ОГЭ, 9 класс

Уравнения, неравенства, вычисления и задачи второй части: системы, дроби, разложение на множители.

Здесь задания по алгебре: №8, 9, 13 и алгебраическое №20 второй части. Геометрии и текстовых задач пока нет.

№8 Вычисления со степенями ОткрытьСвернуть

Нужно найти значение выражения со степенями. Приведите степени к одному основанию — и всё сократится.

Как решать

Выражения со степенями

Выражение вроде $\frac{2^5 \cdot 4^3}{8^3}$ выглядит громоздко, но если записать все числа степенями двойки, оно сворачивается в одну степень. Перемножать большие числа не придётся.

По шагам

Приведите все степени к одному основанию: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
При умножении степеней показатели складывайте, при делении вычитайте, при возведении степени в степень перемножайте.
Посчитайте итоговый показатель и вычислите степень.

Показатель первой степени.

Показатель второй степени. Правила работают, только когда основания одинаковые.

Пример: $\frac{2^5 \cdot 4^3}{8^3} = \frac{2^5 \cdot 2^6}{2^9} = 2^{5 + 6 - 9} = 2^2 = 4$.

Где ошибаются

Перемножают показатели при умножении степеней: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$, а не $2^{12}$.
Объединяют степени с разными основаниями: $2^3 \cdot 3^2$ в одну степень не собрать.
Путают отрицательный показатель со знаком числа: $2^{-3} = \frac{1}{8}$, а не $-8$.

Пример

№9 Уравнения ОткрытьСвернуть

Линейное, квадратное или дробное уравнение.

Как решать

Линейные уравнения

Линейное уравнение — такое, где неизвестное стоит только в первой степени: $3x + 5 = x - 7$. У него один корень, и находится он за несколько ходов.

По шагам

Раскройте скобки, если они есть.
Перенесите слагаемые с $x$ влево, а числа вправо. Переходя через знак «=», слагаемое меняет знак: $3x + 5 = x - 7$ превращается в $3x - x = -7 - 5$.
Приведите подобные: $2x = -12$.
Разделите обе части на число перед $x$: $x = -6$.
Проверьте подстановкой: слева $3 \cdot (-6) + 5 = -13$, справа $-6 - 7 = -13$. Сошлось.

Число перед $x$, его называют коэффициентом. Делить на него можно, только если $a \ne 0$.

Всё, что осталось справа после переноса и приведения подобных.

Если $x$ сократился и вышло неверное равенство вроде $0 = 5$, корней нет. Если вышло $0 = 0$, подходит любое число.

Где ошибаются

Переносят слагаемое в другую часть и забывают сменить у него знак.
Теряют минус при делении: из $-2x = 8$ получается $x = -4$, а не $4$.
Раскрывают скобку с минусом перед ней и меняют знак только у первого слагаемого. Правильно: $-(x - 3) = -x + 3$.

Пример

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение записывают так: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \ne 0$. Корней у него не больше двух, а сколько их на самом деле, подсказывает одно число — дискриминант.

По шагам

Перенесите всё в левую часть, чтобы справа остался ноль. Выпишите коэффициенты $a$, $b$, $c$ вместе с их знаками.
Если $c = 0$, вынесите $x$ за скобку: $x(ax + b) = 0$, корни $0$ и $-\frac{b}{a}$. Если $b = 0$, выразите $x^2$ и извлеките корень.
Иначе посчитайте дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
При $D > 0$ корней два, при $D = 0$ один, при $D < 0$ действительных корней нет.
Проверьте по теореме Виета: сумма корней равна $-\frac{b}{a}$, произведение $\frac{c}{a}$.

Коэффициент при $x$ со своим знаком. В уравнении $x^2 - 5x + 6 = 0$ это $b = -5$, а $-b = 5$.

Дискриминант: он и решает, сколько будет корней.

Коэффициент при $x^2$.

Пример: $x^2 - 5x + 6 = 0$, $D = 25 - 24 = 1$, $x = \frac{5 \pm 1}{2}$, то есть $x = 2$ и $x = 3$.

Где ошибаются

Берут $b$ без знака: в $x^2 - 5x + 6$ коэффициент $b = -5$, и $b^2 = 25$.
Считают дискриминант, пока справа ещё не ноль. Сначала всё переносят в одну часть.
Делят обе части на $x$ и теряют корень $x = 0$. Вместо деления выносите $x$ за скобку.

Пример

Дробные уравнения

В дробном уравнении неизвестное стоит в знаменателе: $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$. На ноль делить нельзя, и с этого правила начинается всё решение.

По шагам

Выпишите, при каких $x$ знаменатели обращаются в ноль. Эти значения запрещены; всё, что осталось, называют областью допустимых значений (ОДЗ).
Перенесите всё в одну часть и приведите к общему знаменателю, чтобы получилась одна дробь.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю. Решите уравнение «числитель $= 0$».
Выбросьте корни, запрещённые на первом шаге.

Числитель: его приравниваем к нулю.

Знаменатель: он не должен обращаться в ноль, поэтому такие корни отбрасываем.

Пример: в $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$ числитель даёт $x = 1$ и $x = -1$, но при $x = 1$ знаменатель равен нулю. Ответ: $x = -1$.

Где ошибаются

Забывают выбросить корень, при котором знаменатель равен нулю. Это самая частая ошибка.
Сокращают дробь на выражение с $x$ и не помнят, что это выражение не могло быть нулём.
При приведении к общему знаменателю домножают на множитель не все слагаемые.

Пример

№13 Неравенства ОткрытьСвернуть

Линейное или квадратное неравенство. Ответ — промежуток.

Как решать

Линейные неравенства

Линейное неравенство решается почти как линейное уравнение: $3x - 5 > x + 1$. Отличие одно, зато важное: если делить или умножать на отрицательное число, знак неравенства переворачивается.

По шагам

Перенесите слагаемые с $x$ влево, числа вправо. При переносе знак слагаемого меняется, как в уравнении.
Приведите подобные, чтобы получилось $ax > b$ (или с другим знаком неравенства).
Разделите обе части на $a$. Если $a > 0$, знак неравенства не меняется. Если $a < 0$, меняется на противоположный.
Запишите ответ промежутком: $x > 3$ — это $(3; +\infty)$, $x \le 3$ — это $(-\infty; 3]$.

Число перед $x$. От его знака зависит, перевернётся ли знак неравенства. Почему: из $2 < 3$ после умножения на $-1$ получается $-2 > -3$.

Пример: $-2x > 6$. Делим на $-2$ и переворачиваем знак: $x < -3$. Ответ: $(-\infty; -3)$.

Где ошибаются

Делят на отрицательное число и не переворачивают знак.
Путают скобки: при строгом знаке ($>$ или $<$) конец не входит, скобка круглая; при нестрогом ($\ge$, $\le$) входит, скобка квадратная.
Ставят квадратную скобку у бесконечности. У $\infty$ скобка всегда круглая.

Пример

Квадратные неравенства

В квадратном неравенстве слева стоит квадратный трёхчлен: $x^2 - 5x + 6 \le 0$. Его график — парабола, и ответ удобнее всего прочитать прямо с картинки: где парабола выше оси, а где ниже.

По шагам

Перенесите всё в левую часть, чтобы справа остался ноль.
Найдите корни трёхчлена, решив уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. В корнях парабола пересекает ось.
Нарисуйте параболу схематично: при $a > 0$ ветви смотрят вверх, при $a < 0$ вниз.
Для знака $>$ или $\ge$ возьмите участки, где парабола выше оси; для $<$ или $\le$ — где ниже.
Корни включайте в ответ, только если неравенство нестрогое.

Старший коэффициент. Если он положительный, ветви параболы направлены вверх: между корнями она под осью, снаружи над ней. При $a < 0$ всё наоборот.

Корни трёхчлена, $x_1 < x_2$.

Пример: $x^2 - 5x + 6 \le 0$. Корни $2$ и $3$, ветви вверх, нужны точки под осью вместе с корнями: $[2; 3]$.

Где ошибаются

Забывают, что при отрицательном $a$ парабола перевёрнута, и берут не тот участок.
Путают «между корнями» и «снаружи». Помогает быстрая проверка: подставьте одно число из ответа в неравенство.
Не знают, что делать при $D < 0$. Тогда трёхчлен везде одного знака, и ответ либо все числа, либо пустое множество.

Пример

№20 Системы уравнений ОткрытьСвернуть

Система из двух уравнений с двумя неизвестными. Ответ — все пары (x; y).

Как решать

Системы линейных уравнений

Система из двух линейных уравнений, например $x + 2y = 7$ и $3x - y = 7$, — это два условия на одну и ту же пару чисел $(x; y)$. Нужно найти пару, которая подходит в оба. Обычно это делают подстановкой или сложением.

По шагам

Найдите уравнение, где одну переменную удобно выразить (коэффициент $1$ или $-1$), и выразите её: из $x + 2y = 7$ получаем $x = 7 - 2y$.
Подставьте это выражение во второе уравнение: $3(7 - 2y) - y = 7$. Осталась одна неизвестная.
Решите его: $21 - 7y = 7$, $y = 2$. Затем найдите вторую переменную: $x = 7 - 4 = 3$.
Если выражать неудобно, сложите уравнения, сначала умножив их так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными.
Проверьте пару в обоих уравнениях и запишите ответ: $(3; 2)$.

Коэффициенты при $x$ противоположны, поэтому при сложении уравнений $x$ исчезает.

Дальше $y = 2$, и из любого уравнения $x = \frac{1}{2}$. Проверка: $2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot 2 = 7$.

Где ошибаются

Умножают на число только одну часть уравнения, а нужно обе.
Подставляют найденное число и не проверяют пару во втором уравнении.
Путают порядок в паре: сначала пишут $x$, потом $y$.

Пример

Нелинейные системы

В нелинейной системе одно уравнение линейное, а другое нет: $x + y = 1$, $xy = -12$. Решений обычно два, и каждое — пара чисел. Работает подстановка: выражаем переменную из линейного уравнения и подставляем в другое.

По шагам

Из линейного уравнения выразите одну переменную: $y = 1 - x$.
Подставьте во второе уравнение: $x(1 - x) = -12$.
Решите получившееся квадратное уравнение: $x^2 - x - 12 = 0$, корни $4$ и $-3$.
Для каждого корня найдите вторую переменную: $y = 1 - 4 = -3$ и $y = 1 - (-3) = 4$. Получились две пары.
Проверьте обе пары и запишите их в ответ: $(4; -3)$ и $(-3; 4)$.

Сумма неизвестных.

Их произведение. Это теорема Виета, прочитанная наоборот.

Пример: $x + y = 1$, $xy = -12$ дают $t^2 - t - 12 = 0$ с корнями $4$ и $-3$.

Где ошибаются

Находят только $x$ и забывают вычислить $y$.
Записывают одну пару, хотя у квадратного уравнения два корня и решений тоже два.
Меняют местами $x$ и $y$ в паре.

Пример

№20 Дроби и разложение на множители ОткрытьСвернуть

Сократить дробь или разложить многочлен на множители.

Как решать

Сокращение дробей

Сократить дробь вроде $\frac{x^2 + 7x + 6}{x^2 + 5x + 4}$ — значит разделить числитель и знаменатель на их общий множитель. Сокращать можно только множители, поэтому сначала оба многочлена раскладывают.

По шагам

Разложите на множители числитель: $x^2 + 7x + 6 = (x + 1)(x + 6)$.
Разложите на множители знаменатель: $x^2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)$.
Сократите общий множитель: получится $\frac{x + 6}{x + 4}$.
Помните, при каких $x$ исходная дробь не определена: сокращённая равна ей везде, кроме этих точек (здесь $x \ne -1$ и $x \ne -4$).

Общий множитель числителя и знаменателя. Делим на него обе части дроби.

Условие $x \ne -1$ остаётся от исходной дроби: при $x = -1$ она не определена, а сокращённая была бы определена.

Где ошибаются

Сокращают слагаемые вместо множителей: в $\frac{x + 6}{x + 4}$ сокращать нечего.
Не раскладывают многочлены до конца и пропускают общий множитель.
Не замечают множителей, отличающихся только знаком: $1 - x = -(x - 1)$.

Пример

Разложение на множители

Разложить многочлен на множители — значит записать его произведением более простых многочленов: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Это нужно и само по себе, и для сокращения дробей, и для решения уравнений.

По шагам

Вынесите общий множитель за скобку, если он есть: $2x^2 - 6x = 2x(x - 3)$.
Проверьте формулы сокращённого умножения, например $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Квадратный трёхчлен раскладывается по своим корням.
Для многочлена третьей степени найдите целый корень среди делителей свободного члена, проверьте его подстановкой и разделите многочлен на $(x - x_0)$.
Продолжайте, пока каждый множитель не станет линейным или неразложимым.

Старший коэффициент. Его легко забыть.

Корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Пример: корни $x^2 - 5x + 6 = 0$ равны $2$ и $3$, поэтому $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Где ошибаются

Теряют старший коэффициент: $2x^2 - 10x + 12 = 2(x - 2)(x - 3)$, без двойки равенство неверно.
Путают знаки: корню $2$ соответствует множитель $(x - 2)$, а не $(x + 2)$.
Останавливаются на полпути, когда один из множителей ещё раскладывается.