Комплексные числа
Сложение, умножение и деление комплексных чисел, модуль, квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, тригонометрическая форма и формула Муавра.
Как решать
Комплексное число $a + bi$ — точка на плоскости, а $i$ — число, для которого $i^2 = -1$. С ним обращаются как с буквой в алгебре, только $i^2$ сразу заменяют на $-1$. Умножение на комплексное число поворачивает и растягивает: модули перемножаются, углы складываются.
По шагам
- Сложение и умножение: раскрывайте скобки как обычно и заменяйте $i^2$ на $-1$. Степени $i$ повторяются через четыре: $i^4 = 1$.
- Деление: умножьте числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю ($a + bi \to a - bi$). В знаменателе получится действительное $a^2 + b^2$.
- Квадратное уравнение с $D < 0$: $\sqrt{D} = i\sqrt{|D|}$, корни сопряжены.
- Большие степени: перейдите к тригонометрической форме $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ и возведите по формуле Муавра.
Где ошибаются
- Забывают, что $i^2 = -1$: $(3 - 2i)^2 = 9 - 12i + 4i^2 = 5 - 12i$, а не $13 - 12i$.
- При делении умножают на сопряжённое только знаменатель — дробь меняется. Умножается и числитель.
- Берут аргумент без учёта четверти: у $-1 + i$ угол $\frac{3\pi}{4}$, а не $-\frac{\pi}{4}$.
- Находят один корень уравнения $z^2 = w$. Их два, и они противоположны.