Экстремумы
Критические точки, максимумы и минимумы по знаку производной и наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке — как в ЕГЭ и на первом курсе.
Как решать
В точке максимума функция перестаёт расти и начинает убывать, в точке минимума — наоборот. Рост и убывание видны по знаку производной, поэтому экстремумы ищут среди точек, где производная равна нулю или не существует, — критических точек.
По шагам
- Найдите производную и область определения функции.
- Критические точки: решите $f'(x) = 0$ и добавьте точки, где производная не существует (но функция определена).
- Определите знак производной на интервалах между ними. Плюс сменился на минус — максимум, минус на плюс — минимум.
- Наибольшее и наименьшее на отрезке: посчитайте значения функции в критических точках внутри отрезка и на концах и выберите нужное.
Где ошибаются
- Путают точку максимума и максимум функции: точка — это $x$, а значение — $f(x)$. Смотрите, что спрашивают.
- На отрезке забывают сравнить значения на концах — наибольшее часто там.
- Берут критические точки вне отрезка.
- Не проверяют смену знака: у $f(x) = x^3$ производная равна нулю в нуле, но экстремума нет.