Математика EN

Экзамены · Первый курс: матанализ

Определённые интегралы

Формула Ньютона — Лейбница: первообразная на концах отрезка.

Как решать

Определённые интегралы

Определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — это площадь под графиком с учётом знака. Считают его без всяких площадей: находят первообразную и вычитают её значения на концах отрезка.

По шагам

  1. Найдите первообразную $F(x)$, как в задачах на первообразные. Постоянная $C$ здесь не нужна: при вычитании она всё равно сократится.
  2. Подставьте верхний предел, потом нижний и вычтите: $F(b) - F(a)$.
  3. Значение $F(a)$ вычитайте целиком, в скобках: в нём могут быть свои минусы.
Нижний предел. Значение первообразной в нём вычитается. Верхний предел. Пример: $\int_0^2 3x^2\,dx = x^3 \Big|_0^2 = 8 - 0 = 8$.

Где ошибаются

  • Вычитают в обратном порядке: $F(a) - F(b)$ даёт ответ с противоположным знаком.
  • Теряют минус, когда $F(a)$ отрицательно: $F(b) - (-3) = F(b) + 3$.
  • Ошибаются в самой первообразной. Проверьте её производной, прежде чем подставлять пределы.

Пример

Математика

Главы курса

Вступление

  1. 0 Что такое математика

I Числа

  1. 1 Счёт
  2. 2 Ноль и минус
  3. 3 Простые числа
  4. 4 Делимость
  5. 5 Дроби
  6. 6 Корень из двух

II Алгебра

  1. 7 Буквы
  2. 8 Уравнения
  3. 9 Функции и графики
  4. 10 Квадратные уравнения
  5. 11 Системы и неравенства
  6. 12 Степени и логарифмы
  7. 13 Последовательности
  8. 14 Многочлены
  9. 15 Комплексные числа

III Геометрия

  1. 16 Начала Евклида
  2. 17 Треугольник
  3. 18 Теорема Пифагора
  4. 19 Окружность и π
  5. 20 Площадь и объём
  6. 21 Тригонометрия
  7. 22 Векторы
  8. 23 Симметрия
  9. 24 Конические сечения

IV Анализ

  1. 25 Пределы
  2. 26 Производная
  3. 27 Экстремумы
  4. 28 Интеграл
  5. 29 Число e
  6. 30 Ряды
  7. 31 Дифференциальные уравнения
  8. 32 Многие переменные
  9. 33 Ряды Фурье
  10. 34 Комплексный анализ

V Линейная алгебра

  1. 35 Матрицы
  2. 36 Метод Гаусса
  3. 37 Векторные пространства
  4. 38 Собственные векторы
  5. 39 МНК и SVD

VI Структуры

  1. 40 Группы
  2. 41 Остатки и шифры
  3. 42 Кольца и поля
  4. 43 Теория Галуа
  5. 44 Дзета и кривые

VII Случай и данные

  1. 45 Комбинаторика
  2. 46 Графы
  3. 47 Вероятность
  4. 48 Случайные величины
  5. 49 Статистика
  6. 50 Марков и информация

VIII Основания

  1. 51 Логика и множества
  2. 52 Бесконечности
  3. 53 Строгий анализ
  4. 54 Мера и интеграл
  5. 55 Функциональный анализ
  6. 56 Гёдель и Тьюринг

IX Горизонты

  1. 57 Топология
  2. 58 Неевклидовы геометрии
  3. 59 Хаос и фракталы
  4. 60 Передний край