Углы и отрезки в окружности
Вписанные и центральные углы, угол на диаметр, касательные, вписанный четырёхугольник, пересекающиеся хорды, длина дуги и площадь сектора.
Как решать
Главное правило окружности: вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. Из него следует всё остальное: угол, опирающийся на диаметр, прямой; противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают $180^\circ$.
По шагам
- Найдите дугу, на которую опирается угол. Вписанный угол — половина этой дуги, центральный равен ей.
- Угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$ — дальше работает сумма углов треугольника.
- Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; отрезки касательных из одной точки равны. Длина касательной — по теореме Пифагора: $PT^2 = PO^2 - r^2$.
- Хорды, пересекающиеся в точке $P$: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.
- Дуга и сектор — доля полного круга: угол, делённый на $360^\circ$.
Где ошибаются
- Берут не ту дугу: вписанный угол опирается на дугу, которая не содержит его вершину. Если точка на меньшей дуге — угол опирается на большую.
- Считают вписанный угол равным центральному. Он вдвое меньше.
- В задаче о касательных забывают, что углы между радиусом и касательной прямые: у четырёхугольника $PT_1OT_2$ два угла по $90^\circ$.
- В площади сектора используют длину окружности, а не площадь круга: $S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$.