Экзамены · Первый курс: матанализ
Пределы
Неопределённости 0/0 и ∞/∞: разложить, сократить, поделить на старшую степень.
Как решать
Пределы
Предел $\lim_{x \to a} f(x)$ — число, к которому подходят значения функции, когда $x$ подходит к $a$. Часто достаточно просто подставить $a$. Трудности начинаются, когда подстановка даёт бессмыслицу вроде $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$.
По шагам
- Подставьте точку. Если получилось число, это и есть ответ.
- Если вышло $\frac{0}{0}$, разложите числитель и знаменатель на множители, сократите общий множитель и подставьте снова.
- Если $x \to \infty$ и вышло $\frac{\infty}{\infty}$, поделите числитель и знаменатель на старшую степень $x$: всё, что делится на $x$, стремится к нулю.
- Для дроби многочленов одинаковой степени предел на бесконечности равен отношению старших коэффициентов.
Где ошибаются
- Пишут, что $\frac{0}{0}$ равно $0$ или $1$. Это не число, а сигнал: нужно преобразовать выражение.
- Делят на старшую степень не все слагаемые.
- Сравнивают не те степени: если степень числителя меньше степени знаменателя, предел на бесконечности равен нулю.