Конические сечения по уравнению
Эллипс, парабола и гипербола: по каноническому уравнению найти полуоси, фокусы, расстояния до фокуса — и узнать, какую кривую задаёт уравнение.
Как решать
Эллипс — точки, сумма расстояний от которых до двух фокусов постоянна; гипербола — где постоянна разность; парабола — точки, равноудалённые от фокуса и прямой-директрисы. Всё нужное читается прямо из канонического уравнения.
По шагам
- Узнайте кривую по знакам при квадратах: оба плюс и сумма равна $1$ — эллипс, знаки разные — гипербола, квадрат только одной переменной — парабола.
- Эллипс $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ при $a > b$: фокусы $(\pm c;\ 0)$, где $c^2 = a^2 - b^2$.
- Гипербола $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$: $c^2 = a^2 + b^2$, разность расстояний до фокусов равна $2a$.
- Парабола $y^2 = 2px$: фокус $\left(\frac{p}{2};\ 0\right)$, директриса $x = -\frac{p}{2}$; расстояние от точки до фокуса равно $x + \frac{p}{2}$.
Где ошибаются
- Для эллипса складывают квадраты полуосей, как у гиперболы: у эллипса $c^2 = a^2 - b^2$, у гиперболы — плюс.
- Берут в фокус $a^2$ вместо $a$: в уравнении стоят квадраты, полуось — корень из знаменателя.
- В параболе $y^2 = 12x$ путают $2p$ и $p$: $2p = 12$, $p = 6$, фокус в точке $(3;\ 0)$.
- Не приводят уравнение к каноническому виду: $16x^2 + 9y^2 = 144$ сначала делят на $144$.