Хаос и фракталы

Прошлая глава закончилась бильярдом Жака Адамара. На поверхности отрицательной кривизны две траектории, выпущенные почти в одном направлении, разбегаются экспоненциально, и крошечная ошибка в ударе делает путь шара непредсказуемым. Правила движения простые и точные, а далёкое будущее скрыто. Эта глава о том, что так устроены не только экзотические поверхности, но и формула для калькулятора, кролики на острове, двойной маятник и погода. Случайности в правилах нет: они просто с огромной скоростью раздувают любую, самую маленькую неточность.

На это курс уже натыкался. В главе 31 Эдвард Лоренц округлил в расчёте погоды число $0{,}506127$ до $0{,}506$ и получил другую погоду. Там мы нашли первую половину ответа на шестой большой вопрос: уравнения атмосферы однозначно задают будущее, но однозначно не значит предсказуемо. Теперь соберём ответ целиком: почему ошибка растёт именно экспоненциально, на какой фигуре живёт движение и откуда берётся предел прогноза около двух недель.

Глава устроена как лабораторный журнал. Девять опытов, у каждого вопрос, установка (это виджет) и объяснение. Начнём с самой простой установки, какую только можно придумать: с одной формулы для калькулятора.

Опыт № 1. Кролики по годам

Вопрос: что будет с численностью популяции, если размножение ограничено едой?

В главе 31 рост с потолком описывало логистическое уравнение Ферхюльста, и его решения были спокойными S-образными кривыми. Но многие животные размножаются не непрерывно, а раз в год. Тогда численность удобно записывать по годам: $x_n$ — доля от наибольшей численности, которую может прокормить остров, в год номер $n$. Чем больше кроликов, тем больше потомства, но тем меньше травы на каждого. Простейший закон, где есть оба эффекта, — произведение.

Численность в следующем году, доля от наибольшей возможной: число от $0$ до $1$. Скорость размножения. Чтобы значения не выскочили из отрезка $[0;\,1]$, берём $0 < r \le 4$: наибольшее значение $rx(1 - x)$ достигается при $x = \frac12$ и равно $\frac r4$. Чем больше кроликов сейчас, тем больше потомства. Свободное место: чем ближе численность к потолку, тем меньше еды на каждого. Пример: $r = 2{,}5$, $x_0 = 0{,}2$. Тогда $x_1 = 2{,}5 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}4$, $x_2 = 2{,}5 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}6$, $x_3 = 2{,}5 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}6$ — и дальше всегда $0{,}6$.

Правило, которое по текущему состоянию выдаёт следующее, называют отображением, а его многократное применение — итерациями. Биолог Роберт Мэй в 1976 году опубликовал в журнале Nature обзор «Простые математические модели с очень сложной динамикой». Главным героем там было именно это отображение, и Мэй призывал знакомить с ним студентов как можно раньше, чтобы они привыкли: простое уравнение не обязано вести себя просто.

Орбиту удобно рисовать паутинкой. Ставим точку $x_0$ на оси, поднимаемся до графика — высота равна $x_1$. Чтобы сделать $x_1$ новым аргументом, идём горизонтально до диагонали $y = x$ и снова вертикально до графика. Неподвижные точки — пересечения графика с диагональю. У логистического отображения их две: $x = 0$ и $x^* = 1 - \frac1r$ (решите $x = rx(1 - x)$ и сократите на $x$).

Наблюдение: при $r = 2{,}8$ паутинка закручивается внутрь, к точке $x^* = \frac{9}{14} \approx 0{,}643$. Наклон графика в этой точке $-0{,}8$. При $r = 3{,}2$ неподвижная точка $x^* = 0{,}6875$ никуда не делась, но орбита к ней больше не подходит: наклон стал $-1{,}2$. Похоже, всё решает наклон, и это правда.

Коэффициент сжатия: число меньше единицы, которое ограничивает $|f'|$ около неподвижной точки. Каждый шаг уменьшает расстояние по крайней мере в $\frac1q$ раз. Начальное расстояние до неподвижной точки. При $r = 2{,}8$ наклон в неподвижной точке $-0{,}8$. Если около неё $|f'| \le 0{,}9$, то за 20 шагов расстояние сократится не меньше чем в $0{,}9^{-20} \approx 8{,}2$ раза, за 50 — в $194$ раза.

Хитрость в том, чтобы связать один шаг орбиты с наклоном графика через теорему Лагранжа, а дальше просто повторять.

На чертеже — график $f$, диагональ и неподвижная точка $x^*$, где они пересекаются. Условие неподвижности: $f(x^*) = x^*$. Наклон касательной в $x^*$ равен $k = f'(x^*)$, и $|k| < 1$. Производная непрерывна, поэтому около $x^*$ она мало отличается от $k$: найдутся отрезок $[x^* - \rho;\,x^* + \rho]$ (закрашен) и число $q < 1$, такие что $|f'(x)| \le q$ на всём отрезке. Годится любое $q$ между $|k|$ и $1$, если взять $\rho$ достаточно маленьким. Возьмём старт $x_0$ из этого отрезка. Обозначим $d_0 = |x_0 - x^*|$. Сделаем шаг: $x_1 = f(x_0)$. По теореме Лагранжа $f(x_0) - f(x^*) = f'(\xi)(x_0 - x^*)$ для некоторой точки $\xi$ между $x_0$ и $x^*$: хорда параллельна касательной в $\xi$. Точка $\xi$ лежит в нашем отрезке, поэтому $|f'(\xi)| \le q$, а $f(x^*) = x^*$. Значит, $d_1 = |x_1 - x^*| \le q\,d_0$. Раз $d_1 \le q d_0 < d_0 \le \rho$, точка $x_1$ снова в отрезке, и то же рассуждение даёт $d_2 \le q d_1 \le q^2 d_0$. По индукции $d_n \le q^n d_0$ при всех $n$. На чертеже паутинка сжимается к $x^*$. Так как $q < 1$, $q^n \to 0$, и $x_n \to x^*$. Если же $|f'(x^*)| > 1$, то около $x^*$ выполнено $|f'| \ge Q > 1$, и та же теорема Лагранжа даёт $|x_{n+1} - x^*| \ge Q|x_n - x^*|$, пока точка остаётся в окрестности. Расстояние растёт как $Q^n$ и не может всё время оставаться меньше радиуса окрестности: орбита её покидает.

Это местный родственник теоремы Банаха: на закрашенном отрезке $f$ — сжатие с коэффициентом $q$, и неподвижная точка притягивает всё вокруг. Только здесь сжатие не дано заранее, а берётся из производной.

У логистического отображения $f'(x) = r(1 - 2x)$, и в точке $x^* = 1 - \frac1r$ получаем $f'(x^*) = r\left(1 - 2 + \frac2r\right) = 2 - r$. Условие $|2 - r| < 1$ означает $1 < r < 3$. Знак наклона объясняет и форму паутинки: при $1 < r < 2$ наклон положителен, и значения подходят к $x^*$ лесенкой с одной стороны; при $2 < r < 3$ он отрицателен, и численность колеблется вокруг $x^*$ — год больше, год меньше, — затухая.

Найдите ненулевую неподвижную точку отображения $x \mapsto 2{,}8\,x(1 - x)$. Ответ запишите дробью.

$x^* = 1 - \frac{1}{2{,}8} = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14} \approx 0{,}643$. Проверка: $2{,}8 \cdot \frac{9}{14} \cdot \frac{5}{14} = \frac{126}{196} = \frac{9}{14}$.

Опыт № 2. Удвоение

Вопрос: что приходит на смену неподвижной точке, когда она перестаёт притягивать?

При $r = 3{,}2$ орбита садится на два значения, $0{,}5130$ и $0{,}7995$, и прыгает между ними: год урожайный, год голодный. Такую пару называют циклом периода 2.

Отсюда способ найти цикл: решить $f(f(x)) = x$. Это уравнение четвёртой степени, но два его корня мы знаем заранее — неподвижные точки $0$ и $1 - \frac1r$, ведь они тем более возвращаются через два шага. После деления на $x\left(x - 1 + \frac1r\right)$ остаётся квадратное уравнение $r^2x^2 - r(r + 1)x + (r + 1) = 0$ с корнями

$$x_{1,2} = \frac{(r + 1) \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r}.$$

Под корнем положительное число только при $r > 3$: цикл рождается ровно тогда, когда неподвижная точка теряет устойчивость. При $r = 3{,}2$ формула даёт $\frac{4{,}2 \pm \sqrt{0{,}84}}{6{,}4}$, то есть $0{,}5130$ и $0{,}7995$, как в виджете.

За $1 + \sqrt6$ история повторяется: цикл периода 2 теряет устойчивость, и рождается цикл периода 4. Потом 8, 16, 32… Удвоения идут всё чаще, и около $r \approx 3{,}5699$ период становится бесконечным. Вся история умещается на одном рисунке: для каждого $r$ отложим по вертикали значения, которые орбита посещает после того, как забудет начало.

Выпишем точки удвоения. Первые две мы вывели сами, остальные найдены численно.

Промежутки между удвоениями сокращаются каждый раз примерно в одно и то же число раз, и это число стремится к пределу.

Во сколько раз каждый следующий промежуток между удвоениями короче предыдущего. Длина промежутка, на котором живёт цикл периода $2^{n-1}$. Длина следующего промежутка — для цикла вдвое большего периода. Из таблицы: $\frac{3{,}449490 - 3}{3{,}544090 - 3{,}449490} = \frac{0{,}449490}{0{,}094600} \approx 4{,}751$, затем $\frac{0{,}094600}{0{,}020317} \approx 4{,}656$, затем $4{,}668$ и $4{,}669$. Промежутки убывают почти как геометрическая прогрессия со знаменателем $\frac1\delta$, поэтому их сумма конечна и удвоения скапливаются к точке $r_\infty \approx 3{,}5699$.

Опыт № 3. Окно с цифрой три

Вопрос: что значит слово «хаос» и как оно попало в математику?

За точкой $r_\infty$ диаграмма темнеет: орбиты больше не садятся на циклы. Но хаос перемежается окнами порядка. Самое широкое открывается при $r = 1 + \sqrt8 \approx 3{,}8284$: орбита вдруг садится на цикл периода 3 (при $r = 3{,}83$ это $0{,}1561$, $0{,}5047$, $0{,}9574$), а внутри окна идёт свой каскад удвоений — 3, 6, 12, 24…

В 1975 году Тянь-Янь Ли и Джеймс Йорк опубликовали статью с названием, которое стало лозунгом: «Период три влечёт хаос». С неё слово «хаос» и вошло в математику. Их главное наблюдение поразительно общее: оно верно для любой непрерывной функции на прямой.

Идея: сделать из цикла периода 3 два отрезка, которые функция растягивает друг на друга, и выстроить из них маршрут любой длины. Понадобится теорема о промежуточном значении: непрерывная функция на отрезке принимает все значения между значениями на его концах.

Пусть $a \to b \to c \to a$ — цикл периода 3, и $a$ — наименьшая из трёх точек. На чертеже $a < b < c$, так что $f(a) = b$, $f(b) = c$, $f(c) = a$. Если порядок другой, $a < c < b$, рассуждение то же, только отрезки берутся $[c;\,b]$ и $[a;\,c]$. Возьмём два отрезка: $I_0 = [a;\,b]$ и $I_1 = [b;\,c]$. У них одна общая точка — $b$. На концах $I_0$ функция принимает значения $f(a) = b$ и $f(b) = c$, поэтому по теореме о промежуточном значении $f(I_0) \supset [b;\,c] = I_1$: график над $I_0$ проходит все высоты от $b$ до $c$. На концах $I_1$ значения $f(b) = c$ и $f(c) = a$, поэтому $f(I_1) \supset [a;\,c] = I_0 \cup I_1$. Отрезок $I_1$ накрывает и себя, и соседа. Лемма: если $f(I) \supset J$ для отрезков $I$ и $J$, то внутри $I$ есть отрезок $K$ с $f(K) = J$. Действительно, возьмём в $I$ точку, где $f$ равна одному концу $J$, и ближайшую к ней точку, где $f$ равна другому концу; между ними $f$ не выходит за пределы $J$, иначе снова пересекла бы один из концов раньше. Теперь для $n \ge 4$ пройдём маршрут: $n - 1$ раз из $I_1$ в $I_1$, затем в $I_0$ и из $I_0$ обратно в $I_1$. Каждый переход разрешён: $I_1$ накрывает $I_1$ и $I_0$, а $I_0$ накрывает $I_1$. Идём по маршруту с конца и по лемме строим вложенные отрезки. Получаем отрезок $K_0 \subset I_1$, точки которого проходят маршрут: их образы с первого по $(n-2)$-й лежат в $I_1$, $(n-1)$-й — в $I_0$, а $f^n(K_0) = I_1 \supset K_0$. Функция $f^n(x) - x$ на концах $K_0$ имеет значения разных знаков или ноль, поэтому по теореме о промежуточном значении в $K_0$ есть точка $x$ с $f^n(x) = x$. Остаётся проверить, что период $x$ ровно $n$, а не делитель $m < n$. Если $f^m(x) = x$, то $f^{n-1}(x) = f^{m-1}(x)$, а это точка из $I_1$, ведь $m - 1 \le n - 2$ (при $m = 1$ это сама $x \in I_1$). Но по построению $f^{n-1}(x) \in I_0$, значит, $f^{n-1}(x) = b$ — единственная общая точка. Тогда $x = f^n(x) = f(b) = c$ и $f(x) = a$, а $a$ не лежит в $I_1$, хотя по маршруту $f(x) \in I_1$. Противоречие. Периоды $n \ge 4$ получены. Период 3 дан. Период 1: $f(I_1) \supset I_1$, поэтому $f(x) - x$ меняет знак на концах $I_1$, и в нём есть неподвижная точка. Период 2 даёт маршрут $I_0 \to I_1 \to I_0$ тем же приёмом. Значит, у $f$ есть циклы всех периодов.

Ли и Йорк не знали, что за 11 лет до них киевский математик Александр Шарковский доказал куда более сильную теорему. Он выстроил натуральные числа в особом порядке, который начинается с $3, 5, 7, 9, \dots$ и кончается на $\dots, 8, 4, 2, 1$, и показал: если у непрерывной функции на прямой есть цикл какого-то периода, то есть и циклы всех периодов, стоящих в этом порядке правее. Тройка в нём первая, поэтому из неё следует всё. Статья Шарковского вышла в 1964 году в Украинском математическом журнале и на Западе долго оставалась неизвестной.

Бесконечно много циклов — ещё не хаос в житейском смысле: почти все они неустойчивы, и орбиту, начатую наугад, они не притягивают. Настоящий беспорядок начинается там, где притягивающих циклов нет вовсе. Самый чистый такой случай — $r = 4$.

Опыт № 4. Калькулятор теряет цифры

Вопрос: нельзя ли просто посчитать орбиту точнее и предсказать её на сто шагов вперёд?

Возьмём $r = 4$ и начнём с лоренцевского числа $0{,}506127$. Посчитаем орбиту четырьмя способами: почти точно (с четырьмястами двоичными знаками), обычными числами компьютера с 16 значащими цифрами, числами одинарной точности с семью цифрами и, как Лоренц, с округлённого до $0{,}506$ старта.

Наблюдение: 16 цифр живут 46 шагов, семь цифр — 16, три — всего 7. Каждые три-четыре шага съедают по одной десятичной цифре, а точность вдвое выше даёт один лишний шаг. Это не беда компьютера, это свойство самого отображения, и при $r = 4$ его можно увидеть полностью. Ещё в 1947 году Станислав Улам и Джон фон Нейман заметили, что $4x(1 - x)$ — это удвоение угла, увиденное сбоку.

Идея: число $x$ из отрезка $[0;\,1]$ — это тень точки окружности на диаметре.

Возьмём окружность радиуса 1 и примем её горизонтальный диаметр за отрезок $[0;\,1]$. Точка $P$ стоит на угле $\varphi$, отсчитанном от левого конца. Её тень на диаметре находится на расстоянии $1 - \cos\varphi$ от левого конца, а весь диаметр равен 2, поэтому на нашей шкале это $x = \frac{1 - \cos\varphi}{2}$. Удвоим угол: точка $P'$ стоит на угле $2\varphi$. Её тень по той же причине — $x' = \frac{1 - \cos 2\varphi}{2}$. Свяжем $x'$ с $x$. Из определения $x$ следует $\cos\varphi = 1 - 2x$, а по формуле двойного угла $\cos 2\varphi = 2\cos^2\varphi - 1$. Поэтому $x' = \frac{1 - (2\cos^2\varphi - 1)}{2} = 1 - \cos^2\varphi = 1 - (1 - 2x)^2 = 4x - 4x^2 = 4x(1 - x)$. Один шаг отображения $x \mapsto 4x(1 - x)$ удваивает угол. Применив это $n$ раз, получаем угол $2^n\varphi_0$ и $x_n = \frac{1 - \cos(2^n\varphi_0)}{2}$.

Теперь видно, куда деваются цифры. Запишем угол как долю полного оборота в двоичной системе: $\varphi_0 = 2\pi \cdot 0{,}b_1b_2b_3\dots_2$. Удвоение сдвигает запятую на один знак вправо, а целые обороты не важны, поэтому после $n$ шагов остаётся $0{,}b_{n+1}b_{n+2}\dots_2$. Каждый шаг выбрасывает старшую двоичную цифру и выдвигает вперёд следующую, до того незаметную. Число двойной точности хранит 53 двоичные цифры, и примерно за столько шагов на первые места выходят цифры, которых в нём не было: их придумала ошибка округления. Отсюда ровно тот наклон, что на графике: $\lg 2 \approx 0{,}301$ десятичной цифры за шаг.

Скорость, с которой размножаются ошибки, измеряют одним числом. Малая ошибка $\varepsilon$ после шага становится примерно $|f'(x)|\,\varepsilon$, после $n$ шагов — $|f'(x_0)|\,|f'(x_1)| \cdots |f'(x_{n-1})|\,\varepsilon$. Логарифм этого произведения — сумма, и естественно взять её среднее.

Средняя скорость экспоненциального роста малых ошибок: за $n$ шагов ошибка вырастает примерно в $e^{\lambda n}$ раз. Усреднение по шагам орбиты. Во сколько раз, в логарифмах, растягивается ошибка на $k$-м шаге. Для $r = 4$ удвоение угла даёт $\lambda = \ln 2 \approx 0{,}693$: ошибка в среднем удваивается за шаг. Численно по орбите получается $0{,}6931$. При $r = 2{,}8$ показатель отрицателен, $\ln 0{,}8 \approx -0{,}223$: ошибки гаснут. При $r = 3{,}7$ он около $0{,}355$, а в окне периода 3 при $r = 3{,}83$ снова отрицателен, около $-0{,}37$.

Для многомерных систем, как у Лоренца, определение то же, только вместо производной — растяжение малого отрезка вдоль самого быстрого направления. Назвали показатель в честь Александра Ляпунова, который в диссертации 1892 года построил теорию устойчивости движения.

Компьютер считает орбиту $x \mapsto 4x(1 - x)$ числами с 16 значащими цифрами. Сколько цифр сотого значения можно считать верными?

Все 16: компьютер не ошибается в арифметике Около восьми Первые две-три Ни одной

Ошибка округления при вводе порядка $10^{-17}$, и каждый шаг в среднем удваивает её. К сотому шагу она выросла бы в $2^{100} \approx 10^{30}$ раз, а на деле уже к пятидесятому достигла размера самих чисел. Сотое значение — правдоподобное число из отрезка $[0;\,1]$, но не значение нашей орбиты.

Тренажёр ниже — на неподвижные точки и их устойчивость, а на третьем уровне — на удвоение угла. Там окажется, что период удвоения для дроби — это порядок двойки по модулю знаменателя из главы об остатках.

Опыт № 5. Бабочка

Вопрос: как выглядит хаос у настоящей системы из физики?

Вернёмся к системе, с которой всё началось. В 1963 году Лоренц опубликовал статью «Детерминированное непериодическое течение»: три уравнения для конвекции в слое воздуха, подогреваемом снизу,

$$x' = \sigma(y - x), \qquad y' = x(\rho - z) - y, \qquad z' = xy - \beta z,$$

с $\sigma = 10$, $\rho = 28$, $\beta = \frac83$. Здесь $x$ — скорость вращения конвективного вала, $y$ и $z$ описывают распределение температуры. В главе 31 мы смотрели на график одной координаты. Теперь посмотрим на всю траекторию в пространстве.

Траектория не уходит на бесконечность и не успокаивается. Она наматывает витки вокруг одной точки, потом без видимого повода перескакивает на другое крыло и вьётся там. Сколько витков будет на каждом крыле, заранее не угадать, но сама фигура, похожая на бабочку или маску, одна и та же при любом старте.

Нижний график показывает логарифм расстояния между траекториями. Пока оно мало, логарифм растёт по прямой с наклоном около $0{,}39$ за единицу времени. Это показатель Ляпунова системы Лоренца, $\lambda \approx 0{,}906$, переведённый в десятичные логарифмы: $\frac{0{,}906}{\ln 10} \approx 0{,}39$. Когда расстояние дорастает до размеров аттрактора, расти ему некуда, и траектории просто оказываются в разных, никак не связанных местах бабочки.

Для контроля поставим опыт, где нет ни атмосферы, ни упрощённых моделей: двойной маятник, то есть маятник, подвешенный к другому маятнику. Уравнения его движения выводят прямо из законов Ньютона, и они так же детерминированы, как у Лоренца.

Опыт № 6. Прогноз на месяц

Вопрос: насколько далеко вперёд можно предсказать систему с положительным показателем Ляпунова, если мерить всё очень точно?

Пусть начальное состояние известно с ошибкой $\delta$, а прогноз перестаёт быть полезным, когда ошибка вырастает до $\Delta$ — например, до размеров самого аттрактора, когда прогноз уже ничем не лучше случайной догадки. Ошибка растёт примерно как $\delta e^{\lambda t}$. Решим уравнение $\delta e^{\lambda T} = \Delta$.

Время, на которое прогноз остаётся полезным. Характерное время системы: за $\frac1\lambda$ ошибка вырастает в $e$ раз, за $\frac{\ln 2}{\lambda}$ удваивается. Ошибка, которую мы готовы терпеть: когда она достигнута, прогноз бесполезен. Начальная ошибка — точность измерений. Для системы Лоренца $\lambda \approx 0{,}906$. При $\delta = 10^{-4}$ и $\Delta = 10$ получаем $T \approx \frac{\ln 10^5}{0{,}906} \approx 12{,}7$. Если измерять в десять раз точнее, $\delta = 10^{-5}$, то $T \approx 15{,}2$: прибавилось всего $\frac{\ln 10}{0{,}906} \approx 2{,}5$ единицы времени, как и было видно в главе 31. Для $x \mapsto 4x(1 - x)$ с $\lambda = \ln 2$, $\delta = 10^{-16}$, $\Delta = 10^{-2}$ выходит $T \approx 46$ шагов — то, что показала гонка точностей. Формула оценочная: она говорит о среднем росте, и при конкретном старте расхождение может наступить на несколько единиц раньше или позже.

Начальное состояние системы Лоренца стали измерять в 100 раз точнее. Как изменится срок надёжного прогноза?

Вырастет в 100 раз Вырастет в 10 раз Прибавится примерно 5 единиц времени, сколько бы его ни было до этого Не изменится

По формуле горизонта прибавка равна $\frac{\ln 100}{\lambda} = \frac{4{,}6}{0{,}906} \approx 5{,}1$ единицы времени, независимо от того, каким был прогноз раньше.

Для отображения $x \mapsto 4x(1 - x)$ показатель Ляпунова равен $\ln 2$. На сколько шагов удлинится надёжный прогноз, если начальную ошибку уменьшить в 1024 раза?

Прибавка $\frac{\ln 1024}{\ln 2} = \log_2 1024 = 10$ шагов: каждое удвоение точности даёт ровно один шаг.

Для атмосферы дело обстоит ещё хуже, чем говорит эта формула. В атмосфере есть движения всех размеров: от порыва ветра между домами до циклона на полконтинента. Ошибки в мелких вихрях растут очень быстро, за часы, и передаются всё более крупным движениям. В 1969 году Лоренц показал на модели с такой лестницей масштабов, что предел предсказуемости здесь конечен, даже если сколько угодно уточнять наблюдения мелких деталей: время жизни прогноза складывается из времён, за которые ошибка переползает со ступеньки на ступеньку, и эта сумма сходится. Его оценка — около двух недель. Современные расчёты с моделями, по которым делают настоящие прогнозы, приводят к той же цифре; так вышло, например, у Фуцина Чжана и соавторов в 2019 году.

Практический прогноз ограничен ещё и неполнотой наблюдений и несовершенством моделей, поэтому сегодня детальный прогноз полезен примерно на неделю-полторы. Метеорологи давно считают не одну погоду, а ансамбль: Европейский центр среднесрочных прогнозов погоды запускает свою модель 51 раз со слегка разными начальными данными — как облако из 500 точек в виджете, только в пространстве, где переменных не три, а астрономически много. Пока облако компактно, прогноз уверенный. Когда оно расползается по аттрактору, прогноз превращается в вероятности: «дождь с вероятностью 60 %».

А климат предсказывать можно, и противоречия тут нет. Погода — это точка на аттракторе, и через месяц мы не знаем, где она будет. Климат — это форма аттрактора и то, как часто траектория бывает в разных его частях. Форма от малых ошибок не зависит: все 500 точек облака рисуют одну и ту же бабочку.

Атмосфера подчиняется детерминированным уравнениям, но движется хаотично: у неё положительный показатель Ляпунова, и малые ошибки измерений растут экспоненциально. Поэтому каждая новая верная цифра в начальных данных продлевает прогноз лишь на фиксированный срок, а из-за движений всех масштабов, от вихря до циклона, предел не отодвинуть и бесконечной точностью: он около двух недель. На месяц вперёд можно предсказывать только статистику — средние и вероятности, то есть климат, а не погоду в конкретный день.

Опыт № 7. Какой длины берег

Вопрос: какую форму имеют странные аттракторы — и береговые линии?

Английский физик и метеоролог Льюис Фрай Ричардсон, тот самый, что первым попробовал считать погоду по уравнениям, на склоне лет изучал, отчего начинаются войны, и для этого собирал длины государственных границ. Цифры не сходились: общую границу Испании и Португалии справочники двух стран давали как 987 и 1214 км. Ричардсон понял, в чём дело. Если мерить извилистую линию циркулем с раствором $\varepsilon$, то чем меньше $\varepsilon$, тем больше заливов и мысов он замечает, и тем длиннее выходит линия. Для многих берегов длина росла по закону $L(\varepsilon) \approx C\varepsilon^{1 - D}$ с постоянным $D$ больше единицы. Его наблюдения опубликовали посмертно, в 1961 году.

В 1967 году Бенуа Мандельброт в журнале Science выпустил статью «Какова длина побережья Британии?» и предложил считать число $D$ размерностью береговой линии. По данным Ричардсона выходило $D \approx 1{,}25$ для западного берега Британии и около $1{,}02$ для гладкого берега Южной Африки. Дробная размерность — не игра слов. Вот как её можно измерить.

Накроем плоскость сеткой квадратов со стороной $\varepsilon$ и сосчитаем $N(\varepsilon)$ — сколько клеток задевает фигура. Для отрезка длины 1 клеток около $\frac1\varepsilon$, для квадрата со стороной 1 — около $\frac{1}{\varepsilon^2}$. Показатель степени и есть размерность.

Размерность: показатель $D$, при котором $N(\varepsilon)$ ведёт себя как $\varepsilon^{-D}$. Число клеток сетки со стороной $\varepsilon$, которые задевает фигура. Во сколько раз сторона клетки меньше единицы. На графике $\ln N$ против $\ln\frac1\varepsilon$ размерность — наклон прямой. Пример: кривая Коха (шведский математик Хельге фон Кох, 1904). Её строят из отрезка, заменяя среднюю треть двумя сторонами равностороннего треугольника, и повторяют это с каждым отрезком без конца. При $\varepsilon = 3^{-m}$ кривую накрывают порядка $4^m$ клеток, поэтому $D = \frac{\ln 4^m}{\ln 3^m} = \frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1{,}262$. Для отрезка $D = 1$, для квадрата $D = 2$. Предел существует не у всякой фигуры, но у всех фигур этой главы существует.

Из формулы Ричардсона понятно, откуда взялась путаница с границами. Длина, измеренная циркулем с раствором $\varepsilon$, пропорциональна $\varepsilon \cdot N(\varepsilon) \approx \varepsilon^{1 - D}$. При $D = 1{,}25$ уменьшение раствора вдвое удлиняет берег в $2^{0{,}25} \approx 1{,}19$ раза, и так на каждом масштабе, пока не дойдём до отдельных камней. Спрашивать, какова длина берега, не указав раствора циркуля, бессмысленно.

Самый чистый фрактал — треугольник Серпинского. Польский математик Вацлав Серпинский описал его в 1915 году: из треугольника вынимают средний из четырёх вдвое меньших треугольников, из каждого оставшегося — снова средний, и так без конца. Этот узор уже встречался в треугольнике Паскаля, если закрасить нечётные числа. Его размерность можно найти точно.

Хитрость — взять сетку со стороной $2^{-m}$ и оценить $N$ сверху и снизу числами, которые отличаются лишь в постоянное число раз. Треугольник Серпинского можно строить из любого треугольника; возьмём прямоугольный с катетами 1, чтобы все углы легли в узлы сетки. Растяжение плоскости меняет число клеток не более чем в постоянное число раз, а такой множитель, как мы увидим, на размерность не влияет.

После $m$ шагов построения остаются $3^m$ кусочков — прямоугольных треугольников с катетами $2^{-m}$, и вся фигура лежит в них. На чертеже $m = 3$ и кусочков 27. Накроем квадрат сеткой со стороной $\varepsilon = 2^{-m}$. Клетки берём полуоткрытыми, без правой и верхней сторон: так каждая точка плоскости лежит ровно в одной клетке. Каждый кусочек вписан в квадратик сетки: прямой угол — в узле, катеты — по линиям сетки. Оценка сверху. Замкнутый квадратик сетки задевает не больше четырёх полуоткрытых клеток: свою и соседние справа, сверху и по диагонали. Каждая точка фигуры лежит в каком-то кусочке, поэтому $N(2^{-m}) \le 4 \cdot 3^m$. Оценка снизу. Вершины прямых углов всех кусочков принадлежат фигуре: угол кусочка при следующих шагах остаётся углом одного из его частей и никогда не вынимается. Это $3^m$ разных узлов сетки, и каждый лежит в своей клетке. Значит, $N(2^{-m}) \ge 3^m$. Логарифмируем $3^m \le N \le 4 \cdot 3^m$ и делим на $\ln\frac1\varepsilon = m\ln 2$: $\frac{\ln 3}{\ln 2} \le \frac{\ln N}{m \ln 2} \le \frac{\ln 3}{\ln 2} + \frac{\ln 4}{m\ln 2} = \frac{\ln 3}{\ln 2} + \frac{2}{m}$. При $m \to \infty$ обе границы стремятся к $\frac{\ln 3}{\ln 2}$. Остались промежуточные $\varepsilon$ между $2^{-m-1}$ и $2^{-m}$. Клетка со стороной $\varepsilon$ задевает не больше четырёх клеток сетки со стороной $2^{-m}$, а клетка со стороной $2^{-m-1}$ — не больше четырёх клеток со стороной $\varepsilon$. Поэтому $\frac14 N(2^{-m}) \le N(\varepsilon) \le 4N(2^{-m-1})$, и множитель 4 после деления на $\ln\frac1\varepsilon$ исчезает в пределе. Размерность равна $\frac{\ln 3}{\ln 2}$.

То же рассуждение почти дословно работает для любой фигуры из $N$ своих копий, уменьшенных в $k$ раз, если копии перекрываются лишь по краям: размерность равна $\frac{\ln N}{\ln k}$. Кривая Коха — 4 копии в масштабе $\frac13$, отсюда $\frac{\ln 4}{\ln 3}$. Ковёр Серпинского — 8 копий в масштабе $\frac13$, отсюда $\frac{\ln 8}{\ln 3} \approx 1{,}893$. А канторово множество из главы 52 — 2 копии в масштабе $\frac13$, и его размерность $\frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0{,}631$: больше, чем у точки, меньше, чем у отрезка. Длины у него нет, точек — континуум, а размерность дробная.

Копии разного размера: уравнение Морана

Если фигура состоит из копий, уменьшенных в разное число раз, с коэффициентами $r_1, \dots, r_N$, то её размерность $D$ находят из уравнения Морана (Патрик Моран, 1946): $r_1^D + r_2^D + \dots + r_N^D = 1$. Когда все $r_i = \frac1k$, оно превращается в $N k^{-D} = 1$, то есть в $D = \frac{\ln N}{\ln k}$. Пример: одна копия вдвое меньше и одна вчетверо. Обозначим $u = 2^{-D}$, тогда $4^{-D} = u^2$ и $u + u^2 = 1$, откуда $u = \frac{\sqrt5 - 1}{2}$ и $D = \log_2\frac{1 + \sqrt5}{2} \approx 0{,}694$ — двоичный логарифм золотого сечения.

Берег с размерностью $D = 1{,}25$ измерили циркулем с раствором 1 км, а потом 500 м. Во сколько раз изменилась измеренная длина?

Выросла вдвое Выросла примерно в 1,19 раза Не изменилась Уменьшилась примерно в 1,19 раза

Длина $L(\varepsilon) \approx C\varepsilon^{1 - D}$. При замене $\varepsilon$ на $\frac\varepsilon2$ она умножается на $2^{D - 1} = 2^{0{,}25} \approx 1{,}19$. Шагов стало в $2^{1{,}25} \approx 2{,}38$ раза больше, но каждый вдвое короче.

Снежинку Вичека строят так: квадрат делят на 9 равных квадратиков и оставляют центральный и четыре угловых, с каждым из них поступают так же, и так без конца. Найдите её размерность с точностью до сотых.

Пять копий, уменьшенных в 3 раза: $D = \frac{\ln 5}{\ln 3} \approx 1{,}465$.

Опыт № 8. Игра в кости

Вопрос: может ли случайный процесс рисовать точную фигуру?

В главе 55 папоротник Барнсли вырастал как неподвижная точка набора сжатий, и рисовала его «игра в хаос». Сыграем в неё с самым простым набором. Отметим три вершины треугольника и точку где угодно. Бросаем кубик: 1 или 2 — вершина $A$, 3 или 4 — $B$, 5 или 6 — $C$. Переходим на полпути к выпавшей вершине и ставим точку. Бросаем снова. Английский математик Майкл Барнсли, который популяризовал этот способ в книге «Фракталы повсюду» (1988), и назвал его игрой в хаос.

Кубик честный, точки прыгают без видимого порядка, а на экране вырастает треугольник Серпинского, и притом с ювелирной точностью: ни одна точка, кроме первых, не падает в вынутые треугольники. Случай здесь выбирает только порядок, в котором рисуются детали, а сама картинка задана правилами.

Идея: сжатие к вершине вдвое переводит треугольник Серпинского в его собственный угловой кусок, а все расстояния при этом уменьшаются вдвое. Это вариант леммы Хатчинсона для одной точки.

Пусть $p$ — текущая точка, $s$ — ближайшая к ней точка множества $S$ (она существует, потому что $S$ — замкнутое ограниченное множество), и расстояние между ними $d$. Выпала вершина $B$. Новая точка $p'$ — середина отрезка $pB$. Сожмём всю плоскость к вершине $B$ вдвое. Треугольник $ABC$ перейдёт в угловой треугольник у вершины $B$, а треугольник Серпинского — в свой угловой кусок: так он и устроен, из трёх вдвое меньших копий у вершин. Точка $s$ перейдёт в середину $s'$ отрезка $sB$, и $s'$ лежит в $S$. В треугольнике $psB$ отрезок $p's'$ соединяет середины двух сторон, то есть это средняя линия, и $|p's'| = \frac12|ps| = \frac d2$. Значит, расстояние от $p'$ до $S$ не больше $\frac d2$. Какая бы вершина ни выпала, расстояние до $S$ за бросок уменьшается хотя бы вдвое. После $n$ бросков оно не больше $\frac{d_0}{2^n}$; после десяти бросков — меньше тысячной доли начального, то есть меньше пикселя.

Теорема объясняет, почему точки не падают мимо фигуры. Почему они заполняют её всю, объясняют адреса. Каждый кусочек $m$-го уровня можно назвать словом из $m$ букв $A$, $B$, $C$: «в углу $B$, внутри него в углу $A$…». После броска точка попадает в угловой кусок той вершины, что выпала последней, внутри него — в кусок предпоследней, и так далее: последние $m$ бросков, прочитанные с конца, — адрес кусочка $m$-го уровня, где лежит точка. При каждом броске любой адрес выпадает с вероятностью $3^{-m}$, поэтому рано или поздно точка побывает в каждом кусочке любого уровня.

Остальные фигуры в виджете устроены так же, только копий больше, а прыжок длиннее: у ковра восемь целей и прыжок на две трети пути, отсюда восемь копий втрое меньше. Самоподобие превращает сложный рисунок в короткое описание: треугольник Серпинского — это три числа «сожми вдвое к вершине», а всё остальное нарисует кубик.

Опыт № 9. Одна строчка, бесконечная картина

Вопрос: что будет, если итерировать квадрат комплексного числа?

Логистическое отображение — многочлен второй степени. Любой такой многочлен заменой переменной сводится к виду $z \mapsto z^2 + c$, и эта запись удобна тем, что параметр в ней один. Проверим на нашем: если положить $z = \frac r2 - rx$, то шаг $x \mapsto rx(1 - x)$ становится шагом $z \mapsto z^2 + c$ с $c = \frac r2 - \frac{r^2}{4}$. При $r = 3$ получаем $c = -\frac34$, при $r = 4$ — $c = -2$.

А теперь разрешим $z$ и $c$ быть комплексными. Французские математики Гастон Жюлиа (1918) и Пьер Фату (1917–1920) изучали такие итерации задолго до компьютеров и нашли почти всё, что видно на картинках ниже, не видя ни одной из них.

Картинки рисуются по простому признаку: если орбита хоть раз вышла за круг радиуса 2, она уже никогда не вернётся.

На действительной оси $M$ занимает отрезок $\left[-2;\,\frac14\right]$: при $c > \frac14$ уравнение $z^2 + c = z$ не имеет действительных корней, и орбита нуля растёт неограниченно, а при $-2 \le c \le \frac14$ она заперта в отрезке. Этот отрезок — в точности логистические $r$ от 1 до 4, пересчитанные по формуле $c = \frac r2 - \frac{r^2}{4}$. Точка удвоения $r_1 = 3$ переходит в $c = -0{,}75$, место касания кардиоиды и большого круга. Точка $r_2 = 1 + \sqrt6$ — в $c = -1{,}25$, где к кругу прилипает следующий. Предел каскада $r_\infty$ — в $c \approx -1{,}4012$.

Главная теорема о связи двух картинок тоже принадлежит Фату и Жюлиа.

Доказательство этой теоремы требует теории аналитических функций на уровне старших курсов, и здесь мы примем её без доказательства. Идея такая: отображение $z \mapsto z^2 + c$ склеивает пары точек $z$ и $-z$, и единственная точка, где эта склейка вырождается, — $z = 0$. Если орбита нуля убегает, прообразы большого круга распадаются на всё более мелкие куски, и в пределе остаётся пыль; если она ограничена, распада не происходит. Полное доказательство есть в книге Джона Милнора «Голоморфная динамика».

Первые картинки множества $M$ Мандельброт получил в 1980 году на компьютерах IBM. В 1982 году Адриен Дуади и Джон Хаббард доказали, что $M$ связно, и назвали его в честь Мандельброта. Граница $M$ устроена настолько сложно, что в 1998 году Мицухиро Сисикура доказал: её хаусдорфова размерность равна 2, как у куска плоскости.

Лежит ли точка $c = -2$ в множестве Мандельброта?

Да Нет, $|c| = 2$ — это уже граница убегания Неизвестно, нужен компьютер

Орбита нуля: $0 \to -2 \to 2 \to 2 \to 2 \dots$ Она ограничена, значит, $-2 \in M$. Это самая левая точка множества; в логистических координатах это $r = 4$, самый хаотичный случай.

Куда дальше

Мы умеем рисовать множество Мандельброта с точностью до пикселя, знаем, что оно связно, и знаем размерность его границы. Но на простой с виду вопрос, связно ли оно «в малом» — можно ли каждую его точку окружить сколь угодно маленькой связной окрестностью внутри самого множества, — ответа нет до сих пор. Эту гипотезу о локальной связности сформулировали Дуади и Хаббард в 1980-х годах. Из неё следовало бы, что внутренность $M$ целиком состоит из «гиперболических» кусков — таких, как кардиоида и круги, где у орбиты нуля есть притягивающий цикл. Гипотезу доказали для многих частей множества, но целиком она открыта. Таких вопросов, которые легко задать и пока невозможно решить, в математике больше, чем ответов. Чего математика ещё не знает и как сегодня ищут ответы — в последней главе.