Первообразные

Таблица интегралов, замена переменной, интегрирование по частям.

Как решать

Первообразные

Первообразная — функция $F$, производная которой равна данной: $F' = f$. Искать её — значит читать таблицу производных наоборот. Ответ всегда можно проверить: продифференцируйте его и сравните с тем, что было под интегралом.

По шагам

Таблица: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ при $n \ne -1$, $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$, $\int \cos x\,dx = \sin x + C$, $\int e^x\,dx = e^x + C$.
Если под функцией стоит $kx + b$, результат делится на $k$: $\int \cos 3x\,dx = \frac{\sin 3x}{3} + C$.
Если рядом стоит производная внутренней функции, сделайте замену $t = g(x)$: $\int 2x e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C$.
Произведение многочлена на $e^x$, $\sin x$ или $\cos x$ берут по частям.
Проверьте ответ дифференцированием.

То, что упрощается при дифференцировании: многочлен или логарифм.

То, что легко проинтегрировать: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$.

Пример: $\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C$.

Где ошибаются

Делят на $n$ вместо $n + 1$: $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$.
Забывают разделить на $k$ при линейной замене.
Не проверяют ответ, хотя проверка дифференцированием занимает минуту.