Деление многочленов и корни
Теорема Безу, деление многочленов уголком и по схеме Горнера и поиск корней многочлена третьей степени: угадываем целый корень, делим, решаем квадратное.
Как решать
Многочлены делятся с остатком, как числа. Главное следствие — теорема Безу: остаток от деления $P(x)$ на $x - a$ равен $P(a)$. Значит, если $P(a) = 0$, многочлен делится на $x - a$ нацело — и степень уравнения можно понизить.
По шагам
- Делимость на $x - a$: подставьте $a$ в многочлен; делится, если получился ноль. Для $x + 3$ подставляйте $a = -3$.
- Деление на $x - a$ удобнее всего схемой Горнера: сносим старший коэффициент, умножаем на $a$, прибавляем к следующему — и так до конца. Последнее число — остаток.
- Деление на квадратный трёхчлен делайте уголком: делите старший член на старший, умножайте, вычитайте.
- Корни: целые корни многочлена с целыми коэффициентами — среди делителей свободного члена. Найдя один корень, разделите на $x - a$ и решайте оставшееся квадратное уравнение.
Где ошибаются
- Подставляют в теорему Безу число с неправильным знаком: делитель $x + 3$ — это $x - (-3)$, подставлять нужно $-3$.
- В схеме Горнера пропускают нулевые коэффициенты: у $x^3 - 11x - 20$ коэффициенты $1, 0, -11, -20$.
- При делении уголком ошибаются со знаком при вычитании: вычитается всё произведение, каждое слагаемое.
- Ищут целые корни среди произвольных чисел. Кандидаты — только делители свободного члена, со знаками плюс и минус.