Коэффициенты Фурье
Коэффициенты Фурье: прочитать с тригонометрического многочлена, разложить произведения и степени синусов и косинусов, посчитать по формулам.
Как решать
Ряд Фурье раскладывает функцию на синусы и косинусы разных частот. Ключ — ортогональность: интеграл от произведения двух разных гармоник по периоду равен нулю. Поэтому каждый коэффициент «вылавливается» своим интегралом, а у тригонометрического многочлена его просто видно.
По шагам
- Если функция уже записана суммой синусов и косинусов, коэффициенты читаются с неё. Свободный член равен $\frac{a_0}{2}$.
- Произведения и степени разложите в суммы: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$, $\sin 2x\cos x = \frac{\sin 3x + \sin x}{2}$, $\cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4}$.
- Нечётная функция содержит только синусы ($a_n = 0$), чётная — только косинусы ($b_n = 0$). Интеграл нечётной функции по симметричному промежутку — ноль.
- Иначе — по формулам, интегрируя по частям.
Где ошибаются
- Забывают, что свободный член — половина $a_0$: если $f = 5 + \ldots$, то $a_0 = 10$.
- Читают коэффициент с произведения, не разложив его в сумму: $\cos^3 x$ — это не «$a_3 = 1$».
- Не пользуются чётностью и считают лишние интегралы — или теряют знак у нечётной функции.
- Забывают множитель $\frac{1}{\pi}$ в формуле.