№20 Дроби и разложение на множители
Сократить дробь или разложить многочлен на множители.
Как решать
Сокращение дробей
Сократить дробь вроде $\frac{x^2 + 7x + 6}{x^2 + 5x + 4}$ — значит разделить числитель и знаменатель на их общий множитель. Сокращать можно только множители, поэтому сначала оба многочлена раскладывают.
По шагам
- Разложите на множители числитель: $x^2 + 7x + 6 = (x + 1)(x + 6)$.
- Разложите на множители знаменатель: $x^2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)$.
- Сократите общий множитель: получится $\frac{x + 6}{x + 4}$.
- Помните, при каких $x$ исходная дробь не определена: сокращённая равна ей везде, кроме этих точек (здесь $x \ne -1$ и $x \ne -4$).
Где ошибаются
- Сокращают слагаемые вместо множителей: в $\frac{x + 6}{x + 4}$ сокращать нечего.
- Не раскладывают многочлены до конца и пропускают общий множитель.
- Не замечают множителей, отличающихся только знаком: $1 - x = -(x - 1)$.
Пример
Разложение на множители
Разложить многочлен на множители — значит записать его произведением более простых многочленов: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Это нужно и само по себе, и для сокращения дробей, и для решения уравнений.
По шагам
- Вынесите общий множитель за скобку, если он есть: $2x^2 - 6x = 2x(x - 3)$.
- Проверьте формулы сокращённого умножения, например $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
- Квадратный трёхчлен раскладывается по своим корням.
- Для многочлена третьей степени найдите целый корень среди делителей свободного члена, проверьте его подстановкой и разделите многочлен на $(x - x_0)$.
- Продолжайте, пока каждый множитель не станет линейным или неразложимым.
Где ошибаются
- Теряют старший коэффициент: $2x^2 - 10x + 12 = 2(x - 2)(x - 3)$, без двойки равенство неверно.
- Путают знаки: корню $2$ соответствует множитель $(x - 2)$, а не $(x + 2)$.
- Останавливаются на полпути, когда один из множителей ещё раскладывается.