№9 Уравнения

Линейное, квадратное или дробное уравнение.

Как решать

Линейные уравнения

Линейное уравнение — такое, где неизвестное стоит только в первой степени: $3x + 5 = x - 7$. У него один корень, и находится он за несколько ходов.

По шагам

Раскройте скобки, если они есть.
Перенесите слагаемые с $x$ влево, а числа вправо. Переходя через знак «=», слагаемое меняет знак: $3x + 5 = x - 7$ превращается в $3x - x = -7 - 5$.
Приведите подобные: $2x = -12$.
Разделите обе части на число перед $x$: $x = -6$.
Проверьте подстановкой: слева $3 \cdot (-6) + 5 = -13$, справа $-6 - 7 = -13$. Сошлось.

Число перед $x$, его называют коэффициентом. Делить на него можно, только если $a \ne 0$.

Всё, что осталось справа после переноса и приведения подобных.

Если $x$ сократился и вышло неверное равенство вроде $0 = 5$, корней нет. Если вышло $0 = 0$, подходит любое число.

Где ошибаются

Переносят слагаемое в другую часть и забывают сменить у него знак.
Теряют минус при делении: из $-2x = 8$ получается $x = -4$, а не $4$.
Раскрывают скобку с минусом перед ней и меняют знак только у первого слагаемого. Правильно: $-(x - 3) = -x + 3$.

Пример

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение записывают так: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \ne 0$. Корней у него не больше двух, а сколько их на самом деле, подсказывает одно число — дискриминант.

По шагам

Перенесите всё в левую часть, чтобы справа остался ноль. Выпишите коэффициенты $a$, $b$, $c$ вместе с их знаками.
Если $c = 0$, вынесите $x$ за скобку: $x(ax + b) = 0$, корни $0$ и $-\frac{b}{a}$. Если $b = 0$, выразите $x^2$ и извлеките корень.
Иначе посчитайте дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
При $D > 0$ корней два, при $D = 0$ один, при $D < 0$ действительных корней нет.
Проверьте по теореме Виета: сумма корней равна $-\frac{b}{a}$, произведение $\frac{c}{a}$.

Коэффициент при $x$ со своим знаком. В уравнении $x^2 - 5x + 6 = 0$ это $b = -5$, а $-b = 5$.

Дискриминант: он и решает, сколько будет корней.

Коэффициент при $x^2$.

Пример: $x^2 - 5x + 6 = 0$, $D = 25 - 24 = 1$, $x = \frac{5 \pm 1}{2}$, то есть $x = 2$ и $x = 3$.

Где ошибаются

Берут $b$ без знака: в $x^2 - 5x + 6$ коэффициент $b = -5$, и $b^2 = 25$.
Считают дискриминант, пока справа ещё не ноль. Сначала всё переносят в одну часть.
Делят обе части на $x$ и теряют корень $x = 0$. Вместо деления выносите $x$ за скобку.

Пример

Дробные уравнения

В дробном уравнении неизвестное стоит в знаменателе: $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$. На ноль делить нельзя, и с этого правила начинается всё решение.

По шагам

Выпишите, при каких $x$ знаменатели обращаются в ноль. Эти значения запрещены; всё, что осталось, называют областью допустимых значений (ОДЗ).
Перенесите всё в одну часть и приведите к общему знаменателю, чтобы получилась одна дробь.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю. Решите уравнение «числитель $= 0$».
Выбросьте корни, запрещённые на первом шаге.

Числитель: его приравниваем к нулю.

Знаменатель: он не должен обращаться в ноль, поэтому такие корни отбрасываем.

Пример: в $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$ числитель даёт $x = 1$ и $x = -1$, но при $x = 1$ знаменатель равен нулю. Ответ: $x = -1$.

Где ошибаются

Забывают выбросить корень, при котором знаменатель равен нулю. Это самая частая ошибка.
Сокращают дробь на выражение с $x$ и не помнят, что это выражение не могло быть нулём.
При приведении к общему знаменателю домножают на множитель не все слагаемые.