Первый курс: матанализ
Сессия первого курса: пределы, производные, интегралы, дифференциальные уравнения и ряды.
Задачи типовых контрольных и экзаменов первого семестра. Ответ — число или формула; формулу можно записать в любом равносильном виде.
Пределы ОткрытьСвернуть
Неопределённости 0/0 и ∞/∞: разложить, сократить, поделить на старшую степень.
Как решать
Пределы
Предел $\lim_{x \to a} f(x)$ — число, к которому подходят значения функции, когда $x$ подходит к $a$. Часто достаточно просто подставить $a$. Трудности начинаются, когда подстановка даёт бессмыслицу вроде $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$.
По шагам
- Подставьте точку. Если получилось число, это и есть ответ.
- Если вышло $\frac{0}{0}$, разложите числитель и знаменатель на множители, сократите общий множитель и подставьте снова.
- Если $x \to \infty$ и вышло $\frac{\infty}{\infty}$, поделите числитель и знаменатель на старшую степень $x$: всё, что делится на $x$, стремится к нулю.
- Для дроби многочленов одинаковой степени предел на бесконечности равен отношению старших коэффициентов.
Где ошибаются
- Пишут, что $\frac{0}{0}$ равно $0$ или $1$. Это не число, а сигнал: нужно преобразовать выражение.
- Делят на старшую степень не все слагаемые.
- Сравнивают не те степени: если степень числителя меньше степени знаменателя, предел на бесконечности равен нулю.
Пример
Производные ОткрытьСвернуть
Таблица производных и правила: сумма, произведение, частное, сложная функция.
Как решать
Производные
Производная показывает, как быстро меняется функция. Находят её не по определению, а по таблице и нескольким правилам: сумма, произведение, частное и сложная функция.
По шагам
- Таблица: $(x^n)' = nx^{n - 1}$, $(e^x)' = e^x$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
- Производная суммы — сумма производных; число-множитель выносится за знак производной.
- Произведение: $(uv)' = u'v + uv'$. Частное: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
- Сложная функция: производная внешней функции, умноженная на производную внутренней: $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$.
Где ошибаются
- Считают, что производная произведения равна произведению производных. Это не так.
- Забывают множитель от внутренней функции: $(\cos 5x)' = -5\sin 5x$.
- Путают знак у производной косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.
Пример
Первообразные ОткрытьСвернуть
Таблица интегралов, замена переменной, интегрирование по частям.
Как решать
Первообразные
Первообразная — функция $F$, производная которой равна данной: $F' = f$. Искать её — значит читать таблицу производных наоборот. Ответ всегда можно проверить: продифференцируйте его и сравните с тем, что было под интегралом.
По шагам
- Таблица: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ при $n \ne -1$, $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$, $\int \cos x\,dx = \sin x + C$, $\int e^x\,dx = e^x + C$.
- Если под функцией стоит $kx + b$, результат делится на $k$: $\int \cos 3x\,dx = \frac{\sin 3x}{3} + C$.
- Если рядом стоит производная внутренней функции, сделайте замену $t = g(x)$: $\int 2x e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C$.
- Произведение многочлена на $e^x$, $\sin x$ или $\cos x$ берут по частям.
- Проверьте ответ дифференцированием.
Где ошибаются
- Делят на $n$ вместо $n + 1$: $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$.
- Забывают разделить на $k$ при линейной замене.
- Не проверяют ответ, хотя проверка дифференцированием занимает минуту.
Пример
Определённые интегралы ОткрытьСвернуть
Формула Ньютона — Лейбница: первообразная на концах отрезка.
Как решать
Определённые интегралы
Определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — это площадь под графиком с учётом знака. Считают его без всяких площадей: находят первообразную и вычитают её значения на концах отрезка.
По шагам
- Найдите первообразную $F(x)$, как в задачах на первообразные. Постоянная $C$ здесь не нужна: при вычитании она всё равно сократится.
- Подставьте верхний предел, потом нижний и вычтите: $F(b) - F(a)$.
- Значение $F(a)$ вычитайте целиком, в скобках: в нём могут быть свои минусы.
Где ошибаются
- Вычитают в обратном порядке: $F(a) - F(b)$ даёт ответ с противоположным знаком.
- Теряют минус, когда $F(a)$ отрицательно: $F(b) - (-3) = F(b) + 3$.
- Ошибаются в самой первообразной. Проверьте её производной, прежде чем подставлять пределы.
Пример
Дифференциальные уравнения ОткрытьСвернуть
Задача Коши для линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Как решать
Дифференциальные уравнения
В дифференциальном уравнении неизвестна функция $y(x)$, а в уравнение входят её производные: $y'' - 3y' + 2y = 0$. Задача Коши добавляет начальные условия, например $y(0) = 1$ и $y'(0) = 0$, и с ними решение становится единственным.
По шагам
- Для $y' = ky$ решение $y = Ce^{kx}$; постоянную $C$ найдите из $y(0)$.
- Для $y'' + py' + qy = 0$ составьте характеристическое уравнение $r^2 + pr + q = 0$: замените $y''$ на $r^2$, $y'$ на $r$, $y$ на $1$.
- Если у него два различных действительных корня $r_1$ и $r_2$, общее решение $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.
- Подставьте $x = 0$ в $y$ и в $y'$ и из получившейся системы найдите $C_1$ и $C_2$.
Где ошибаются
- Путают знак корня в показателе: корню $r = -2$ соответствует $e^{-2x}$.
- Находят общее решение и забывают про начальные условия.
- Неверно берут производную при подстановке во второе условие: $\left(C_2 e^{2x}\right)' = 2C_2 e^{2x}$.
Пример
Ряды ОткрытьСвернуть
Сумма бесконечной геометрической прогрессии.
Как решать
Геометрические ряды
Бесконечная сумма $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ равна конечному числу, $2$: каждое новое слагаемое закрывает половину оставшегося пути. Так ведёт себя любая геометрическая прогрессия, у которой знаменатель по модулю меньше единицы.
По шагам
- Найдите первый член $b_1$, то есть то слагаемое, с которого начинается сумма. Внимательно посмотрите на нижний индекс суммы: при $k = 2$ первым будет член с $k = 2$.
- Найдите знаменатель $q$: во сколько раз каждый член больше предыдущего.
- Проверьте, что $|q| < 1$. Иначе ряд расходится и суммы нет.
- Посчитайте сумму по формуле.
Где ошибаются
- Берут первым член при $k = 0$, хотя сумма начинается с $k = 2$.
- Путаются со знаком при отрицательном $q$: $1 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}$.
- Применяют формулу при $|q| \ge 1$, когда ряд расходится.