Окружность и число π

Прошлая глава закончилась банкой, обмотанной ниткой. Размотайте нитку и приложите её к диаметру: он уложится три раза, и останется маленький хвостик. С кружкой будет то же самое, с колесом — тоже, и с экватором, если бы его удалось обмотать. Сколько именно диаметров помещается в окружности? Этот вопрос задавали себе писцы Вавилона и Египта, Архимед, китайские астрономы, индийские поэты-математики, голландский учитель фехтования и программисты суперкомпьютеров. Ответ оказался числом, которое нельзя записать ни конечной, ни периодической дробью. Мы пройдём по следам этой погони — и по дороге соберём главные теоремы об окружности.

Три с хвостиком

Сначала договоримся о словах, которыми будем пользоваться всю главу.

Самый прямой способ измерить окружность — прокатить её по линейке: за один оборот колесо проходит ровно длину своего обода. Возьмём колесо диаметром $1$.

Древние мастера мерили так же и получали «три с хвостиком». В Библии, в Третьей книге Царств, описана медная чаша для храма Соломона: «от края его до края его десять локтей… и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом». Здесь отношение — ровно $3$. Вавилонские писцы обычно тоже считали по тройке, но на одной табличке из Суз стоит $3\frac18 = 3{,}125$. Египетский папирус Ринда (около 1550 года до нашей эры) велит находить площадь круглого поля диаметром $9$, как площадь квадрата со стороной $8$, и из этого рецепта выходит $\frac{256}{81} \approx 3{,}16$. Хвостик мерили на глаз, и выходило то больше, то меньше.

Прежде чем гнаться за хвостиком, нужно убедиться, что он один и тот же у всех окружностей. Это не очевидно: у маленькой монеты и у экватора отношение могло бы и различаться.

Идея: окружность — предел вписанных в неё многоугольников, а у многоугольников отношение периметра к диаметру видно из подобия.

Возьмём две окружности с общим центром $O$ и радиусами $\p1{r}$ и $\p2{R}$. Любые две окружности можно так расположить: сдвиг не меняет ни длин, ни отношений.

Впишем в обе правильные шестиугольники так, чтобы их вершины лежали на одних и тех же лучах из $O$. Лучи режут каждый шестиугольник на шесть равнобедренных треугольников с вершиной $O$.

Возьмём по одному треугольнику из каждого. Угол при $O$ у них общий, а боковые стороны пропорциональны: $\frac{\p1{r}}{\p2{R}}$ и $\frac{\p1{r}}{\p2{R}}$. По признаку подобия по двум сторонам и углу между ними (глава 17) треугольники подобны, и основания — стороны шестиугольников — относятся как $\p1{r} : \p2{R}$. Значит, так же относятся и периметры $P_6$ и $P'_6$, то есть $\frac{P_6}{2\p1{r}} = \frac{P'_6}{2\p2{R}}$. То же рассуждение годится для любого числа сторон $n$.

Будем удваивать число сторон: $12$, $24$, $48$… Периметры вписанных многоугольников подбираются к длине окружности сколь угодно близко; так длину кривой и определяют — как предел длин вписанных ломаных. Для каждого $n$ отношения периметра к диаметру у двух окружностей равны, значит, равны и их пределы: $\frac{C}{2\p1{r}} = \frac{C'}{2\p2{R}}$. Это общее число и называют $\pi$. Слово «предел» здесь нестрогое; точный смысл ему придаст глава 25.

Длина окружности. Одно и то же число для всех окружностей, $\pi \approx 3{,}14159$. Радиус; $2r$ — диаметр, поэтому то же самое: $C = \pi d$. Пример: в 1791 году метр определили так, чтобы длина парижского меридиана Земли — окружности через оба полюса — была $40\,000$ км. Отсюда радиус Земли $r = \frac{40\,000}{2\pi} \approx 6366$ км; средний радиус по современным измерениям — около $6371$ км.

Экватор туго обтянули верёвкой, а потом удлинили её на $1$ метр и приподняли, чтобы она везде отстояла от земли одинаково. Какой получится зазор?

Меньше миллиметра Около $16$ сантиметров Около метра Зависит от размера Земли

Длина верёвки $C = 2\pi r$. Если $C$ выросла на $1$, радиус вырос на $\frac{1}{2\pi} \approx 0{,}159$ м — независимо от того, чему равен $r$. Столько же получится и для мяча, и для Солнца. В такую щель пролезет кошка.

Милет, VI век до нашей эры: угол на диаметре

Фалес Милетский, которого греки считали первым философом, по преданию, первым стал не только знать геометрические факты, но и доказывать их. Диоген Лаэртский со ссылкой на писательницу Памфилу сообщает, что Фалес первым вписал в круг прямоугольный треугольник и на радостях принёс в жертву быка. Тут же Диоген добавляет, что другие приписывают это Пифагору, — похоже, у древних историков был один бык на все теоремы. В главе 17 мы видели, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы. Теорема Фалеса утверждает обратное.

Идея: разрезать треугольник радиусом на два равнобедренных и сложить углы.

Пусть $AB$ — диаметр, $O$ — центр, $C$ — любая другая точка окружности. Чему равен угол $ACB$?

Проведём радиус $OC$. Отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ — радиусы, поэтому все три равны. Значит, треугольники $AOC$ и $BOC$ равнобедренные.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (глава 17). В треугольнике $AOC$ равны углы при $A$ и при $C$ — обозначим их $\p1{\alpha}$. В треугольнике $BOC$ равны углы при $B$ и при $C$ — это $\p2{\beta}$. Угол $ACB$ составлен из двух углов при $C$: $\angle ACB = \p1{\alpha} + \p2{\beta}$.

Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$ (там же): при $A$ стоит $\p1{\alpha}$, при $B$ — $\p2{\beta}$, при $C$ — $\p1{\alpha} + \p2{\beta}$. Получается $2\p1{\alpha} + 2\p2{\beta} = 180^\circ$.

Отсюда $\p1{\alpha} + \p2{\beta} = 90^\circ$, то есть $\angle ACB = 90^\circ$ — где бы на окружности ни стояла точка $C$.

Верно и обратное: если угол $ACB$ прямой, точка $C$ лежит на окружности с диаметром $AB$ — это и показала глава о треугольнике. Поэтому все вершины прямых углов, опирающихся на отрезок $AB$, образуют окружность. Столяр пользуется этим, проверяя полукруглую выемку угольником: если выемка настоящий полукруг, угольник касается края вершиной, как его ни поверни.

Александрия, около 300 года до нашей эры: третья книга «Начал»

Третью книгу «Начал» Евклид целиком посвятил окружности. Две её теоремы — о вписанном угле и о касательной — нужны почти в каждой задаче про круг.

Вписанный угол

Идея: провести диаметр из вершины вписанного угла и свести дело к равнобедренным треугольникам, как у Фалеса.

Вписанный угол $ACB$ и центральный угол $AOB$ опираются на одну дугу $\p4{AB}$ — ту, где нет точки $C$.

Проведём из $C$ диаметр $CD$ через центр $O$.

Треугольник $AOC$ равнобедренный: $OA = OC$ как радиусы. Поэтому $\angle OAC = \angle OCA = \p1{\alpha}$. Угол $AOD$ — внешний угол этого треугольника при вершине $O$, а внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним (глава 17): $\angle AOD = \p1{\alpha} + \p1{\alpha} = 2\p1{\alpha}$.

Точно так же треугольник $BOC$ равнобедренный, $\angle OCB = \p2{\beta}$, и $\angle BOD = 2\p2{\beta}$.

Если центр $O$ лежит внутри угла $ACB$, то $\angle ACB = \p1{\alpha} + \p2{\beta}$, а $\angle AOB = 2\p1{\alpha} + 2\p2{\beta}$ — вдвое больше. Если центр лежит вне угла, то оба угла — разности: $\angle ACB = |\p1{\alpha} - \p2{\beta}|$ и $\angle AOB = |2\p1{\alpha} - 2\p2{\beta}|$, и отношение то же. Если центр на стороне угла, одно из $\alpha$, $\beta$ равно нулю. Во всех случаях $\angle AOB = 2\angle ACB$.

Из теоремы сразу следуют три удобных факта.

Второй факт — снова теорема Фалеса: дуга, на которую опирается угол с вершиной на окружности и сторонами через концы диаметра, — полуокружность, $180^\circ$, и угол равен её половине, $90^\circ$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, угол $A$ равен $75^\circ$. Найдите угол $C$ в градусах.

Углы $A$ и $C$ противоположные, они опираются на дуги, которые вместе составляют всю окружность. Поэтому $\angle A + \angle C = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$, и $\angle C = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

Касательная

Идея: в прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее катета, а к перпендикуляру ближе всего основание.

Через точку $T$ окружности проведена прямая $\p1{\ell}$, перпендикулярная радиусу $OT$.

Возьмём на $\p1{\ell}$ любую другую точку $X$. Треугольник $OTX$ прямоугольный, $OX$ — его гипотенуза, а $OT$ — катет. Гипотенуза длиннее катета (по теореме Пифагора $OX^2 = OT^2 + TX^2 > OT^2$), поэтому $OX > r$ и $X$ лежит вне окружности. Значит, у $\p1{\ell}$ с окружностью одна общая точка, $T$, и $\p1{\ell}$ — касательная.

Теперь обратно. Пусть через $T$ проведена прямая $\p2{m}$, не перпендикулярная $OT$; её наклон меняет вторая точка. Опустим на неё перпендикуляр $OH$ из центра. Точка $H$ не совпадает с $T$, иначе $\p2{m}$ была бы перпендикулярна $OT$.

Отложим на $\p2{m}$ за точкой $H$ отрезок $HT' = HT$. Прямоугольные треугольники $OHT$ и $OHT'$ равны по двум катетам: $OH$ общий, $HT = HT'$. Поэтому $OT' = OT = r$, и точка $T'$ тоже лежит на окружности.

У прямой $\p2{m}$ с окружностью две общие точки, $T$ и $T'$, — это секущая, а не касательная. Получается, что касательной в точке $T$ может быть только прямая, перпендикулярная радиусу $OT$, и она действительно касательная.

Отсюда, например, следует, что точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника на отрезки, попарно равные: от каждой вершины до двух соседних точек касания — одно и то же расстояние.

Хорды крест-накрест

Под конец третьей книги Евклид доказывает теорему, которая выглядит как фокус. Проведите через точку внутри круга две хорды — и произведение отрезков одной хорды окажется равным произведению отрезков другой. Современное доказательство использует теорему Пифагора и заодно объясняет, какое число за этим прячется.

Идея: опустить перпендикуляр из центра на хорду и дважды применить теорему Пифагора.

Через точку $P$ — внутри круга или снаружи — проведена прямая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$.

Пусть $M$ — середина хорды $AB$. Центр $O$ одинаково удалён от $A$ и $B$ и потому лежит на серединном перпендикуляре к $AB$. Значит, $OM \perp AB$.

Точки $A$ и $B$ лежат на прямой по разные стороны от $M$, на расстоянии $MA$. Если $P$ внутри круга, то $\p1{PA} = MA - PM$ и $\p2{PB} = MA + PM$; если снаружи — $\p1{PA} = PM - MA$ и $\p2{PB} = PM + MA$. В обоих случаях $\p1{PA} \cdot \p2{PB} = |PM^2 - MA^2|$ — это разность квадратов.

Треугольники $OMP$ и $OMA$ прямоугольные с прямым углом при $M$. По теореме Пифагора $PM^2 = OP^2 - OM^2$ и $MA^2 = r^2 - OM^2$. Вычитаем: $PM^2 - MA^2 = OP^2 - r^2$ — отрезок $OM$ сократился.

Получилось $\p1{PA} \cdot \p2{PB} = |OP^2 - r^2|$, и в правой части нет ничего, что зависело бы от прямой. Поэтому для любой другой прямой через $P$ — хорды или секущей $CD$ — произведение то же: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$. Когда секущая поворачивается в касательную, точки $A$ и $B$ сливаются в точку касания $T$, и остаётся $PT^2 = OP^2 - r^2$ — это видно и из прямоугольного треугольника $OTP$.

Классическое доказательство обходится без Пифагора: у хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в $P$, треугольники $APC$ и $DPB$ подобны, потому что углы при $C$ и при $B$ опираются на одну дугу $AD$ и потому равны, а углы при $P$ вертикальные. Из подобия $\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$ — то же равенство.

Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, причём $AP = 3$, $PB = 8$, $CP = 4$. Найдите $PD$.

По теореме о степени точки $AP \cdot PB = CP \cdot PD$, то есть $3 \cdot 8 = 4 \cdot PD$, и $PD = 6$.

Сиракузы, III век до нашей эры: π в тисках

Первым, кто не угадывал $\pi$, а доказывал оценки, был Архимед. В короткой книге «Измерение круга» он зажал окружность между двумя многоугольниками — вписанным и описанным — и стал удваивать число их сторон: $6$, $12$, $24$, $48$, $96$. Чтобы сравнивать кривую с ломаными, Архимеду понадобилось допущение, которое он честно вынес в начало своей книги «О шаре и цилиндре».

Из допущения следует главное: периметр вписанного многоугольника меньше длины окружности (каждая сторона короче своей дуги), а периметр описанного — больше (две половинки его сторон охватывают дугу между точками касания). Остаётся считать периметры.

Архимед не знал ни синусов, ни десятичных дробей. Каждое удвоение он делал через подобные треугольники и квадратные корни, которые извлекал вручную, с оценками в безопасную сторону: например, $\frac{265}{153} < \sqrt3 < \frac{1351}{780}$. Для вписанных многоугольников шаг удвоения можно вывести одной только теоремой Пифагора.

Идея: новая вершина — середина дуги, и до неё можно дойти по двум прямоугольным треугольникам.

$AB = \p1{s}$ — сторона правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиусом $1$.

Новая вершина $2n$-угольника — середина $M$ дуги $AB$. Радиус $OM$ делит угол $AOB$ пополам, а в равнобедренном треугольнике $AOB$ биссектриса угла при вершине — это и высота, и медиана. Поэтому $OM$ перпендикулярен $AB$ и проходит через середину хорды $K$: $AK = KB = \frac{\p1{s}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $OKB$ гипотенуза $OB = 1$, катет $KB = \frac{s}{2}$. По теореме Пифагора $\p3{OK} = \sqrt{1 - \frac{s^2}{4}}$.

Остаток радиуса за хордой: $\p5{KM} = 1 - \p3{OK} = 1 - \sqrt{1 - \frac{s^2}{4}}$.

В прямоугольном треугольнике $BKM$: $\p2{s'}^2 = KB^2 + KM^2 = \frac{s^2}{4} + 1 - 2\sqrt{1 - \frac{s^2}{4}} + 1 - \frac{s^2}{4} = 2 - 2\sqrt{1 - \frac{s^2}{4}} = 2 - \sqrt{4 - s^2}$. Извлекаем корень — готово.

Описанный многоугольник — тот же вписанный, увеличенный в $\frac{1}{OK}$ раз: его стороны касаются окружности, и от центра до стороны ровно $1$, а у вписанного — $OK$. Так из одной формулы получаются обе оценки. Архимед довёл удвоения до $96$ сторон и записал результат в виде, который цитируют уже двадцать два века.

Верхняя оценка, $\frac{22}{7}$, прожила дольше всех: ею и сегодня пользуются, когда нужно прикинуть в уме. По легенде, Архимед погиб в 212 году до нашей эры, когда римляне взяли Сиракузы: солдат застал его над чертежами на песке, а Архимед будто бы крикнул: «Не трогай моих кругов!» Это именно легенда — Плутарх пересказывает несколько разных версий его смерти.

Там же: площадь круга

В той же книге Архимед доказал, что круг равновелик прямоугольному треугольнику, у которого один катет — радиус, а другой — длина окружности. На нашем языке это формула площади круга. Её можно увидеть, если нарезать круг, как пиццу.

Идея: разрезать круг на тонкие секторы и переложить их в фигуру, почти не отличимую от прямоугольника.

Разрежем круг радиусом $r$ на $12$ одинаковых секторов — клиньев с вершиной в центре. Верхнюю половину окрасим одним цветом, нижнюю другим.

Развернём каждую половину в «гребёнку»: клинья верхней половины встают вершинами вниз, нижней — вершинами вверх. Площадь при этом не меняется — мы только двигаем куски.

Сдвинем гребёнки зубцами друг в друга. Получилась фигура, похожая на параллелограмм. Её верхний край — дуги верхней половины, их общая длина — половина окружности, $\p2{\pi r}$. Нижний край — тоже $\pi r$. Боковые стороны и высота — примерно радиус $r$.

Нарежем мельче — на $36$ секторов. Края становятся всё ровнее, боковые стороны — всё вертикальнее, и фигура всё ближе к прямоугольнику $\pi r \times r$. При этом её площадь всегда в точности равна площади круга.

Площадь прямоугольника, к которому приближается фигура, — $\pi r \cdot r = \pi r^2$. Значит, $S = \pi r^2 = \frac12 \cdot \p2{2\pi r} \cdot r$. Последнее равенство — и есть треугольник Архимеда с катетами $2\pi r$ и $r$.

Слово «приближается» здесь снова скрывает переход к пределу. Архимед обошёлся без него хитрее: он показал, что площадь круга не может быть ни больше, ни меньше площади треугольника — в обоих случаях подходящий вписанный или описанный многоугольник приводит к противоречию. Почему площадь не меняется при перекладывании кусков и что такое площадь вообще, разберёт следующая глава, а строгий язык для таких рассуждений даст интеграл.

Площадь круга. То же самое число, что в длине окружности. Совпадение не случайное: площадь — половина окружности на радиус. Радиус — и в квадрате: увеличьте круг вдвое, и площадь вырастет вчетверо. Пример: пицца диаметром $30$ см имеет площадь $\pi \cdot 15^2 \approx 707$ см², а диаметром $40$ см — $\pi \cdot 20^2 \approx 1257$ см². Разница в диаметре — треть, а в площади — почти $78\,\%$.

Во сколько раз пицца диаметром $40$ см больше пиццы диаметром $30$ см по площади? Ответ запишите дробью.

Площади относятся как квадраты радиусов (или диаметров — всё равно): $\left(\frac{40}{30}\right)^2 = \frac{16}{9} \approx 1{,}78$. Число $\pi$ сократилось.

Китай, III–V века: 355/113

В 263 году Лю Хуэй, комментатор «Математики в девяти книгах», независимо от Архимеда прошёл похожий путь — только считал площади, а не периметры, — и дошёл до многоугольника с $3072$ сторонами. Его результат — $3{,}1416$. Через двести лет Цзу Чунчжи, астроном и изобретатель, продвинулся ещё дальше: $3{,}1415926 < \pi < 3{,}1415927$. Как именно он считал, неизвестно — его книга не сохранилась. Цзу Чунчжи оставил и две дроби: «грубое отношение» $\frac{22}{7}$ и «точное» $\frac{355}{113}$.

Вторая дробь поразительна. $\frac{355}{113} = 3{,}14159292\ldots$ — шесть верных знаков после запятой при трёхзначном знаменателе. Среди дробей со знаменателем меньше $16\,604$ ближе к $\pi$ нет ни одной. Секрет — в цепной дроби числа $\pi$ из главы 6: $\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, \dots]$. Обрыв перед большим числом $292$ даёт особенно удачное приближение, и это ровно $\frac{355}{113}$. Точнее Цзу Чунчжи число $\pi$ не знал никто около девятисот лет.

Что больше: $\frac{22}{7}$ или $\pi$?

$\frac{22}{7}$ $\pi$ Они равны

$\frac{22}{7} = 3{,}142857\ldots$, а $\pi = 3{,}141592\ldots$ Разница — около $0{,}00126$, но она есть. «Пи равно двадцать две седьмых» — самое живучее заблуждение про это число.

Керала, около 1400 года: π из бесконечной суммы

Следующий рывок пришёл с другой стороны. В южной Индии, в Керале, астроном Мадхава из Сангамаграмы нашёл, что $\pi$ можно получить без всяких многоугольников — из бесконечной суммы:

$$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \frac19 - \dots$$

Его работы до нас не дошли; мы знаем о них из трудов учеников — «Тантрасанграхи» Нилаканты (1501) и «Юктибхаши» Джьештхадевы. В Европе тот же ряд независимо нашёл Готфрид Лейбниц в 1674 году, поэтому его часто называют рядом Лейбница. Красота у ряда огромная, а польза — нет: после тысячи слагаемых получается $3{,}1406$, всего три верные цифры. Мадхава знал это и придумал поправки, ускорявшие сходимость; по свидетельству учеников, он нашёл $\pi$ с одиннадцатью верными знаками после запятой. Почему сумма сходится именно к $\pi$, покажет глава о рядах.

Многоугольники тоже не сдавались. В 1424 году Джамшид ал-Каши, работавший в Самарканде при дворе Улугбека, взял многоугольник с $3 \cdot 2^{28}$ сторонами и вычислил $2\pi$ с шестнадцатью знаками. В 1596 году Лудольф ван Цейлен, учитель фехтования и математики из Лейдена, получил двадцать знаков, а к концу жизни — тридцать пять, дойдя до многоугольников с $2^{62}$ сторонами. Эти знаки выбили на его надгробии, и в Германии $\pi$ долго называли «лудольфовым числом». Камень потерялся, копию вернули в лейденскую церковь Святого Петра в 2000 году.

Конец эпохе многоугольников положили формулы вроде той, что в 1706 году нашёл Джон Мэчин: $\frac{\pi}{4} = 4\operatorname{arctg}\frac15 - \operatorname{arctg}\frac{1}{239}$. Её ряды сходятся так быстро, что Мэчин вручную получил сто знаков. Такими формулами считали $\pi$ до середины XX века.

Угол, измеренный длиной

Откуда в сумме дробей взялось $\frac{\pi}{4}$? Ряд Мадхавы — Лейбница на самом деле про угол: он равен углу в $45^\circ$, у которого тангенс равен единице, только измеренному не в градусах, а длиной дуги. В анализе углы всегда измеряют так. Градус — договорённость вавилонского происхождения: полный оборот поделили на $360$ частей. Естественная мера угла — какую часть радиуса составляет дуга, которую он вырезает.

Саму идею измерять угол дугой ясно сформулировал в 1714 году английский математик Роджер Котс, а слово «радиан» появилось лишь в 1873 году в экзаменационных задачах Джеймса Томсона, брата лорда Кельвина. В радианах самые важные формулы про дуги становятся короткими.

Длина дуги. Радиус окружности. Центральный угол в радианах. Если он в градусах, нужно умножить на $\frac{\pi}{180}$. Площадь сектора — части круга между двумя радиусами. При $\alpha = 2\pi$ получаются $2\pi r$ и $\pi r^2$, как и должно быть. Пример: при $r = 6$ и угле $60^\circ = \frac{\pi}{3}$ дуга равна $6 \cdot \frac{\pi}{3} = 2\pi \approx 6{,}28$, а сектор — $\frac12 \cdot 36 \cdot \frac{\pi}{3} = 6\pi \approx 18{,}85$.

Обе формулы — это пропорция: дуга и сектор составляют такую же долю окружности и круга, какую угол $\alpha$ составляет от полного оборота $2\pi$. Почему радианы понадобились анализу, станет ясно в главе о тригонометрии и в главе о производной: только в радианах производная синуса — косинус без лишнего множителя.

Сколько радиан в угле $60^\circ$? Ответ можно записать через pi.

$180^\circ = \pi$ радиан, поэтому $60^\circ = \frac{60}{180}\pi = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}047$.

Берлин, 1875: катится, но не круг

Почему колёса круглые? Обычно отвечают: у круга ширина во всех направлениях одинакова, поэтому доска на катках не качается. Это правда, но у круга есть соперники. Немецкий инженер Франц Рёло, профессор в Берлине и один из основателей теории машин, в книге 1875 года разобрал фигуру, которую теперь называют его именем.

Треугольник Рёло годится в катки, но не в колёса: ось колеса должна оставаться на одной высоте, а его центр подпрыгивает. Зато ему нашлась другая работа. Он проворачивается в квадрате, касаясь всех четырёх сторон, поэтому сверло такого сечения, если заставить его центр двигаться по особой кривой, вырезает почти квадратное отверстие со слегка скруглёнными углами; такие свёрла придумал в начале XX века инженер Гарри Уоттс. Британские монеты в $20$ и $50$ пенсов — семиугольники постоянной ширины, собранные из дуг по тому же принципу: автомат, измеряя ширину монеты, получает одно и то же число, как её ни поверни.

И здесь снова появляется $\pi$. Граница треугольника Рёло — три дуги по $60^\circ$, то есть по $\frac{\pi}{3}$ радиана, радиусом $w$. По формуле длины дуги периметр равен $3 \cdot w \cdot \frac{\pi}{3} = \pi w$ — ровно как у круга той же ширины.

Для треугольника Рёло мы только что это проверили. В общем случае теорему доказал французский математик Жозеф Барбье в 1860 году, но честное доказательство выходит за пределы главы: нужна формула Коши, по которой периметр выпуклой фигуры равен её средней ширине, умноженной на $\pi$, а она доказывается интегралом. Идея такая: ширина фигуры постоянной ширины во всех направлениях равна $w$, значит, и средняя равна $w$. Поэтому виджет выше и показывает: за полный оборот треугольник прокатывается на $\pi w$, ровно как круг.

XX–XXI века: триллионы знаков

К XVIII веку стало ясно, что погоня бесконечна. В 1760-х годах Иоганн Ламберт доказал, что $\pi$ иррационально: его десятичная запись не обрывается и не становится периодической. В 1882 году Фердинанд фон Линдеман доказал больше: $\pi$ трансцендентно, то есть не может быть корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Отсюда следует, что квадратуру круга — построить циркулем и линейкой квадрат, равный кругу по площади, — выполнить нельзя: об этом шла речь в главе 16, а подробности — в главе 43.

Считать от этого не перестали. В 1873 году англичанин Уильям Шенкс, потратив на расчёты годы, опубликовал $707$ знаков; в середине 1940-х обнаружилось, что верны только первые $527$. В 1949 году электронный компьютер ENIAC за семьдесят часов вычислил $2037$ знаков — и больше никто не считал $\pi$ вручную. Сегодня рекорды измеряются сотнями триллионов знаков, их ставят, чтобы испытать компьютеры и алгоритмы: одна ошибка в памяти или в программе — и цифры разойдутся с проверочным расчётом.

Нужно ли столько на практике? Инженеры Лаборатории реактивного движения NASA рассказывали, что для межпланетной навигации им хватает пятнадцати знаков после запятой. Около сорока знаков хватило бы, чтобы вычислить длину окружности размером с видимую Вселенную с ошибкой меньше размера атома водорода. Всё остальное — спорт, проверка техники и тренировка памяти. Для памяти в России давно придумали стишок: «Это я знаю и помню прекрасно: пи многие знаки мне лишни, напрасны» — число букв в словах даёт $3{,}14159265358$.

Напоследок — тренажёр: вписанные и центральные углы, касательные, хорды и секущие, длины дуг и площади секторов.

Куда дальше

Площадь круга мы нашли хитростью: нарезали его на секторы и сложили почти прямоугольник. Но за этой хитростью прячутся вопросы, которые Архимед обходил, а не решал. Почему площадь не меняется, когда фигуру разрезают и перекладывают? Можно ли любую фигуру перекроить в квадрат той же площади — и если многоугольник можно, то почему нельзя круг? А как быть с телами: сколько места занимает шар, и почему Архимед так гордился его объёмом, что велел изобразить шар и цилиндр на своём надгробии? С ножницами, перекладыванием и первыми пределами — в главе 20.