Хорды и части круга
Отметьте на окружности n точек и проведите все хорды: сколько у них пересечений и на сколько частей они разрежут круг? Задача, где первые ответы 1, 2, 4, 8, 16 обманывают.
Как решать
Если отметить на окружности $n$ точек и соединить каждую пару, хорды разрежут круг на части. При $n = 1, 2, 3, 4, 5$ частей $1, 2, 4, 8, 16$ — кажется, степени двойки. Но при $n = 6$ частей $31$. Правильный счёт идёт через сочетания: каждое пересечение хорд — это четвёрка точек.
По шагам
- Хорд столько, сколько пар точек: $\binom{n}{2}$.
- Точек пересечения внутри столько, сколько четвёрок точек: $\binom{n}{4}$. Четыре точки на окружности дают ровно одно пересечение — диагоналей их четырёхугольника.
- Каждая хорда и каждое пересечение добавляют по одной части: частей $1 + \binom{n}{2} + \binom{n}{4}$.
- Обратная задача: подставляйте $n = 1, 2, 3, \dots$, пока формула не даст нужное число.
Где ошибаются
- Продолжают закономерность $1, 2, 4, 8, 16$: при $6$ точках частей $31$, а не $32$.
- Считают пересечения как пары хорд: $\binom{15}{2}$ пар хорд больше, чем пересечений, — не все хорды пересекаются внутри круга.
- Забывают единицу — исходный круг до первой хорды.
- Путают $\binom{n}{4}$ с $\frac{n^4}{4}$: $\binom{n}{4} = \frac{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}{24}$.