Экзамены · Первый курс: матанализ
Дифференциальные уравнения
Задача Коши для линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Как решать
Дифференциальные уравнения
В дифференциальном уравнении неизвестна функция $y(x)$, а в уравнение входят её производные: $y'' - 3y' + 2y = 0$. Задача Коши добавляет начальные условия, например $y(0) = 1$ и $y'(0) = 0$, и с ними решение становится единственным.
По шагам
- Для $y' = ky$ решение $y = Ce^{kx}$; постоянную $C$ найдите из $y(0)$.
- Для $y'' + py' + qy = 0$ составьте характеристическое уравнение $r^2 + pr + q = 0$: замените $y''$ на $r^2$, $y'$ на $r$, $y$ на $1$.
- Если у него два различных действительных корня $r_1$ и $r_2$, общее решение $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.
- Подставьте $x = 0$ в $y$ и в $y'$ и из получившейся системы найдите $C_1$ и $C_2$.
Где ошибаются
- Путают знак корня в показателе: корню $r = -2$ соответствует $e^{-2x}$.
- Находят общее решение и забывают про начальные условия.
- Неверно берут производную при подстановке во второе условие: $\left(C_2 e^{2x}\right)' = 2C_2 e^{2x}$.