Площади и объёмы
Площади ромба, трапеции и многоугольников на клетчатой бумаге (формула Пика), как меняется площадь при подобии, объёмы призм, цилиндров, конусов и шара.
Как решать
Площадь — сколько единичных квадратов помещается в фигуру, объём — сколько единичных кубиков. Отсюда два важных правила: если все размеры увеличить в $k$ раз, площадь вырастет в $k^2$ раз, а объём — в $k^3$. А многоугольник на клетчатой бумаге можно измерить, просто посчитав узлы сетки.
По шагам
- Ромб и любой четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями: половина произведения диагоналей. Трапеция: полусумма оснований на высоту.
- Многоугольник с вершинами в узлах: посчитайте узлы внутри ($В$) и на границе ($Г$) и примените формулу Пика.
- Подобие: стороны в $k$ раз больше — площадь в $k^2$ раз, объём в $k^3$ раз.
- Объём призмы и цилиндра — площадь основания на высоту; пирамиды и конуса — треть этого; шара — $\frac{4}{3}\pi r^3$.
Где ошибаются
- Считают, что при увеличении сторон в $7$ раз площадь растёт тоже в $7$ раз. В $49$.
- Для ромба берут произведение диагоналей без половины.
- В формуле Пика путают узлы внутри и на границе или забывают вершины среди граничных.
- Объём конуса считают как у цилиндра — без множителя $\frac{1}{3}$.