Степени и логарифмы
Свойства степеней, значения логарифмов, их свойства и простейшие уравнения вида 4ˣ = 2. Пример за примером, с подробным разбором.
Как решать
Логарифм — это показатель: $\log_a b$ отвечает на вопрос, в какую степень возвести $a$, чтобы получить $b$. Поэтому свойства логарифмов — это свойства степеней, прочитанные наоборот: при умножении степеней показатели складываются, значит, логарифм произведения — сумма логарифмов.
По шагам
- Степени с одним основанием собирайте в одну: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении в степень перемножаются.
- Значение логарифма: запишите число как степень основания, $\frac{1}{16} = 2^{-4}$, значит, $\log_2 \frac{1}{16} = -4$.
- Если основание и число — степени одного числа, переведите оба: $\log_4 32$: $4 = 2^2$, $32 = 2^5$, ответ $\frac{5}{2}$.
- Сумму логарифмов с одним основанием замените логарифмом произведения: $\lg 4 + \lg 250 = \lg 1000 = 3$.
- Показательное уравнение: приведите обе части к одному основанию и приравняйте показатели.
Где ошибаются
- При умножении степеней перемножают показатели: $5^6 \cdot 5^{-3} = 5^3$, а не $5^{-18}$.
- Путают отрицательную степень с отрицательным числом: $10^{-1} = \frac{1}{10}$, а не $-10$.
- Думают, что логарифм суммы — сумма логарифмов. Нет: складываются логарифмы произведения, $\lg(a + b) \ne \lg a + \lg b$.
- Забывают, что $\lg$ — логарифм по основанию $10$, а $\ln$ — по основанию $e$.