Часть II · Алгебра Глава 7 из 60
Буквы вместо чисел
Фокусник угадывает задуманное число и считает в уме быстрее калькулятора. Разоблачим его фокусы один за другим — и по дороге научимся записывать правило, верное сразу для всех чисел.
Опирается на: 6 · Корень из двух и действительные числа
Вы научитесь
- записывать буквами правило, верное для всех чисел, и находить значение выражения
- раскрывать скобки и пользоваться формулами сокращённого умножения — в том числе для счёта в уме
- отличать тождество от совпадения и раскладывать выражения на множители
Прошлая глава оставила загадку. Правило $\frac mn \to \frac{m + 2n}{m + n}$ шесть раз подряд давало дроби, у которых $m^2 - 2n^2$ равно $1$ или $-1$. Совпадение или закон? Проверить все шаги подряд нельзя — их бесконечно много. Нужно рассуждать о числах, которых мы не знаем, так же уверенно, как о знакомых: сразу про все $m$ и $n$.
К загадке мы вернёмся, когда наберём инструментов. А начнём с фокуса. Задумайте число. Умножьте его на два. Прибавьте десять. Разделите результат пополам. Вычтите число, которое задумали.
Получилось пять.
Фокус сработает с тройкой, с сотней, с минус семью и даже с $\sqrt2$ из прошлой главы. Проверить все числа нельзя, но убедиться, что фокус не подведёт никогда, можно, и способ этот — главный инструмент алгебры. В этой главе мы посмотрим несколько фокусов, и каждый раз разоблачать фокусника будут буквы.
Фокус первый: всегда пять
Положим задуманное число в непрозрачный мешочек: сколько в нём, знаете только вы. Умножить на два — значит взять два таких мешочка. Прибавить десять — положить рядом десять монет. Разделить пополам — разложить всё на две одинаковые кучки и оставить одну: в ней мешочек и пять монет. Вычесть задуманное — убрать мешочек. Остаются пять монет, и неважно, что лежало внутри.
Рисовать мешочки долго, поэтому вместо мешочка пишут букву. Весь фокус умещается в строку:
$$x \;\to\; 2x \;\to\; 2x + 10 \;\to\; x + 5 \;\to\; 5.$$Эта строка доказывает бесконечно много утверждений разом: «при $x = 3$ выйдет пять», «при $x = 100$ выйдет пять», и так для каждого числа. Проверять их по одному больше не нужно.
Переменная — буква, вместо которой можно подставлять числа. Выражение — запись из чисел, переменных, знаков действий и скобок: $2x + 10$, $\frac{a + b}{2}$, $3a^2 - 2ab$. Если подставить вместо переменных числа и выполнить действия, получится значение выражения: при $x = 3$ значение выражения $2x + 10$ равно $16$.
Фокусник, конечно, не волшебник. Он подбирает действия так, чтобы буква в конце сократилась. Попробуйте сами: соберите фокус из кнопок и посмотрите, что происходит с мешочком.
Второй заготовленный фокус устроен иначе. Задумайте число, умножьте на 2, прибавьте 5, умножьте на 5, вычтите 25 и назовите результат. Фокусник отбросит ноль в конце и назовёт ваше число. Разоблачение:
$$x \;\to\; 2x \;\to\; 2x + 5 \;\to\; 10x + 25 \;\to\; 10x.$$Здесь буква не исчезает, зато ответ устроен очень просто: задуманное число с приписанным нулём. Фокусник решает обратную задачу — по результату находит $x$. К этой обратной задаче мы вернёмся в самом конце главы.
Какой из этих наборов действий — фокус, у которого ответ не зависит от задуманного числа?
$x \to 3x \to 3x + 6 \to x + 2 \to 2$. Мешочек исчезает, и у любого зрителя выходит $2$.
Как буквы попали в арифметику
Тысячелетиями задачи с неизвестным записывали словами. Вавилонские писцы, египетские и греческие математики, а в IX веке и багдадский учёный ал-Хорезми излагали решения фразами вроде «раздели число корней пополам, умножь половину на себя, прибавь…». Первый заметный шаг к знакам сделал Диофант Александрийский: в его «Арифметике» (по самой распространённой датировке — III век нашей эры) у неизвестного был свой значок, были и сокращения для его степеней. Но значок для неизвестного — ещё полдела.
Знаки действий появились удивительно поздно. «Плюс» и «минус» впервые напечатаны в 1489 году в немецком учебнике торгового счёта Иоганна Видмана. Знак равенства придумал валлиец Роберт Рекорд в 1557 году и объяснил свой выбор так: никакие две вещи не бывают более равными, чем два параллельных отрезка.
Решающий шаг сделал французский юрист Франсуа Виет, советник двух королей. В книге «Введение в аналитическое искусство» (1591) он стал обозначать буквами не только неизвестные, но и известные величины: неизвестные — гласными, данные — согласными. Кажется мелочью, а меняет всё. Пока известные числа записаны цифрами, задача решается для одного набора чисел. Когда они тоже буквы, решение годится сразу для всех наборов, и ответ становится формулой.
Привычные нам $x$, $y$, $z$ для неизвестных и $a$, $b$, $c$ для известных закрепил Рене Декарт в «Геометрии» (1637). Степени он записывал почти как мы: $x^3$, $x^4$, хотя вместо $x^2$ по старой привычке часто писал $xx$. Есть красивая история, будто $x$ — это испанское прочтение арабского слова «шай» («вещь»), которым называли неизвестное. Документальных подтверждений у неё нет; достоверно известно лишь, что буквы из конца алфавита для неизвестных вошли в обиход после Декарта.
Формулой мы уже пользовались в главе 0: число частей круга $1 + \binom{n}{2} + \binom{n}{4}$ — правило сразу для всех $n$. Площадь прямоугольника $S = ab$ — тоже правило для всех прямоугольников сразу. Буквы в них — не загадка, а место, куда подставляют числа.
Найдите значение выражения $3a^2 - 2ab$ при $a = -2$ и $b = 5$.
$3 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) \cdot 5 = 3 \cdot 4 + 20 = 32$. Обратите внимание: $(-2)^2 = 4$, а не $-4$ — минус стоит внутри скобки, которая возводится в квадрат. А вот $-2^2$ без скобок равно $-4$.
Фокус второй: умножение на 11
Назовите двузначное число — фокусник тут же умножит его на 11. $43 \cdot 11$? Будет 473. $62 \cdot 11$? 682. Секрет: между двумя цифрами числа он вписывает их сумму. У 43 сумма цифр 7, отсюда 4‑7‑3. А $78 \cdot 11$? Сумма цифр 15: пятёрка идёт в середину, а единица прибавляется к семёрке, получается 858.
Чтобы разоблачить этот фокус, придётся умножать выражения с буквами. Всё, что мы для этого будем использовать, — несколько законов действий, которые верны для любых чисел. Мы выписали их ещё в главе 2, в споре со Скептиком; напомним их, потому что каждое доказательство в этой главе будет опираться на них и только на них.
Для любых чисел $a$, $b$, $c$:
- переместительные законы: $a + b = b + a$ и $ab = ba$;
- сочетательные законы: $(a + b) + c = a + (b + c)$ и $(ab)c = a(bc)$;
- распределительный закон: $a(b + c) = ab + ac$.
Эти законы мы не доказываем, а принимаем как основные свойства чисел: для натуральных чисел их можно увидеть на кучках камешков и прямоугольниках из плиток, а в главе 42 они станут аксиомами, с которых начинается алгебра. Распределительный закон уже помог нам в главе 2: из него следует, что минус на минус даёт плюс. Его картинка — прямоугольник со сторонами $a$ и $b + c$, разрезанный на два прямоугольника $a \times b$ и $a \times c$.
Если двузначное число записано цифрами $a$ и $b$, то $\overline{ab} \cdot 11 = 100a + 10(a + b) + b$: сотен $a$, десятков $a + b$, единиц $b$.
Идея: записать число через его цифры и умножить по распределительному закону. Число с цифрами $a$ и $b$ состоит из $a$ десятков и $b$ единиц, то есть равно $10a + b$ — это позиционная запись из главы 1. Разложим $11 = 10 + 1$ и применим распределительный закон:
$$\begin{aligned}(10a + b) \cdot 11 &= (10a + b) \cdot 10 + (10a + b) \\ &= 100a + 10b + 10a + b \\ &= 100a + 10(a + b) + b.\end{aligned}$$Во второй строке мы ещё раз раскрыли скобки, в третьей собрали вместе десятки $10b + 10a = 10(a + b)$ — это распределительный закон, прочитанный справа налево. Если $a + b \ge 10$, в разряде десятков оказывается больше девяти, и один десяток десятков, то есть сотня, переходит в сотни: отсюда перенос у 78.
В разоблачении мы дважды раскрывали скобки, а в каждой скобке было по два слагаемых. Такое умножение встречается постоянно, и полезно раз и навсегда понять, что получается.
Для любых чисел $a$, $b$, $c$, $d$ выполняется $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.
Идея: посчитать площадь одного прямоугольника двумя способами — целиком и по кусочкам.
В ответе примера слагаемые $-5x$ и $3x$ отличаются только числом перед буквой. Их можно сложить.
В слагаемом $-5x$ число $-5$ называют коэффициентом, а $x$ — буквенной частью. Слагаемые с одинаковой буквенной частью называют подобными. Их складывают, складывая коэффициенты: $-5x + 3x = -2x$. Это тот же распределительный закон, прочитанный справа налево: $-5x + 3x = (-5 + 3)x$.
Раскройте скобки в выражении $(2x - 1)(x - 1) - x(x - 1)$ и приведите подобные. Чему равен коэффициент при $x$?
$(2x - 1)(x - 1) = 2x^2 - 2x - x + 1 = 2x^2 - 3x + 1$, а $x(x - 1) = x^2 - x$. Вычитаем, меняя знаки второго выражения: $2x^2 - 3x + 1 - x^2 + x = x^2 - 2x + 1$. Коэффициент при $x$ равен $-2$. Заодно заметьте: получился квадрат, $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Почему так вышло, станет ясно в следующем разделе.
Фокус третий: квадраты в уме
Квадрат числа, которое оканчивается пятёркой, фокусник называет мгновенно: $35^2 = 1225$, $65^2 = 4225$, $85^2 = 7225$. Рецепт короткий: число десятков умножьте на следующее за ним число и припишите 25. Для 35: $3 \cdot 4 = 12$, приписываем 25 — выходит 1225. Для 85: $8 \cdot 9 = 72$, выходит 7225.
Чтобы разоблачить этот фокус, нужен квадрат суммы — произведение сумм, у которого обе скобки одинаковые.
Для любых чисел $a$ и $b$ выполняется $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Идея: разрезать квадрат со стороной $a + b$ на части, площади которых мы знаем.
Если в числе $n$ десятков и 5 единиц, то его квадрат равен $100\,n(n + 1) + 25$: к произведению $n(n + 1)$ нужно приписать 25.
Идея: записать число как сумму $10n + 5$ и возвести её в квадрат по только что доказанной формуле, где $a = 10n$, $b = 5$:
$$\begin{aligned}(10n + 5)^2 &= (10n)^2 + 2 \cdot 10n \cdot 5 + 5^2 \\ &= 100n^2 + 100n + 25 \\ &= 100\,n(n + 1) + 25.\end{aligned}$$В последней строке из первых двух слагаемых вынесен общий множитель $100n$ — распределительный закон справа налево. Число $100 \cdot n(n + 1)$ оканчивается двумя нулями, поэтому две последние цифры квадрата — 25, а перед ними стоит $n(n + 1)$. Рассуждение не зависит от $n$, так что рецепт верен для всех таких чисел, будь то 15 или 999 995.
Если в скобке разность, меняется только знак удвоенного произведения. А если перемножаются сумма и разность одних и тех же чисел, удвоенное произведение пропадает совсем.
Для любых чисел $a$ и $b$ выполняется $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Идея: получить квадрат со стороной $a - b$, отрезав от квадрата со стороной $a$ две полосы, и аккуратно сосчитать отрезанное. Пусть $a > b > 0$.
Для любых чисел $a$ и $b$ выполняется $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Идея: перекроить фигуру площадью $a^2 - b^2$ в прямоугольник. Пусть $a > b > 0$.
Квадрат суммы и разности, разность квадратов, а также куб суммы и сумму кубов из следующего раздела называют формулами сокращённого умножения. Они экономят вычисления в обе стороны: слева направо раскрывают скобки, справа налево собирают выражение в произведение.
Вычислите без калькулятора: $102 \cdot 98$.
Оба множителя отстоят от 100 на 2: $102 \cdot 98 = (100 + 2)(100 - 2) = 10\,000 - 4 = 9996$.
Фокус четвёртый: кубический корень за пять секунд
Задумайте двузначное число, возведите его в куб на калькуляторе и назовите результат. Скажем, 438 976. Фокусник почти сразу ответит: 76.
Он смотрит на две вещи. Первая — последняя цифра куба. Вот кубы однозначных чисел:
| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| $n^3$ | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 |
| $n$ | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| $n^3$ | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
Последние цифры кубов все разные: 0, 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9. Запомнить легко: 2 и 8, 3 и 7 меняются местами, остальные цифры остаются собой. У 438 976 последняя цифра 6, значит, число оканчивается на 6. Вторая вещь — число тысяч, 438. Оно лежит между $7^3 = 343$ и $8^3 = 512$, значит, десятков в числе семь. Ответ: 76.
Разоблачить фокус поможет куб суммы — объём куба, сторона которого составлена из двух отрезков.
Для любых чисел $a$ и $b$ выполняется $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Подсчёт кирпичей годится для длин, а для любых чисел ту же формулу даёт умножение: по определению куба $(a + b)^3 = (a + b)^2(a + b)$, квадрат суммы уже известен, и по формуле произведения сумм
$$\begin{aligned}(a^2 + 2ab + b^2)(a + b) &= a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 \\ &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.\end{aligned}$$Заменив $b$ на $-b$, получим куб разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ — знаки чередуются, потому что нечётные степени $-b$ отрицательны.
Пусть $N = (10a + b)^3$, где $a$ и $b$ — цифры, $a \ne 0$. Тогда последняя цифра $N$ совпадает с последней цифрой $b^3$ и потому однозначно определяет $b$, а $a$ — наибольшая цифра, у которой $a^3$ не больше числа тысяч в $N$.
Идея: раскрыть куб по формуле и посмотреть, какие слагаемые влияют на младший разряд, а какие на тысячи. По формуле куба суммы с $10a$ вместо $a$
$$(10a + b)^3 = 1000a^3 + 300a^2b + 30ab^2 + b^3.$$Первые три слагаемых делятся на 10, поэтому последняя цифра $N$ — последняя цифра $b^3$. По таблице последние цифры кубов от $0^3$ до $9^3$ все разные, значит, по ней $b$ восстанавливается однозначно.
Теперь тысячи. Число $10a + b$ не меньше $10a$ и меньше $10a + 10$. При возведении в куб неотрицательных чисел неравенства сохраняются: если $0 \le u < v$, то в произведении $u \cdot u \cdot u$ каждый множитель меньше соответствующего множителя в $v \cdot v \cdot v$, и $u^3 < v^3$. Значит, $1000a^3 \le N < 1000(a + 1)^3$, и число полных тысяч в $N$ не меньше $a^3$, но меньше $(a + 1)^3$. Поэтому $a$ — наибольшая цифра, куб которой не превосходит числа тысяч.
Теперь уберём из разрезанного куба все шесть плит и брусков — останутся только $a^3$ и $b^3$. Так получается ещё одна формула.
Для любых чисел $a$ и $b$ выполняется $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Для любых чисел $a$ и $b$ выполняется $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Формула суммы кубов верна для любого числа на месте $b$, в том числе для $-b$. Подставим: $a^3 + (-b)^3 = \bigl(a + (-b)\bigr)\bigl(a^2 - a(-b) + (-b)^2\bigr)$. По правилу знаков из главы 2 $(-b)^2 = (-b)(-b) = b^2$, $(-b)^3 = (-b)^2 \cdot (-b) = -b^3$ и $-a(-b) = ab$. Получаем $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Куб какого двузначного числа равен 250 047?
Последняя цифра куба 7, а на 7 оканчивается только $3^3 = 27$ — значит, число оканчивается на 3. Тысяч 250, и $6^3 = 216 \le 250 < 343 = 7^3$ — значит, десятков шесть. Ответ: 63. Проверка: $63^2 = 3969$, $3969 \cdot 63 = 250\,047$.
Фокус, который однажды не сработал
Вот фокус, на который легко попасться. Подставляйте в выражение $n^2 + n + 41$ числа $n = 0, 1, 2, \dots$ Получатся 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97 — сплошь простые. Проверьте ещё десяток — снова простые. Это выражение описал Леонард Эйлер, и оно действительно даёт простые числа сорок раз подряд, при $n$ от 0 до 39. А при $n = 40$ выходит $1600 + 40 + 41 = 1681 = 41^2$. Можно было и не считать: $40^2 + 40 + 41 = 40 \cdot 41 + 41 = 41 \cdot 41$.
Сорок удачных проверок ничего не доказали — как и пять удачных точек на окружности в главе 0. Равенства с буквами бывают двух сортов. Одни верны при любых значениях букв, как $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Другие верны не при всех значениях, как $x^2 = x$, которое верно лишь при $x = 0$ и $x = 1$.
Тождество — равенство, верное при всех значениях входящих в него букв (при которых обе части имеют смысл). Выражения, которые можно соединить таким равенством, называют тождественно равными, а замену одного другим — тождественным преобразованием. Раскрыть скобки, привести подобные, применить формулу сокращённого умножения — всё это тождественные преобразования.
Доказать тождество — значит превратить одну его часть в другую цепочкой шагов, каждый из которых опирается на законы действий или на уже доказанные формулы, — так, как мы доказывали формулы сокращённого умножения. Опровергнуть ещё проще: достаточно одного контрпримера. При $a = b = 1$ выражение $(a + b)^2$ равно 4, а $a^2 + b^2$ равно 2, и «тождество» $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ рассыпается.
Чтобы опровергнуть равенство с буквами, хватит одного контрпримера. Чтобы доказать тождество, примеров не хватит никогда, сколько бы их ни было: нужно рассуждение, верное для всех чисел сразу. Именно его и дают буквы.
Теперь можно разгадать загадку из главы 6.
Если для дроби $\frac mn$ выполнено $m^2 - 2n^2 = \pm 1$, то для следующей дроби $\frac{m + 2n}{m + n}$ выражение «числитель в квадрате минус удвоенный квадрат знаменателя» равно тому же числу с противоположным знаком. Поэтому начиная с $\frac32$ оно равно $\pm 1$ на каждом шаге, без исключений.
Идея: посчитать нужное выражение для новой дроби в буквах, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы. Для числителя $m + 2n$ и знаменателя $m + n$ получаем
$$\begin{aligned}(m + 2n)^2 - 2(m + n)^2 &= m^2 + 4mn + 4n^2 - 2(m^2 + 2mn + n^2) \\ &= m^2 + 4mn + 4n^2 - 2m^2 - 4mn - 2n^2 \\ &= -m^2 + 2n^2 = -(m^2 - 2n^2).\end{aligned}$$В первой строке дважды применена формула квадрата суммы, во второй раскрыта скобка с множителем $-2$, в третьей приведены подобные: $4mn - 4mn = 0$, $m^2 - 2m^2 = -m^2$, $4n^2 - 2n^2 = 2n^2$. Равенство верно при любых $m$ и $n$, поэтому на каждом шаге правила выражение лишь меняет знак. У $\frac32$ оно равно $9 - 8 = 1$, значит, у $\frac75$ будет $-1$, у $\frac{17}{12}$ снова $1$, и так без конца.
Шесть проверок закон не доказывали, а одна строчка с буквами доказала его для всех шагов сразу. Проверять тождества умеет и движок курса — попробуйте сами.
Среди примеров в виджете есть тождество, которое само похоже на фокус. Перемножьте четыре числа подряд и прибавьте единицу: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 1 = 25 = 5^2$, $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 1 = 121 = 11^2$, $5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 + 1 = 1681 = 41^2$ — снова 1681!
Для любого числа $n$ выполняется $n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2$. В частности, произведение четырёх последовательных целых чисел, увеличенное на единицу, всегда точный квадрат.
Идея: сгруппировать крайние и средние множители — у них получится почти одно и то же выражение. По переместительному и сочетательному законам множители можно переставить: $n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = \bigl(n(n + 3)\bigr)\bigl((n + 1)(n + 2)\bigr)$. Раскроем скобки: $n(n + 3) = n^2 + 3n$ и по формуле произведения сумм $(n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2$. Обозначим $m = n^2 + 3n$. Тогда
$$\begin{aligned}n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 &= m(m + 2) + 1 \\ &= m^2 + 2m + 1 = (m + 1)^2 = (n^2 + 3n + 1)^2.\end{aligned}$$Во второй строке мы раскрыли $m(m + 2)$ и узнали квадрат суммы $m$ и $1$. При целом $n$ число $n^2 + 3n + 1$ целое, поэтому результат — квадрат целого числа.
Удачно выбранная буква $m$ — половина доказательства: с ней выражение четвёртой степени превратилось в знакомый квадрат суммы.
Какое из этих равенств — тождество?
$b - a = -(a - b)$, а квадраты противоположных чисел равны: $(-t)^2 = t^2$. Поэтому равенство верно при любых $a$ и $b$.
Фокус наоборот: разложение на множители
Напишите любое трёхзначное число два раза подряд, например 372 372. Разделите на 7 — разделится без остатка: 53 196. Результат разделите на 11 — снова нацело: 4836. Теперь на 13 — и перед вами исходное число 372.
Приписать трёхзначное число $x$ к самому себе — значит сдвинуть его на три разряда влево и прибавить его же: получится $1000x + x$. По распределительному закону это $1001x$, а $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$. Разделив на 7, на 11 и на 13, мы разделили на 1001 и вернули $x$. Весь фокус держится на одном ходе: сумму $1000x + x$ мы превратили в произведение $1001 \cdot x$. Это ход в обратную сторону — не раскрыть скобки, а собрать их.
Разложить выражение на множители — записать его в виде произведения: $1000x + x = 1001x$, $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Основных способов разложения в школьной алгебре три, и все они — формулы этой главы, прочитанные справа налево.
- Вынести общий множитель — распределительный закон наоборот: $6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)$.
- Применить формулу сокращённого умножения: $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$, $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$, $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.
- Сгруппировать слагаемые так, чтобы у групп появился общий множитель: $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = x^2(x + 2) + 3(x + 2)$, а это уже $(x + 2)(x^2 + 3)$.
Разложение объясняет ещё два фокуса. Возьмите двузначное число, переставьте его цифры и вычтите из большего меньшее: $72 - 27 = 45$, $91 - 19 = 72$, $53 - 35 = 18$. И второй: из куба целого числа вычтите само число: $5^3 - 5 = 120$, $7^3 - 7 = 336$.
1. Разность двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 9, и частное равно разности цифр.
2. Для любого целого $n$ число $n^3 - n$ делится на 6.
Первое. Число с цифрами $a$ и $b$ равно $10a + b$, перевёрнутое — $10b + a$. Раскроем скобки и приведём подобные: $(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b$, а вынеся общий множитель, получим $9(a - b)$. Это произведение девятки на целое число $a - b$, значит, оно делится на 9, и частное равно $a - b$.
Второе. Вынесем общий множитель $n$, а оставшуюся разность квадратов разложим по формуле: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)\,n\,(n + 1)$. Это произведение трёх последовательных целых чисел. Среди двух подряд идущих чисел одно чётное, а среди трёх подряд одно делится на 3: остатки трёх последовательных чисел от деления на 3 — это 0, 1 и 2 в каком-то порядке, так что один из них нулевой. Значит, произведение делится и на 2, и на 3. Отсюда и делимость на 6: запишем произведение как $2k$; число 3 делит $2k$ и взаимно просто с 2, поэтому по обобщённой лемме Евклида 3 делит $k$, то есть $k = 3m$ с целым $m$, и $n^3 - n = 2k = 6m$.
Выражение вида $x^2 + bx + c$ можно разложить буквально руками. Возьмём плитки: квадрат $x \times x$, $b$ полосок $x \times 1$ и $c$ единичных квадратиков. Если из них складывается прямоугольник, его стороны и есть множители: площадь прямоугольника — произведение сторон, и она же — сумма площадей плиток.
Плитки подсказывают правило. Если справа лежат $p$ полосок, а снизу $q$, то $p + q = b$, а угол $p \times q$ вмещает $pq$ квадратиков. Прямоугольник со сторонами $x + p$ и $x + q$ имеет площадь $(x + p)(x + q) = x^2 + (p + q)x + pq$ — это произведение сумм. Значит, $x^2 + bx + c = (x + p)(x + q)$, если найдутся числа $p$ и $q$ с суммой $b$ и произведением $c$: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, потому что $2 + 3 = 5$ и $2 \cdot 3 = 6$. С $x^2 + 4x + 5$ ничего не выйдет: из пар целых чисел с суммой 4 наибольшее произведение даёт $2 \cdot 2 = 4$, а нужно 5. Позже выяснится, что это выражение не раскладывается вообще, даже с дробными и иррациональными числами, и в главе 10 мы научимся узнавать такие случаи заранее.
Число 899 на единицу меньше, чем $900 = 30^2$. Разложите его на два множителя и назовите больший.
$899 = 30^2 - 1^2 = (30 - 1)(30 + 1) = 29 \cdot 31$. Больший множитель — 31. Оба множителя простые, и найти их перебором делителей было бы куда дольше.
Куда дальше
Фокусы этой главы шли в одну сторону: задуманное число, действия, результат. Буквы объясняли, почему результат именно такой. Но фокусник из «Угадаю число» уже делал обратное — по результату восстанавливал задуманное. Ему было легко: хватало отбросить ноль. А если зритель скажет: «Я задумал число, умножил на 3, прибавил 7 и получил 25»? В выражении $3x + 7$ спрятано неизвестное число, и известно значение выражения. Как найти $x$, и есть ли способ, который сработает всегда, а не только когда повезёт с подбором? Об этом глава 8.