Прогрессии
Арифметическая и геометрическая прогрессии: найти член, разность или знаменатель, сумму первых членов и сумму бесконечной убывающей прогрессии.
Как решать
В арифметической прогрессии каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число $d$, в геометрической — во столько же раз $q$. Почти любая задача сводится к тому, чтобы посчитать, сколько шагов между двумя членами.
По шагам
- Определите вид прогрессии: прибавляется одно и то же число — арифметическая, умножается — геометрическая.
- Между членами $a_m$ и $a_n$ ровно $n - m$ шагов: $a_n = a_m + (n - m)d$, $b_n = b_m \cdot q^{n - m}$.
- Сумма арифметической прогрессии — среднее первого и последнего члена, умноженное на число членов.
- Сумма геометрической — по формуле $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$; бесконечная сумма существует при $|q| < 1$ и равна $\frac{b_1}{1 - q}$.
- Если неизвестно число членов, составьте уравнение и решите его.
Где ошибаются
- Считают шагов столько же, сколько членов: от $a_1$ до $a_7$ — шесть шагов, отсюда $(n - 1)$ в формуле.
- Считают число членов от $57$ до $100$ как $100 - 57 = 43$; на самом деле их $44$ — оба конца включены.
- Теряют знак у знаменателя: при $q = -2$ члены чередуют знаки, и $q^n$ надо считать вместе со знаком.
- Складывают бесконечную прогрессию с $|q| \ge 1$ — у неё нет конечной суммы.