Часть I · Числа Глава 2 из 60
Ноль и минус
Сколько будет 3 − 5? Скептик из XVII века уверен, что нисколько, а «минус на минус» считает бессмыслицей. Поспорим с ним по правилам: каждое правило знаков придётся отстоять.
Опирается на: 1 · Счёт: от зарубок до битов
Вы научитесь
- складывать и вычитать числа со знаком, представляя их стрелками на прямой
- доказывать, что минус на минус даёт плюс, из распределительного закона
- объяснять, почему на ноль делить нельзя, и находить модуль числа
1Почему минус на минус даёт плюс?
Пастух из прошлой главы пообещал соседу пять овец, а у него было три. Сколько овец у него теперь? Школьник ответит не задумываясь: минус две, две овцы он должен. Но между «понятно школьнику» и «признано математиками» уместились почти два тысячелетия споров. Отрицательные числа называли абсурдными, фиктивными, ложными, а правило «минус на минус даёт плюс» и сегодня многие помнят как заклинание, которое нужно просто выучить.
Заклинание нам не подходит. Устроим спор. Оппонента назовём Скептиком. Это собирательный образ образованного европейца XVII века, но его возражения не выдуманы: похожие доводы в разное время приводили Диофант, Михаэль Штифель, Джероламо Кардано, Рене Декарт и Антуан Арно. Правила простые. Скептик признаёт натуральные числа и привычные законы арифметики. Всё остальное — ноль, минус, правила знаков — придётся отстоять, опираясь только на то, что он уже признал. Выпишем эти законы явно: дальше каждое доказательство будет ссылаться только на них, на привычные свойства натуральных чисел и на определения новых понятий.
Для любых чисел $a$, $b$, $c$:
- переместительные законы: $a + b = b + a$ и $ab = ba$;
- сочетательные законы: $(a + b) + c = a + (b + c)$ и $(ab)c = a(bc)$;
- распределительный закон: $a(b + c) = ab + ac$;
- ноль и единица: $a + 0 = a$ и $a \cdot 1 = a$.
Для натуральных чисел Скептик проверял эти законы тысячу раз: кучки камешков можно сдвигать и пересыпать, прямоугольник из плиток можно повернуть или разрезать на два. Распределительный закон, например, — это прямоугольник со сторонами $a$ и $b + c$, разрезанный на прямоугольники $a \times b$ и $a \times c$; на нём держатся раскрытие скобок и умножение столбиком: $7 \cdot 23 = 7 \cdot 20 + 7 \cdot 3$. Наше условие: новые числа допускаются, только если эти законы выполняются и для них. Иначе мы потеряли бы раскрытие скобок, а заодно и всю алгебру.
Раунд первый: ноль — это число?
Ноль — это ничто. Число отвечает на вопрос «сколько?», а «нисколько» — не ответ, а его отсутствие. Вы сами рассказывали, что ноль придумали для пустого разряда. Значок — пожалуйста. Но число?
Что вообще делает значок числом? То, что с ним можно считать по правилам и получать верные ответы. У «пустого места» из прошлой главы правил не было: он лишь держал разряд. Первым, кто дал нулю правила действий, был индийский астроном Брахмагупта. В трактате «Брахма-спхута-сиддханта», написанном в 628 году, он перечисляет: число плюс ноль есть то же число, число минус ноль — то же число, ноль минус ноль — ноль, произведение нуля на любое число — ноль. С этого момента ноль складывают, вычитают и умножают наравне с остальными числами.
$$a + 0 = a, \qquad a - 0 = a, \qquad a - a = 0, \qquad a \cdot 0 = 0.$$А на вопрос «сколько?» ноль отвечает прекрасно. Сколько яблок в пустой корзине? Сколько голов забила команда, проигравшая всухую? Без нуля у вычитания $5 - 5$ не было бы результата, и арифметика спотыкалась бы на ровном месте. Правило $a \cdot 0 = 0$ тоже понятно по смыслу: ноль раз взять по пять монет — значит не взять ничего. А в четвёртом раунде мы увидим, что оно вытекает из законов арифметики и для отрицательных чисел.
Само слово пришло к нам кружным путём. В прошлой главе арабское «сифр», «пустое», превратилось в «цифру» и «зеро». А «ноль» (или «нуль») — от латинского nullus, «никакой»: в средневековых книгах так называли «никакую цифру», пустое место. Брахмагупта пошёл дальше сложения и умножения и попытался делить на ноль, но об этом в пятом раунде: там он ошибся.
Допустим. Ноль — число, раз уж с ним так удобно считать. Но ниже нуля я не спущусь.
Раунд второй: меньше, чем ничего
Нельзя иметь меньше, чем ничего. Если у меня три яблока, отдать пять я не могу — и никакой арифметикой этого не исправить. Уравнение $4x + 20 = 4$ нелепо: ещё Диофант назвал его абсурдным.
Диофант действительно так писал, в III веке нашей эры. Но на другом конце света к тому времени уже давно считали иначе. В китайском трактате «Математика в девяти книгах», сложившемся около двух тысяч лет назад, коэффициенты уравнений выкладывали счётными палочками: красными — положительные, чёрными — отрицательные. Бухгалтеры сегодня пишут долги красным, а у китайских вычислителей было наоборот. Правила сложения и вычитания таких чисел подробно разобрал в III веке комментатор Лю Хуэй.
Брахмагупта в том же трактате 628 года называет положительные числа имуществом, а отрицательные — долгами и выписывает правила: сумма двух долгов есть долг, долг, вычтенный из нуля, становится имуществом, произведение двух долгов — имущество. Правило «минус на минус даёт плюс» было сформулировано почти четырнадцать веков назад, только без доказательства.
Европа сопротивлялась дольше. Леонардо Пизанский в «Книге абака» (1202) толковал отрицательный ответ задачи как долг, но это было исключением. Михаэль Штифель в 1544 году называл отрицательные числа абсурдными, Кардано в «Великом искусстве» (1545) — фиктивными, Декарт в «Геометрии» (1637) — ложными корнями уравнений. Окончательно их признали только в XVIII–XIX веках.
Между тем в жизни «меньше нуля» встречается на каждом шагу. Зимой термометр показывает $-15^\circ$. Кнопка $-1$ в лифте везёт в подвал. Берег Мёртвого моря лежит больше чем на 400 метров ниже уровня океана. Баланс вашего счёта уходит в минус, когда трат больше, чем денег. Во всех этих случаях есть точка отсчёта и два направления от неё, и отрицательное число говорит «столько-то в другую сторону».
Целые числа — натуральные числа, ноль и отрицательные числа $-1, -2, -3, \dots$ Их множество обозначают $\mathbb Z$, от немецкого Zahlen — «числа»:
$$\mathbb Z = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}.$$
Числа $a$ и $-a$ называют противоположными: в сумме они дают ноль, $a + (-a) = 0$. Число, противоположное нулю, — сам ноль.
Обратите внимание: запись $-a$ не значит, что число отрицательное. Если $a = -4$, то $-a = 4$. Минус перед буквой читается «противоположное к $a$», а каким окажется знак, зависит от самого $a$.
Раунд третий: где живёт минус три
Три яблока я могу положить на стол. Покажите мне минус три.
Покажем, только не на столе, а на прямой. Отметим на ней точку 0, выберем направление «вправо» и единичный отрезок. Натуральные числа встанут справа, через равные шаги, а слева от нуля, зеркально, — противоположные им.
Числовая прямая (её ещё называют координатной прямой) — прямая с отмеченной точкой 0, выбранным положительным направлением и единичным отрезком. Положительное число $a$ изображается точкой справа от нуля на расстоянии $a$, противоположное ему число $-a$ — симметричной точкой слева.
Минус три — это точка в трёх шагах левее нуля. Но полезнее думать о числе как о сдвиге: стрелке длиной 3, направленной влево. Сложить два числа — значит пройти их стрелки одну за другой: от нуля по первой, от её конца по второй. Где остановились, там и сумма. Долг в пять монет плюс доход в три — это стрелка в пять шагов влево, а за ней три шага вправо: итог $-2$, долг в две монеты.
А вычитание? Вычесть $b$ — значит пройти стрелку $b$ задом наперёд. Стрелка, развёрнутая в обратную сторону, — это стрелка противоположного числа. Поэтому любое вычитание превращается в сложение:
Для любых целых $a$ и $b$ разность $a - b$ равна $a + (-b)$.
Идея: проверить, что число $a + (-b)$ делает то, что должна делать разность. Разность $a - b$ — это число, которое вместе с $b$ даёт $a$: так вычитание определено как действие, обратное сложению. Прибавим $b$ к числу $a + (-b)$: $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr)$ по сочетательному закону, $(-b) + b = 0$ — это сумма противоположных чисел, а $a + 0 = a$. Значит, $a + (-b)$ подходит на роль разности. Другого подходящего числа нет: если $x + b = a$ и $y + b = a$, прибавим к обоим равенствам $-b$ и получим $x = a + (-b) = y$ теми же тремя законами. Поэтому $a - b = a + (-b)$.
Из картинки видны и правила, которые в школе заучивают отдельно. Числа одного знака складываются в длинную стрелку: длины складываем, знак оставляем общий, $-4 + (-3) = -7$. Числа разных знаков гасят друг друга: из большей длины вычитаем меньшую, знак берём у более длинной стрелки, $-9 + 4 = -5$.
Прямая наводит порядок и в сравнении: из двух чисел больше то, что правее. Поэтому $-2 > -5$, хотя 5 больше 2. При $-2^\circ$ теплее, чем при $-5^\circ$, и долг в две монеты лучше долга в пять.
Вычислите $-7 + 12$.
Стрелка в 7 шагов влево, затем в 12 шагов вправо. Знаки разные: $12 - 7 = 5$, знак у более длинной стрелки плюс. Ответ: $5$.
Вычислите $-8 - (-3)$.
Вычесть $-3$ — значит прибавить $3$: $-8 - (-3) = -8 + 3 = -5$.
Стрелки, пожалуй, убедительны. Долг плюс долг — больший долг, это и купец понимает. Сложение я вам уступаю.
Раунд четвёртый: минус на минус
Умножение — другое дело. Три раза по долгу в пять монет — долг в пятнадцать, согласен. Но что значит взять долг минус три раза? И почему у вас из двух долгов получается имущество? Это фокус, а не арифметика.
С первой половиной возражения спорить не будем. Умножение на натуральное число — повторное сложение: $3 \cdot (-5) = (-5) + (-5) + (-5) = -15$. Если мы хотим, чтобы от перестановки множителей произведение не менялось, то и $(-5) \cdot 3 = -15$. Плюс на минус даёт минус, это понятно без всяких фокусов.
Трудный случай — $(-3) \cdot (-5)$. «Взять минус три раза» действительно ничего не значит, и Скептик прав: из смысла умножения как повторного сложения ответ не вытекает. Значит, надо найти другое основание. У нас их три, от наглядного к строгому.
Довод первый: таблица продолжает себя
Посмотрите на строку таблицы умножения для тройки: $3 \cdot 3 = 9$, $3 \cdot 2 = 6$, $3 \cdot 1 = 3$, $3 \cdot 0 = 0$. Каждый шаг влево отнимает три. Продолжим тем же шагом: $3 \cdot (-1) = -3$, $3 \cdot (-2) = -6$ — ровно то, что дало повторное сложение. Теперь возьмём столбец $-2$ и пойдём по нему вниз: $3 \cdot (-2) = -6$, $2 \cdot (-2) = -4$, $1 \cdot (-2) = -2$, $0 \cdot (-2) = 0$. Каждый шаг вниз прибавляет два. Следующий шаг: $(-1) \cdot (-2) = 2$.
Закономерность убеждает, но вспомните круг Мозера и формулу Эйлера, которая сорок раз подряд давала простые числа, а на сорок первый раз сломалась. Совпадения, даже многие, ничего не доказывают. Таблица показывает, какое правило было бы удобным. Почему оно единственно возможное, объясняет второй довод.
Довод второй: доказательство
Вспомним условия спора. Скептик признал законы арифметики, и мы договорились, что для новых чисел они тоже обязаны выполняться. Этого требования хватает, чтобы вычислить $(-1) \cdot (-1)$, не спрашивая ничьего мнения. Понадобятся два вспомогательных факта — леммы. Обе короткие, но без них доказательство держалось бы на честном слове.
Если $x + y = 0$, то $y = -x$.
Идея: прибавить к обеим частям $-x$ и сократить. Из $x + y = 0$ следует $(-x) + (x + y) = (-x) + 0$. Справа по закону о нуле остаётся $-x$. Слева по сочетательному закону $(-x) + (x + y) = \bigl((-x) + x\bigr) + y$, сумма противоположных $(-x) + x$ равна нулю, и остаётся $0 + y = y$. Значит, $y = -x$: число, которое в сумме с $x$ даёт ноль, может быть только противоположным к $x$.
Для любого числа $a$ выполняется $a \cdot 0 = 0$.
Идея: записать ноль как $0 + 0$ и раскрыть скобки. Так как $0 + 0 = 0$, по распределительному закону $a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0$. Обозначим $x = a \cdot 0$; мы получили $x = x + x$. Прибавим к обеим частям $-x$: слева $x + (-x) = 0$, справа $(x + x) + (-x) = x + \bigl(x + (-x)\bigr) = x + 0 = x$. Значит, $0 = x$, то есть $a \cdot 0 = 0$. Правило Брахмагупты оказалось не договорённостью, а следствием законов арифметики.
$(-1) \cdot (-1) = 1$.
Идея: взять произведение, которое точно равно нулю, записать ноль внутри него как $1 + (-1)$ и раскрыть скобки. Загадочное произведение появится само, и деваться ему будет некуда.
Проверим тем же способом другие числа. $(-2) \cdot \bigl(3 + (-3)\bigr) = (-2) \cdot 0 = 0$, а по распределительному закону это $(-2) \cdot 3 + (-2) \cdot (-3) = -6 + (-2)(-3)$. Отсюда $(-2)(-3) = 6$. Соберите доказательство для $(-1) \cdot (-1)$ сами: кирпичики — законы арифметики, и на каждом шаге подходит ровно один.
То же рассуждение работает для любых чисел, не только для единиц.
Для любых чисел $a$ и $b$ выполняется $(-a) \cdot b = -(ab)$ и $(-a) \cdot (-b) = ab$.
Идея та же, что для $(-1) \cdot (-1)$: сложить неизвестное произведение с известным так, чтобы по распределительному закону вышел ноль, а затем сослаться на лемму о единственности противоположного числа.
Из правила знаков сразу следуют два факта, которые пригодятся до конца курса.
Произведение нескольких ненулевых чисел положительно, если среди множителей чётное число отрицательных, и отрицательно, если нечётное.
Идея: снимать минусы с множителей по одному. По правилу знаков $(-a) \cdot b = -(ab)$, то есть минус у любого множителя можно вынести вперёд всего произведения; переставлять и группировать множители позволяют переместительный и сочетательный законы. Вынесем так минусы у всех отрицательных множителей. Останется произведение положительных чисел, а оно положительно, и перед ним столько минусов, сколько было отрицательных множителей. Каждые два минуса взаимно уничтожаются, потому что $-(-x) = x$: число, противоположное противоположному, — само $x$. Значит, при чётном числе минусов результат положителен, при нечётном — отрицателен. Например, $(-2) \cdot (-3) \cdot (-5) = -30$, а $(-1)^{100} = 1$.
Для любого числа $a$ выполняется $a^2 \ge 0$, причём $a^2 = 0$ только при $a = 0$.
Рассмотрим три случая. Если $a > 0$, то $a^2 = a \cdot a$ — произведение положительных чисел, оно положительно. Если $a < 0$, то $a = -c$, где $c > 0$, и по правилу знаков $a^2 = (-c)(-c) = c \cdot c > 0$. Если $a = 0$, то $a^2 = 0$ по лемме об умножении на ноль. Например, $3^2 = 9$ и $(-3)^2 = 9$. Поэтому числа, квадрат которого равен $-1$, нет ни среди целых, ни вообще среди чисел на прямой.
Правило знаков не придумано «для удобства». Если отрицательные числа должны подчиняться распределительному закону, другого варианта нет: из $0 = (-1) \cdot \bigl(1 + (-1)\bigr) = -1 + (-1)(-1)$ следует $(-1)(-1) = 1$. Попытка объявить $(-1)(-1) = -1$ дала бы $0 = -2$.
Довод третий: разворот
Вернёмся к стрелкам. Умножение на 2 растягивает стрелку вдвое. Что делает умножение на $-1$? Превращает $3$ в $-3$ и $-3$ в $3$: стрелка остаётся той же длины, но смотрит в другую сторону. Её можно представить как поворот вокруг нуля на $180^\circ$. Тогда умножить на $-1$ дважды — значит повернуть на $180^\circ$ и ещё на $180^\circ$, то есть на полный оборот. Стрелка вернулась на место: $(-1) \cdot (-1) = 1$.
Картинка с поворотом выглядит игрушкой, но в ней спрятан следующий шаг всей математики. Если умножение на $-1$ — поворот на $180^\circ$, то нет ли числа, умножение на которое поворачивает на $90^\circ$? Два таких поворота дали бы разворот, то есть квадрат этого числа был бы равен $-1$. На прямой такого числа нет, но на плоскости оно найдётся. Это мнимая единица $i$, и мы встретимся с ней в главе 15.
Последнее возражение, и оно не моё, а господина Арно. Вы говорите, что $-1$ меньше $1$. Тогда в пропорции $-1 : 1 = 1 : (-1)$ меньшее относится к большему так же, как большее к меньшему. Может ли такое быть?
Антуан Арно выдвинул этот довод в XVII веке, и Лейбниц признал его серьёзным. Посчитаем: $(-1) : 1 = -1$ и $1 : (-1) = -1$. Обе части пропорции равны, пропорция верна. Ломается не арифметика, а привычка: «меньшее, делённое на большее, меньше единицы» — правило для положительных чисел. Умножение и деление на отрицательное число переворачивают неравенства. Из $2 < 5$ после умножения на $-1$ получается $-2 > -5$: разворот на $180^\circ$ меняет местами «левее» и «правее». Докажем это аккуратно. Напомним, что $a < b$ означает «$b$ правее $a$», то есть разность $b - a$ положительна.
Если $a < b$, то $-a > -b$.
Идея: сравнить, куда смотрит стрелка от $a$ к $b$ и стрелка между их отражениями.
Известно, что $a < b$. Что можно сказать о числах $-a$ и $-b$?
Противоположные числа — отражения относительно нуля, и отражение меняет порядок на обратный. Если $a$ левее $b$, то $-a$ правее $-b$, какими бы ни были знаки: $2 < 5$ и $-2 > -5$; $-3 < 1$ и $3 > -1$.
Раунд пятый: делить на ноль
Раз уж вы так смелы, будьте последовательны. Разрешите и деление на ноль: $1 : 0$ — бесконечность, и дело с концом. Джон Уоллис в 1656 году рассуждал именно так и даже вывел, что отношение положительного числа к отрицательному больше бесконечности.
Теперь скептиками придётся быть нам. Деление устроено как действие, обратное умножению: $a : b = c$ означает, что $c \cdot b = a$. Проверьте на любом примере: $12 : 3 = 4$, потому что $4 \cdot 3 = 12$. Попробуем так же разделить на ноль.
Если $a \ne 0$, то нет ни одного числа $c$, для которого $c \cdot 0 = a$. Если $a = 0$, то равенству $c \cdot 0 = 0$ удовлетворяет любое $c$. Поэтому частное $a : 0$ не определено ни при каком $a$.
Идея: всё решает лемма об умножении на ноль. Частное $a : 0$ должно быть числом $c$ с $c \cdot 0 = a$. Но по лемме $c \cdot 0 = 0$ при любом $c$. Если $a \ne 0$, получаем $0 = a$ — противоречие, так что подходящего $c$ нет: например, $6 : 0$ означало бы $c \cdot 0 = 6$, а любое число, умноженное на ноль, даёт ноль, а не шесть. Если $a = 0$, равенство $c \cdot 0 = 0$ верно для всех $c$ — и для 5, и для $-17$, и для 0, — и выбрать из них одно ответом нет никаких оснований. В первом случае частного нет, во втором их слишком много. Поэтому деление на ноль не определено: не потому, что его кто-то запретил, а потому, что ни одно число не годится на роль ответа.
А бесконечность? Её предлагают потому, что при делении на маленькие числа частное растёт: $1 : 0{,}1 = 10$, $1 : 0{,}01 = 100$, $1 : 0{,}001 = 1000$. Но подойдём к нулю с другой стороны: $1 : (-0{,}1) = -10$, $1 : (-0{,}001) = -1000$. Частное уходит в минус без всякой границы. Если бы у $1 : 0$ было значение, ему пришлось бы быть одновременно огромным положительным и огромным отрицательным. Как аккуратно говорить о таком поведении, не деля на ноль, объясняет теория пределов (глава 25).
Брахмагупта считал, что $0 : 0 = 0$, и это правило проверки временем не выдержало. Уоллис, приняв $1 : 0 = \infty$, пришёл к отрицательным числам, которые больше бесконечности, — хорошая иллюстрация того, куда заводит деление на ноль.
Иногда деление на ноль прячется так ловко, что его не видно. Вот «доказательство» того, что $2 = 1$.
Чему равно $0 : 7$?
Здесь ноль — делимое, а делить на семь можно. $0 : 7 = 0$, потому что $0 \cdot 7 = 0$. Запрещено деление на ноль, а деление нуля на любое другое число даёт ноль.
Раунд шестой: модуль
Ваша прямая говорит, что $-5$ меньше $3$. А мой здравый смысл — что долг в пять монет больше долга в три и уж точно «больше», чем три монеты. Кто прав?
Правы оба, просто речь о разных вещах. У числа есть положение на прямой и есть величина — насколько далеко оно от нуля, в какую бы сторону ни было. Положение сравнивает знак «меньше». Величину измеряет модуль.
Модуль числа $a$ (его ещё называют абсолютной величиной) — расстояние от точки $a$ до нуля на числовой прямой. Обозначение $|a|$ ввёл Карл Вейерштрасс в 1841 году.
Модуль разности — расстояние между точками: $|a - b|$ показывает, насколько далеко $a$ от $b$. Между $-5$ и $3$ ровно $|-5 - 3| = |3 - (-5)| = 8$ шагов. Разница температур от $-15^\circ$ до $+4^\circ$ равна $|4 - (-15)| = 19$ градусам.
Для любых чисел $a$ и $b$: $|a| \ge 0$, и $|a| = 0$ только при $a = 0$; $|-a| = |a|$; $|ab| = |a| \cdot |b|$; $|a - b|$ — расстояние между точками $a$ и $b$ на прямой.
Первые два свойства следуют прямо из определения. Если $a \ge 0$, то $|a| = a \ge 0$; если $a < 0$, то $|a| = -a$, а противоположное к отрицательному числу положительно. Ноль модуль даёт только у нуля: у положительного числа модуль — оно само, у отрицательного — положительное $-a$. Числа $a$ и $-a$ симметричны относительно нуля, поэтому до нуля от них одинаково далеко: $|-a| = |a|$.
Для произведения переберём знаки. Если $a$ и $b$ неотрицательны, то $ab \ge 0$ и $|ab| = ab = |a| \cdot |b|$. Если ровно одно из них отрицательно, скажем $a < 0 \le b$, то по правилу знаков $ab = -\bigl((-a)b\bigr)$, где $(-a)b \ge 0$; значит, $|ab| = (-a)b = |a| \cdot |b|$. Если оба отрицательны, то $ab = (-a)(-b) > 0$ и $|ab| = (-a)(-b) = |a| \cdot |b|$.
Наконец, стрелка от точки $b$ до точки $a$ — это число $a - b$: пройдя её от $b$, мы попадаем в $b + (a - b) = a$. Длина стрелки — модуль этого числа, то есть $|a - b|$.
Самое полезное свойство модуля касается суммы. Пройдём сначала стрелку $a$, потом стрелку $b$ и окажемся в точке $a + b$. Если стрелки смотрят в разные стороны, вторая часть пути съедает первую, и мы окажемся ближе к нулю, чем прошли. Это называют неравенством треугольника: на плоскости, где стрелки могут идти под углом, оно говорит, что сторона треугольника короче суммы двух других (об этом — в главе о векторах). На прямой треугольник «сплющен», но неравенство то же.
Для любых чисел $a$ и $b$ выполняется $|a + b| \le |a| + |b|$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда $a$ и $b$ не разных знаков, то есть $ab \ge 0$.
Идея: расстояние от начала до конца пути не больше длины самого пути.
Вычислите $|-8| - |3 - 10|$.
$|-8| = 8$. Во втором модуле сначала считаем разность: $3 - 10 = -7$, и $|-7| = 7$. Итого $8 - 7 = 1$.
Все правила спора теперь собраны в одном месте. Проверьте, насколько они вошли в руку: тренажёр начинает со сложения, а на третьем уровне предлагает выражения с модулями, скобками и степенями.
Сдаюсь. Ваши числа ведут себя прилично: складываются стрелками, умножаются по закону, которого я сам держался, а делить на ноль вы не даёте даже себе. Пусть будут.
Куда дальше
Целые числа закрыли дыру, с которой начиналась глава: складывать, вычитать и умножать их можно всегда, и результат снова будет целым числом. С делением так не выходит даже без нуля. $12 : 3 = 4$, а $13 : 3$ целым числом уже не получится, и $13$ вообще не делится ни на что, кроме единицы и самого себя. Какие числа делятся на какие? Есть ли среди них «атомы» — числа, из которых умножением собираются все остальные? Об этом глава 3.