Ряды

Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Как решать

Геометрические ряды

Бесконечная сумма $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ равна конечному числу, $2$: каждое новое слагаемое закрывает половину оставшегося пути. Так ведёт себя любая геометрическая прогрессия, у которой знаменатель по модулю меньше единицы.

По шагам

Найдите первый член $b_1$, то есть то слагаемое, с которого начинается сумма. Внимательно посмотрите на нижний индекс суммы: при $k = 2$ первым будет член с $k = 2$.
Найдите знаменатель $q$: во сколько раз каждый член больше предыдущего.
Проверьте, что $|q| < 1$. Иначе ряд расходится и суммы нет.
Посчитайте сумму по формуле.

Первый член суммы.

Знаменатель прогрессии, $|q| < 1$.

Пример: $\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$.

Где ошибаются

Берут первым член при $k = 0$, хотя сумма начинается с $k = 2$.
Путаются со знаком при отрицательном $q$: $1 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}$.
Применяют формулу при $|q| \ge 1$, когда ряд расходится.