Производные

Таблица производных и правила: сумма, произведение, частное, сложная функция.

Как решать

Производные

Производная показывает, как быстро меняется функция. Находят её не по определению, а по таблице и нескольким правилам: сумма, произведение, частное и сложная функция.

По шагам

Таблица: $(x^n)' = nx^{n - 1}$, $(e^x)' = e^x$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Производная суммы — сумма производных; число-множитель выносится за знак производной.
Произведение: $(uv)' = u'v + uv'$. Частное: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Сложная функция: производная внешней функции, умноженная на производную внутренней: $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$.

Первый множитель.

Второй множитель. Производная берётся по очереди у каждого, второй в это время не трогаем.

Пример: $(x^2 e^{x})' = 2x e^{x} + x^2 e^{x}$.

Внутренняя функция. Её производная появляется множителем.

Пример: $\left(e^{x^2}\right)' = e^{x^2} \cdot 2x$.

Где ошибаются

Считают, что производная произведения равна произведению производных. Это не так.
Забывают множитель от внутренней функции: $(\cos 5x)' = -5\sin 5x$.
Путают знак у производной косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.