Строгий анализ

Прошлая глава закончилась признанием. Мы сравнивали бесконечности, пересчитывали дроби и доказали, что точек на отрезке больше, чем натуральных чисел, но так и не сказали, что такое одна точка — одно действительное число. Двести лет анализ прекрасно обходился без ответа. Ньютон, Лейбниц и Эйлер опирались на наглядную уверенность: число — это точка прямой, функция — кривая, которую можно нарисовать, и что верно для картинки, то верно и для чисел.

Во второй половине XIX века эта уверенность рухнула. Одна за другой появились функции, которые вели себя так, как «не бывает», и опровергали утверждения, десятилетиями считавшиеся доказанными. Анри Пуанкаре встретил их без восторга:

Логика иногда порождает чудовищ. Вот уже полвека мы видим, как возникает множество причудливых функций, которые будто стараются как можно меньше походить на честные функции, приносящие хоть какую-то пользу.

Несколькими строками ниже Пуанкаре называет всё это собрание тератологическим музеем, то есть музеем уродов. Мы выберем жанр постарше. Средневековые книги о чудовищах назывались бестиариями: про каждого зверя там сказано, где он водится, чем опасен и как его одолеть. Эта глава устроена так же. Каждое чудовище из бестиария анализа заставило сделать строгим какое-нибудь понятие: действительное число, непрерывность, сходимость. Попутно мы вернём долги, которые курс копил начиная с главы о пределах: теоремы, которые мы называли очевидными или обещали доказать потом, здесь получат полные доказательства.

Зазубрины до самого дна

Возьмём косинусоиду, прибавим к ней косинусоиду втрое чаще и вдвое ниже, потом ещё втрое чаще и ещё вдвое ниже, и так без конца:

Высота $n$-й волны. Число $a$ лежит между нулём и единицей, поэтому волны всё ниже. Ряд сходится в каждой точке: его члены по модулю не больше членов геометрической прогрессии $a^n$ (признак сравнения, глава 30). Частота $n$-й волны: $b$ — целое число больше единицы, и каждая следующая волна в $b$ раз чаще предыдущей. Пример: при $a = \frac12$, $b = 3$ в нуле все косинусы равны единице, и $W(0) = 1 + \frac12 + \frac14 + \ldots = 2$. В точке $\frac13$ первый косинус равен $\cos\frac\pi3 = \frac12$, а остальные — $\cos(3^{n-1}\pi) = -1$, потому что $3^{n-1}$ нечётно. Получаем $W\bigl(\frac13\bigr) = \frac12 - \bigl(\frac12 + \frac14 + \ldots\bigr) = -\frac12$.

Каждое слагаемое — гладкая волна, у неё в каждой точке есть касательная. Любая конечная сумма таких волн тоже гладкая. А Вейерштрасс доказал, что у бесконечной суммы при нечётном $b$ и $ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$ нет производной ни в одной точке, хотя сама функция всюду непрерывна. В 1916 году Годфри Харди ослабил условие до $ab \ge 1$, так что годится и пара $a = \frac12$, $b = 3$ из примера.

Почему это было ударом? Интуиция говорит, что непрерывная кривая может ломаться лишь кое-где, как ломаная, а между изломами она гладкая. В 1806 году Андре-Мари Ампер опубликовал «доказательство» того, что у непрерывной функции производная существует всюду, кроме отдельных точек, и многие учебники XIX века повторяли этот вывод. В главе 26 мы видели, как гладкий график под сильным увеличением распрямляется в касательную. Посмотрим, что делает под лупой функция Вейерштрасса.

Сколько ни увеличивай, картинка не успокаивается: в любом окне столько же зазубрин, сколько на всём графике. Главное видно в ряду наклонов. У гладкой функции наклон секущей почти перестаёт меняться и подходит к производной. У чудовища он мечется и растёт по модулю, и никакого предела у него нет — а производная и есть предел наклонов секущих.

Не все приняли такие функции как законных граждан математики. Шарль Эрмит писал Томасу Стилтьесу:

Я с ужасом и отвращением отворачиваюсь от этой прискорбной язвы — непрерывных функций, у которых нет производных.

Спорить с функцией Вейерштрасса можно было только одним способом: найти ошибку в доказательстве. Ошибки не было. Ошибка была в картинке, на которую опирались прежние рассуждения: непрерывность, определённая через пределы (глава 25), оказалась гораздо шире, чем «кривая без разрывов с касательными». Урок первого чудовища — доверять не рисунку, а определениям. Приручим мы его в конце главы: докажем, что оно непрерывно, а нигде не дифференцируемым докажем его близкого родственника, у которого выкладки короче.

Каждое слагаемое ряда — гладкая функция, и в каждой точке ряд сходится. Что отсюда следует для суммы?

Сумма гладкая Сумма хотя бы непрерывна Без дополнительных условий — ни то, ни другое

Гладкость слагаемых к сумме бесконечного ряда не переходит, и даже непрерывность переходит не всегда. Что нужно добавить, чтобы переходила, выясним в разделе об ошибке Коши: это равномерная сходимость.

Функция без графика

Нарисовать её нельзя: на любом крошечном отрезке есть и дроби, и иррациональные числа, так что «график» — две сплошные на вид полосы на высотах $0$ и $1$, и ни в одной точке нельзя сказать, куда он идёт дальше. Сам Дирихле говорил о двух произвольных постоянных $c$ и $d$; единица и ноль — позднейшее соглашение. Для XVIII века это не функция вовсе: Эйлер понимал функцию как выражение, составленное из переменной и чисел. Дирихле настаивал на другом: функция — любое правило, по которому каждому $x$ сопоставлено число, и неважно, есть ли у правила формула и график. Сегодня так её и определяют (глава 9).

Функция Дирихле разрывна всюду, потому что двух сортов соседей у каждой точки поровну — бесконечно много. А что если сделать скачки в дробях тем меньше, чем больше знаменатель?

Над каждой дробью подскочило зёрнышко: над половиной — на высоту $\frac12$, над третями — на $\frac13$, и чем мельче дробь, тем ниже. Функция периодична с периодом $1$: сдвиг на целое число не меняет знаменателя. Поэтому хватит изучить её на отрезке $[0;\,1]$.

Хитрость в том, что выше любого уровня поднимается лишь конечное число зёрен, а от конечного числа точек иррациональное число всегда можно отгородиться.

Отметим точки $\bigl(\frac pq;\ \frac1q\bigr)$ на отрезке $[0;\,1]$: чем меньше знаменатель, тем выше точка. Все иррациональные точки лежат на оси, там $T = 0$. Пусть $x$ иррационально, и Скептик назвал допуск $\varepsilon$. Выше уровня $\varepsilon$ поднимаются только дроби со знаменателями $q \le \frac1\varepsilon$, а на отрезке $[0;\,1]$ таких дробей конечное число: при каждом $q$ их не больше $q + 1$. Число $x$ не совпадает ни с одной из них — оно иррационально. Расстояния от $x$ до конечного числа точек положительны, и наименьшее из них тоже положительно. Назовём его $\delta$. В окошке $(x - \delta;\ x + \delta)$ нет ни одного высокого зерна: иррациональные точки дают $0$, дроби — значения меньше $\varepsilon$. Поэтому $|T(y) - T(x)| = T(y) < \varepsilon$, и партия выиграна: $T$ непрерывна в $x$. Если же $x = \frac pq$, то $T(x) = \frac1q > 0$, а в любом окошке вокруг $x$ есть иррациональные точки, где $T = 0$. На допуск $\varepsilon = \frac1q$ окошка нет: в каждой рациональной точке разрыв.

Чудовище вышло забавное: оно непрерывно там, где его «нет» (на оси), и рвётся в каждом зерне. Наоборот не бывает: из теоремы, которую Вито Вольтерра доказал в 1881 году, следует, что нет функции, непрерывной во всех рациональных точках и разрывной во всех иррациональных. А вот интеграл у попкорна есть.

Дыры между дробями

Дыры в рациональной прямой мы видели в главе 6, а теперь видно, как дорого они обходятся анализу. Если бы чисел было только столько, сколько дробей, рухнули бы три главные теоремы. Последовательность $1;\ 1{,}4;\ 1{,}41;\ 1{,}414;\ \ldots$ растёт и не превосходит $2$, но предела среди дробей у неё нет. Функция $x^2 - 2$ на дробях отрезка $[1;\,2]$ непрерывна, меняет знак — и нигде не обращается в ноль. Функция $-(x^2 - 2)^2$ на тех же дробях непрерывна и ограничена, а наибольшего значения не имеет: ноль она не принимает, а к нулю подходит сколь угодно близко.

Значит, свойство «без дыр» надо сформулировать явно, а для этого — сказать, что такое действительное число, не ссылаясь на картинку. Определение из главы 6, число как бесконечная десятичная дробь, для этого неудобно: непонятно, как складывать и умножать бесконечные записи, если переносы приходят «из бесконечности». Рихард Дедекинд, по его собственным словам, придумал выход 24 ноября 1858 года, когда готовил лекции в Цюрихском политехникуме: ему было неловко доказывать основные теоремы анализа, ссылаясь на геометрическую наглядность. Напечатал он своё решение только в 1872 году в брошюре «Непрерывность и иррациональные числа».

Мысль Дедекинда такая. Разрежем прямую в каком-то месте: все точки слева от разреза — нижний класс, справа — верхний. Непрерывность прямой означает, что разрез всегда приходится на точку. У дробей это не так: разрежем их по правилу «$r < 0$ или $r^2 < 2$» — снизу всё, что левее $\sqrt2$, сверху всё, что правее. Точки на месте разреза нет. Дедекинд предложил не искать для такого разреза точку, а объявить числом сам разрез.

Каждая дробь $r$ даёт сечение $\{x \in \mathbb Q : x < r\}$; у его верхнего класса есть наименьший элемент, сама $r$. Так дроби встают в новый мир на свои места. Сечение $\sqrt2 = \{r \in \mathbb Q : r < 0 \text{ или } r^2 < 2\}$ устроено иначе: ни в нижнем классе нет наибольшей дроби, ни в верхнем — наименьшей. Проверьте сами: попробуйте назвать наибольшую дробь, квадрат которой меньше двух.

Машина пользуется одной формулой: $r \mapsto \frac{2r + 2}{r + 2}$. Если $r > 0$ и $r^2 < 2$, то новая дробь больше: разность равна $\frac{2 - r^2}{r + 2} > 0$. И квадрат её всё ещё меньше двух: $\left(\frac{2r + 2}{r + 2}\right)^2 - 2 = \frac{2(r^2 - 2)}{(r + 2)^2} < 0$. Для дроби из верхнего класса те же выкладки дают дробь меньше, но всё ещё с квадратом больше двух. Начав с единицы, машина выдаёт $\frac43$, $\frac75$, $\frac{24}{17}$, $\frac{41}{29}$, … — среди них знакомые по главе 6 подходящие дроби $\sqrt2$.

Сечения сравнивают включением: $A \le B$, если $A \subset B$. Любые два сечения сравнимы. Если $A$ не содержится в $B$, возьмём дробь $a \in A$ вне $B$. Каждая дробь $b \in B$ меньше $a$: иначе $a \le b$, и $a$ лежала бы в $B$ вместе с $b$. А раз $b < a$, то $b \in A$. Значит, $B \subset A$. Сумму определяют поэлементно: $A + B = \{a + b : a \in A,\ b \in B\}$. С умножением возни больше — приходится разбирать знаки. Проверка всех правил арифметики и неравенств для сечений длинная и скучная, но честная; её целиком проделывают, например, в приложении к первой главе «Основ математического анализа» Уолтера Рудина. Главное же свойство сечений проверяется в три строки.

Сечение — луч дробей, уходящий влево. Объединение лучей — снова луч, и дальше него не уходит ни один из них.

Нарисуем сечения $A_i$ лучами дробей. На рисунке их концы подбираются к $\sqrt2$ снизу, как у сечений $\{x < 1\}$, $\{x < 1{,}4\}$, $\{x < 1{,}41\}$, … Все они лежат внутри сечения $\Gamma$ — это и есть граница сверху. Объединим их: $U$ — все дроби, попавшие хотя бы в одно $A_i$. $U$ — сечение. Оно не пусто, потому что содержит каждое $A_i$, и не совпадает с $\mathbb Q$, потому что лежит внутри $\Gamma$. Если $u \in U$, то $u$ лежит в каком-то $A_i$; вместе с $u$ там лежат все меньшие дроби и какая-то дробь больше $u$ (в $A_i$ нет наибольшей). Все они попадают в $U$, так что $U$ содержит всё меньшее $u$ и наибольшего элемента не имеет. $U$ — верхняя граница семейства: каждое $A_i \subset U$, то есть $A_i \le U$. И наименьшая: если сечение $\Gamma'$ больше или равно всем $A_i$, то все $A_i \subset \Gamma'$, а тогда и их объединение $U \subset \Gamma'$. На рисунке объединение лучей дошло ровно до $\sqrt2$ — до дыры, которую среди дробей нечем было заткнуть.

В том же 1872 году Георг Кантор, а тремя годами раньше Шарль Мере предложили другой путь: число — это последовательность дробей, которая «сходится сама в себе», хотя предела среди дробей может и не иметь (ниже такие последовательности названы фундаментальными). Две такие последовательности считают одним числом, если их разность стремится к нулю, — это отношение эквивалентности из главы 51, и число — его класс. Своё построение излагал на лекциях и Вейерштрасс. Все пути приводят к одному результату.

Аксиома полноты

Строительные леса можно убрать. Дальше не придётся помнить, из чего сделаны действительные числа: хватит правил арифметики, правил неравенств и одного свойства, которое отличает $\mathbb R$ от $\mathbb Q$. Сформулируем его без всяких сечений.

Для сечений это не аксиома, а только что доказанная теорема: объединение и есть точная верхняя грань. Поэтому, принимая аксиому, мы ничем не рискуем — модель, где она выполнена, построена из дробей. Для самих дробей она ложна: у множества $\{r \in \mathbb Q : r^2 < 2\}$ верхних границ среди дробей сколько угодно, а наименьшей нет.

$s$ — верхняя граница: ни один элемент множества не выше её. Ничего меньшего не годится: как ни опусти планку до $s - \varepsilon$, какой-то элемент окажется выше. Это и значит «наименьшая». Пример: $A = \bigl\{1 - \frac1n : n \in \mathbb N\bigr\}$. Все элементы меньше $1$, а на $\varepsilon = 0{,}01$ находится элемент $1 - \frac1{101} \approx 0{,}9901 > 0{,}99$; вообще годится любой $n > \frac1\varepsilon$. Значит, $\sup A = 1$, хотя наибольшего элемента у $A$ нет.

Когда у множества есть наибольший элемент, он и есть точная верхняя грань: $\sup [0;\,1] = 1$. Но полезна точная грань как раз тогда, когда наибольшего элемента нет: $\sup\,[0;\,1) = 1$, а $1 \notin [0;\,1)$. Первое, что даёт аксиома, — свойство, которое в главе 25 мы приняли без доказательства.

Множество $A$ ограничено сверху, и $s = \sup A$. Что из этого верно всегда?

$s$ принадлежит $A$ Каждое число меньше $s$ меньше какого-то элемента $A$ В любой окрестности $s$ бесконечно много элементов $A$

Это и есть вторая половина определения: если $t < s$, то $t = s - \varepsilon$ при $\varepsilon = s - t > 0$, и какой-то элемент больше $t$. Остальное зависит от множества.

Находить точные грани — навык, который пригодится во всём дальнейшем. Рецепт всегда один: угадать кандидата, проверить, что он верхняя граница, и показать, что элементы подходят к нему сколь угодно близко.

Четыре лица полноты

Аксиома говорит о множествах, а анализ говорит о последовательностях. Четыре теоремы ниже переводят её на язык последовательностей, и у каждой своя роль. Две из них курс уже использовал как аксиомы: принцип вложенных отрезков — в главе 25, теорему о монотонной последовательности — в главе 30. Теперь они станут теоремами.

Предел искать не нужно: его подсказывает аксиома полноты.

Члены $a_1 \le a_2 \le a_3 \le \ldots$ лежат ниже некоторого числа, и по аксиоме полноты у множества членов есть точная верхняя грань $s$. Скептик называет допуск $\varepsilon$. Число $s - \varepsilon$ меньше $s$ и потому уже не верхняя граница: какой-то член $a_N$ больше $s - \varepsilon$. Последовательность не убывает, поэтому все члены после $a_N$ тоже больше $s - \varepsilon$. А выше $s$ не поднимается ни один член. Значит, при $n > N$ все $a_n$ лежат в полосе $(s - \varepsilon;\ s]$ и $|a_n - s| < \varepsilon$. На любой допуск нашёлся номер: $a_n \to s$.

Для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу, то же самое с точной нижней гранью. Теорема возвращает долг главы 12: степени $2^{1{,}4} \approx 2{,}6390$, $2^{1{,}41} \approx 2{,}6574$, $2^{1{,}414} \approx 2{,}6647$, … растут вместе с показателями и не превосходят $2^{1{,}5} \approx 2{,}8284$, поэтому у них есть предел. Этот предел, $2{,}66514\ldots$, и называют $2^{\sqrt2}$. Бесконечные десятичные дроби из главы 30 получают значения по той же причине.

Теперь доказательство теоремы о промежуточном значении из главы 25, которое держалось на этом принципе, полностью строгое. Третье лицо полноты — про последовательности, которые никуда не стремятся.

Будем делить пополам отрезок, в котором живут члены, и каждый раз оставлять половину, где их бесконечно много. На рисунке — последовательность $a_n = \sin n$: предела у неё нет, а её члены встречаются бесконечно много раз на любом кусочке отрезка $[-1;\,1]$, так что годится любая половина; мы держимся той, где лежит $0{,}3$.

Последовательность ограничена, так что все её члены лежат на некотором отрезке $I_0$. Разделим $I_0$ пополам. Номеров $n$ бесконечно много, и хотя бы в одной половине оказывается бесконечно много членов $a_n$. Её и оставим, назовём $I_1$. Повторим с $I_1$, потом с $I_2$, и так далее. Получатся вложенные отрезки $I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \ldots$, каждый вдвое короче предыдущего и с бесконечным числом членов. Выберем по члену в каждом: $a_{n_1} \in I_1$, затем $a_{n_2} \in I_2$ с номером $n_2 > n_1$ — такой есть, ведь в $I_2$ бесконечно много членов, — затем $a_{n_3} \in I_3$ с $n_3 > n_2$, и так далее. По принципу вложенных отрезков у всех $I_k$ есть общая точка $x$. И $a_{n_k}$, и $x$ лежат в $I_k$, поэтому $|a_{n_k} - x|$ не больше длины $I_k$, которая равна длине $I_0$, делённой на $2^k$, и стремится к нулю. Подпоследовательность сходится к $x$.

Последнее лицо полноты позволяет узнать, что предел есть, не зная, чему он равен.

Критерий Коши — самая переносимая форма полноты: в нём нет ни порядка, ни точных граней, только расстояния. Поэтому его берут за определение полноты там, где «больше» и «меньше» не бывает: для комплексных чисел, векторов, функций (глава 55). Среди дробей последовательность $1;\ 1{,}4;\ 1{,}41;\ \ldots$ фундаментальна, но не сходится — снова та же дыра.

Соседние члены последовательности сближаются: $a_{n+1} - a_n \to 0$. Значит ли это, что последовательность сходится?

Да, это и есть фундаментальность Нет

Возьмём суммы гармонического ряда $H_n = 1 + \frac12 + \ldots + \frac1n$ (глава 30). Соседние отличаются на $\frac1{n + 1} \to 0$, но $H_{2n} - H_n \ge n \cdot \frac1{2n} = \frac12$, и последовательность уходит в бесконечность. Шаги мельчают, а путь не кончается.

Можно ли наоборот: взять за аксиому вложенные отрезки?

Если в упорядоченном поле выполнены принцип Архимеда и принцип вложенных отрезков, то в нём выполнена и аксиома полноты.

Пусть $A$ не пусто и ограничено сверху. Возьмём элемент $a_0 \in A$ и верхнюю границу $b_0$ и будем делить отрезок $[a_0;\,b_0]$ пополам. Если середина — верхняя граница $A$, оставляем левую половину, если нет — правую. Так сохраняются два свойства: правый конец $b_k$ — верхняя граница $A$, а на отрезке $[a_k;\,b_k]$ есть элемент $A$ (в первом случае — прежний, во втором — элемент правее середины). Длины $\frac{b_0 - a_0}{2^k}$ стремятся к нулю по принципу Архимеда, и у отрезков есть единственная общая точка $s$. Если бы какой-то $a \in A$ был больше $s$, то при $b_k - a_k < a - s$ правый конец $b_k \le s + (b_k - a_k) < a$ не был бы верхней границей. А для любого $\varepsilon > 0$ при $b_k - a_k < \varepsilon$ элемент из $[a_k;\,b_k]$ больше $b_k - \varepsilon \ge s - \varepsilon$. Значит, $s = \sup A$.

Поэтому разные учебники формулируют полноту по-разному, и все правы: вложенные отрезки (с Архимедом), монотонные последовательности, фундаментальные последовательности (с Архимедом) и точные грани — одно и то же свойство. Глава 25 ничего не потеряла, приняв аксиомой вложенные отрезки.

Возвращаем долги

Строгие доказательства в курсе не раз откладывались «до главы 53». Вот книга долгов:

Начнём с первой строки. В главе 25 теорема о промежуточном значении доказана делением пополам, и теперь это доказательство полное. Вот второе, в духе этой главы: корень укажет точная верхняя грань.

Возьмём самое правое место, до которого функция ещё бывает отрицательной, — точную верхнюю грань множества, где $f < 0$.

Множество $S = \{x \in [a;\,b] : f(x) < 0\}$ не пусто (в нём есть $a$) и ограничено сверху числом $b$. Пусть $c = \sup S$; тогда $a \le c \le b$. Может ли быть $f(c) < 0$? Тогда $c \ne b$, и по непрерывности $f$ отрицательна на целом окошке вокруг $c$ (сыграйте со Скептиком на допуск $|f(c)|$). Точки окошка правее $c$ лежат в $S$ — а $c$ была верхней гранью. Не может. Может ли быть $f(c) > 0$? Тогда $c \ne a$, и $f$ положительна на окошке $(c - \delta;\ c]$. Точек $S$ в нём нет, а правее $c$ их нет тем более. Значит, $c - \delta$ — тоже верхняя граница $S$, меньшая $c$, вопреки тому, что $c$ — наименьшая. Не может. Остаётся $f(c) = 0$. И $c$ лежит внутри отрезка, потому что на концах $f$ не равна нулю.

Корень, найденный этим способом, особенный: правее него функция уже нигде не отрицательна. Следующий долг требует теоремы Больцано — Вейерштрасса и одного простого наблюдения: непрерывная функция переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся. Если $x_k \to c$ и $f$ непрерывна в $c$, то на допуск $\varepsilon$ непрерывность даёт окошко $\delta$, члены $x_k$ попадают в него начиная с какого-то номера, и дальше $|f(x_k) - f(c)| < \varepsilon$. Ещё нам понадобится, что предел членов отрезка $[a;\,b]$ лежит на том же отрезке: если бы $x_k \to c > b$, то на допуск $c - b$ члены оказались бы правее $b$.

Дважды применим теорему Больцано — Вейерштрасса: сначала чтобы доказать, что значения ограничены, потом чтобы найти точку, где достигается их точная верхняя грань.

Допустим, значения $f$ сверху не ограничены. Тогда для каждого $n$ найдётся $x_n \in [a;\,b]$ с $f(x_n) > n$. Последовательность $x_n$ ограничена отрезком, и у неё есть подпоследовательность $x_{n_k} \to c$, причём $c \in [a;\,b]$. По непрерывности $f(x_{n_k}) \to f(c)$, то есть к числу. Но $f(x_{n_k}) > n_k \ge k$, и значения растут неограниченно. Противоречие: $f$ ограничена сверху. Значит, у множества значений есть точная верхняя грань $M$. Для каждого $n$ число $M - \frac1n$ уже не верхняя граница: найдётся $y_n$ с $M - \frac1n < f(y_n) \le M$. Снова выберем подпоследовательность $y_{n_k} \to d \in [a;\,b]$. По непрерывности $f(y_{n_k}) \to f(d)$, а по теореме о двух милиционерах (глава 25) $f(y_{n_k}) \to M$. У последовательности один предел, поэтому $f(d) = M$: наибольшее значение достигается в точке $d$. Наименьшее значение $f$ — это наибольшее значение $-f$ со знаком минус.

Оба условия нужны, и примеры из главы 27 показывают, что без них бывает: у $\frac1x$ на $(0;\,1]$ значения не ограничены, у $x$ на $[0;\,1)$ наибольшего нет. В доказательстве это видно: там, где отрезка нет, предел $c$ может выпасть из области определения. А в главе 38 теорема понадобилась для функций на сфере.

Следующий долг — перед корнями и логарифмами. Их непрерывность следует из общего факта об обратных функциях.

Окошко на оси $x$ функция переводит в окошко на оси $y$, и остаётся взять окошко поменьше.

По теореме о промежуточном значении $f$ принимает каждое значение $y \in [f(a);\,f(b)]$, а раз она строго возрастает — ровно один раз. Значит, обратная функция $g$ определена на всём отрезке $[f(a);\,f(b)]$ и тоже возрастает. Возьмём $y_0 = f(x_0)$ и допуск $\varepsilon$ для $g$: хотим, чтобы $g(y)$ попадало в окошко $(x_0 - \varepsilon;\ x_0 + \varepsilon)$. Пусть оно помещается в $[a;\,b]$; у концов отрезка всё то же с половинкой окошка. Функция $f$ переводит концы этого окошка в точки $f(x_0 - \varepsilon) < y_0 < f(x_0 + \varepsilon)$. Возьмём $\delta$ — меньшее из расстояний от $y_0$ до них. Если $|y - y_0| < \delta$, то $f(x_0 - \varepsilon) < y < f(x_0 + \varepsilon)$, а раз $g$ возрастает, то $x_0 - \varepsilon < g(y) < x_0 + \varepsilon$. Окошко нашлось: $g$ непрерывна в $y_0$.

Функция $x^n$ непрерывна и строго возрастает на любом отрезке $[0;\,R]$, поэтому корень $\sqrt[n]{y}$ непрерывен на $[0;\,R^n]$, а значит, и на всём луче $[0;\,+\infty)$. Так же непрерывны $\arcsin$ (обратная к синусу на $\bigl[-\frac\pi2;\,\frac\pi2\bigr]$), $\operatorname{arctg}$, а логарифм — обратная функция к непрерывной экспоненте (глава 29).

Долг главы 27 — правило Лопиталя для случаев, когда производные в самой точке не помогают. Нужна теорема о среднем для двух функций сразу.

Посмотрим на пару функций как на кривую на плоскости: тогда слева в равенстве наклон хорды, справа — наклон касательной, и теорема говорит, что где-то они параллельны.

Нарисуем кривую $t \mapsto \bigl(g(t);\ f(t)\bigr)$ при $t \in [a;\,b]$. Хорда между её концами имеет наклон $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$; знаменатель не ноль, иначе по теореме Ролля (глава 27) где-то было бы $g' = 0$. Касательная в точке $t$ направлена по вектору $\bigl(g'(t);\ f'(t)\bigr)$ и имеет наклон $\frac{f'(t)}{g'(t)}$. Рассмотрим $h(t) = \bigl(f(b) - f(a)\bigr)\bigl(g(t) - g(a)\bigr) - \bigl(g(b) - g(a)\bigr)\bigl(f(t) - f(a)\bigr)$. С точностью до постоянного множителя это расстояние со знаком от точки кривой до прямой хорды, и на концах $h(a) = h(b) = 0$. Функция $h$ непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри, и по теореме Ролля найдётся $\xi$ с $h'(\xi) = 0$. Например, там, где кривая дальше всего от хорды. $h'(\xi) = \bigl(f(b) - f(a)\bigr)g'(\xi) - \bigl(g(b) - g(a)\bigr)f'(\xi) = 0$. Разделив на $g'(\xi)\bigl(g(b) - g(a)\bigr) \ne 0$, получаем нужное равенство: касательная в $\xi$ параллельна хорде.

Простой случай из главы 27 требовал $g'(a) \ne 0$. Теперь можно так: $\lim\limits_{x \to 0}\frac{x - \sin x}{x^3}$. Отношение производных $\frac{1 - \cos x}{3x^2}$ — снова «ноль на ноль», применим правило к нему: $\frac{\sin x}{6x} \to \frac16$. Значит, и $\frac{1 - \cos x}{3x^2} \to \frac16$, и $\frac{x - \sin x}{x^3} \to \frac16$. Проверка числом: при $x = 0{,}1$ дробь равна $0{,}16658\ldots$

Одна δ на всех

В игре со Скептиком из главы 25 окошко $\delta$ выбирается после $\varepsilon$ и после точки $x$, поэтому может зависеть от обоих. У $x^2$ в точке $x_0$ на допуск $\varepsilon$ годится окошко около $\frac{\varepsilon}{2x_0}$: чем правее точка, тем круче график и тем уже окошко. У $\sin\frac1x$ у самого нуля окошки сжимаются до ничтожных. Для многих целей это плохо. Чтобы составить таблицу значений с гарантированной точностью, нарисовать график или посчитать интеграл, нужен один шаг сетки, который годится сразу во всех точках.

Окошко $\delta$ выбирают, ещё не зная точек: оно одно на всё множество. Любые две точки, где бы они ни были. В обычной непрерывности сначала фиксируют точку $x$, и только потом ищут для неё $\delta$ — кванторы стоят в другом порядке (глава 25). Точки близки — значит, значения близки, одинаково по всей области. Пример: $x^2$ на $[0;\,2]$. Для $x, y$ из отрезка $|x^2 - y^2| = |x + y|\,|x - y| \le 4|x - y|$, и на допуск $\varepsilon$ годится $\delta = \frac\varepsilon4$ сразу для всех точек: при $\varepsilon = 0{,}01$ это $\delta = 0{,}0025$. На всей прямой так нельзя: точки $n$ и $n + \frac1n$ сколь угодно близки, а квадраты отличаются на $2 + \frac1{n^2} > 2$.

У $\sqrt x$ на $[0;\,1]$ график у нуля вертикален, а равномерная непрерывность есть: $|\sqrt x - \sqrt y| \le \sqrt{|x - y|}$, и годится $\delta = \varepsilon^2$. Дело не в крутизне, а в том, есть ли у области концы. Это и говорит главная теорема раздела. В российских учебниках её называют теоремой Кантора, в других — теоремой Гейне или Гейне — Кантора: Эдуард Гейне напечатал её в 1872 году, а Дирихле доказывал на лекциях ещё в 1854-м.

Если бы одной $\delta$ не было, нашлись бы пары точек, сколь угодно близкие друг к другу, но с далёкими значениями. Теорема Больцано — Вейерштрасса сгонит их к одной точке, а непрерывность в ней этого не допустит.

Допустим, одной $\delta$ нет. По правилу отрицания кванторов (глава 51) это значит: есть допуск $\varepsilon > 0$, при котором не годится ни одно $\delta$. Для $\delta = \frac1n$ найдутся точки $x_n, y_n$ с $|x_n - y_n| < \frac1n$, но $|f(x_n) - f(y_n)| \ge \varepsilon$. По теореме Больцано — Вейерштрасса есть подпоследовательность $x_{n_k} \to c$, и $c \in [a;\,b]$. Тогда и $y_{n_k} \to c$: $|y_{n_k} - c| \le |y_{n_k} - x_{n_k}| + |x_{n_k} - c|$, и оба слагаемых стремятся к нулю. Функция непрерывна в $c$: на допуск $\frac\varepsilon2$ есть окошко вокруг $c$, где значения отличаются от $f(c)$ меньше чем на $\frac\varepsilon2$. При больших $k$ в него попадают и $x_{n_k}$, и $y_{n_k}$. Тогда $|f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \le |f(x_{n_k}) - f(c)| + |f(c) - f(y_{n_k})| < \varepsilon$ — вопреки выбору пар. Противоречие: одна $\delta$ на весь отрезок есть.

Доказательство ломается ровно там, где ломается теорема. У $\sin\frac1x$ на $(0;\,1]$ пары точек сгоняются к нулю, а ноль в область не входит, и непрерывностью в нём не воспользоваться. Теперь можно вернуть долг главы 28.

Одна $\delta$ на весь отрезок позволяет сделать сразу все столбики зазора между нижней и верхней суммой низкими.

Скептик называет $\varepsilon$. По теореме Кантора есть $\delta$, такое что на любом куске короче $\delta$ значения $f$ отличаются друг от друга меньше чем на $\varepsilon$. Возьмём любое разбиение на куски короче $\delta$. На каждом куске по теореме Вейерштрасса есть наименьшее значение $m_i$ и наибольшее $M_i$, и $M_i - m_i < \varepsilon$. Нижняя сумма $L = \sum m_i\,\Delta x_i$ и верхняя $U = \sum M_i\,\Delta x_i$ зажимают любую сумму Римана этого разбиения. Зазор $U - L$ — столбики вдоль графика шириной $\Delta x_i$ и высотой меньше $\varepsilon$. Вместе их площадь меньше $\varepsilon\,(b - a)$. Любая нижняя сумма не больше любой верхней: у двух разбиений есть общее измельчение, при измельчении нижняя сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается (глава 28). Поэтому у нижних сумм есть точная верхняя грань $I$, и $L \le I \le U$ для любого разбиения. Сумма Римана и $I$ лежат в одном промежутке $[L;\,U]$ длины меньше $\varepsilon\,(b - a)$ и отличаются меньше чем на эту величину — при любом разбиении мельче $\delta$ и любом выборе точек. Значит, $f$ интегрируема и $\int_a^b f(x)\,dx = I$.

Для непрерывных функций на прямоугольнике из главы 32 рассуждение то же: теорема Кантора в $\mathbb R^2$ доказывается так же, с теоремой Больцано — Вейерштрасса для точек плоскости, а вместо кусков отрезка берутся клетки.

Ошибка Коши

В «Курсе анализа» 1821 года Огюстен Коши доказал: если ряд из непрерывных функций сходится в каждой точке, то его сумма непрерывна. Через пять лет Абель в статье о биномиальном ряде осторожно заметил, что у теоремы, по-видимому, есть исключения, и привёл ряд $\sin x - \frac12 \sin 2x + \frac13 \sin 3x - \ldots$: он сходится при всех $x$, на интервале $(-\pi;\,\pi)$ его сумма равна $\frac x2$, а в точке $\pi$ равна нулю. Сумма непрерывных синусов прыгает. Пример попроще под рукой: функции $x^n$ на $[0;\,1]$ непрерывны, а их предел равен $0$ при $x < 1$ и $1$ при $x = 1$.

Номер выбирается до точки — один на всё множество. При поточечной сходимости он свой для каждого $x$. Сразу все точки области. График $f_n$ целиком лежит в трубке ширины $2\varepsilon$ вокруг графика $f$. Равносильно: $\sup_{x \in D}|f_n(x) - f(x)| \to 0$. Пример: $x^n$ на $[0;\,0{,}9]$ стремится к нулю равномерно: наибольшее отклонение равно $0{,}9^n$, и на $\varepsilon = 0{,}01$ годится $N = 43$, ведь $0{,}9^{44} \approx 0{,}0097$. На $[0;\,1)$ сходимость к нулю поточечная, но не равномерная: при любом $n$ найдётся $x < 1$ с $x^n > \frac12$.

Разделим допуск на три части: две уйдут на расстояние от $f$ до $f_N$, одна — на непрерывность самой $f_N$.

Возьмём точку $x_0 \in D$ и допуск $\varepsilon$. По равномерной сходимости есть номер $N$, при котором весь график $f$ лежит в трубке вокруг $f_N$ шириной $\frac\varepsilon3$ в каждую сторону: $|f(x) - f_N(x)| < \frac\varepsilon3$ при всех $x$. Функция $f_N$ непрерывна в $x_0$: есть окошко $\delta$, в котором $|f_N(x) - f_N(x_0)| < \frac\varepsilon3$. В этом окошке путь от $f(x)$ до $f(x_0)$ складывается из трёх коротких: $|f(x) - f(x_0)| \le |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x) - f_N(x_0)| + |f_N(x_0) - f(x_0)| < \frac\varepsilon3 + \frac\varepsilon3 + \frac\varepsilon3 = \varepsilon$. Значит, $f$ непрерывна в $x_0$.

Отсюда видно, почему $x^n$ на $[0;\,1]$ не может сходиться равномерно: предел разрывен. В доказательстве Коши номер $N$ молча выбирался один для всех точек, то есть использовалась равномерная сходимость, которой в его условии не было. Историки до сих пор спорят, что именно имел в виду Коши, — его «бесконечно малые» можно прочесть по-разному. Но понятие, которое всё исправляет, в 1840-х годах выделили Вейерштрасс в неопубликованной рукописи и, независимо, Филипп Зейдель и Джордж Стокс, а на лекциях Вейерштрасса оно стало стандартом. Равномерную сходимость удобно проверять одним признаком.

Первый долг перед чудовищем уплачен: члены ряда Вейерштрасса по модулю не больше $a^n$, ряд $\sum a^n$ сходится, и функция $W$ — равномерный предел непрерывных частичных сумм, поэтому непрерывна. Так же обосновываются и шаги из глав 31 и 33, где пределом последовательных приближений или ряда Фурье оказывалась непрерывная функция. Осталось почленное дифференцирование, которое в главе 30 мы позволили себе без доказательства.

Функции $f_n$ дифференцируемы и сходятся к $f$ равномерно. Обязана ли $f$ быть дифференцируемой?

Да: равномерная сходимость сохраняет всё хорошее Нет

Возьмём $f_n(x) = \sqrt{x^2 + \frac1n}$. Они гладкие, и $0 \le f_n(x) - |x| = \frac{1/n}{\sqrt{x^2 + 1/n} + |x|} \le \frac{1}{\sqrt n}$ при всех $x$, так что $f_n \to |x|$ равномерно. А у $|x|$ в нуле излом. Производные $f_n'$ сходятся к знаку $x$, и не равномерно — отсюда и излом.

Приручение

Вернёмся к первому чудовищу. Его непрерывность мы уже доказали признаком Вейерштрасса. Доказательство того, что у $W$ нет производной ни в одной точке, требует длинных оценок косинусов. Проделаем то же для родственника, у которого вместо косинусов пилы. Его придумал японский математик Тэйдзи Такаги в 1903 году.

Пила: $s(y)$ — расстояние от $y$ до ближайшего целого числа. Её зубцы — отрезки прямых с наклонами $\pm1$ и высотой $\frac12$; у $s(2^n x)$ зубцы в $2^n$ раз уже. Каждая следующая пила вдвое ниже. На графике $\frac{s(2^n x)}{2^n}$ зубцы шириной $\frac1{2^{n+1}}$ с наклонами $\pm1$. Пример: $T\bigl(\frac12\bigr) = \frac12 + 0 + 0 + \ldots = \frac12$, ведь $s$ целых чисел равна нулю. В точке $\frac13$ числа $\frac{2^n}{3}$ отстоят от ближайшего целого ровно на $\frac13$, и $T\bigl(\frac13\bigr) = \frac13\bigl(1 + \frac12 + \frac14 + \ldots\bigr) = \frac23$. Это наибольшее значение функции.

Члены ряда не больше $\frac{1}{2^{n+1}}$, так что по признаку Вейерштрасса $T$ непрерывна. Её график похож на старинный десерт бланманже, и в англоязычных книгах её так и называют. Нам понадобится одна лемма о хордах.

Посмотрим на хорды над двоичными отрезками, в которых лежит точка $x$. Их наклоны — целые числа, и соседние отличаются ровно на единицу, поэтому к одному числу они подойти не могут.

Возьмём точку $x$ и для каждого $n$ двоичный отрезок $[u_n;\,v_n] = \bigl[\frac{k}{2^n};\ \frac{k + 1}{2^n}\bigr]$ длины $\frac1{2^n}$, в котором она лежит. Отрезки вложены друг в друга и стягиваются к $x$. Слагаемые с номерами $m \ge n$ на концах этого отрезка равны нулю: числа $2^m u_n$ и $2^m v_n$ целые, а пила в целых точках обращается в ноль. В разность $T(v_n) - T(u_n)$ они ничего не вносят. Каждое слагаемое с номером $m < n$ на отрезке $[u_n;\,v_n]$ линейно с наклоном $+1$ или $-1$: зубец шириной $\frac1{2^{m+1}}$ — тоже двоичный отрезок, и наш отрезок, не длиннее его, целиком лежит на одном склоне. Значит, наклон хорды $D_n = \frac{T(v_n) - T(u_n)}{v_n - u_n}$ — сумма $n$ слагаемых, равных $\pm1$: целое число той же чётности, что и $n$. При переходе к $n + 1$ старые наклоны не меняются и добавляется ровно одно новое слагаемое: $D_{n+1} = D_n \pm 1$. Последовательность, у которой соседние члены отличаются на единицу, не сходится. А если бы в точке $x$ была производная, наклоны хорд, зажимающих $x$, стремились бы к ней по лемме. Производной нет — и так в любой точке.

Последний удар по интуиции нанесли в 1931 году Стефан Банах и Стефан Мазуркевич. Они независимо доказали, что в точном смысле «почти все» непрерывные функции нигде не дифференцируемы, а гладкие — редкое исключение. Чудовища оказались большинством, а честные функции Пуанкаре — заповедником. Их потомки живут и в физике: траектория броуновской частицы с вероятностью единица нигде не имеет производной (Пэли, Винер и Зигмунд, 1933), и в главе о фракталах, где зазубрины на всех масштабах — не дефект, а предмет изучения.

Куда дальше

Функция Тома интегрируема, её интеграл равен нулю, а функция Дирихле по Риману не интегрируема вовсе: в каждом куске любого разбиения есть и дроби, и иррациональные числа, и суммы Римана прыгают между $0$ и $b - a$. Но разница между ними не кажется глубокой. Обе равны нулю во всех иррациональных точках, а дробей, как выяснилось в главе 52, «мало»: их множество счётно, а множество точек отрезка — нет. Если множество дробей на отрезке ничего не весит, интеграл функции Дирихле должен быть равен нулю. Какова «длина» множества рациональных точек отрезка $[0;\,1]$? А множества иррациональных, или канторова множества? Чтобы ответить, придётся заново определить длину, и на этом пути встретятся куски, которых нельзя измерить вовсе, шар, из которого собирают два таких же, и окончательный ответ на вопрос о круге и квадрате. Это глава 54.