Квадратные уравнения
Квадратные уравнения: целые корни, дробные, с корнями из чисел, неполные и без корней. Дискриминант, теорема Виета и разбор каждого шага.
Как решать
Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ решает одна формула, а дискриминант заранее говорит, сколько будет корней. Неполные уравнения быстрее решить без неё: вынести $x$ или выразить $x^2$.
По шагам
- Перенесите всё в одну часть и раскройте скобки, чтобы получилось $ax^2 + bx + c = 0$. Если $a < 0$, удобно умножить уравнение на $-1$.
- Неполное уравнение: при $c = 0$ вынесите $x$ — $x(ax + b) = 0$; при $b = 0$ выразите $x^2 = -\frac{c}{a}$.
- Иначе посчитайте дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D > 0$ — два корня, $D = 0$ — один, $D < 0$ — корней нет.
- Подставьте в формулу корней; корень из $D$ упростите, если можно, и сократите дробь.
- Проверьте по теореме Виета: сумма корней $-\frac{b}{a}$, произведение $\frac{c}{a}$.
Где ошибаются
- Теряют знак коэффициента: в $x^2 - 5x + 6 = 0$ коэффициент $b = -5$, и $-b = 5$.
- Делят на $2$ только корень, а не всю сумму: $\frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2}$ — делится и $-6$, и $2\sqrt{13}$.
- В уравнении $x^2 - 6x = 0$ делят на $x$ и теряют корень $x = 0$.
- При $D < 0$ пишут корни с $\sqrt{-\ldots}$ — среди действительных чисел корней нет.