Царица наук EN

Интерактивный учебник математики

Царица наукот счёта до университета

Шестьдесят одна глава: от зарубок на кости до теорем Гёделя. Формулы здесь можно трогать — двигать точки, менять числа и смотреть, что сломается. Каждая глава начинается с задачи, которую прежними средствами не решить.

Начать с начала Карта курса
  • 61глава в 10 частях
  • 24решателя задач по шагам
  • 4уровня: от 5 класса до 3 курса
Математика — царица наук, а арифметика — царица математики. Так, по воспоминаниям Сарториуса фон Вальтерсхаузена, говорил Гаусс

Карта математики

Цветные линии — части курса, станции — главы. На пересадках одна часть передаёт эстафету следующей, а пунктир связывает главы, где идея из одной части работает в другой.

Карта курса: линии — части, станции — главы Глава 0 · Что такое математика · 5–9 класс 0 Старт Глава 1 · Счёт: от зарубок до битов · 5–9 класс 1 Счёт Глава 2 · Ноль и минус · 5–9 класс 2 Ноль и минус Глава 3 · Простые числа · 5–9 класс 3 Простые числа Глава 4 · Делимость и алгоритм Евклида · 5–9 класс 4 Делимость Глава 5 · Дроби · 5–9 класс 5 Дроби Глава 6 · Корень из двух и действительные числа · 5–9 класс 6 Корень из двух Глава 7 · Буквы вместо чисел · 5–9 класс 7 Буквы Глава 8 · Уравнения: искусство равновесия · 5–9 класс 8 Уравнения Глава 9 · Функции и графики · 5–9 класс 9 Функции Глава 10 · Квадратные уравнения · 5–9 класс 10 Квадратные уравнения Глава 11 · Системы уравнений и неравенства · 5–9 класс 11 Системы Глава 12 · Степени и логарифмы · 5–9 класс 12 Степени и логарифмы Глава 13 · Последовательности и индукция · 5–9 класс 13 Последовательности Глава 14 · Многочлены · 10–11 класс 14 Многочлены Глава 15 · Комплексные числа · 10–11 класс 15 Комплексные числа Глава 16 · Начала: аксиомы и построения · 5–9 класс 16 Начала Евклида Глава 17 · Треугольник · 5–9 класс 17 Треугольник Глава 18 · Теорема Пифагора · 5–9 класс 18 Пифагор Глава 19 · Окружность и число π · 5–9 класс 19 Окружность и π Глава 20 · Площадь и объём · 5–9 класс 20 Площадь и объём Глава 21 · Тригонометрия · 10–11 класс 21 Тригонометрия Глава 22 · Векторы и координаты · 10–11 класс 22 Векторы Глава 23 · Симметрия и преобразования · 10–11 класс 23 Симметрия Глава 24 · Конические сечения · 10–11 класс 24 Конические сечения Глава 25 · Пределы · 10–11 класс 25 Пределы Глава 26 · Производная · 10–11 класс 26 Производная Глава 27 · Экстремумы и оптимизация · 10–11 класс 27 Экстремумы Глава 28 · Интеграл · 10–11 класс 28 Интеграл Глава 29 · Число e и экспонента · 10–11 класс 29 Число e Глава 30 · Ряды · 1–2 курс 30 Ряды Глава 31 · Дифференциальные уравнения · 1–2 курс 31 Дифференциальныеуравнения Глава 32 · Функции многих переменных · 1–2 курс 32 Многие переменные Глава 33 · Ряды Фурье · 1–2 курс 33 Ряды Фурье Глава 34 · Комплексный анализ · 1–2 курс 34 Комплексный анализ Глава 35 · Матрицы как преобразования · 1–2 курс 35 Матрицы Глава 36 · Метод Гаусса · 1–2 курс 36 Метод Гаусса Глава 37 · Векторные пространства · 1–2 курс 37 Векторные пространства Глава 38 · Собственные векторы · 1–2 курс 38 Собственные векторы Глава 39 · Ортогональность, МНК и SVD · 1–2 курс 39 МНК и SVD Глава 40 · Группы · 1–2 курс 40 Группы Глава 41 · Арифметика остатков и шифры · 1–2 курс 41 Остатки и шифры Глава 42 · Кольца, поля и коды · 1–2 курс 42 Кольца и поля Глава 43 · Теория Галуа · 3 курс и выше 43 Теория Галуа Глава 44 · Дзета-функция и эллиптические кривые · 3 курс и выше 44 Дзета и кривые Глава 45 · Комбинаторика · 5–9 класс 45 Комбинаторика Глава 46 · Графы · 10–11 класс 46 Графы Глава 47 · Вероятность · 10–11 класс 47 Вероятность Глава 48 · Случайные величины · 1–2 курс 48 Случайные величины Глава 49 · Статистика · 1–2 курс 49 Статистика Глава 50 · Цепи Маркова и информация · 1–2 курс 50 Цепи Маркова Глава 51 · Логика и множества · 1–2 курс 51 Логика и множества Глава 52 · Бесконечности · 1–2 курс 52 Бесконечности Глава 53 · Строгий анализ · 1–2 курс 53 Строгий анализ Глава 54 · Мера и интеграл Лебега · 3 курс и выше 54 Мера Глава 55 · Функциональный анализ · 3 курс и выше 55 Функциональный анализ Глава 56 · Гёдель, Тьюринг и пределы доказательства · 1–2 курс 56 Гёдель и Тьюринг Глава 57 · Топология · 1–2 курс 57 Топология Глава 58 · Неевклидовы геометрии · 1–2 курс 58 Неевклидовы геометрии Глава 59 · Хаос и фракталы · 1–2 курс 59 Хаос и фракталы Глава 60 · Передний край · 3 курс и выше 60 Передний край Карта курса: линии — части, станции — главы Глава 0 · Что такое математика · 5–9 класс 0 Старт Глава 1 · Счёт: от зарубок до битов · 5–9 класс 1 Счёт Глава 2 · Ноль и минус · 5–9 класс 2 Ноль и минус Глава 3 · Простые числа · 5–9 класс 3 Простые числа Глава 4 · Делимость и алгоритм Евклида · 5–9 класс 4 Делимость Глава 5 · Дроби · 5–9 класс 5 Дроби Глава 6 · Корень из двух и действительные числа · 5–9 класс 6 Корень из двух Глава 7 · Буквы вместо чисел · 5–9 класс 7 Буквы Глава 8 · Уравнения: искусство равновесия · 5–9 класс 8 Уравнения Глава 9 · Функции и графики · 5–9 класс 9 Функции Глава 10 · Квадратные уравнения · 5–9 класс 10 Квадратныеуравнения Глава 11 · Системы уравнений и неравенства · 5–9 класс 11 Системы Глава 12 · Степени и логарифмы · 5–9 класс 12 Степени илогарифмы Глава 13 · Последовательности и индукция · 5–9 класс 13 Последовательности Глава 14 · Многочлены · 10–11 класс 14 Многочлены Глава 15 · Комплексные числа · 10–11 класс 15 Комплексные числа Глава 16 · Начала: аксиомы и построения · 5–9 класс 16 Начала Евклида Глава 17 · Треугольник · 5–9 класс 17 Треугольник Глава 18 · Теорема Пифагора · 5–9 класс 18 Пифагор Глава 19 · Окружность и число π · 5–9 класс 19 Окружность и π Глава 20 · Площадь и объём · 5–9 класс 20 Площадь и объём Глава 21 · Тригонометрия · 10–11 класс 21 Тригонометрия Глава 22 · Векторы и координаты · 10–11 класс 22 Векторы Глава 23 · Симметрия и преобразования · 10–11 класс 23 Симметрия Глава 24 · Конические сечения · 10–11 класс 24 Конические сечения Глава 25 · Пределы · 10–11 класс 25 Пределы Глава 26 · Производная · 10–11 класс 26 Производная Глава 27 · Экстремумы и оптимизация · 10–11 класс 27 Экстремумы Глава 28 · Интеграл · 10–11 класс 28 Интеграл Глава 29 · Число e и экспонента · 10–11 класс 29 Число e Глава 30 · Ряды · 1–2 курс 30 Ряды Глава 31 · Дифференциальные уравнения · 1–2 курс 31 Дифференциальныеуравнения Глава 32 · Функции многих переменных · 1–2 курс 32 Многие переменные Глава 33 · Ряды Фурье · 1–2 курс 33 Ряды Фурье Глава 34 · Комплексный анализ · 1–2 курс 34 Комплексныйанализ Глава 35 · Матрицы как преобразования · 1–2 курс 35 Матрицы Глава 36 · Метод Гаусса · 1–2 курс 36 Метод Гаусса Глава 37 · Векторные пространства · 1–2 курс 37 Векторныепространства Глава 38 · Собственные векторы · 1–2 курс 38 Собственныевекторы Глава 39 · Ортогональность, МНК и SVD · 1–2 курс 39 МНК и SVD Глава 40 · Группы · 1–2 курс 40 Группы Глава 41 · Арифметика остатков и шифры · 1–2 курс 41 Остатки и шифры Глава 42 · Кольца, поля и коды · 1–2 курс 42 Кольца и поля Глава 43 · Теория Галуа · 3 курс и выше 43 Теория Галуа Глава 44 · Дзета-функция и эллиптические кривые · 3 курс и выше 44 Дзета и кривые Глава 45 · Комбинаторика · 5–9 класс 45 Комбинаторика Глава 46 · Графы · 10–11 класс 46 Графы Глава 47 · Вероятность · 10–11 класс 47 Вероятность Глава 48 · Случайные величины · 1–2 курс 48 Случайныевеличины Глава 49 · Статистика · 1–2 курс 49 Статистика Глава 50 · Цепи Маркова и информация · 1–2 курс 50 Цепи Маркова Глава 51 · Логика и множества · 1–2 курс 51 Логика и множества Глава 52 · Бесконечности · 1–2 курс 52 Бесконечности Глава 53 · Строгий анализ · 1–2 курс 53 Строгий анализ Глава 54 · Мера и интеграл Лебега · 3 курс и выше 54 Мера Глава 55 · Функциональный анализ · 3 курс и выше 55 Функциональныйанализ Глава 56 · Гёдель, Тьюринг и пределы доказательства · 1–2 курс 56 Гёдель и Тьюринг Глава 57 · Топология · 1–2 курс 57 Топология Глава 58 · Неевклидовы геометрии · 1–2 курс 58 Неевклидовыгеометрии Глава 59 · Хаос и фракталы · 1–2 курс 59 Хаос и фракталы Глава 60 · Передний край · 3 курс и выше 60 Передний край
  • глава
  • прочитано
  • пересадка на новую линию
  • идея из одной главы работает в другой

Семь больших вопросов

Курс начинается с вопросов, на которые в школе обычно не отвечают. На каждый здесь найдётся ответ.

  1. Почему минус на минус даёт плюс?

    Правило знаков учат наизусть в шестом классе. Но почему долг, умноженный на долг, вдруг оборачивается прибылью — это договорённость или иначе нельзя?

    Ответ — в главе 2 · Ноль и минус

  2. Можно ли разрезать круг на куски и сложить из них квадрат?

    Площадь та же, фигуры разные. Ножницами не выйдет, циркулем и линейкой тоже. А в 1990 году выяснилось, что можно — если резать на куски, которые не нарисует ни один художник.

    Ответ — в главе 54 · Мера и интеграл

  3. Почему для уравнения пятой степени нет формулы корней?

    Квадратные уравнения решали ещё вавилоняне, третью и четвёртую степень одолели в XVI веке. Потом почти триста лет — ничего. И дело было не в том, что плохо искали.

    Ответ — в главе 43 · Теория Галуа

  4. Чего больше: натуральных чисел или точек на отрезке?

    И тех и других бесконечно много, так что сравнивать вроде бы нечего. Но бесконечности бывают разного размера, и доказательство занимает несколько строк.

    Ответ — в главе 52 · Бесконечности

  5. Как работает шифр, который защищает ваш банк?

    Вы с банком договариваетесь о секретном ключе на виду у всего интернета, и тот, кто подслушивает, всё равно ничего не узнаёт. Как такое вообще возможно?

    Ответ — в главе 41 · Остатки и шифры

  6. Почему погоду нельзя предсказать на месяц вперёд?

    Уравнения, по которым движется воздух, известны, компьютеры считают быстро. И всё же дальше пары недель прогноз бессилен — и синоптики тут ни при чём.

    Ответ — в главе 59 · Хаос и фракталы

  7. Может ли утверждение быть истинным, но недоказуемым?

    Кажется, что в математике всё верное рано или поздно доказывают. В 1931 году Курт Гёдель показал, что это не так — и никакие новые аксиомы этого не исправят.

    Ответ — в главе 56 · Гёдель и Тьюринг

  8. Ответы спрятаны в главах. Первый — уже во второй: там скептик из XVII века спорит с правилом знаков.

    Начать с начала

Главы по частям

Курс читается по порядку, но в любую главу можно зайти сразу: в её начале сказано, на что она опирается.

Числа

От зарубок на кости до действительных чисел

Главы 1–6 · 5–9 класс

1 Счёт: от зарубок до битов Как записать число, для которого не хватит ни пальцев, ни зарубок на палке? Пройдём по залам музея счёта — от кости с насечками до двоичного кода — и посмотрим, как люди научились укладывать любое число в несколько знаков. 5–9 класс 40 мин
2 Ноль и минус Сколько будет 3 − 5? Скептик из XVII века уверен, что нисколько, а «минус на минус» считает бессмыслицей. Поспорим с ним по правилам: каждое правило знаков придётся отстоять. 5–9 класс 40 мин
3 Простые числа Есть числа, которые нельзя разбить на множители. Из них умножением собирается всё остальное, их бесконечно много, а где встретится следующее, заранее не скажет никто. 5–9 класс 40 мин
4 Делимость и алгоритм Евклида Головоломки про календарь, длинное число, плитку, кувшины и монеты — и один ответ на все: наибольший общий делитель и способ найти его, которому больше двух тысяч лет. 5–9 класс 40 мин
5 Дроби Как честно разделить семь пирогов на троих, почему при делении дробь переворачивают и откуда в записи одной седьмой бесконечная карусель цифр 142857. 5–9 класс 40 мин
6 Корень из двух и действительные числа Дело о диагонали квадрата: три независимые экспертизы доказывают, что её длину нельзя записать дробью. Разбираемся, как с этим жили вавилоняне, что такое цепные дроби и откуда берутся действительные числа. 5–9 класс 45 мин

Алгебра

Буквы, уравнения, функции — и числа, которых «не бывает»

Главы 7–15 · 5–9 класс → 10–11 класс

7 Буквы вместо чисел Фокусник угадывает задуманное число и считает в уме быстрее калькулятора. Разоблачим его фокусы один за другим — и по дороге научимся записывать правило, верное сразу для всех чисел. 5–9 класс 40 мин
8 Уравнения: искусство равновесия Уравнение — это весы в равновесии, на которых лежит коробка неизвестного веса. Научимся снимать с чаш лишнее так, чтобы весы не дрогнули, и узнаем, откуда взялось само слово «алгебра». 5–9 класс 40 мин
9 Функции и графики Бывает, что ответ на вопрос — не число, а правило. Поиграем с машинами, которые превращают одни числа в другие: научимся разгадывать их по нескольким броскам, видеть целиком на одном рисунке, настраивать, соединять в конвейер и запускать задом наперёд. 5–9 класс 40 мин
10 Квадратные уравнения Задаче, которой закончилась прошлая глава, без малого четыре тысячи лет. Раскопаем её слой за слоем — от глиняной таблички до формулы корней — и посмотрим, что эта формула говорит на самом деле. 5–9 класс 40 мин
11 Системы уравнений и неравенства Когда условий несколько, одного уравнения мало. Откроем маленькую мастерскую игрушек: найдём цены по двум накладным, посчитаем на древнекитайской счётной доске, упрёмся в ограничения склада и выясним, почему самый выгодный план всегда стоит в углу. 5–9 класс 45 мин
12 Степени и логарифмы Величина, которая на каждом шаге умножается, рано или поздно перерастает любую, которая прибавляется, и обычно раньше, чем кажется. Устроим гонку ростов, а потом найдём инструмент, который превращает умножение в сложение и укрощает астрономические числа. 5–9 класс 40 мин
13 Последовательности и индукция Как сложить сто чисел за минуту, почему бесконечная сумма бывает конечной и как доказать утверждение сразу для всех n — поставив в ряд костяшки домино и толкнув первую. 5–9 класс 45 мин
14 Многочлены В 1535 году в Венеции два математика обменялись тридцатью задачами, и все задачи одного из них были кубическими уравнениями. Проследим историю этого поединка до конца, а по дороге соберём оружие, которым с тех пор решают уравнения высоких степеней. 10–11 класс 50 мин
15 Комплексные числа Число, квадрат которого равен −1, почти триста лет считали невозможным. Проследим, как оно превращалось из фокуса в символ, из символа в точку, а из точки в поворот, и что после этого стало с уравнениями. 10–11 класс 55 мин

Геометрия

От аксиом Евклида до орбит планет

Главы 16–24 · 5–9 класс → 10–11 класс

16 Начала: аксиомы и построения Около 300 года до нашей эры в Александрии написали книгу, которая учит отличать «видно на чертеже» от «верно всегда». Её правила — циркуль и линейка, и по ним можно играть. 5–9 класс 45 мин
17 Треугольник Лаборатория с одним прибором — подвижным треугольником. Двигаем вершины, замечаем, что не меняется, и доказываем, почему: от признаков равенства до прямой Эйлера. 5–9 класс 60 мин
18 Теорема Пифагора Самая знаменитая теорема геометрии и её галерея: пять залов, в каждом своё доказательство — китайское, Евклида, через подобие, президентское и головоломка без формул. На выходе — целые тройки, расстояния и загадка Ферма. 5–9 класс 50 мин
19 Окружность и число π Погоня за одним числом длиной в четыре тысячи лет — от верёвки вокруг бочки до суперкомпьютеров. По дороге — теоремы об окружности: угол на диаметре, вписанный угол, касательная, хорды крест-накрест и площадь круга. 5–9 класс 55 мин
20 Площадь и объём Мастерская с ножницами: режем фигуры, перекладываем куски и выясняем, что такое площадь. Любой многоугольник перекраивается в любой другой той же площади — а круг и куб ножницам не поддаются. 5–9 класс 55 мин
21 Тригонометрия Экспедиция землемеров: от тени шеста к ширине реки, высоте горы и размеру всей Земли. По дороге углы превращаются в числа — синус, косинус, тангенс, — а окружность разматывается в волну. 10–11 класс 60 мин
22 Векторы и координаты Мотор тянет лодку в одну сторону, течение — в другую, ветер дует в третью. Штурман складывает всё это стрелками и считает со стрелками так же уверенно, как с числами. 10–11 класс 45 мин
23 Симметрия и преобразования Мастерская орнаментов: рисуем мотив, а зеркала, повороты и сдвиги превращают его в розетку, бордюр и обои. По дороге выяснится, что способов подвинуть плоскость без искажений всего четыре, а способов повторить узор по всей плоскости — семнадцать. 10–11 класс 55 мин
24 Конические сечения Рассечём конус плоскостью — и получим кривые, по которым летают планеты, кометы и межзвёздные гости. Одна ночь в обсерватории: от чертежей Аполлония до спутниковых тарелок и орбиты Земли. 10–11 класс 50 мин

Анализ

Бесконечно малые: скорость, площадь, рост и колебания

Главы 25–34 · 10–11 класс → 1–2 курс

25 Пределы Скорость в одно мгновение выглядит как ноль, делённый на ноль. Полтора века математики пользовались ею, не умея объяснить, что это такое. Объяснение оказалось игрой против упрямого противника — выучим её правила. 10–11 класс 50 мин
26 Производная Что на самом деле показывает спидометр? Сядем в машину с видеорегистратором, превратим среднюю скорость в мгновенную и научимся находить наклон любого гладкого графика в любой его точке. 10–11 класс 50 мин
27 Экстремумы и оптимизация Конкурс изобретателей: коробка из листа, камера на трассе, спасатель на пляже, консервная банка и корень из двух на калькуляторе без кнопки корня. В каждом задании вариантов бесконечно много, и производная находит лучший. 10–11 класс 50 мин
28 Интеграл Биография одной идеи: разрезать фигуру на тонкие полоски и сложить их. Она родилась в Сиракузах, повзрослела в век неделимых, встретилась с касательной у Ньютона и Лейбница и получила строгое определение от Римана. 10–11 класс 55 мин
29 Число e и экспонента Одно и то же число 2,71828… замечали в банке, на графике, под гиперболой, в радиоактивном распаде, на окружности, в гардеробе и на смотринах невесты. Запишем все встречи с ним, как натуралист в полевом дневнике, и выясним, одно ли это число или несколько похожих. 10–11 класс 55 мин
30 Ряды Бесконечную сумму сложить можно, но обращаться с ней надо осторожно: одна сходится, другая уходит в бесконечность, третья меняет ответ, стоит переставить слагаемые. Пройдём по кунсткамере бесконечных сумм — от стопки книг над пропастью до многочлена, который выдаёт себя за синус. 1–2 курс 55 мин
31 Дифференциальные уравнения Законы природы редко говорят, сколько чего будет, — они говорят, как быстро это меняется. Заходим в лабораторию, где из таких законов выращивают процессы: остывающий кофе, пружину, волков и зайцев, эпидемию. И выясняем, почему однозначное будущее ещё не значит предсказуемое. 1–2 курс 55 мин
32 Функции многих переменных Высота на горном склоне зависит сразу от двух координат. Возьмём карту, лупу и компас и выясним, куда такая функция растёт быстрее всего, где у неё вершины и перевалы и почему площадь под колоколом Гаусса равна корню из π. 1–2 курс 60 мин
33 Ряды Фурье Звук скрипки, температуру в кольце и контур, нарисованный пальцем, можно разобрать на синусоиды и собрать обратно. Узнаем, как по кривой найти её гармоники, почему у ступеньки всегда остаётся звон и как тот же приём сжимает фотографии и музыку. 1–2 курс 55 мин
34 Комплексный анализ Функцию комплексного переменного не нарисуешь графиком, зато её можно повесить на стену картиной. Пройдём по выставке таких картин и узнаем, почему ряд для 1/(1 + x²) сходится только при |x| < 1 и почему у любого многочлена есть корень. 1–2 курс 75 мин

Линейная алгебра

Матрицы как преобразования пространства и данных

Главы 35–39 · 1–2 курс

35 Матрицы как преобразования Четыре числа в два столбца умеют повернуть плоскость, растянуть её, перекосить, отразить в зеркале или сплющить в прямую. Научимся читать матрицу как чертёж деформации: собирать деформации в цепочки, отменять их и по одному числу узнавать, во сколько раз меняется площадь. 1–2 курс 50 мин
36 Метод Гаусса Как по нескольким наблюдениям найти потерянную планету: систему из многих уравнений превращаем в лесенку и читаем ответ снизу вверх. По ступенькам сразу видно, одно у системы решение, бесконечно много или ни одного. 1–2 курс 55 мин
37 Векторные пространства Стрелки, многочлены, звуковые сигналы и даже магические квадраты складываются и умножаются на числа по одним и тем же правилам. Восемь аксиом — и всё, что мы знаем о стрелках, начинает работать во всех этих мирах сразу. 1–2 курс 60 мин
38 Собственные векторы Обычно матрица поворачивает векторы, но у многих матриц есть направления, которые она только растягивает. Найдём их — и окажется, что числа Фибоначчи, поисковик Google и наклонный эллипс устроены одинаково. 1–2 курс 50 мин
39 Ортогональность, МНК и SVD Лаборатория данных: замеры не ложатся на прямую, облако точек вытянуто наискосок, фотография занимает слишком много места. Со всеми тремя задачами справляется одна идея — опустить перпендикуляр. 1–2 курс 60 мин

Структуры

Группы, кольца и поля — и шифры, на которых держится интернет

Главы 40–44 · 1–2 курс → 3 курс и выше

40 Группы Картонный квадрат, колода карт, «пятнашки» и кубик Рубика — четыре головоломки, за которыми стоит одна конструкция из четырёх правил. Соберём её и узнаем, почему в «пятнашках» нельзя поменять местами 14 и 15 и сколько раз нужно повторить R U, чтобы кубик собрался снова. 1–2 курс 55 мин
41 Арифметика остатков и шифры Как договориться о секрете, если ваш разговор слышат все? Мастерская шифровальщика: колесо Цезаря, обмен ключами, RSA — и арифметика остатков, на которой держится каждый из этих замков. 1–2 курс 55 мин
42 Кольца, поля и коды Как исправить ошибку в сообщении, если переспросить нельзя? Журнал инженера: от тройного повтора и трёх кругов Хэмминга до полей Галуа и кодов Рида — Соломона, которые спрятаны в каждом QR-коде. 1–2 курс 55 мин
43 Теория Галуа Почему для уравнения пятой степени нет формулы, почему угол не делится на три равные части циркулем и линейкой и почему правильный семнадцатиугольник построить можно. На все три вопроса отвечает одна идея — симметрии корней. Её автор, Эварист Галуа, погиб в двадцать лет. 3 курс и выше 75 мин
44 Дзета-функция и эллиптические кривые Насколько точна формула Гаусса для числа простых? Ответ спрятан в нулях одной функции комплексного переменного, и где лежат все эти нули, не знает никто. По соседству — кривые третьей степени, на которых точки складываются, как числа: они доказали теорему Ферма и охраняют ваш банк. 3 курс и выше 70 мин

Случай и данные

Комбинаторика, вероятность, статистика и информация

Главы 45–50 · 5–9 класс → 10–11 класс → 1–2 курс

45 Комбинаторика Вечер настольных игр: кости, карты, фишки, шляпы и гости. Научимся считать варианты, не выписывая их, и увидим, что в достаточно большой компании какой-то порядок возникает сам собой. 5–9 класс 45 мин
46 Графы Прогулка по городу: мосты, перекрёстки, дороги и карты. Эйлер оставил от города только точки и линии между ними — и решил задачу о мостах. Тем же приёмом сегодня прокладывают маршруты, составляют расписания и раскрашивают карты. 10–11 класс 45 мин
47 Вероятность Суд над интуицией: семь дел об ошибках рассуждений о шансах — за игорным столом, в телестудии, в кабинете врача и в зале суда. Научимся считать вероятности и узнавать ловушки, в которые попадали игроки, профессора и присяжные. 10–11 класс 50 мин
48 Случайные величины Лаборатория случайности: бросаем кости и иглы, роняем шарики на гвозди, считаем удары копытом. Каждый закон сначала наблюдаем в опыте, потом доказываем — и видим, почему среднее многих случайных чисел почти не случайно. 1–2 курс 60 мин
49 Статистика Пять газетных заголовков — пять разборов. Средняя зарплата, опрос с погрешностью в три процента, «доказанное» лекарство, шоколад и Нобелевские премии, приём в университет: учимся судить о целом по выборке и не обманывать себя. 1–2 курс 55 мин
50 Цепи Маркова и информация Буквы в тексте зависят от предыдущих, погода — от вчерашней. Посчитаем эту зависимость, как Марков в «Евгении Онегине», и измерим, сколько информации несёт буква, как Шеннон. 1–2 курс 50 мин

Основания

Логика, бесконечности и пределы доказательства

Главы 51–56 · 1–2 курс → 3 курс и выше

51 Логика и множества Пятьдесят глав мы говорили «для любого», «существует», «следовательно» и «множество», не заглядывая в грамматику. Выучим её на острове, где одни жители всегда говорят правду, а другие всегда лгут. 1–2 курс 55 мин
52 Бесконечности Три собеседника Галилея спорят, чего больше: натуральных чисел или точек на отрезке. По дороге им попадутся гостиница, где всегда есть свободный номер, диагональ Кантора и башня бесконечностей без верхнего этажа. 1–2 курс 55 мин
53 Строгий анализ Непрерывная функция без единой касательной, функция, которую нельзя нарисовать, предел непрерывных функций со скачком. Бестиарий чудовищ, из-за которых анализ стал строгим, и инструменты, которыми их приручили. 1–2 курс 75 мин
54 Мера и интеграл Лебега Сколько весят все дроби отрезка? Ответ «ничего» заставил заново определить длину — и привёл к интегралу, которому по силам функция Дирихле, к множествам, которые нельзя измерить, к шару, из которого собирают два, и к кругу, разрезанному в квадрат. 3 курс и выше 75 мин
55 Функциональный анализ Функция — точка пространства, у которого бесконечно много измерений. В нём есть длины, углы и проекции, теорема Пифагора с бесконечным числом катетов снова даёт π²/6, а неподвижная точка сжатия рисует папоротник. Но кое-что из привычного на этой границе ломается. 3 курс и выше 60 мин
56 Гёдель, Тьюринг и пределы доказательства Головоломка из четырёх правил, число, которое говорит о себе, и программа, которую невозможно написать. В 1931 году Гёдель доказал, что в арифметике есть истинные, но недоказуемые утверждения, а в 1936-м Тьюринг — что некоторые вопросы не решает никакой алгоритм. 1–2 курс 65 мин

Горизонты

Топология, неевклидовы миры, хаос и нерешённые задачи

Главы 57–60 · 1–2 курс → 3 курс и выше

57 Топология Геометрия, в которой фигуры можно мять. Кружка здесь неотличима от бублика, у бумажной ленты бывает одна сторона, узел можно доказуемо не развязать, а на Земле в любой момент есть место, где нет ветра. 1–2 курс 55 мин
58 Неевклидовы геометрии Дневник путешествия по трём мирам. На плоскости сумма углов треугольника — ровно 180°, на сфере больше, а в мире Лобачевского меньше, и там через точку проходит бесконечно много параллельных. 1–2 курс 60 мин
59 Хаос и фракталы Формула в одну строчку, три уравнения Лоренца, игра в кости — и поведение, которое не предскажет никакой компьютер. Лабораторный журнал из девяти опытов: почему погоду нельзя предсказать на месяц вперёд и откуда у берега дробная размерность. 1–2 курс 60 мин
60 Передний край Курс кончается там, где кончаются ответы. Карта неизведанного: задачи тысячелетия, гипотеза Коллатца, P против NP; как математику делают сегодня — вместе, с компьютерами, Lean и ИИ; и возвращение к семи вопросам, с которых всё началось. 3 курс и выше 55 мин

Решатели задач

Введите свою задачу — решатель покажет решение по шагам и объяснит, почему каждый шаг законен.

Все решатели

Ещё в курсе

Тренажёры Задачи без конца: генератор придумывает новые, принимает любую верную форму ответа и показывает разбор. Каталог тем Главы по темам, уровням и частям — например, всё про вероятность или всё, что пригодится на экзамене. Словарь Каждый термин курса с коротким определением и ссылкой на главу, где он появился.

Как устроен курс

  1. Стена и лестница

    Глава начинается с задачи, которую нечем решить, и строит для неё инструмент. В конце — новая стена: с неё начнётся следующая глава.

  2. Живые чертежи

    Виджеты отвечают на вопрос «а что будет, если…». Двигайте, меняйте, ломайте — ничего не испортится.

  3. Формулы по частям

    Каждую важную формулу разбираем на части: откуда что берётся, пример с числами и где формула перестаёт работать.

  4. Тренажёры и решатели

    Тренажёр выдаёт задачи, пока не надоест. Решатель берёт вашу задачу и решает её по шагам с объяснениями.

Четыре уровня

  • 5–9 класс Школа Хватит арифметики и любопытства
  • 10–11 класс Старшие классы Опирается на школьную алгебру и геометрию
  • 1–2 курс Университет Как на первых курсах мехмата, MIT и Кембриджа
  • 3 курс и выше Дальше Для тех, кого не пугают абстракции
Царица наук

Главы курса

Вступление

  1. 0 Что такое математика

I Числа

  1. 1 Счёт
  2. 2 Ноль и минус
  3. 3 Простые числа
  4. 4 Делимость
  5. 5 Дроби
  6. 6 Корень из двух

II Алгебра

  1. 7 Буквы
  2. 8 Уравнения
  3. 9 Функции и графики
  4. 10 Квадратные уравнения
  5. 11 Системы и неравенства
  6. 12 Степени и логарифмы
  7. 13 Последовательности
  8. 14 Многочлены
  9. 15 Комплексные числа

III Геометрия

  1. 16 Начала Евклида
  2. 17 Треугольник
  3. 18 Теорема Пифагора
  4. 19 Окружность и π
  5. 20 Площадь и объём
  6. 21 Тригонометрия
  7. 22 Векторы
  8. 23 Симметрия
  9. 24 Конические сечения

IV Анализ

  1. 25 Пределы
  2. 26 Производная
  3. 27 Экстремумы
  4. 28 Интеграл
  5. 29 Число e
  6. 30 Ряды
  7. 31 Дифференциальные уравнения
  8. 32 Многие переменные
  9. 33 Ряды Фурье
  10. 34 Комплексный анализ

V Линейная алгебра

  1. 35 Матрицы
  2. 36 Метод Гаусса
  3. 37 Векторные пространства
  4. 38 Собственные векторы
  5. 39 МНК и SVD

VI Структуры

  1. 40 Группы
  2. 41 Остатки и шифры
  3. 42 Кольца и поля
  4. 43 Теория Галуа
  5. 44 Дзета и кривые

VII Случай и данные

  1. 45 Комбинаторика
  2. 46 Графы
  3. 47 Вероятность
  4. 48 Случайные величины
  5. 49 Статистика
  6. 50 Марков и информация

VIII Основания

  1. 51 Логика и множества
  2. 52 Бесконечности
  3. 53 Строгий анализ
  4. 54 Мера и интеграл
  5. 55 Функциональный анализ
  6. 56 Гёдель и Тьюринг

IX Горизонты

  1. 57 Топология
  2. 58 Неевклидовы геометрии
  3. 59 Хаос и фракталы
  4. 60 Передний край