Первообразные и интегралы
Первообразные по таблице, линейная замена и интегрирование по частям, определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница. Любой ответ можно проверить производной.
Как решать
Первообразная — функция, производная которой равна данной. Поэтому таблица первообразных — это таблица производных, прочитанная справа налево, а любой ответ проверяется дифференцированием. Определённый интеграл — разность значений первообразной на концах.
По шагам
- Разбейте интеграл суммы на интегралы слагаемых, постоянные множители вынесите.
- Степени: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n + 1}$ при $n \ne -1$, а $\int \frac{dx}{x} = \ln|x|$.
- Если внутри стоит $kx + b$, возьмите первообразную как обычно и разделите на $k$.
- Произведение многочлена на $e^x$, $\sin x$ или $\ln x$ — по частям: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
- Определённый интеграл: найдите первообразную $F$ и посчитайте $F(b) - F(a)$.
Где ошибаются
- Забывают поделить на коэффициент при линейной замене: $\int \sin 5x\,dx = -\frac{\cos 5x}{5}$.
- Ошибаются со знаком: первообразная синуса — $-\cos x$, косинуса — $\sin x$.
- Применяют формулу степени при $n = -1$: $\int \frac{dx}{x} = \ln|x|$, а не $\frac{x^0}{0}$.
- В определённом интеграле вычитают в обратном порядке: сначала верхний предел, потом нижний.