Математика EN

Треугольник

Существует ли треугольник, сумма углов, площадь через высоту и по формуле Герона, медианы, средние линии и подобие — задачи без конца, с разбором.

Как решать

Почти любая задача о треугольнике держится на нескольких фактах: сумма углов $180^\circ$, каждая сторона меньше суммы двух других, площадь — половина стороны на высоту к ней, медианы делятся точкой пересечения в отношении $2 : 1$, средняя линия вдвое короче параллельной ей стороны.

По шагам

Существование: самая длинная сторона должна быть меньше суммы двух других. Для третьей стороны $c$ при известных $a$ и $b$: $|a - b| < c < a + b$.
Площадь: если есть сторона и высота к ней — $S = \frac{1}{2}ah$. Если известны три стороны — формула Герона.
Высота по площади: $h = \frac{2S}{a}$. Так находят высоту к любой стороне, когда площадь уже посчитана.
Точка пересечения медиан отсекает от каждой медианы треть, считая от стороны; средняя линия равна половине стороны.
В подобных треугольниках стороны пропорциональны, а площади относятся как квадрат коэффициента подобия.

Сторона треугольника.

Высота, проведённая к этой стороне.

Полупериметр: $p = \frac{a + b + c}{2}$.

Пример: стороны $7, 15, 20$; $p = 21$, $S = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1} = 42$, высота к стороне $7$: $h = \frac{2 \cdot 42}{7} = 12$.

Где ошибаются

Проверяют неравенство треугольника не для самой длинной стороны: для сторон $6, 22, 11$ важно, что $22 > 6 + 11$.
Считают граничные значения третьей стороны: при сторонах $6$ и $11$ третья строго больше $5$ и строго меньше $17$ — целых значений $11$.
Забывают половину в формуле площади.
Путают, какую часть медианы отсекает её точка пересечения: от вершины — две трети, от стороны — одну треть.