Векторы
Координаты векторов и параллелограмм, коллинеарность, скалярное произведение и угол между векторами, расстояние от точки до прямой и площадь треугольника.
Как решать
Вектор — это сдвиг: на сколько вправо и на сколько вверх. Координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ — разности координат конца и начала. Скалярное произведение соединяет алгебру и геометрию: оно считается по координатам, а говорит об угле.
По шагам
- Вектор по точкам: $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A)$. В параллелограмме $ABCD$ векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ равны.
- Коллинеарность: координаты пропорциональны, $\vec b = k\vec a$.
- Скалярное произведение: по координатам $x_1x_2 + y_1y_2$, по определению $|\vec a||\vec b|\cos\varphi$. Отсюда угол: $\cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}$.
- Расстояние от точки $(x_0;\ y_0)$ до прямой $ax + by + c = 0$: $\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
- Площадь треугольника по векторам двух сторон $(x_1;\ y_1)$ и $(x_2;\ y_2)$: $\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$.
Где ошибаются
- Вычитают координаты в обратном порядке: вектор $\overrightarrow{AB}$ — «конец минус начало».
- В параллелограмме $ABCD$ ищут $D$ как $A + \overrightarrow{BC}$ с неправильным порядком вершин: стороны идут по кругу $A \to B \to C \to D$.
- Забывают модуль в формуле расстояния до прямой — расстояние не бывает отрицательным.
- Путают тупой угол с отрицательным: отрицательное скалярное произведение значит, что угол больше $90^\circ$.