i\,\p1{v_x}$. Шаг $h$ переходит в стрелку $(u_x;\,v_x)\,h$. Шаг вдоль оси $y$. При $\Delta = ih$ меняется только $y$: числитель равен $\Delta u + i\,\Delta v$, где теперь $\Delta u = u(x_0, y_0 + h) - u(x_0, y_0)$ и так же $\Delta v$, а делим мы на $ih$. Отношение стремится к $f'(z_0)$, значит, числитель, делённый на $h$, стремится к $i\,f'(z_0)$. Поэтому существуют $u_y$ и $v_y$ и $\p2{u_y} + i\,\p2{v_y} = i\,f'(z_0)$. Шаг $ih$ переходит в стрелку $(u_y;\,v_y)\,h$. Сравним стрелки. Первая — $f'(z_0)\,h$, вторая — $i\,f'(z_0)\,h$: она получается из первой умножением на $i$, то есть поворотом на $90^\circ$ без растяжения (глава 15). На чертеже они перпендикулярны и равны по длине, куда бы вы ни сдвинули $z_0$. Распишем $i\,(u_x + i\,v_x) = -v_x + i\,u_x$ и приравняем с $u_y + i\,v_y$ действительные и мнимые части: $u_y = -v_x$ и $v_y = u_x$.

Верно и обратное, если частные производные не только существуют, но и непрерывны.

Признак сразу даёт комплексную экспоненту. Положим

$$e^{z} = e^{x + iy} = e^x(\cos y + i\sin y).$$

При $y = 0$ это обычная экспонента, при $x = 0$ — формула Эйлера из главы 29, а правило $e^{z + w} = e^z e^w$ сохраняется, потому что при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются. Здесь $u = e^x\cos y$ и $v = e^x\sin y$, и $u_x = e^x\cos y = v_y$, $u_y = -e^x\sin y = -v_x$. Значит, $e^z$ голоморфна на всей плоскости и $(e^z)' = u_x + i\,v_x = e^z$. Через неё определяют синус и косинус: $\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$, $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$. На действительной оси это знакомые функции, а на мнимой они неограниченно растут: $\sin(iy) = i\operatorname{sh} y$, и, например, $|\sin(10i)| = \operatorname{sh} 10 \approx 11\,013$.

Какая из этих функций голоморфна?

$x^2 + y^2$ $e^x\cos y + i\,e^x\sin y$ $x - iy$ $|z|$

Это $e^z$: $u_x = e^x\cos y = v_y$ и $u_y = -e^x\sin y = -v_x$ во всех точках, а частные производные непрерывны. Остальные нарушают условия Коши — Римана.

$e^z$ и карта Меркатора: углы не лгут

Производная говорит, как функция выглядит под лупой. При малом $h$

$$f(z_0 + h) \approx f(z_0) + f'(z_0)\,h,$$

а умножение на число $f'(z_0)$ — это поворот на угол $\arg f'(z_0)$ с растяжением в $|f'(z_0)|$ раз (глава 15). Значит, маленький квадрат около $z_0$ переходит почти в квадрат: повёрнутый и увеличенный, но не перекошенный. Большие фигуры искажаются, потому что в разных точках поворот и растяжение разные, но малые сохраняют форму.

Угол между кривыми — это угол между их касательными. Остаётся понять, куда $f$ отправляет касательные стрелки.

Пусть кривая $\gamma_1(t)$ проходит через $z_0$ при $t = t_0$ с касательной стрелкой $\gamma_1'(t_0) \ne 0$, а кривая $\gamma_2$ — с касательной $\gamma_2'(t_0)$. Угол $\theta$ между кривыми — угол между этими стрелками. На чертеже кривые — прямые, а отображение — $e^z$, но рассуждение годится для любых. Образ первой кривой — $f(\gamma_1(t))$. Его касательная по цепному правилу равна $f'(z_0)\,\gamma_1'(t_0)$: доказательство из главы 26 проходит дословно. Прямая превратилась в спираль, но касательная получилась из старой умножением на $f'(z_0)$. Так же касательная к образу второй кривой равна $f'(z_0)\,\gamma_2'(t_0)$. Обе стрелки умножились на одно и то же число $f'(z_0) \ne 0$, то есть повернулись на один и тот же угол $\arg f'(z_0)$ и растянулись в одно и то же число раз. Такой поворот не меняет ни угла между стрелками, ни направления его отсчёта: между образами снова $\theta$.

Условие $f'(z_0) \ne 0$ важно. У $z^2$ в нуле производная равна нулю, и углы там удваиваются: оси $x$ и $y$, перпендикулярные друг другу, переходят в положительную и отрицательную половины действительной оси — угол $90^\circ$ стал углом $180^\circ$. В виджете ниже это можно увидеть, подведя $z_0$ к нулю.

Конформные отображения старше комплексных чисел. В 1569 году Герард Меркатор издал карту мира, на которой углы между направлениями такие же, как на глобусе. Штурману это важно: курс, который пересекает все меридианы под одним углом, на такой карте — прямая линия, её можно провести по линейке. Платой стали площади: чем ближе к полюсу, тем сильнее растяжение, и Гренландия на карте выглядит не меньше Африки, хотя на самом деле она меньше примерно в $14$ раз. Растяжение неизбежно: глобус нельзя развернуть на плоскость, не исказив ни углов, ни площадей, — Меркатор пожертвовал площадями.

Второе знаменитое применение — крыло. Отображение $z + \frac1z$ переводит окружность $|z| = 1$ в отрезок $[-2;\,2]$, а окружность, которая проходит через точку $1$ и чуть сдвинута влево и вверх, — в профиль с круглым носом и острой задней кромкой. Острая кромка появляется там, где производная $1 - \frac{1}{z^2}$ обращается в ноль: в точке $z = 1$ углы удваиваются, и гладкая окружность складывается в остриё. В 1910 году Николай Жуковский предложил такие профили крыла. Течение идеальной жидкости вокруг круглого цилиндра выписывается явно, а конформное отображение переносит его на крыло, потому что уравнения такого течения при конформной замене координат не меняются. На этих расчётах выросла ранняя теория подъёмной силы.

Во сколько раз отображение $f(z) = z^3$ растягивает маленькие фигуры около точки $z_0 = i$? (На какой угол оно их поворачивает, найдите заодно.)

$f'(z) = 3z^2$, и $f'(i) = 3i^2 = -3$. Растяжение $|f'(i)| = 3$, поворот $\arg(-3) = 180^\circ$: маленький квадрат около $i$ переходит в квадрат втрое крупнее, перевёрнутый вверх ногами, около точки $i^3 = -i$.

$1/z$: дыра в холсте

Интеграл в главе 28 брался по отрезку. На плоскости между двумя точками бесконечно много дорог, и интегрировать приходится вдоль кривой. Разобьём кривую $\gamma$ точками $z_0, z_1, \dots, z_N$ по порядку обхода, умножим значение функции в каждой точке на шаг $z_{k+1} - z_k$ и сложим. Это та же сумма Римана, только шаги — комплексные числа, стрелки вдоль кривой.

Значение функции в точке разбиения — комплексное число. Шаг вдоль кривой — маленькая стрелка. Предел берётся, когда самый длинный шаг стремится к нулю; для непрерывной $f$ на гладкой кривой он существует, как и в главе 28. Если кривая задана как $z = \gamma(t)$, $a \le t \le b$, то $\int_\gamma f\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt$ — обычный интеграл от комплекснозначной функции. Пример: на отрезке от $0$ до $1 + i$ имеем $z = (1 + i)t$, $dz = (1 + i)\,dt$, и $\int z\,dz = \int_0^1 (1 + i)^2 t\,dt = \frac{(1 + i)^2}{2} = \frac{2i}{2} = i$.

Из второго свойства видно, что $\oint (z - a)^n\,dz = 0$ по любой замкнутой кривой, не проходящей через $a$, при всех целых $n \ne -1$: у $(z - a)^n$ есть первообразная $\frac{(z - a)^{n+1}}{n + 1}$. При $n = -1$ первообразной была бы функция $\ln(z - a) = \ln|z - a| + i\arg(z - a)$, но она не возвращается в исходное значение: за один обход вокруг $a$ аргумент вырастает на $2\pi$. Посчитаем, во что это выливается.

Целая степень расстояния до центра: $n$ может быть и отрицательным, тогда в точке $a$ функция не определена. Шаг вдоль окружности радиуса $r$, пройденной один раз против часовой стрелки. Ответ от $r$ не зависит. Примеры: $\oint_{|z| = 1}\frac{dz}{z} = 2\pi i$, $\oint_{|z| = 1}\frac{dz}{z^2} = 0$, $\oint_{|z| = 5} z\,dz = 0$. На единичной окружности $z = e^{ix}$, $dz = ie^{ix}\,dx$, и равенство превращается в $\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(n+1)x}\,dx = 0$ при $n + 1 \ne 0$ — ту самую ортогональность гармоник из главы 33.

Хитрость в том, чтобы вписать в окружность правильный многоугольник: его вершины — корни из единицы, и сумму можно сосчитать точно.

Разобьём окружность точками $z_k = a + r\omega^k$, $k = 0, 1, \dots, N$, где $\omega = \cos\frac{2\pi}{N} + i\sin\frac{2\pi}{N}$ — корень $N$-й степени из единицы (глава 15), и составим сумму $S_N = \sum_{k=0}^{N-1}(z_k - a)^n(z_{k+1} - z_k)$. Так как $z_k - a = r\omega^k$ и $z_{k+1} - z_k = r\omega^k(\omega - 1)$, каждое слагаемое равно $r^{n+1}(\omega - 1)\,\omega^{k(n+1)}$. На чертеже $N = 12$ и $r = 1$. При $n = 0$ слагаемые — просто стороны многоугольника $z_{k+1} - z_k$. Приложенные одна к другой, они обходят многоугольник и возвращаются в начало: $S_N = z_N - z_0 = 0$. При $n = 1$ каждая следующая стрелка повёрнута на удвоенный угол, цепочка дважды обходит меньший многоугольник и снова замыкается. Так при любом $n \ne -1$: $S_N = r^{n+1}(\omega - 1)(1 + q + \dots + q^{N-1})$ с $q = \omega^{n+1}$. Когда $N$ больше $|n + 1|$, число $q \ne 1$, а $q^N = 1$, и сумма прогрессии $\frac{q^N - 1}{q - 1}$ равна нулю. Значит, и предел равен нулю. При $n = -1$ множитель $\omega^{k(n+1)} = 1$: все слагаемые одинаковы и равны $\omega - 1$, стрелки выстраиваются в линию, и $S_N = N(\omega - 1) = N\left(\cos\frac{2\pi}{N} - 1\right) + i\,N\sin\frac{2\pi}{N}$. При $N = 12$ это $-1{,}61 + 6i$, при $N = 100$ уже $-0{,}20 + 6{,}28i$. По первому замечательному пределу (глава 25) $N\sin\frac{2\pi}{N} \to 2\pi$, а $N\left(1 - \cos\frac{2\pi}{N}\right) = 2N\sin^2\frac{\pi}{N} \to 0$. Значит, $\oint\frac{dz}{z - a} = 2\pi i$, а при остальных $n$ интеграл равен нулю, каким бы ни был радиус.

Функция $\frac1z$ голоморфна везде, кроме нуля, и всё же её интеграл по окружности вокруг нуля не ноль, а $2\pi i$. В холсте, на котором нарисована $\frac1z$, есть дыра — точка $0$, и интеграл её чувствует. Если дыры внутри контура нет, интеграл голоморфной функции всегда равен нулю. Это главная теорема комплексного анализа.

Рама решает всё

В 1825 году Огюстен Коши опубликовал мемуар об интегралах «между мнимыми пределами». Он заметил, что интеграл от голоморфной функции из одной точки в другую не зависит от дороги, если между дорогами нет особых точек. Иначе говоря, по замкнутому контуру такой интеграл равен нулю. Коши доказывал это, предполагая, что производная непрерывна. В 1900 году Эдуар Гурса нашёл доказательство, которому хватает самого существования производной, — с него и начнём.

Хитрость в том, чтобы загнать интеграл в сколь угодно маленький треугольник, где $f$ почти линейна, а у линейных функций интеграл по замкнутому пути — ноль.

Обозначим $I = \oint_{\partial\Delta} f\,dz$ (обход против часовой стрелки), $p$ — периметр треугольника, $d$ — его наибольшую сторону. Соединим середины сторон. Треугольник распался на четыре, подобных ему с коэффициентом $\frac12$. Обойдём каждый против часовой стрелки: внутренние отрезки пройдены дважды, в противоположных направлениях, и их вклады сокращаются. Поэтому $I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4$. Хотя бы у одного из четырёх треугольников $|I_k| \ge \frac{|I|}{4}$, иначе модуль суммы был бы меньше $|I|$. Назовём его $\Delta_1$ и повторим с ним то же самое, потом ещё и ещё. Получится цепочка вложенных треугольников $\Delta_1 \supset \Delta_2 \supset \dots$ с периметрами $\frac{p}{2^n}$ и наибольшими сторонами $\frac{d}{2^n}$, для которых $|I| \le 4^n\,|I(\Delta_n)|$. Вложенные замкнутые треугольники, размеры которых стремятся к нулю, имеют общую точку $z_0$: это принцип вложенных отрезков (глава 25), применённый к каждой координате. В точке $z_0$ функция дифференцируема: $f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + \varepsilon(z)\,(z - z_0)$, где $\varepsilon(z) \to 0$ при $z \to z_0$. Линейная часть $f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0)$ — производная многочлена $f(z_0)\,z + \frac{f'(z_0)}{2}(z - z_0)^2$, и по второму свойству интеграла её интеграл по замкнутой ломаной равен нулю. Остаётся $I(\Delta_n) = \oint_{\partial\Delta_n}\varepsilon(z)(z - z_0)\,dz$. На границе $\Delta_n$ множитель $|z - z_0|$ не больше $\frac{d}{2^n}$, путь имеет длину $\frac{p}{2^n}$, и по первому свойству $|I(\Delta_n)| \le \max_{\Delta_n}|\varepsilon| \cdot \frac{d}{2^n} \cdot \frac{p}{2^n}$. Собираем: $|I| \le 4^n\,|I(\Delta_n)| \le \max_{\Delta_n}|\varepsilon| \cdot dp$. С ростом $n$ треугольники стягиваются к $z_0$, максимум $|\varepsilon|$ на них стремится к нулю, а $dp$ не меняется. Значит, $I = 0$.

От треугольников перейдём к любым контурам. Назовём область звёздной, если в ней есть точка $c$, из которой видна вся область: отрезок от $c$ до любой точки области в ней лежит. Звёздны круг, полуплоскость, любая выпуклая фигура, а также круг, из которого выброшен радиус, — из точки на продолжении этого радиуса видно всё. Плоскость без одной точки не звёздна: из какой точки ни смотри, выколотая точка заслоняет луч за собой.

Условие на область существенно: для $\frac1z$ в плоскости без нуля теорема ломается, это мы уже видели. Теорема Коши верна для любой области без дыр, не только звёздной, но аккуратно сказать, что такое «область без дыр», можно только на языке топологии (глава 57). Нам хватит звёздных.

Следующая теорема показывает, насколько голоморфная функция зажата: её значения внутри контура полностью определяются значениями на самом контуре, как картина определяется рамой.

Значение в любой точке $a$ внутри контура. Значения на самом контуре — на «раме». Больше формуле ничего не нужно. Тот самый $2\pi i$ из леммы об обходе: при $f \equiv 1$ формула превращается в неё. Пример: $\oint_{|z| = 1}\frac{e^z}{z}\,dz = 2\pi i \cdot e^0 = 2\pi i$. Если $\gamma$ — окружность с центром $a$ радиуса $r$, то $z = a + re^{it}$, $dz = i(z - a)\,dt$, и формула говорит, что $f(a) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(a + re^{it})\,dt$: значение в центре — среднее значение на окружности.

Хитрость в том, чтобы стянуть контур к самой точке $a$: там $f(z)$ почти равно $f(a)$, а интеграл от $\frac{1}{z - a}$ мы уже знаем.

Функция $g(z) = \frac{f(z)}{z - a}$ голоморфна рядом с $K$ везде, кроме точки $a$: это частное голоморфных функций. Нужно найти её интеграл по $\gamma$. Вырежем вокруг $a$ маленький круг радиуса $\varepsilon$ и разрежем оставшееся кольцо горизонтальной прямой через $a$. Получились две половины; обойдём границу каждой против часовой стрелки. Верхняя половина вместе с границей лежит в области, которая получится, если выбросить из выпуклой окрестности $K$ луч, идущий из $a$ вниз. Эта область звёздная: вся она видна из точки чуть выше $a$. Функция $g$ в ней голоморфна, и по теореме Коши интеграл по границе верхней половины равен нулю. Нижней половине так же служит область без луча, идущего из $a$ вверх. Сложим два нуля. Отрезки на прямой пройдены дважды, в противоположных направлениях, и сокращаются. Остаются $\gamma$ против часовой стрелки и маленькая окружность по часовой. Значит, $\oint_\gamma g\,dz = \oint_{|z - a| = \varepsilon} g\,dz$, где справа окружность обходится уже против часовой стрелки. На маленькой окружности $g(z) = \frac{f(a)}{z - a} + \frac{f(z) - f(a)}{z - a}$. Интеграл первого слагаемого по лемме об обходе равен $2\pi i\,f(a)$. Второе слагаемое по модулю не больше $\frac{1}{\varepsilon}\max|f(z) - f(a)|$, длина окружности $2\pi\varepsilon$, и его интеграл не больше $2\pi\max_{|z - a| = \varepsilon}|f(z) - f(a)|$. При $\varepsilon \to 0$ это стремится к нулю: $f$ непрерывна. Левая часть от $\varepsilon$ не зависит, а правая при $\varepsilon \to 0$ стремится к $2\pi i\,f(a)$. Значит, $\oint_\gamma\frac{f(z)}{z - a}\,dz = 2\pi i\,f(a)$ в точности.

$1/(1 + z^2)$: разгадка

Формула Коши превращает голоморфную функцию в интеграл от простейшей дроби $\frac{1}{z - a}$, а простейшая дробь раскладывается в геометрическую прогрессию. Отсюда получается, что каждая голоморфная функция — сумма степенного ряда, и не где-нибудь, а в самом большом круге, куда она помещается.

Это действительно ряд Тейлора: внутри круга сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать сколько угодно раз (это доказывают с помощью равномерной сходимости, глава 53), поэтому у голоморфной функции есть производные всех порядков и $a_n = \frac{f^{(n)}(c)}{n!}$, как в главе 30.

Теперь загадка решается в две строки. Функция $\frac{1}{1 + z^2}$ голоморфна везде, кроме точек $\pm i$, где знаменатель обращается в ноль, и возле этих точек её модуль неограниченно растёт. Самый большой круг с центром $0$, который их не задевает, имеет радиус $1$. По теореме ряд $1 - z^2 + z^4 - \dots$ сходится в этом круге и не сходится нигде за его пределами — в том числе на действительной прямой при $|x| > 1$. Действительная прямая полюсов не видит, но ряд живёт на плоскости, а на плоскости область сходимости — круг, и его радиус ограничен ближайшей неприятностью в любом направлении. С центром в точке $a$ ближайшие неприятности те же, $\pm i$, и радиус равен расстоянию до них: $\sqrt{1 + a^2}$. Это и есть число из главы 30.

Раз голоморфная функция в каждом круге равна своему ряду, в комплексном мире не бывает гладких, но «неправильных» функций вроде примера Коши $e^{-1/x^2}$ из главы 30. На действительной оси эта функция гладкая, а на мнимой $e^{-1/(iy)^2} = e^{1/y^2}$ и при $y \to 0$ улетает в бесконечность: в нуле она даже не непрерывна как функция на плоскости. Посмотрите на её картину в первом виджете — около нуля там творится что-то невообразимое.

Найдите радиус сходимости ряда Тейлора функции $\frac{1}{x^2 + 4}$ с центром в точке $x = 1$.

Знаменатель обращается в ноль при $z = \pm 2i$, а в остальных точках плоскости функция голоморфна. Радиус — расстояние от $1$ до $2i$: $|1 - 2i| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5 \approx 2{,}236$.

Вычеты: интеграл, который считают обходом

Лемма об обходе говорит, что из всех степеней $(z - a)^n$ интеграл по окружности чувствует только одну — $(z - a)^{-1}$. Значит, чтобы проинтегрировать функцию с особой точкой внутри контура, достаточно знать один коэффициент — при $\frac{1}{z - a}$.

Например, у $\frac{1}{1 + z^2} = \frac{1}{(z - i)(z + i)}$ простой полюс в точке $i$ с вычетом $\frac{1}{i + i} = \frac{1}{2i}$, а у $\frac{1}{z^2}$ полюс второго порядка в нуле с вычетом $0$: там вообще нет слагаемого $\frac1z$.

Вклад одного обхода вокруг полюса с вычетом $1$ — лемма об обходе. Сумма вычетов по всем полюсам внутри контура. Полюсы снаружи не участвуют, а вся остальная функция по теореме Коши даёт ноль. Пример: для $\frac{1}{1 + z^2}$ и любого контура, внутри которого лежит $i$, но не $-i$, интеграл равен $2\pi i\cdot\frac{1}{2i} = \pi$.

Для полюсов высших порядков ответ тот же, если вычетом считать коэффициент при $\frac{1}{z - a}$: разложите $g$ по Тейлору, и лемма об обходе обнулит все слагаемые, кроме этого. Коши развил исчисление вычетов в 1820-х годах, и с тех пор это основной способ считать трудные интегралы. Вот первый пример — интеграл, который у нас уже был.

Здесь ответ можно было получить и без комплексных чисел. Но тот же приём работает там, где первообразной не выписать.

Вычислите $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1 + x^4}$. Подсказка: корни многочлена $z^4 + 1$ — это $e^{i\pi/4}$, $e^{3i\pi/4}$, $e^{5i\pi/4}$, $e^{7i\pi/4}$, и в верхней полуплоскости лежат два из них.

Возьмём тот же полукруг. Внутри простые полюсы $a_1 = e^{i\pi/4}$ и $a_2 = e^{3i\pi/4}$. Вычет равен $\frac{1}{Q'(a)} = \frac{1}{4a^3} = \frac{a}{4a^4} = -\frac a4$, так как $a^4 = -1$. Сумма вычетов $-\frac{e^{i\pi/4} + e^{3i\pi/4}}{4} = -\frac{i\sqrt2}{4}$, потому что действительные части $\pm\frac{\sqrt2}{2}$ сокращаются. Интеграл равен $2\pi i\cdot\left(-\frac{i\sqrt2}{4}\right) = \frac{\pi\sqrt2}{2} = \frac{\pi}{\sqrt2} \approx 2{,}2214$. Вклад дуги не больше $\frac{\pi R}{R^4 - 1}$ и стремится к нулю.

Пустой холст: теорема Лиувилля

У $\sin x$ на действительной прямой график заперт в полосе $[-1;\,1]$, а на плоскости, как мы видели, $\sin z$ растёт до бесконечности. Это не случайность: ни одна целая функция, кроме константы, не может остаться ограниченной. Картина ограниченной целой функции — пустой холст одного цвета.

Теорема носит имя Жозефа Лиувилля, который рассказывал её на лекциях в 1847 году, хотя опубликовал её первым Коши, в 1844-м. А из неё за несколько строк следует теорема, которой мы задолжали с главы 15.

Как показано в главе 15, отсюда следует разложение $P(z) = a_n(z - z_1)\cdots(z - z_n)$ и ровно $n$ корней с учётом кратности. Гауссу в 1799 году не хватило строгого обоснования одного топологического факта, и понадобилось больше ста лет, чтобы его закрыть. В нашем доказательстве непрерывность вошла ровно в одном месте — через теорему Вейерштрасса, а всё остальное сделала формула Коши.

Сколько корней внутри петли

Основная теорема алгебры говорит, что корни есть, но не говорит, где. На картине нули видны как точки, вокруг которых цвета обходят круг. Обратим наблюдение: обойдём петлю и посчитаем, сколько раз вокруг нуля обернётся значение функции. Эту идею мы видели в главе 15, в наброске доказательства основной теоремы. Теперь её можно сделать точной.

Хитрость в том, чтобы разложить многочлен на множители: при умножении аргументы складываются.

По основной теореме алгебры $P(z) = c\,(z - z_1)(z - z_2)\cdots(z - z_n)$; кратный корень записан столько раз, какова его кратность. На чертеже $n = 3$. При умножении аргументы складываются (глава 15): $\arg P(z) = \arg c + \arg(z - z_1) + \dots + \arg(z - z_n)$. Число $z - z_k$ — стрелка из корня $z_k$ в точку $z$. Будем следить, как поворачивается каждая стрелка, пока $z$ обходит петлю. Корень внутри. Луч из внутренней точки выпуклой области пересекает её границу ровно один раз. Поэтому, пока $z$ обходит $\gamma$, стрелка из такого корня по очереди смотрит во все стороны и делает ровно один оборот против часовой стрелки: её аргумент вырастает на $2\pi$. Корень снаружи. Выпуклую область можно отделить от внешней точки прямой, поэтому из корня снаружи вся петля видна под углом меньше $180^\circ$. Стрелка из него качается внутри этого угла и к концу обхода возвращается в исходное положение: её аргумент не меняется. Всего $\arg P(z)$ вырастает на $2\pi$, умноженное на число корней внутри, то есть $P(z)$ обходит ноль ровно столько раз. У дроби $\frac PQ$ аргументы множителей знаменателя вычитаются, и каждый полюс внутри уменьшает число оборотов на единицу.

Если петля сложная и обходит какую-то точку несколько раз, возле точки появляется число вроде «×2»: такой корень считается столько раз, сколько петля его обходит. Доказательство то же, только стрелка из корня делает не один оборот, а столько, сколько раз петля обвивается вокруг него. Инженеры пользуются принципом аргумента, чтобы проверить устойчивость системы управления, не решая её характеристического уравнения: это критерий Найквиста (1932).

Картина, которую дописывают до сих пор

Жёсткость голоморфных функций заходит дальше формулы Коши: достаточно знать функцию на крошечном отрезке, чтобы знать её всюду.

Отсюда понятие, которое изменило теорию чисел.

Простой пример: ряд $1 + z + z^2 + \dots$ сходится только в круге $|z| < 1$, где его сумма равна $\frac{1}{1 - z}$. А функция $\frac{1}{1 - z}$ определена всюду, кроме $z = 1$: это продолжение ряда на всю плоскость без одной точки. При $z = 2$ продолжение равно $-1$, хотя сам ряд $1 + 2 + 4 + \dots$ расходится. Значение продолжения — не сумма ряда, а ответ на вопрос, какой была бы единственная голоморфная функция, совпадающая с суммой там, где сумма есть.

Главный герой этой истории — дзета-функция Римана

$$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}, \qquad n^{-s} = e^{-s\ln n}.$$

Для комплексного $s$ модуль слагаемого равен $n^{-\operatorname{Re}s}$, так что ряд сходится при $\operatorname{Re}s > 1$. При $s = 2$ это задача Базеля из главы 30: $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$. Эйлер в 1737 году заметил, что $\zeta(s) = \prod_p\frac{1}{1 - p^{-s}}$ — произведение по всем простым числам. Это переписанная основная теорема арифметики, и она связывает дзета-функцию с простыми числами (глава 3). В 1859 году Бернхард Риман в единственной своей статье по теории чисел продолжил $\zeta$ на всю плоскость, кроме точки $s = 1$, и показал, что распределение простых чисел управляется нулями продолжения.

У продолжения есть «тривиальные» нули $-2, -4, -6, \dots$ и бесконечно много остальных в полосе $0 < \operatorname{Re}s < 1$; первый из них $\frac12 + 14{,}1347\ldots\,i$. Риман предположил, что все они лежат на прямой $\operatorname{Re}s = \frac12$. Это гипотеза Римана: её проверили для более чем десяти триллионов нулей, а доказательства нет до сих пор, и Математический институт Клэя в 2000 году включил её в список задач тысячелетия с премией в миллион долларов. Отсутствие нулей на прямой $\operatorname{Re}s = 1$ доказали в 1896 году Жак Адамар и Шарль-Жан де ла Валле Пуссен и так получили асимптотический закон распределения простых чисел.

Подробнее о дзета-функции и простых числах — в главе 44, о гипотезе Римана среди открытых задач — в главе 60.

Куда дальше

Самые простые картины нашей выставки — отображения $z \mapsto az$. Умножение на $a = p + qi$ поворачивает плоскость на угол $\arg a$ и растягивает её в $|a|$ раз: единица уходит в $a$, мнимая единица — в $ia$, и клетчатая сетка переходит в клетчатую, только повёрнутую и крупнее. Производная говорит, что под лупой любая голоморфная функция выглядит именно так. А что, если разрешить единице и $i$ уходить куда угодно, независимо друг от друга? Квадраты сетки станут параллелограммами, прямые останутся прямыми, начало координат — на месте. Какие преобразования плоскости и пространства так получаются, как их записывать, складывать и отменять, расскажет глава 35, с которой начинается линейная алгебра.