№20 Системы уравнений
Система из двух уравнений с двумя неизвестными. Ответ — все пары (x; y).
Как решать
Системы линейных уравнений
Система из двух линейных уравнений, например $x + 2y = 7$ и $3x - y = 7$, — это два условия на одну и ту же пару чисел $(x; y)$. Нужно найти пару, которая подходит в оба. Обычно это делают подстановкой или сложением.
По шагам
- Найдите уравнение, где одну переменную удобно выразить (коэффициент $1$ или $-1$), и выразите её: из $x + 2y = 7$ получаем $x = 7 - 2y$.
- Подставьте это выражение во второе уравнение: $3(7 - 2y) - y = 7$. Осталась одна неизвестная.
- Решите его: $21 - 7y = 7$, $y = 2$. Затем найдите вторую переменную: $x = 7 - 4 = 3$.
- Если выражать неудобно, сложите уравнения, сначала умножив их так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными.
- Проверьте пару в обоих уравнениях и запишите ответ: $(3; 2)$.
Где ошибаются
- Умножают на число только одну часть уравнения, а нужно обе.
- Подставляют найденное число и не проверяют пару во втором уравнении.
- Путают порядок в паре: сначала пишут $x$, потом $y$.
Пример
Нелинейные системы
В нелинейной системе одно уравнение линейное, а другое нет: $x + y = 1$, $xy = -12$. Решений обычно два, и каждое — пара чисел. Работает подстановка: выражаем переменную из линейного уравнения и подставляем в другое.
По шагам
- Из линейного уравнения выразите одну переменную: $y = 1 - x$.
- Подставьте во второе уравнение: $x(1 - x) = -12$.
- Решите получившееся квадратное уравнение: $x^2 - x - 12 = 0$, корни $4$ и $-3$.
- Для каждого корня найдите вторую переменную: $y = 1 - 4 = -3$ и $y = 1 - (-3) = 4$. Получились две пары.
- Проверьте обе пары и запишите их в ответ: $(4; -3)$ и $(-3; 4)$.
Где ошибаются
- Находят только $x$ и забывают вычислить $y$.
- Записывают одну пару, хотя у квадратного уравнения два корня и решений тоже два.
- Меняют местами $x$ и $y$ в паре.